Torsten Becker

Historie, Produkte, Gesetze

Versicherungsmathematische Sachverhalte bewegen sich immer im Schnittbereich von angewandter Mathematik, Versicherungswirtschaftslehre und Versicherungsrecht. Man kann viele Formeln nur dann wirklich verstehen, wenn man die zugrunde liegenden rechtlichen, okonomischen und zum Teil auch historischen Fakten kennt. Bevor wir uns mit den mathematischen Methoden der Kalkulation in der PKV beschaftigen, mussen wir uns also zunachst einen Uberblick verschaffen uber die Geschichte und die Produkte der PKV sowie die gesetzlichen Grundlagen des Krankenversicherungssystems in Deutschland.

Anhang Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Es wird vorausgesetzt, dass der Leser mit den folgenden Begriffen vertraut ist, die in jedem Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitstheorie zu finden sind:Zufallsvariablen werden immer mit grosen Buchstaben wie X, Y, Z, oder L bezeichnet, Realisationen mit den entsprechenden kleinen Buchstaben, das Wahrscheinlichkeitsmas eines Ereignisses A mit \(\text{\rm P}[A]\). Desweiteren bezeichnen \(\text{\rm E}[X]\) den Erwartungswert und \(\text{\rm Var}[X]\) die Varianz einer Zufallsvariablen X. Fur ein Ereignis A bezeichnet 1 A die Zufallsvariable, die genau dann 1 ist, wenn das Ereignis eintritt, sonst 0. Es gilt \(\text{\rm E}[\mathbf{1}_{A}]=\text{\rm P}[A]\).

Prämienkalkulation für das Neugeschäft

Die Bestimmung von Pramien ist ein zentraler Teil aller aktuariellen Arbeit. Die Pramie (oder auch Beitrag) ist der Betrag, den der Versicherungsnehmerzahlen muss, um in den Genuss der Versicherungsleistungen zu kommen. Da die PKV eine individuelle Versicherung ist, sind auch die Pramien individuell auf den einzelnen Versicherungsnehmerzugeschnitten. Sie hangen z. B. ab von dem gewahlten Tarif, einem evtl. Selbstbehalt, dem Einstiegsalter, der Vertragshistorie des Versicherungsnehmers und dem Ergebnis der Risikoprufung, die vor Vertragsbeginn durchgefuhrt wird. Fur den Versicherungsnehmerist letztlich nur sein zu zahlender Beitrag von Interesse (der Zahlbeitrag), technisch unterscheidet man aber noch weitere Arten wie Netto- und Bruttopramie oder Zillmerpramie.

Krankenversicherung als Risiko

Bevor wir uns mit der Kalkulation im Detail beschaftigen, soll die Krankenversicherung ganz allgemein aus risikotheoretischer Sicht betrachtet werden. Dazu mussen zunachst die Begriffe Versicherungsfall und Erstattung konkretisiert werden. Die zentrale Idee des Versicherungsgedankens, der Ausgleich im Kollektiv, wird im Anschluss quantitativ behandelt. Die theoretischen Voraussetzungen dieses Ausgleichs mussen fur die Praxis in handhabbare Kriterien verwandelt werden, was schlieslich zu den Risiko- und Tarifmerkmalen fuhrt.

Stochastische Prozesse und Modelle

Um die Dynamik von Zufallsvariablen im Zeitverlauf zu modellieren, bedient man sich stochastischer Prozesse. Endliche Markov-Ketten und endliche Markov-Prozesse sind stochastische Prozesse in einem endlichen Zustandsraum und diskreter bzw. stetiger Zeit, welche durch die Eigenschaft der Gedachtnislosigkeit charakterisiert sind. Bestimmend fur deren Langzeitverhalten sind die Eigenwerte der zugehorigen Ubergangs- bzw. Fundamentalmatrizen. Mit allgemeinen (nicht notwendigerweise endlichen) Markov-Prozessen verfugt man uber eine Klasse von stochastischen Prozessen, die mit dem Wiener-Prozess, der Brownsche Bewegung mit Drift, dem Poisson-Prozess sowie dem zusammengesetzten Poisson-Prozess wichtige Modellansatze fur die aktuarielle und finanzmathematische Anwendung umfasst. In diesem Kontext stellt sich insbesondere die Frage nach Ruinwahrscheinlichkeiten in Markov-Prozessen. Diese kann aus einer fundamentalen Grenzwertbeziehung abgeleitet werden und besitzt im Fall der Brownschen Bewegung mit Drift eine explizite Darstellung bzw. im Fall des zusammengesetzten Poisson-Prozesses eine Reihendarstellung.

Lineare und verallgemeinerte lineare Regression

Regression stellt das klassische Instrument der Statistik dar, um eine beobachtete abhangige Variable durch Kovariaten zu modellieren. In linearen Modellen werden die Kovariaten in einer Designmatrix zusammengefuhrt, mit der die Regressionsgleichung formuliert wird. Klassische lineare Modelle gehen dabei, bis auf eine ggf. vorgegebene Gewichtung, von einer fur alle Beobachtungen einheitlichen Varianz aus. Die Parameterschatzung kann durch die Methode der kleinsten Quadrate bzw. mit der Maximum-Likelihood-Methode unter Normalverteilungsannahme erfolgen. Verallgemeinerte lineare Modelle erlauben den flexibleren Ansatz einer Varianz, die Funktion des Erwartungswerts der abhangigen Variable ist, und vermeiden die Normalverteilungsannahme. Die wesentlichen Schritte der Modellanpassung sind eine explorative Analyse zur Identifikation der Varianzfunktion, die Maximum-Likelihood-Schatzung der Parameter und die Analyse der Residuen. Verallgemeinerte lineare Modelle stellen aufgrund ihrer hohen Flexibilitat aktuell das Standardmodell in der Tarifkalkulation dar, konnen aber auch fur zahlreiche andere Fragestellungen aus der aktuariellen Praxis genutzt werden.

Anhang: bedingte Verteilungen

In diesem Anhang wird der Begriff der bedingten Verteilung in Erinnerung gerufen. Gleichzeitig gibt er eine Zusammenfassung der wichtigsten Rechenregeln fur bedingte Verteilungen und daraus abgeleitete Grosen wie den bedingten Erwartungswert oder die bedingte Varianz.

Quantifizierung und Bewertung von Risiken

Geeignete Familien von Wahrscheinlichkeitsverteilungen bilden eine wesentliche Grundlage aller praxisrelevanten stochastischen Modelle und statistischen Analysen. Dies gilt insbesondere im Bereich der Versicherungs- und Finanzmathematik, von der Lebensversicherung (Sterbetafeln und Lebensdauerverteilungen) uber die Schadenversicherung (Schadenzahl- und Schadenhohenverteilungen) bis zur Stochastischen Finanzmathematik (Verteilungen von Aktienkursen, Analyse finanzmathematischer Zeitreihen). In diesem Kapitel werden zunachst die wesentlichen Konzepte zu Zufallsvariablen wiederholt. Vorbereitend fur die folgenden Kapitel werden dann die Risikomase Value at Risk und Expected Shortfall eingefuhrt und schlieslich einige grundlegende Aspekte der Modellierung von Abhangigkeitsstrukturen mit Hilfe von Copulas.

Anhang: stochastische Konvergenz

Es werden grundlegende Definitionen und Ergebnisse zur Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen bereitgestellt.

Anhang: erzeugende Funktionen

Es werden die wichtigsten Ergebnisse zu den wahrscheinlichkeits- und momentenerzeugenden Funktionen bereitgestellt.