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从心脏到身体表面：ECG背后的数学模型是什么？
在当今医学界，心电图（ECG）是评估心脏健康的重要工具，其背后的数学模型却往往不为人知。探讨心脏的电活动方式，以及如何透过身体表面获得电讯号，是电心电学（Electrocardiology）中的前向问题。一项重要的计算目标是重建一个具有临床意义的ECG，以识别各种心脏病理，如缺血或心脏病发作。
这个建模过程主要结合心脏的电活动模型、电位在躯干内的扩散模型，及其间的耦合条件。为了获得ECG，必须考虑一个数学的电心脏模型，置于一个被动导体中的扩散模型中。这个耦合模型通常以偏微分方程的形式表述，并通常使用有限元素方法进行解决，以期在三维空间中追踪解的演变及时间上的半隐式数值方案。
不过，这样的计算成本尤其在三维模拟的情况下，相当高。因此，通常会考虑一些简化模型，独立解决心脏电活动和躯干的问题。
心脏组织模型
心脏的电活动是由离子跨越细胞膜的流动所引起的，这种流动在心脏肌肉中造成一波兴奋波，协调心脏的收缩，从而使心脏能够将血液推送进入循环系统。心脏电活动的模型因此与微观层面上离子的流动建模有关，并且与宏观层面上兴奋波的传播相连。
早期的心电图（ECG）概念模型主要由Willem Einthoven和Augustus Waller提出，基于一个在固定点周围旋转的偶极子模型，透过导联轴的投影来获取记录。随着研究的进一步深入，旋转心脏偶极子的模型被更复杂的多极源模型所取代。
双域模型
双域模型的基本假设是，心脏组织可以被划分为两个连续的欧姆导电介质——细胞内和细胞外区域。这些区域分别表示细胞组织和细胞之间的空间。尽管在此模型中有一些理论上的不理想性，但它仍能合理地捕捉到与跨膜电位相关的现实生理现象。
这个模型的标准公式概括了心脏的跨膜电位在施加外部电流时的行为。在数学上，它显示出心脏在临床实践中对于电流传递的复杂性。
单域模型
单域模型是双域模型的一种简化形式，专注于跨膜电位的传递，忽略了一些不必要的生理假设，以便在解释主要的生理现象时保持合理性。这种模型虽然简化，但还是能够提供一些在电生理方面的可行解释。
躯干组织模型
在电心电图的前向问题中，躯干通常被视为一种被动导体，其模型可以从马克士威方程在准静态假设下推导而来。该模型的核心是利用广义拉普拉斯方程来描述躯干的电位分布，进而影响心电图的读取结果。
对于一个健康的心脏来说，许多影响因素，如导体的电导率，均会影响最终的ECG结果，这突显了模型准确性的重要性。
在这些各种模型之间，无论是从微观的细胞行为到整体心脏表现的描述，数学模型的发展为临床上提供了必要的数据与认知，帮助医生进行更准确的诊断。然而，简化模型的使用可能会导致与实际情况的偏差，这时是否有其他更有效的方式来平衡计算效率和模型准确性？
