Volker Reitmann

Bifurkationen nahe Ruhelagen in zweiparametrigen Differentialgleichungen

Zur Beschreibung der in Abschnitt 17.1 diskutierten Bifurkationen in der Nahe von Ruhelagen waren reduzierte Differentialgleichungen ausreichend, die nur von einem skalaren Parameter abhangen. Wir kommen nun zu einer kurzen Darstellung von Bifurkationen in Differentialgleichungen, die durch reduzierte Gleichungen mit mindestens zwei skalaren Parametern gekennzeichnet sind.

Entropien und Druck

Ziel dieses Abschnittes soll es ein, ein Mas dafur zu beschreiben, mit welcher Intensitat ein dynamisches System offene Teilmengen des Phasenraumes durcheinanderwirbelt. Dieses Mas wird die topologische Entropie sein, deren Definition auf R.L. Adler, A.G. Konheim und M.H. McAndrew ([2]) zuruckgeht. Sie ist eine topologische Invariante, d.h., topologisch konjugierte Systeme haben gleiche Entropien. Daruber hinaus ist die Entropie eines Systems endlich, wenn keine zufalligen Einflusse vorliegen.

Globale Bifurkationen der Abspaltung periodischer Orbits

Wir betrachten auch hier wieder die allgemeine Differentialgleichung (16.1). Die bisher diskutierten Bifurkationen waren fast alle von lokaler Natur. Ausnahmen gab es z.B. im Punkt b) von Kapitel 19 mit einer ebenen SeparatrixschlingenBifurkation, die (bzgl. der Phasenebene) sofort globalen Charakter trug. Das Prinzip der Abspaltung eines periodischen Orbits aus einer homoklinen Kurve kann zu Aussagen im ℝ n verallgemeinert werden. Wir stellen im weiteren einige dieser Aussagen dar, die im wesentlichen auf L.P. Shilnikov zuruckgehen.

Orbitale Stabilität und Lyapunov-Stabilität von Bewegungen

Wesentliche Eigenschaften eines dynamischen Systems{φ t }t∈Γ im metrischen Raum (M,d) werden dadurch charakterisiert, ob sich zwei Bewegungen φ t (p) und φ t (q) fur wachsende Zeiten aufeinander zu bewegen oder ob sie auseinandergehen. Betrachtet man als Mas fur die Benachbartheit die Grose d(φ t (p), φ t (q)), so kommt man zum Begriff der Lyapunov-Stabilitat, betrachtet man dagegen die Abstande der Orbits, so gelangt man zur Eigenschaft der orbitalen Stabilitat.

Volumenänderung unter invertierbaren dynamischen Systemen

In diesem Abschnitt soll untersucht werden, wie sich das Volumen einer Menge im Ergebnis der Transformation durch ein dynamisches System verandert. Wir betrachten dazu ein invertierbares dynamisches System {φ t } mit M ⊂ ℝ n als Phasenraum und Γ = ℝ oder Γ = ℤ.

Invariante Maße, Ergodizität und Mischen

In Kapitel 4 wurden invertierbare dynamische Systeme unter dem Aspekt des Volumenerhalts betrachtet. Es wurde demonstriert, das das Vorhandensein eines fur das System invarianten Mases Ruckschlusse auf das Rekurrenzverhalten der Orbits dieses Systems zulast. Wir wollen in diesem Abschnitt nun auch nicht invertierbare Systeme einschliesen und gleichzeitig die Klasse der betrachteten invarianten Mase erweitern. Auf dem metrischen Raum (M, d) sei das dynamische System {φ t } t ∈Γ gegeben. Es seien B die σ-Algebra der Borelmengen auf M und μ : B → [0, + ∞] ein Borel-Mas. Das dynamische System {φ t } t ∈Γ wird bezuglich dieses Masraumes (M, B, μ) als mesbar vorausgesetzt.

Hyperbolizität periodischer Orbits

Gegeben seien die lineare Differentialgleichung n n

Periodische Punkte von Abbildungen

dot X = A(t)X,