Wolf Hofmann

Über die Konvergenz von Shooting-Verfahren

ZusammenfassungUnter der Voraussetzung der Existenz einer isolierten Lösung der vorgelegten Randwertaufgabe zeigen wir die Konvergenz des Shooting-Verfahrens in Verbindung mit Iterationsmethoden vom Regula-falsi-Typ. Dabei sind nichtlineare, Fréchetdifferenzierbare Randbedingungen zulässig. Die Wirksamkeit des Verfahrens wird durch einige numerische Beispiele belegt.AbstractAssuming the existence of an isolated solution of the given boundary value problem, we show the convergence of the shooting method combined with iteration methods of regula-falsi-type. Nonlinear, Fréchet-differentiable boundary conditions are admissable. The efficiency of the method is demonstrated by several numerical examples.

Die Regula falsi in Banach-Räumen

ZusammenfassungIn Abschnitt 1 werden Eindeutigkeits- und Stabilitätsaussagen für die Regula falsi (RF) aufgestellt. Teil 2 zeigt, wie man mit Hilfe der RF ein gegebenes Problem lösen kann, wenn man eine Lösung eines benachbarten Problems kennt. Schließlich wird in 3. gezeigt, daß die RF Monotonieeigenschaften besitzt, die denen desNewton-Verfahrens überlegen sind: sie ermöglichen Einschließungen der Lösung eines Vorgelegten Problems und garantieren in einem Spezialfall sogar deren Existenz.SummaryAt first this paper presents uniqueness- and stability statements. Furthermore it is shown how to solve a problem with the aid of the Regula falsi using a solution of a neighbouring problem. Finally the paper contains monotonicity principles for the Regula falsi. These are superior to those forNewtons method: they offer the possibility of “bracketing” a solution of a given problem. In a special case they even ensure the existence of a solution.

Monotoniesätze für hyperbolische Anfangswertaufgaben und Einschlieβung von Lösungen

SummarySome hyperbolic differential operators of two dimensions are proved to be of monotone kind (see [2], p. 276), and it is shown how to use this property to enclose solutions of hyperbolic initial value problems by iteration methods with monotonicity properties. The application of the theorems is demonstrated by numerical examples.

Monotonieeigenschaften des Steffensen-Verfahrens

Steffensens method is slightly generalized by introducing a real parameter. In this way one can get different monotonicity properties, depending on the choice of this parameter. These monotonicity statements give the possibility of bracketing the solution of a given problem. In a special case they even ensure the convergence and the existence of a solution. Furthermore there are given sufficient conditions, which show that Steffensens method converges at least as quickly as Newtons method. A numerical example shows the efficiency of the theorems and compares Steffensens and Newtons method.

Shooting Verfahren für Nichtlineare Eigenwertprobleme

A local convergence theorem for shooting methods proved in a foregoing paper of the authors is applied to nonlinear eigenvalue problems. Sufficient conditions for the isolatedness of a solution, the essential convergence condition, are given for three classes of eigenvalueproblems. The efficiency of the method is demonstrated by several numerical examples.

Shooting-Verfahren bei nichtlinearen, autonomen Schwingungen

ZusammenfassungUnter der Voraussetzung der Existenz einer isolierten, periodischen Lösung eines autonomen Systems wird die Konvergenz des Shooting-Verfahrens in Verbindung mit Iterationsverfahren vom Regula-falsi-Typ bewiesen.AbstractAssuming the existence of an isolated periodic solution of an autonomous system we prove the convergence of the shooting method combined with regula-falsi-type methods.