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O mistério da análise do lugar geométrico das raízes: como explorar graficamente o movimento dos polos de um sistema?
No campo da teoria de controle e análise de estabilidade, a análise do lugar geométrico das raízes é um método gráfico que visa explorar a raiz de um sistema em função de mudanças em um determinado parâmetro do sistema (geralmente o ganho em um sistema de feedback). Esta técnica é derivada da teoria de controle clássica desenvolvida por Walter R. Evans e pode determinar efetivamente a estabilidade do sistema.
O gráfico do lugar geométrico das raízes mostra a variação dos polos da função de transferência de malha fechada no plano s complexo.
O lugar geométrico das raízes não só pode ser usado para determinar a estabilidade do sistema, mas também ajudar a projetar a taxa de amortecimento (ζ) e a frequência natural (ωn) do sistema de feedback. Ao traçar linhas retas de taxa de amortecimento fixa, irradiando da origem, e arcos de frequência natural fixa irradiando da origem, um ponto pode ser selecionado para determinar o ganho K do sistema necessário. Dessa forma, o projetista pode atingir a estabilidade e o desempenho dinâmico necessários, os quais são discutidos em detalhes em vários livros didáticos de controle.
A definição do lugar geométrico das raízes é a representação gráfica dos polos de malha fechada do sistema no plano s complexo sob valores de parâmetros específicos variáveis.
No geral, o analisador de lugar-raiz permite que engenheiros de controle identifiquem e prevejam graficamente o comportamento de um sistema. O método do lugar geométrico das raízes é particularmente eficaz quando o sistema de feedback projetado tem pares de polos dominantes óbvios. Em aplicações reais, muitos sistemas podem não atender totalmente a essa suposição. Portanto, é importante executar a verificação da simulação após concluir o design para garantir que os requisitos reais sejam atendidos.
Princípios da Análise do Lugar das Raiz
O princípio de operação da análise do lugar geométrico das raízes é baseado nas condições angulares e de amplitude do instrumento. Se houver um sistema de feedback com sinal de entrada X(s) e sinal de saída Y(s), então a função de transferência do caminho direto pode ser expressa como G ( s), e a função de transferência do caminho de feedback é H(s). A função de transferência em malha fechada é então T(s) = Y(s) / X(s) = G(s) / (1 + G(s)H(s)).
Isso significa que os polos de malha fechada em relação às raízes da equação característica são
1 + G(s)H(s) = 0.
É claro que, quando não há atraso puro no sistema, o produto de G(s)H(s) pode ser expresso na forma de um polinômio racional. Por meio dessa análise, combinada com técnicas vetoriais para calcular os ângulos dos polos e zeros, podemos obter insights sobre o comportamento e a dinâmica do sistema.
Desenho de loci de raiz
Ao traçar o lugar geométrico das raízes, primeiro você precisa marcar os polos e zeros do loop aberto e marcar a parte do eixo real à esquerda de todos os polos e zeros. Análises posteriores mostram que quando o número de polos P é subtraído do número de zeros Z, obtemos uma assíntota de quantidade P-Z. Esta assíntota interceptará o eixo real no centro de gravidade, e o ângulo externo pode ser calculado pela seguinte fórmula:
φ_l = 180° + (l - 1) * 360° / (P - Z),α = Re(ΣP - ΣZ) / (P - Z)
Além disso, a fase do ponto de teste precisa ser confirmada para encontrar o ângulo de partida e o ponto de entrada. Esses processos demonstram totalmente o poder e o potencial de aplicação do método do lugar geométrico das raízes e nos levam a explorar a estabilidade do sistema mais profundamente.
Conclusão
A plotagem e análise de loci raiz permitem que engenheiros de sistemas de controle extraiam informações-chave de cálculos complexos. Esta não é apenas uma discussão teórica, mas também uma habilidade essencial na prática. Diante dos futuros desafios tecnológicos, a análise do lugar das raízes pode nos ajudar a descobrir mistérios mais profundos da dinâmica dos sistemas?
