Tami S. Martin

Assessing high school students’ understanding of geometric proof

Although proof and reasoning are seen as fundamental components of learning mathematics, research shows that students continue to struggle with understanding geometric proofs. In an exploratory study, we investigated two components of students’ understanding—their agreement with principles of proof understanding and their ability to construct proofs. This study focused on the development of two instruments for gathering information regarding these two components. Outcomes of the study include a ’Proof Principles Questionnaire’ and a ’Proof Construction Assessment.’ Data generated by these instruments indicate that students may not be well aware of the internal logic requirements of formal proofs. Although students agree that proofs must be general, they are easily swayed by arguments based on a finite number of examples. Some students claim that a prototypical example is sufficient for satisfying generality requirements. In terms of proof-construction ability, students performed best on fill-in type proofs and poorly on proofs that had to be fully constructed.Sommaire exécutifBien que la démonstration et le raisonnement soient considérés comme des composantes fondamentales de l’apprentissage des mathématiques, la recherche montre que les étudiants continuent d’éprouver des difficultés lorsqu’il s’agit de comprendre les démonstrations géométriques. Dans une étude préliminaire, nous nous sommes penchés sur deux aspects de cette question: leur compréhension des principes qui sous-tendent la démonstration et leur capacité de construire eux-mêmes des démonstrations. Cette étude visait principalement à mettre au point deux outils servant à recueillir des informations au sujet de ces deux aspects. Les résultats de la recherche comprennent un questionnaire sur les principes qui régissent la démonstration et une évaluation portant sur la construction de démonstrations. Les données obtenues grâce à ces deux outils indiquent que les étudiants ne connaissent pas nécessairement très bien la logique interne qui caractérise les démonstrations logiques. Bien qu’ils soient d’accord avec l’idée que les démonstrations doivent être générales, les étudiants se laissent facilement convaincre par des arguments fondés sur un nombre fini d’exemples. Certains étudiants croient en effet qu’un exemple prototype est suffisant pour satisfaire à l’exigence de généralité. Quant à la capacité de construire des démonstrations, les résultats obtenus étaient meilleurs lorsqu’il s’agissait de compléter une démonstration «à trous» que lorsque les étudiants devaient construire eux-mêmes la démonstration depuis le début.

Calculus Students' Ability To Solve Geometric Related-Rates Problems.

This study assessed the ability of university students enrolled in an introductory calculus course to solve related-rates problems set in geometric contexts. Students completed a problem-solving test and a test of performance on the individual steps involved in solving such problems. Each step was characterised as primarily relying on procedural knowledge or conceptual understanding. Results indicated that overall performance on the geometric related-rates problems was poor. The poorest performance was on steps linked to conceptual understanding, specifically steps involving the translation of prose to geometric and symbolic representations. Overall performance was most strongly related to performance on the procedural steps.