Wolfgang Preuss

Systeme, die sich durch lineare Differenzengleichungen bzw. Differential-Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten beschreiben lassen

Wird bei einem linearen System die Eingangsfunktion f(t) erst nach einer gewissen konstanten Zeit wirksam, so spricht man von einem Totzeitsystem (s. [10]).

Bemerkungen zu linearen Integrodifferentialgleichungen mit koustanten Koeffizienten

Wie der Name Integrodifferentialgleichung schon andeutet, kommen die gesuchte Funktion x(t) und deren Ableitungen in einer solchen Gleichung sowohl auserhalb als auch unter (einfachen oder mehrfachen) Integralzeichen vor. Wir wollen auf die allgemeine Definition dieser Gleichungen verzichten and deren Form nur an einem einfachen Beispiel zeigen.

Systeme, die sich durch lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschreiben lassen

Viele Probleme in Technik and Naturwissenschaft lassen sich durch lineare Dif ferentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschreiben (vgl. [15, II, S. 265]).

Darstellung einiger technischer, technologischer, physikalischer sowie mathematischer Größen Vorgänge durch spezielle Distributionen oder Operatoren

Lassen sich praktische Grosen durch Funktionen f(t) (t kann dabei die Zeit oder auch die eindimensionale Ortsvariable oder eine andere unabhangige Grose sein) beschreiben and wirken these Funktionen nur in extrem kleinen Umgebungen gewisser Stellen t= λ so kann man — wenn der genaue Verlauf von f(t) ohnehin nicht interessiert bzw. nicht genau feststellbar ist — durch Ubergang zu den Distributionen δ(t), δ’(t), δ’(t — λ), δ’(t – λ) (oder zu den entsprechenden Operatoren 1, s, e-λs, s e-λs) oft ubersichtlichere Aufgaben schaffen, die sich i. allg. einfacher and schneller losen lassen. Die folgenden Beispiele beinhalten zunachst einige Moglichkeiten der praktischen Deutung der oben genannten Distributionen (bzw. Operatoren).

Lineare Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten

In der Praxis kommen auch Probleme vor, die sich durch Differentialgleichungen (258) beschreiben lassen, in denen die Koeffizienten a k = ak(t) (k = 0, …, n) nicht mehr konstant, sondern ebenfalls Funktionen von t sind.

Die Distributionen im mehrdimensionalen Fall

Die genannte Distributionentheorie und deren Anwendungen in aller Ausfuhrlichkeit behandeln zu wollen wurde den Rahmen des vorliegenden Buches, das ja fur einen breiten Leserkreis und weniger fur Spezialisten gedacht ist, sprengen. Deshalb kann diese hier nur in komprimierter Form, eben als Anhang, behandelt werden. Auf Beweise und Einzelheiten mus dabei verzichtet werden. Ein groser Teil der im mehrdimensionalen Falle auftauchenden Begriffe wird dem mathematisch etwas tiefer ausgebildeten Leser als Verallgemeinerung entsprechender Begriffe des eindimensionalen Falles ohnehin sofort verstandlich sein. Lesern, die sich fur Einzelheiten, Beweise und ausfuhrliche Anwendungen der Distributionen auf Probleme der mathematischen Physik interessieren, wird insbesondere das Buch [26] empfohlena. Die Schreibweise ƒ = ƒ(x), x = (x1,…, x m ) ∈ ℝm (m = 2, 3,…) bedeutet, das die Funktion ƒ von m unabhangigen reellen Variablen abhangt (m-dimensionaler Fall). Aus praktischer Sicht kann man sich auf m = 2, 3, 4 beschranken, so das die Variablen x i durch die Ortsvariablen x, y bzw. x, y, z oder bei zeitabhangigen Problemen durch t, x oder t, x, y oder t, x, y, z ersetzt werden konnen. Probleme, die von der Zeit abhangen, konnen aber auch so behandelt werden, das t als Parameter aufgefast wird.

Operatoren and Distributionen

Die Mikusinskische Operatorenrechnung stellte keinesfalls einen kronenden Abschlus in der Entwicklung der Operatorenrechnung dar, sondern fuhrte in der Folgezeit eher zu einer sturmischen Weiterentwicklung dieser mathematischen Disziplin. Andererseits hat die Operatorenrechnung, die wegen des algebraischen Auf baus einf acher ist als vergleichbare analytische Methoden, wie etwa die Laplace-Transformation, nicht zu einer Verdrangung dieser eigentlich komplizierteren Methoden aus der technischen Literatur gefuhrt.

Elulges über Funktionen

Bei der Untersuchung linearer Systeme (s. Bild 1), aber auch bei nichtlinearen Systemen, treten einige Funktionen besonders hauf ig auf. Eine insbesondere bei der Behandlung von Einschwingvorgangen wichtige Erregung ist die HeavisidescheEinheitssprung/unktion (O. Heaviside, 1850 bis 1925, englischer Elektrotechniker)\( h(t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0{\text{ }}f\ddot ur{\text{ }}t < 0} \\ {1{\text{ }}f\ddot ur{\text{ }}t \geqq 0} \end{array}} \right. \)(Bild 6). In der Literatur findet man oft auch andere Definitionen von h(t). Diese unterscheiden sich aber von (11) nur durch eine andere Zuordnung des Funktioswertes an der Stelle t = 0.

Lüsungen der Aufgaben

1. a) 0; b) T - λ; c) 2T; d) T - λ; h(t - λ) ist in jedem endlichen Intervall [-T, T] absolut integrierbar.