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行列式计算的秘密：如何用多项式电路巧妙地求解？
在计算复杂度理论中，算术电路被视为计算多项式的标准模型。基本来说，算术电路的功能是接收变数或数字作为输入，然后可进行加法或乘法运算。这种模型提供了一种正式的方法来理解计算多项式的复杂度。那么，如何有效地计算一个给定的多项式呢？这成为了研究的核心问题之一。
算术电路是一种有向无环图，每个输入闸的入度为零，并标记为变数或场元素。其他闸则标记为加法闸或乘法闸。每个电路都有两种复杂性度量：大小和深度。电路的大小是指其中的闸数，而电路的深度则是指其中的最长有向路径的长度。
算术电路通过自然的方式计算多项式，输入闸计算其标记的多项式，而加法闸计算其子节点的多项式之和，乘法闸则计算子节点多项式的乘积。
上界分析
在多项式计算复杂度的研究中，已经发现一些巧妙的电路和算法。一个著名的例子是 Strassen 的矩阵乘法算法。通常计算两个 n × n 矩阵的乘积需要大小约 n³ 的电路，但 Strassen 证明可以使用大约 n².807 大小的电路来进行计算。
计算 n × n 矩阵的行列式同样是一个有趣的故事。纯粹的方法需要大小约 n! 的电路，但我们知道可以用多项式大小的电路来计算行列式，这些电路的深度则是线性的。但 Berkowitz 提出了一种改进，使得电路的大小仍为多项式，但深度却限制在 O(log²(n))。
然而，对于一个 n × n 矩阵的永久，最好的已知电路大小约为 2^n，这是 Ryser 定理所提供的深度三电路。
下界挑战
有关证明下界的知识非常有限，尤其是对于小度数的多项式。举例来说，计算非常高程度的多项式需要大电路，而我们的主要目标是对小度数的多项式证明下界。一个主要的开放问题是找出一个多项式度数小但需要超多项式大小电路的明确例子。
尽管计数论证告诉我们一些小度数的多项式也可能需要超多项式大小的电路，但是这些结果通常无法加深我们对计算过程的理解。
例如，目前为止的下界仅能达到 Ω(n log d) 的规模，这主要体现在了 Strassen 及 Baur 和 Strassen 的工作中。
代数 P 与 NP 问题
在计算复杂度理论中最引人关注的开放问题是 P vs. NP 问题。而 Valiant 提出的代数类比问题 VP vs. VNP 就是其中之一。VP 是多项式度数原理的类比，而 VNP 则可以被视为一种类似于 NP 的问题。Valiant 证明了永久多项式是 VNP 类的完备性多项式，因此若想证明 VP 不等于 VNP，则需证明永久多项式并不存在多项式大小的电路。
深度降低的意义
在我们理解多项式计算的过程中，Valiant 和其他学者的研究提供了重要的参考。他们表明，如果一个多项式有大小为 s 的电路，那么其深度也可以缩减到 O(log(r) log(s))，这为其他类似问题的解决提供了参考性指导。
这一结果不仅扩展了 Berkowitz 的电路方法，还有助于我们更好地理解多项式的计算。
在这个快速变化的时代，我们是否能找到新的方法来深入了解电路计算的结构和复杂性，以应对未来计算需求的挑战呢？
