Vanessa Sommer

FAQ – häufige Fragen

Dieses Kapitel beantwortet haufige Fragen zum Umgang mit Mathematik und ihren Begriffen und Denkweisen sowie zum Lernen mathematischer Sachverhalte. Die Akzeptanz, dass Mathematik etwas aussagt, die Deutung der mathematischen Notation, die Ubersetzung mathematischer Zusammenhange in einfache und anschauliche Formulierungen und die logische Argumentation sind vier Pfeiler, auf denen die wichtigste Grundlage fur das Erlernen und Verstehen von Mathematik steht – namlich die Fahigkeit, Gedankengange und Zusammenhange nachzuvollziehen und sich selbst neue zu erschliesen. Es wird besprochen, wie man Mathematik lernt, wie man Zusammenhange versteht und ob man sie vergessen kann. Sie finden Tipps, wie man Mathematik in Ubungs- und Klausuraufgaben aufschreibt, und Anregungen zur Frage aller Fragen vieler Studierender: „Brauche ich Mathematik?“ Danach folgen erste Uberlegungen zum Umgang mit mathematischen Bezeichnungen, Formelzeichen und Regeln. Beweise werden als zentraler Gegenstand der Mathematik beleuchtet, und zum Abschluss ermuntert Sie die Frage „Darf ich mal probieren?“, Mathematik anzufangen und auszuprobieren. Ja, Sie durfen.

Funktionen: Sind eine Eheschließung und ein Ehepaar dasselbe?

Zuerst klart Kapitel 4, was eine Eheschliesung und ein Ehepaar mit mathematischen Funktionen zu tun haben. Sie uberprufen Ihre Vorstellung von einer Funktion mit Hilfe einer strengen Definition der Funktion. Wir beleuchten die Einzelteile der Definition genau und lernen die scheinbar kleinen Informationen in mathematischen Formulierungen zu deuten. Die Wichtigkeit der Festlegung von Definitions- und Wertebereich wird an der Injektivitat und Surjektivitat von Funktionen erprobt. Das Konzept der Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion wird hier unabhangig von Rechnungen vorgestellt, und Sie werden die Idee der Umkehrfunktion als etwas Naheliegendes empfinden. Auserdem bespricht dieses Kapitel den abstrakteren Zugang zum Funktionsbegriff als Teilmenge des kartesischen Produkts von Definitions- und Wertebereich. Sie werden erleben, dass selbst abstrakte Definitionen verstandlich werden, wenn man Bilder und einfache Beispiele zu Hilfe nimmt.

Vektoren und Vektorräume: Wissen Mathematiker nicht, was ein Vektor ist?

Wir stellen uns die Frage, was es bedeutet zu wissen, was ein Vektor ist. Dazu denken wir uber algebraische Strukturen wie Korper und Gruppen und ihre mathematische Definitionen nach. Uber die geforderten Eigenschaften, die als Axiome formuliert werden, wird die algebraische Struktur des Vektorraums definiert. Neben den Euklidischen Vektorraumen lernen Sie auch den Raum C([a,b]) der stetigen Funktionen uber einem abgeschlossenen Intervall kennen und konnen damit auch Funktionen als Vektoren interpretieren. Die Begriffe der Linearkombination und der linearen Hulle beinhalten bereits das Konzept des Vektorraums und lassen die Axiome als naturliche Forderungen an Vektoren erscheinen. Sie werden verstehen, dass nicht nur Pfeile Vektoren sind, und Sie werden allgemeine Vektoren von Vorstellungen zu Vektoren in bestimmten Anwendungen trennen.

Stetigkeit: Kann man einen Strich nur einen Punkt lang zeichnen?

Manche Funktionsgraphen kann man mit einer Linie zeichnen, ohne den Stift abzusetzen. Diese Beschreibung der Stetigkeit einer Funktion ist anschaulich, aber wir zeigen, dass sie nicht fur alle Fragen mathematisch tragfahig ist. Dieses Kapitel erlautert, wie Sie die beiden mathematischer formulierten Beschreibungen der Stetigkeit, namlich das Folgenkriterium und das – Kriterium, an ganzlich unmathematischen Orten wiederfinden und lebenspraktisch interpretieren. Sie werden danach an die Stetigkeit von Funktionen denken, wo Ihnen dies vorher nicht in den Sinn gekommen ware, beispielsweise unter der Dusche bei Ihrem nachsten Aufenthalt in einem preisgunstigen Hostel. Wir diskutieren, wie die zwei Stetigkeitsdefinitionen zueinander stehen, und Sie verstehen, warum Stetigkeit ein Punktbegriff ist. Mit dem Zwischenwertsatz und dem Satz, dass stetige Funktionen ihre Extrema annehmen, werden zwei nutzliche Eigenschaften stetiger Funktionen bewiesen – eine, die voll und ganz unserer Anschauung folgt, und eine, bei der wir ohne den mathematischen Formalismus in die Irre laufen konnten.

Reihen: Wie kann man unendlich viele Zahlen addieren?

Kapitel 2 beginnt damit, dass ein Camembert durch fortwahrende Halbierung eines immer kleineren Stucks in unendlich viele Stucke zerschnitten wird. Die Summe der unendlich vielen Stucke fuhrt uns auf den Begriff der Reihe. Wir thematisieren den Unterschied zwischen einer Folge und einer Reihe und erklaren, warum die Reihe als Folge ihrer Partialsummen definiert ist. Die Uberlegungen zum Grenzwert von Folgen aus dem ersten Kapitel ubertragen wir auf die Konvergenz und die absolute Konvergenz einer Reihe, und wir zeigen, dass entscheidende Unterschiede zwischen beiden Konzepten bestehen. Als prominente Reihen treten die geometrische Reihe, die Exponentialreihe und die harmonische Reihe auf. Mit dem Quotienten- und dem Wurzelkriterium erhalten Sie Werkzeuge, um Reihen auf ihre Konvergenz zu prufen, und naturlich wenden wir sie auf Beispiele an.

Folgen und Grenzwerte: Was verrät mir die verzwickte Grenzwertdefinition?

Fast jede Mathematikvorlesung behandelt die Definition des Grenzwerts einer Folge, und diese Grenzwertdefinition sieht furchterregend mathematisch aus. Dieses Kapitel erklart die Definition und ihre einzelnen Bestandteile langsam und mit Beispielen und anschaulichen Interpretationen. Vorher werden Folgen eingefuhrt, unterschiedliche Bildungsgesetze vorgestellt und Begriffe wie Monotonie und Beschranktheit erlautert. Dann benutzen wir die Definitionen und uben den Umgang mit den Begriffen, indem wir typische Grenzwerte bestimmen und nutzliche Zusammenhange beweisen. Das Kapitel schliest mit einem Ausblick auf die Landauschen Ordnungssymbole und das Konzept der Haufungspunkte. Am Ende des Kapitels werden Sie sich von mathematisch formulierten Definitionen und Zusammenhangen keine Angst mehr einjagen lassen, und die verzwickte Grenzwertdefinition verliert ihren Schrecken.

Eigenwerte und Eigenvektoren: Was ist eigen am Eigenwert?

Eigenwerte und Eigenvektoren sind Herausforderungen vieler Mathematikvorlesungen. Damit sie nicht zum Stolperstein werden, beschaftigt sich dieses Kapitel ausfuhrlich mit der Interpretation von Eigenvektoren als konservierte Richtungen einer linearen Abbildung. Wir illustrieren sie an physikalischen und geometrischen Beispielen. Danach erhalten Sie einen Ausblick auf Schwingungen als dem Haupteinsatzgebiet von Eigenwerten. Autokarosserien, Musikinstrumente, Okosystemen und viele andere Anwendungen schwingen. Kapitel 10 bespricht den Federschwinger als Ausblick auf gewohnliche Differentialgleichungen und die schwingende Saite, die sogar auf partielle Differentialgleichungen fuhrt. Wir finden die Naturtone und konnen nun auch mathematisch begrunden, dass ein Cello tiefer als eine Geige klingt.

Landau-Symbole: Warum sollte man ungenau rechnen?

Dieses letzte Kapitel beschaftigt sich mit dem Einsatz und Anwendungen des Landauschen Ordnungssymbols. Anhand von Alltagsbeispielen sehen wir, dass Ungenauigkeiten nichts Negatives sein mussen, sondern dass ungefahre Rechnungen von groser praktischer Bedeutung sind. Wir verdeutlichen diese Uberlegungen am Zeitbedarf von Algorithmen, an der Abschatzung von Baukosten und innermathematisch an Herleitung von Differenzenquotienten zur numerischen Approximation von Ableitungen. Sie werden die wunderbar schlichte Notation mit dem Landau-Symbol, das die Peanuts verschlucken kann, mindestens mogen, wenn nicht lieben.

Komplexe Zahlen: Wie rechnet man mit etwas, das es nicht gibt?

Die komplexen Zahlen sind fur viele etwas nicht Vorstellbares, gar etwas Mystisches, und die imaginare Einheit macht ihrem Namen alle Ehre. So wie wir in der Grundschule 2-5 nicht losbar fanden und doch spater die negativen ganzen Zahlen kennengelernt haben, erweitern wir hier den uns vertrauten Zahlbereich der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen. Sie lernen die Gaussche Zahlenebene und die Polardarstellung komplexer Zahlen kennen, rechnen mit komplexen Zahlen und beschaftigen sich mit der Eulerschen Identitat, die einen wahrhaft zauberhaften Zusammenhang herstellt. Schlieslich enthalt der Hauptsatz der Algebra den eigentlichen Gewinn der Zahlbereichserweiterung. Selbstverstandlich erfahren Sie auch etwas daruber, wo komplexe Zahlen gebraucht werden. Sie freunden sich in diesem Kapitel mit den komplexen Zahlen an und finden es nicht mehr schwierig, Wurzeln aus ihnen zu ziehen.

Lineare Abbildungen: Ist die Reihenfolge von Handlungen vertauschbar?

Die Linearitat einer Abbildung wird uber die Vertauschbarkeit der Wirkung der Abbildung mit der Bildung der Linearkombination beschrieben. Um dies zu verstehen beginnen wir mit ganz alltaglichen Beispielen vertauschbarer und nicht vertauschbarer Handlungen: Haare kammen und sich photographieren, ankleiden und das Haus verlassen, den linken Schuh anziehen und den rechten Schuh anziehen. Falls Sie sagen: „So einfach kann es in der Mathematik nicht sein.“, zeigen wir Ihnen: Doch! So einfach ist Mathematik. Und so einfach ist die Definition der Linearitat einer Abbildung. Aufbauend auf den Alltagsbeispielen sprechen wir auch uber lineare Abbildungen in Euklidischen Raumen und Matrizen. Wir zeigen Ihnen, dass Sie die Linearitat beim Ableiten und Integrieren benutzen und dass die Linearitat von Abbildungen eine ausergewohnliche und ausergewohnlich nutzliche Eigenschaft ist. Uberall wird sie verwendet, in fast allen Wissenschaften und sogar beim Brotchenkauf.