Vlastislav Červený

Computation of ray amplitudes in inhomogeneous media with curved interfaces

SummaryThis paper is a continuation of[1]. It is mainly devoted to problems connected with the application of the method of determination of geometrical spreading in laterally inhomogeneous media with curved interfaces based on the solution of eight (in a three-dimensional medium) or two (in a two-dimensional medium) linear ordinary differential equations of the first order. The method of determination of the partial derivatives of velocity with respect to the special coordinates, connected with the ray under investigation, and the methods of determination of the initial values for the system of differential equations at the source and at the interfaces are proposed.

Seismic ray method: Recent developments

The seismic ray method has found broad applications in the numerical calculation of seismic wavefields in complex 3-D, isotropic and anisotropic, laterally varying layered structures and in the solution of forward and inverse problems of seismology and seismic exploration for oil. This chapter outlines the basic features of the seismic ray method, and reviews its possibilities and recent extensions. Considerable attention is devoted to ray tracing and dynamic ray tracing of S waves in heterogeneous anisotropic media, to the coupling ray theory for S waves in such media, to the summation of Gaussian beams and packets, and to the selection of models suitable for ray tracing.

Expansion of a Plane Wave into Gaussian Beams

An integral expansion which expresses a plane monochromatic wave as a superposition of Gaussian beams is found. The expansion can be used to solve many wave propagation problems in complicated structures, including laterally inhomogeneous media with curved interfaces.

Quality factor Q in dissipative anisotropic media

In an isotropic dissipative medium, the attenuation properties of rocks are usually specified by quality factor Q , a positive, dimensionless, real-valued, scalar quantity, independent of the direction of wave propagation. We propose a similar, scalar, but direction-dependent quality Q -factor (also called Q ) for time-harmonic, homogeneous or inhomogeneous plane waves propagating in unbounded homogeneous dissipative anisotropic media. We define the Q -factor, as in isotropic viscoelastic media, as the ratio of the time-averaged complete stored energy and the dissipated energy, per unit volume. A solution of an algebraic equation of the sixth degree with complex-valued coefficients is necessary for the exact determination of Q . For weakly inhomogeneous plane waves propagating in arbitrarily anisotropic, weakly dissipative media, we simplify the exact expression for Q con-siderably using the perturbation method. The solution of the equation of the sixth degree is no longer required. We obtain a simple, ex...

Reflection and transmission coefficients for transition layers

SummaryFormulae are derived for the reflection and transmission coeficients of plane elastic waves for a transition layer. Haskells technique and the so-called delta matrices[5, 7] are used for this purpose. No problems are encountered in deriving the reflections and transmission coefficients from Haskells matrices[3]. However, in some cases Haskells matrices do not guarantee the accuracy required. For this reason attention is mainly devoted to deriving the reflection and transmission coefficients from the delta matrices. In deriving the transmission coefficients use is made of the fact that some3×3 subdeterminants of the delta matrices are squares of the3×3 subdeterminants of Haskells matrices.

Reflection coefficients for spherical waves

РезюмеПотенциал отраженной гармонической волны на плоской границе раздела двух жидких сред формально можно выразить формулой (2), гдеR—расстояние от кажущегося источника, аA—модифицированный коэффициент отражения. Модифицированный коэффициент отраженияA будет зависеть от угла паденияi, далее от параметров обеих сред и, наконец, также от частоты или длины падающей волны. По мере возрастания частоты величина модифицированного коэффициента отраженияA будет асимптотически нриближаться к величине коэффициента отражения плоских волнA0. Настоящая работа преследует цель показать различие междуA иA0 главным образом в окрестности критической точки.В пар. 2–5 на основании работы [1] были выведены формулы дляA. В пар. 3 было рассмотрено положение перед критической точкой (sinin). ЗначенияA в этих областях определяются по формулам (16), (18) и (20). На их основании были проведены расчеты для различных комбннаций коэффициента преломленияn=a1/a1, отношения плотностейϱ=ϱ1/ϱ2 и значенийk(z+z0)=2π(z+z0)/λ=2πf(z+z0)/a1, характеризующих удаление источника и наблюдателя от границы раздела, выраженной в длинах волх. С убыванием частоты уменьшаетсяk(z+z0) и наоборот.На рис. 2 показана зависимость модифицированного коэффициента отражения от коэффициента преломленияn. Из кривых вытекает, что наибольшее отличие модифицированного коэффициента отражения от коэффициента отражения плоских волнA0 имеет место в окрестности критической точки, гдеA*=⋎A⋎ всегда меньше, чемA0*=⋎A0⋎. В окрестности критической точки величинаA* по мере увеличения расстояния всегда возрастает, достигая своего максимума на определенном удалении от места за критической точкой. Таким образом амплитуда отраженных сферических воли достигает своего максимума не в критической точке, как это вытекало бы из геометрической сейсмики, а на определенном удалении от места за критической точкой. Это расстояние будет увеличиваться по мере приближения величины коэффициента преломления к единице.На рис. 2 и 3 показана зависимость модифицированного коэффициента отражения от отношения длотностейϱ=ϱ1/ϱ2 и значенияk(z+z0). Здесь видно во-первых, что максимум удаляется от критической точки по мере убывания частоты и во-вторых, что положение максимума практически не зависит от отношения плотностей ϱ.На рис. 2–4 приведены также и кривые для фаз коэффициентов отраженияA иA0, обозначенные черезϕ* иϕ*. Из рис. 2–4 видно, чтоϕ* перед критической точкой не равно нулю, как вытекает из геометрической сейсмики (см. форм. 4′). Наибольшие различия междуϕ* иϕ0* обнаруживаются опять же в окрестности критической точки.

Ray amplitudes of seismic body waves in inhomogeneous radially symmetric media

РезюмеИсхо¶rt;я uз сnецuaльноŭ annроксuмaцuu скоросmного рaзрезa, nолучены nросmые aнaлumuческuе вырaженuя ¶rt;ля лучевых uнmегрaлов,геомеmрuческого рaсхож¶rt;енuя u лучевых aмnлumу¶rt; обьёмных волн, рaсnросmрaняющuхся в сферuческu сuммеmрuчноŭ мо¶rt;елu Землu. Эma annроксuмaцuя обесnечuвaеm неnрерывносmь скоросmu u её nервоŭ u вmороŭ nроuзво¶rt;ных, не обрaзуеm слоев nонuженноŭ скоросmu u uскуссmвенных aномaлuŭ aмnлumу¶rt;ных крuвых. Пре¶rt;ложеннaя annроксuмaцuя maкже знaчumельно nовышaеm усmоŭчuвосmь aмnлumу¶rt;ных крuвых.

On the reflection of spherical waves at a plane interface with refractive index near to one. I

РезюмеВ работе были выведены формулы для потенциалов отраженных и головных волн, возникающих при падении сферической продольной гармонической волны на “слабую” границу раздела. (Под “слабой” границей раздела подразумевается граница раздела, отделяющая две среды с почти одинаковыми свойствами).В гл. 2 приводятся основные соотношения и предположения. Были применены цилиндрические координаты (r, z), иричем границу раздела мы поместили в плоскостиz=0, а источник продольных гармонических волн с частотойf—в точке [0,z0], гдеz0>0. Скорости продольных и поперечных волн и плотность приz>0 были обозначены соответственноa1,b1 и ϱ1, а приz<0a2,b2, ϱ2. Об коэффициенте преломленияn=a1/a2 мы предполагаем, чтоn<1. Потенциал подающей волны Ф0 (формула (3)) мы переписали в виде интеграла (4). В том же виде был представлен и потенциал Φ (формула (5)), дающий отраженную волну в более широком смысле слова (з. е. отраженную волну, головные волны и поверхностную волну).В гл. 3 значительное внимание уделялось выбору пути интегрирования. Было показано, что приn→1 не применим метод скорейшего спуска. Был выбран новый путь интегрированияD, заданный уравнением (10) (рис. 1, 2), где через ξ=ξ1 обозначена седловая точка. Ётот путь обладает тем преимуществом, что на нем справедливо равенство

Applications of dynamic ray tracing

\sqrt {1 - \xi ^2 } = \sqrt {1 - \xi _0^2 } + \omega \exp ( - i\tfrac{1}{4}\pi )