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电路大小与深度的奥秘：什么是计算多项式的最佳方式？
在计算复杂性理论中，算术电路是计算多项式的标准模型。算术电路能够从变数或数字中获取输入，并通过加法或乘法来计算先前计算出的表达式的结果。这种模型使得我们能够形而上地了解计算多项式的复杂性。
电路的基本问题是“怎样以最有效的方式计算给定的多项式？”
一个算术电路由导向无环图所构成，图中的每个入度为零的节点被称为输入闸，并标记为变数或者域中的元素。其他的闸则是加法闸或乘法闸。算术公式是一种电路，每个闸的出度均为一，形成一棵有向树。电路有两个重要的复杂性度量：大小和深度。电路的大小是指闸的数量，而深度则是指在电路中最长的有向路径的长度。
算术电路在计算多项式方面有其自然的方法。输入闸计算其标记的多项式；加法闸计算其子节点所计算出多项式的和，而乘法闸则计算其子节点所计算出的多项式的乘积。以图为例，输入闸依序计算 x1、x2 和 1，加法闸计算 x1 + x2 和 x2 + 1，乘法闸计算 (x1 + x2) x2 (x2 + 1) 的值。
概述
当我们面对一个多项式 f 时，问题在于如何以最好的方式来计算它——例如，计算单位电路的最小大小。这个问题通常由两个部分组成。第一部分是找到一个计算该多项式的电路，称之为上界复杂度；第二部分是证明其他电路不能达到更好的性能，称之为下界复杂度。
尽管这两个任务密切相关，但证明下界通常更具难度，因为需要对所有电路进行同时的讨论。
在此，值得注意的是，我们关心的是多项式的正式计算，而非多项式所定义的函数。例如，考虑二元域的多项式 x2 + x，该多项式在此域上代表零函数，但它并不是零多项式。这是算术电路研究与布林电路研究之间的差异之一，也是一个原因使得布林复杂性更难于算术复杂性。
上界
在计算多项式复杂度的研究中，发现了一些聪明的电路或算法。例如，著名的 Strassen 矩阵乘法算法，使用的电路大小约为 n2.807，相较于简单的 n3，大大降低了复杂度。另一个引人入胜的故事是有关n × n 矩阵的行列式计算，虽然原始的计算方法需要的电路大小为n!，但我们知道可以用多项式大小的电路来计算行列式，虽然该电路的深度是线性与n。
与此同时，关于 n × n 矩阵的常数电路 (permanent)，为了计算其大小也存在类似的挑战，最佳电路的大小约为 2n。
下界
在证明下界的方面，我们目前的知识非常有限。例如，计算很大度数的多项式通常需要大的电路；例如，度数为 2^2n 的多项式需要的电路大小约为 2n。主要的问题便在于对于小度数的多项式证明下界，尤其是多项式大小的 n。
当前的主要开放问题是，找到一个明确的多项式，使其被计算所需的电路大小超过多项式级别。
代数 P 与 NP
在计算复杂性理论中，最有趣的开放问题是 P 与 NP 问题。约略来说，这个问题在于确定一个问题的解是否能够和证明解的存在一样容易。 Valiant 提出了 VP 与 VNP 问题的代数类比，这涉及到多项式大小与电路大小的关系。
深度简化
对于我们了解多项式计算的一个重要基准是 Valiant、Skyum、Berkowitz 和 Rackoff 的研究。他们表明，如果一个度数为 r 的多项式拥有大小为 s 的电路，则该多项式也拥有大小为多项式 r 与 s 的电路。
这一结果在布林设定下的类似结果被认为是错误的。此结果的推论之一是，对有关多项式的电路的模拟，这是相对较小的公式；在这种情况下，一个度数为r 的多项式拥有大小s 的电路则需要的公式的大小为s^ (O(log(r)))。
总结
算术电路的设计、大小及深度等，都是计算多项式的关键要素，研究这些要素不仅是数学理论上的挑战，还与实际应用紧密相连。在这些复杂的计算中，是否能够找到更高效的方法来解决更大型的问题，将是未来研究的方向之一？
