Wolfgang Zerna

Eine allgemeine Schalentheorie endlicher Verformungen

Aufstellung einer geometrisch nichtlinearen Theorie fur Schalentragwerke beliebiger Geometrien. Die Gleichungen werden in allgemeinen krummlinigen Koordinaten unter Verwendung der Tensorrechnung hergeleitet.

Spannungszustände in Querschnitten

Werden Querschnitte eines Tragers so kleinen Zugspannungen ausgesetzt, das keine Risse auftreten und der Beton in der Zugzone als voll mitwirkend angesehen werden kann, befinden sie sich im Zustand I. Wenn hingegen die Zugfestigkeit des Betons uberschritten wird, demzufolge Risse auftreten und grundsatzlich auf die Mitwirkung des Betons auf Zug verzichtet wird, werden die Querschnitte dem Zustand II zugeordnet.

Spannungen im Zustand I

Wenn im Gebrauchszustand die Zugspannungen die Zugfestigkeit des Betons uberschreiten, treten Risse im Trager auf und die Zugkrafte mussen von Stahleinlagen aufgenommen werden. Es wird die konsequente Annahme getroffen, das Zugspannungen im Beton vollig ausfallen, und es stellt sich der so definierte Zustand II ein, bei dem sich der wirksame Querschnitt aus der Druckzone und den auf Zug beanspruchten Stahleinlagen in der Riszone zusammensetzt. Da er von den Schnittgrosen und den Stahleinlagen abhangt, verandert er sich im Verlauf der Tragerlange und Spannungen aus verschiedenen Beanspruchungsfallen durfen nicht additiv uberlagert werden. In diesem Sinne hat also das Superpositionsgesetz keine Gultigkeit. Es erscheint auch nicht angebracht, die Tragerachse als geometrischen Ort der Schwerpunkte der wirksamen Querschnitte einzufuhren. Vielmehr wird in vereinfachender Weise fur die Ermittlung der Schnittgrosen als Systemlinie der geometrische Ort der Schwerpunkte der unbewehrten vollen, also ungerissenen Betonquerschnitte gewahlt und die Langskraft N und das Biegemoment M auf sie bezogen (Bild 6.1 a). Die Querkraft Q ist naturlich nicht betroffen. Die dadurch bedingten Ungenauigkeiten sind bedeutungslos. Bei einfacher Biegung (keine Langskraft) bleibt die Wahl der Systemlinie uberhaupt ohne jeglichen Einflus.

Grenzzustand der Gebrauchsfähigkeit

Um die Gebrauchsfahigkeit eines Betontragwerks dauerhaft zu sichern, kommt es insbesondere darauf an, mogliche Risse im Beton zu begrenzen. Risse an sich sind allerdings noch nicht schadlich, sofern ihre Risbreite gering ist. Der Korrosionsschutz der Bewehrung, der fur die Dauerhaftigkeit besonders bedeutsam ist, wird im allgemeinen erst bei Risbreiten von mehr als etwa 0,2 bis 0,4 mm — je nach Umweltbedingungen — gefahrdet. Risbreiten, die daruber hinausgehen, mussen jedoch vermieden werden, so das ein Konzept zu entwickeln ist, das die Risbreiten auf ein tolerierbares Mas begrenzt.

Besonderheiten des Formänderungsverhaltens von Trägern

Trager, die Beanspruchungen ausgesetzt sind, erleiden Formanderungen. Sie konnen ausgelost werden durch ausere Krafte, Temperaturveranderungen, Verdrehungen und Verschiebungen der Lager, aber auch durch das Kriechen und Schwinden des Betons. Formanderungen lassen sich durch Betrachtung der Tragerachse kenntlich machen, die sich verbiegt, verdreht oder ihre Lange andern kann.

Spannkraft und Spannweg beim Spannen gegen den erhärteten Beton

Spannbetontrager der hier betrachteten Art werden auf Rustungen hergestellt, die so beschaffen sein mussen, das sie in der Lage sind, die Eigenlast zu tragen. Nachdem der erhartete Beton genugend Festigkeit erreicht hat, konnen die Spannglieder gespannt werden. Wahrend des Spannvorgangs ist dafur zu sorgen, das die Eigenlast des Tragers annahernd in gleichem Mase wirksam wird, wie die Einleitung der Spannkrafte fortschreitet, da voraussetzungsgemas nur beide Beanspruchungsfalle zusammen den gewunschten Spannungszustand ergeben. Durch entsprechendes Absenken der Rustung last sich dieser Effekt erzielen.

Ermittlung von Schnittgrößen

In einem Spannbetontrager sind im allgemeinen mehrere Spannglieder angeordnet. Zur Vereinfachung der Darstellung und der Berechnung ist es in den meisten Fallen erlaubt, den gesamten Spannstahl in seiner Schwerlinie zu einem einzigen Stahlstrang vereinigt anzunehmen, sofern die einzelnen Spannglieder im Querschnitt nahe beieinander angeordnet sind und annahernd gleiche Langen und Krafte aufweisen. Von dieser Moglichkeit wird hier weitgehend Gebrauch gemacht.

Derzeitiger Stand der Schalentheorie

Fur Schalentragwerke endlicher Verformungen werden zunachst die Grundgleichungen sowie Randbedingungen einer nichtlinearen Schubverzerrungstheorie dargestellt. Diese funfparametrige Theorie wird sodann in eine Kirchhoff-Love-Theorie uberfuhrt, deren Grundgleichungen ebenfalls fur den Sonderfall der Linearitat angegeben werden. Daran schliest sich die Operatorformulierung an, welche die Merkmale konsistenter Theorien sichtbar macht. Als Anwendungsbasis finiter Weggrosenmodelle wird abschliesend die inkrementelle Form der nichtlinearen, inneren virtuellen Arbeit angegeben.

Grenzzustand der Tragfähigkeit

Es mus verlangt werden, das ein Bauwerk unter allen vernunftigerweise voraussehbaren Einflussen die Gebrauchslasten mit Sicherheit aufzunehmen in der Lage ist, damit es nicht versagt. Versagen mus nicht Einsturz bedeuten, sondern lediglich, das ein kritischer Zustand erreicht wird. Die Art des Versagens kann auf verschiedene Weise definiert werden, beispielsweise durch Dehnungszustande, durch Risbildungen oder schlieslich durch den Bruchzustand. Auf diese Weise wird dafur gesorgt, das Bauwerke entstehen, die bestimmbare Sicherheiten besitzen.

Spannkraftverluste durch Formänderungseinflüsse

Die zeitabhangigen Formanderungen, Kriechen und Schwinden des Betons sowie moglicherweise vorhandene Stahlrelaxation verursachen Spannungsumlagerungen in den Querschnitten, wodurch die Spannungen in den Stahleinlagen in Mitleidenschaft gezogen werden. Bei Stahlbetontragern hat dies kaum Auswirkungen, bei Spannbetontragern hingegen stellen sich Spannkraftverluste ein, die den Spannungszustand des Tragers erheblich beeinflussen konnen. Die Berechnung dieser Spannkraftverluste ist das Ziel der folgenden Untersuchungen.