Walter Nef

Elementary set operations with d-dimensional polyhedra

When approx ima te l y 15 years ago we became i n t e r e s t e d in the computat i o n a l geometry o f po lyhedra , we soon r e a l i z e d tha t c e r t a i n bas ic not i o n s (e .g . face o f a po lyhedron) were not p r o p e r l y de f ined , and tha t no a p p r o p r i a t e theory was a v a i l a b l e . Most th ings t h e r e f o r e had to be done on a p u r e l y i n t u i t i v e bas i s , lead ing i n to d i f f i c u l t i e s e s p e c i a l l y in c e r t a i n s i n g u l a r cases ( c f . [ 0 9 ] ) . Never the less a la rge number o f p u b l i c a t i o n s in the f i e l d have s ince appeared, e .g . [ 08 ] , [ 10 ] , [13] to [18] and [21] to mention on l y some of the most s i g n i f i c a n t .

Algorithms for the euler characteristic and related additive functionals of digital objects

The Euler characteristic, the volume, the surface, and the mean width belong to the more important geometric properties of the polytopes in R d . They may be considered as values of certain additive functionals belonging to the family of the so-called quermassintegrals which are more generally defined for all bounded polyhedra in R d . A first recursive algorithm is presented to compute all quermassintegrals of digital objects in R d and a second one just for the Euler characteristic. The digital objects are assumed to be represented as binary arrays. The complexity of both algorithms is shown to be of the order of the number of elements of the respective binary arrays.

A recursive sweep-plane algorithm, determining all cells of a finite division of R d .

Abstract“Sweep-plane” algorithms seem to become more and more important for the solution of certain geometrical problems. We present an algorithm of this kind that enumerates the cells of all dimensions into whichRd is partitioned by a finite set of hyperplanesFi0. A plane sweeping through space (remaining parallel to itself) finds new cells each time it includes an intersection of someFi0 (normally a point). An analysis of the intersection-properties allows the construction of an algorithm recursive with respect to the dimension of space. Full generality has been one of our main objectives.ZusammenfassungDen Gleitebenen-(„sweep-plane”)-Verfahren kommt für die Lösung gewisser geometrischer Probleme wachsende Bedeutung zu. Wir präsentieren einen Algorithmus dieser Art für die Aufzählung der Zellen aller Dimensionen, in dieRd durch endlich viele HyperebenenFi0zerlegt wird. Eine parallel zu sich selber durch den Raum gleitende Ebene trifft immer dann neue Zellen, wenn sie einen Durchschnitt gewisserFi0(im allgemeinen einen Schnittpunkt) enthält. Aus der Betrachtung der Schnitteigenschaften läßt sich ein bezüglich der Raumdimension rekursiver Algorithmus ableiten. Besonderer Wert wird auf volle Allgemeinheit gelegt.

A sweep-plane algorithm for computing the Euler-characteristic of polyhedra represented in Boolean form

We present an algorithm EULER for the computation of the Euler-characteristic χ(P) of bounded polyhedraP⊂ℝd. It is first shown that χ(P) is uniquely determined by the local properties ofP at its vertices. It is therefore possible to compute χ(P) using a plane sweeping through ℝd, collecting the local information available at every vertex. There is a close relationship with an algorithm for the computation of the volumeV (P) published earlier (cf. [4]). The reason is that both ofV and χ are additive functionals.ZusammenfassungWir präsentieren einen Algorithmus EULER für die Berechnung der Eulerschen Charakteristik χ(P) beschränkter PolyederP⊂ℝd. Es wird gezeigt, daß χ(P) durch die lokalen Eigenschaften vonP in seinen Ecken eindeuting bestimmt ist. Deshalb ist es möglich, χ(P) mit Hilfe einer Ebene zu berechnen, die durch den Raum gleitet („sweep-plane”) und die in den Ecken verfügbare Information „sammelt”. Es besteht eine enge Beziehung zu einem früher publizierten Algorithmus für die Berechnung des VolumensV (P) (vgl. [4]). Der Grund liegt darin, daßV und χ beide additive Funktionale sind.

Invariante Unterräume, Normalformen von Matrizen

Wenn zu einem Endomorphismus f eines V R E von endlicher Dimension eine aus Eigen Vektoren bestehende Basis existiert, so last sich dieser Endomorphismus besonders leicht uberblicken. Jeder Vektor dieser Basis wird ja einfach mit dem zugehorigen Eigenwert multipliziert und daraus ergibt sich ohne weiteres das Bild eines beliebigen Vektors x ∈ E (vgl. 13.6; (6)). Die Matrix, die den Endomorphismus f in bezug auf irgend eine Basis darstellt, ist nach Satz 13.1; 4 diagonalisierbar oder also zu einer diagonalen Matrix ahnlich. Diese diagonale Matrix ist durch f bis auf die Reihenfolge der Diagonalelemente eindeutig bestimmt.