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你知道嗎？皮埃爾·德·費馬的技術如何改變極值問題的解決方式？
在數學分析中，函數的最大值和最小值，也就是所謂的極值（extrema），是每個數學家與科學家都需要觸及的基本概念。這些極值不僅存在於一個確定的範圍內（或稱局部極值），也可以在整個定義域內（或稱全域極值）被定義。皮埃爾·德·費馬，這位17世紀的數學大師，提出了一種名為等量法（adequality）的技術，這項技術不僅為查找函數的極值提供了全新的思考方式，還為後來的數學發展樹立了基石。
德·費馬的技術改變了極值問題的解決方式，至今仍影響著數學的各個領域。
在數學的世界裡，若函數 f 在其定義域 X 中的某一點 x*上達到全域最大值，即 f(x*) 必然大於或等於 X 中其他所有 x 的函數值。而同理可言，若在某一點 x*上達到全域最小值，則 f(x*) 必然小於或等於所有其他 x 的值。這是數學中的基本定義，但在當代數學中，對於極值的獲取與理解，德·費馬的貢獻無疑是的重大的一環。
當談及數學優化（mathematical optimization）時，尋找全域極值的過程相當關鍵。對於連續函數而言，極值定理（extreme value theorem）指出，如果一個函數在一個封閉區間上是連續的，那麼就一定存在全域最大值和最小值。這一發現讓人們掌握了在何種情況下可以找到極值，從而大大簡化了極值問題的解決過程。
尋找全域最大值或最小值的過程中，我們可以首先考慮內部的所有局部極值，再觀察邊界上的極值，最終選取其中的最大者或最小者。
對於可微函數，德·費馬定理指出局部極值必然出現在臨界點（critical points），即導數為零的點。然而，並非所有這些臨界點都是極值點。數學家們常用一次導數測試和二次導數測試來判別臨界點的性質，這一技術是承襲自德·費馬的思維方式，並在後世得到廣泛的應用。
舉個具體的例子，假設一個人擁有200英尺的圍欄，並希望最大化圍成的矩形面積。可以利用簡單的代數操作，得出最佳的長度和寬度，進而計算出最大面積。這種實際應用充分體現了極值理論不僅限於抽象的數學，更在日常生活與科學研究中扮演著重要角色。
進一步的，對於多變數函數來說，情況則要複雜許多。每一個局部最大值的條件與一維情況類似，但隨著維度的增加，必須引入一系列新的測試來確定全域極值。在這裡，德·費馬的思維再次顯示了其深遠的影響力。
如果多變數的函數有一個唯一的臨界點且是局部最小值，則在合適的條件下，它也必然是全域最小值。
在這種情況下，一些函數的特性顯得尤為重要。例如，對於一個在實數範圍內的可微分函數，如果具有單一的臨界點，那麼這個點必然是全局的最小值，這利用了中值定理和羅爾定理的論證。然而在多維情況下，這一論證並不成立，能造成多重極小值的情況並不少見。
當 我們再將眼光轉向函數的極值在集合中的應用時，可以發現最大的元素或最小的元素在有序集合中存在著不可或缺的意義。透過數學中的這種運用，集合的最大值與最小值可以被快速計算並廣泛應用於數據庫當中。這進一步彰顯了德·費馬技術對於數學的深遠影響。
時至今日，德·費馬的極值理論不僅仍在數學界傳承，還激勵了數學思考的深化與方法的革新。他的技術在數學優化、計算分析及統計學等領域的廣泛應用，至今未有過時的跡象。那麼，學習與理解德·費馬的思想，是否能讓我們在日後的數學探索中，找到更多尚未被解開的奧秘呢？
