Werner Krabs

Optimal control of processes governed by partial differential equations part II: Vibrations

This paper is concerned with damping of vibrations of one-dimensional media by distributed or boundary control. Given an initial state of vibration at the timet=0, the problem is considered to find a control along the medium or on its boundary by which the initial state is transferred to the position of rest at some given timeT>0. At first the problem of null-controllability is studied where the control functions are taken fromL2 [0,T]. Then the problem of timeminimal null-controllability is investigated where null-controllability is tried to be achieved by norm-bounded controls inL2 [0,T] forT being as small as possible. The main result here is that time-minimal norm-bounded controls are controls with least norm on the minimum time interval which in addition equals the prescribed bound on the norm.The main tool for the treatment of these control problems is the theory of trigonometric moment problems.ZusammenfassungDiese Arbeit beschäftigt sich mit der Dämpfung eindimensionaler Media durch verteilte Steuerung oder Randsteuerung. Zu vorgegebenem Anfangszustand der Schwingung zum Zeitpunktt=0 wird das Problem betrachtet, eine Steuerung entlang dem Medium oder auf seinem Rande zu finden, die den Anfangszustand in die Ruhelage zu irgendeiner gegebenen ZeitT>0 überführt. Zunächst wird das Problem der Null-Steuerbarkeit behandelt, bei dem die Steuerungsfunktionen demL2 [0,T] entnommen werden. Sodann wird das Problem der zeit-minimalen Nullsteuerbarkeit untersucht, bei dem versucht wird, Nullsteuerbarkeit mit norm-beschränkten Steuerungen inL2 [0,T] für möglichst kleinesT zu erzielen. Das Hauptresultat besteht hier in der Aussage, daß zeit-minimale norm-beschränkte Steuerungen zugleich Steuerungen mit minimaler Norm auf dem minimalen Zeitintervall sind, die überdies mit der vorgegebenen Normschranke übereinstimmt.Das Haupthilfsmittel zur Behandlung dieser Steuerungsprobleme ist die Theorie der trigonometrischen Momentenprobleme.

Optimal control of processes governed by partial differential equations part I: Heating processes

The primary concern of this paper is the treatment of optimal control of heating processes on the boundary of the spatial domains in which the processes take place. Given an initial state of the temperature at the timet=0 and a final state at some timeT>0, the problem is considered to find a control on the boundary by which the initial state is transferred to the final state. If in addition the control is subject to a restriction in absolute value, the question is answered under which conditions restricted control is possible in minimum time and time-minimal controls are characterized by a “bang-bang-principle”.As mathematical tool certain exponential moment problems are investigated and the results are applied.ZusammenfassungDiese Arbeit beschäftigt sich hauptsächlich mit optimaler Steuerung von Heizungsprozessen auf dem Rande der räumlichen Bereiche, in welchen die Prozesse stattfinden. Zu vorgegebenem Anfangszustand der Temperatur zur Zeitt=0 und vorgegebenem Endzustand zu einer ZeitT>0 wird das Problem betrachtet, eine Steuerung auf dem Rande zu finden, die den Anfangs- in den Endzustand überführt. Wird zusätzlich die Steuerung einer Beschränkung im Absolutwert unterworfen, so wird die Frage beantwortet, unter welchen Bedingungen beschränkte Steuerungen in minimaler Zeit existieren, und diese zeit-minimalen Steuerungen werden durch ein „Bang-Bang-Prinzip“ charakterisiert.Als mathematisches Hilfsmittel werden gewisse Exponentialmomentenprobleme untersucht und die Ergebnisse werden angewandt.

Über die einseitige Randsteuerung einer schwingenden Saite in einen Zustand minimaler Energie

ZusammenfassungBetrachtet wird das Problem, eine linksseitig eingespannte schwingende Saite durch Steuerung am rechten Rand innerhalb vorgegebener Zeit in einen Zustand minimaler Energie überzuführen. Zunächst wird gezeigt, daß die Lösung dieses Problems gleich der Steuerung ist, die die Saite in minimaler Zeit in die Ruhelage bringt. Sodann wird für optimale Steuerungen mit beschränkter Beschleunigung ein schwaches Bang-Bang-Prinzip hergeleitet und an einem Beispiel demonstriert.AbstractWe consider the problem of steering a vibrating string which is fixed at the left end within a given time into a state of minimal energy by controlling at the right-hand side. First it is shown that the solution of this problem equals the control that transfers the string into rest in minimal time. Second a weak bang-bang-principle for optimal controls having a bounded acceleration is derived, and is demonstrated by an example.

On the controllability of a robot arm

Considered is the rotation of a robot arm or rod in a horizontal plane about an axis through the arms fixed end and driven by a motor whose torque is controlled. The model was derived and investigated computationally by Sakawa and co-authors in [7] for the case that the arm is described as a homogeneous Euler beam. The resulting equation of motion is a partial differential equation of the type of a wave equation which is linear with respect to the state, if the control is fixed, and non-linear with respect to the control. Considered is the problem of steering the beam, within a given time interval, from the position of rest for the angle zero into the position of rest under a certain given angle. At first we show that, for every L 2 -control, there is exactly one (weak) solution of the initial boundary value problem which describes the vibrating system without the end condition. Then we show that the problem of controllability is equivalent to a non-linear moment problem. This, however, is not exactly solvable. Therefore, an iteration method is developed which leads to an approximate solution of sufficient accuracy in two steps. This method is numerically implemented and demonstrated by an example.

On signal processing with sampling errors: a worst case anaylsis

SummaryIn a communication system with sampling errors the worst case is considered where the minimal mean square error for a suitable choice of the transfer function becomes maximal. The transfer functions are allowed to be chosen from the space of all transfer functions of a given finite bandwidth which is a multiple of the Nyquist bandwidth. The problem of maximizing the minimal mean square error is shown to be equivalent to solving a certain linear approximation problem whose solution can be characterized in such a way as to allow for an explicit calculation of it in special cases.

A convolution formula for time-invariant linear communication systems

For every linear and time-invariant time-discrete (communication) system T:l∞ → l∞, formally, the following convolution formula can be derived: (Tf)(n) = Σ h(n - k)f(k), n ∈ Z, f∈ l∞, k∈Z where h = Tδ is the delta impulse response. This paper is concerned with the question under which assumptions linear and time-invariant time-discrete systems T: l∞ → l∞ can be characterized by this formula. For this purpose we derive a convolution formula in a more general situation which also leads to a well-known convolution formula in the time-continuous case.

Ein mathematisches Modell des Informationsbegriffes

Um den Informationsbegriff in seiner Vielschichtigkeit in einem mathematischen Modell zu erfassen, ist es notwendig, ihn auf einige Merkmale zu reduzieren, was darauf hinauslauft, Information in einem begrenzten Kontext zu untersuchen. So geht der amerikanische Mathematiker und Ingenieur Claude Shannon in der von ihm in den Jahren 1947 – 1949 entwickelten mathematischen Informationstheorie (vgl. [2]) von dem Kontext der Nachrichtenubertragung aus. Ein wesentliches Merkmal ist dabei die Zufalligkeit der zu ubertragenden Nachricht. In dieser steckt sozusagen ihre Information, von deren inhaltlicher Bedeutung vollig abgesehen wird. Eine Nachricht ist nichts weiter als eine Zeichenfolge, die aus einem geeigneten Alphabet, bestehend aus endlich vielen Zeichen, gebildet wird. Die Information, die in einer Zeichenfolge enthalten ist, steckt nur in der Zufalligkeit des Auftretens der einzelnen Zeichen. Diese wiederum wird mathematisch beschrieben durch die Wahrscheinlichkeit fur das Auftreten eines Zeichens. Bei der praktischen Umsetzung dieses Begriffes ersetzt man den abstrakten Begriff der mathematischen Wahrscheinlichkeit durch den der relativen Haufigkeit. Kommt z.B. ein Buchstabe eines Alphabets innerhalb eines Textes, der aus N Buchstaben zusammengesetzt ist, n-mal vor, so wird die relative Haufigkeit des Buchstabens gleich dem Quotienten n/N gesetzt und praktisch als Wahrscheinlichkeit fur sein Auftreten angesehen. Die eigentlich mathematische Modellbildung besteht nun darin, auf der Basis der Wahrscheinlichkeiten fur das Auftreten der Zeichen eines Alphabets in einer Zeichenfolge ein Mas fur deren Informationsgehalt zu definieren. Dieses Mas stellt den mittleren Informationsgehalt eines Zeichens dar und ist durch die Wahrscheinlichkeiten des Auftretens aller Zeichen als ein geeigneter Mittelwert eindeutig festgelegt. Diese Art der Definition eines Informationsgehaltes ist fur nachrichtentechnische Zwecke ausreichend; denn bei der Nachrichtenubertragung geht es im technischen Bereich nicht um den Inhalt der Nachricht, sondern um ihre moglichst effiziente Weiterleitung. Dazu sucht man nach einem Ubertragungscode, dessen Alphabet aus leicht ubertragbaren Symbolen besteht, von denen geeignete Kombinationen den Buchstaben des Alphabets, aus welchen die Nachricht gebildet wurde, umkehrbar eindeutig zugeordnet werden konnen derart, das man dabei mit moglichst wenig Symbolen auskommt und den mittleren Informationsgehalt eines Buchstabens des Ausgangsalphabets moglichst ausschopft. Die umkehrbare Eindeutigkeit der Zuordnung soll dabei gewahrleisten, das eine eindeutige Ruckubersetzung der ubertragenen Nachricht in das Ausgangsalphabet moglich ist.

Ein mathematisches Modell für Rüstung

In Abschnitt 6.2.2 haben wir ein einfaches Modell fur Wettrusten als Spezialfall eines allgemeinen Konkurrenzmodells betrachtet. Im Folgenden soll nun ein mathematisches Modell fur Rustung aufgestellt und untersucht werden, bei dem von n ≥ 2 Nationen ausgegangen wird, die paarweise in friedlichen oder feindlichen Wechselbeziehungen stehen und sich durch Aufrechterhaltung von Waffenarsenalen gegen mogliche wechselseitige Angriffe zu schutzen versuchen. Wir nehmen an, das jede Nation die gleiche Anzahl m an Waffengattungen besitzt und fur ihre Sicherheitszwecke einsetzt. Wir bezeichnen fur die i-te Nation (i = 1,..., n) die Gesamtheit ihrer Waffengattungen zum Zeitpunkt t(= 0,..., N) mit dem Zeilenvektor X i (t) = (X i 1(t),..., X im (t)), wobei X ik (t) die Grose der k-ten Waffengattung der Nation i zum Zeitpunkt t ist und als reelle Zahlengrose angenommen wird.

Entscheidungs- und Spielmodelle

Beim Versuch, eine mathematische Entscheidungstheorie zu entwerfen, steht man zunachst einmal vor der Aufgabe einer begrifflichen Klassifikation (vgl. [3]). Entscheidungen konnen von Individuen oder von Gruppen getroffen werden. Das ist keine biologisch-soziologische Einteilung, sondern eine funktionale. Eine Gruppe mit einem einheitlichen Interesse kann theoretisch wie ein Individuum behandelt werden. Treten allerdings Konflikte auf und sind Kompromisse notig, so wird man zwischen Gruppen und Individuen theoretisch unterscheiden mussen.

Ein mathematisches Modell der Hämodialyse

Bei den meisten gebrauchlichen Dialysatoren (d.h. kunstlichen Nieren) wird die Giftentnahme aus dem Blut dadurch bewerkstelligt, das man dieses dem Korper entzieht und an einer Membran vorbeifliesen last, auf deren Gegenseite in entgegengesetzter Richtung (Gegenstrom-Prinzip) die Dialysatorflussigkeit fliest. Dabei finden durch die Membran hindurch in Richtung Blut → Dialysat zwei Prozesse statt. Zum einen diffundiert der Giftstoff aus dem Blut durch die Membran in das Dialysat. Zum anderen wird dem Blut durch Ultrafiltration Wasser entzogen, welches ebenfalls Giftstoff ins Dialysat befordert.