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函數極值的神秘：如何找出數學中的最高和最低點？
在數學分析中，函數的極大值和極小值分別是函數所取的最大值和最小值。這些通常被稱為極值，能在給定範圍內（局部或相對極值）或整個定義域（全局或絕對極值）中定義。著名的數學家皮埃爾·德·費馬（Pierre de Fermat）是第一位提出了一種通用技術的數學家，這項技術被稱為“等量”技術，用來尋找函數的極大值和極小值。
所謂全局最大值點，當且僅當在定義域內，函數在該點的取值大於或等於其餘所有點的取值。
在集合論中，最大值和最小值是相應集合中的最大元素和最小元素。在統計學中，對應的概念是樣本的極大值和極小值。
極值的定義
當一個實值函數 f 定義於一個範圍 X 時，若全局（或絕對）最大值點 x* 滿足 f(x*) ≥ f(x) 對於 X 中所有的 x，則稱 f 在該點達到全局最大值；同理，若 f(x*) ≤ f(x) 則 x* 為全局最小值點。此處，函數在最大值點的值被稱為函數的最大值，函數在最小值點的值則稱為最小值。
即：在度量空間內，如果某一點是全局最大值，則不存在其他點的取值大於此點的取值。
在度量或拓撲空間中，局部最大值點的定義與全局情況相似：若存在某個 ε > 0，使得在 x* 附近的所有 x 皆滿足 f(x*) ≥ f(x)，則 x* 為局部最大值點；局部最小值點則相對應。
尋找極值
尋找全局最大值和最小值的動機正是數學優化的目標。根據極值定理，若一函數在封閉區間內連續，則必定存在全局的最大值和最小值。此外，全局最大值或最小值必須是定義域內的局部最大值或最小值，或者在定義域的邊界上。
尋找全局最大值或最小值的一種方法是檢查所有內部的局部極值以及邊界的值，並選擇最大小值。
對於可微分的函數，費馬定理指出，在定義域內的局部極值必須發生在臨界點。儘管並非所有的臨界點都必為極值，透過一階導數檢驗、二階導數檢驗或更高階的導數檢驗，我們通常可以判別臨界點是否為局部最大值或最小值。
例子
假設有一個150米的圍欄，試圖最大化一個矩形圍欄的區域，我們可以設置變量 x 為長度，y 為寬度，透過建立方程式：2x + 2y = 200，推導出區域函數 A = xy。通過界定導數並尋找臨界點，我們可以找到此矩形的最優面積安排。
對於此情景可得知，在200米圍欄的限制下，最大的矩形區域可達到2500平方英尺。
多變量函數的極值
對於有多於一個變量的函數，尋找局部極值的必要條件相似。若針對變量 z 的一階偏導函數於最大點為零，且二階偏導數為負值，則可標明該點為局部最大值。然而，對於多維度的函數，全局極值的標定更加複雜。在多於一個變量的情況下，某些條件的成功應用仍需額外的驗證，例如該函數必須在定義域內全域可微分。
舉例而言，函數 f(x,y) = x² + y²(1 - x)³ 的唯一臨界點在(0,0)，這是一個局部最小值，但並非全局最小值，因為 f(2,3) = -5。
極值和集合的關係
極值的概念也可以應用於集合中。若有一已排序集合 S，最大元素 m 被稱為最大元素。同樣，若 S 是某已排序集合 T 的子集，則 m 為 S 在 T 中的最小上界。這些概念在數據庫中被廣泛使用，因為計算一組數字的最大值或最小值通常具有優化的實現效率。
結語
極值理論不僅在數學領域中占有重要地位，還在實際應用中扮演著關鍵角色。了解如何尋找和識別函數的極大值和極小值，無疑賦予了我們工具，以更好地解決各類問題。你是否曾想過，在未來的數學探索中，隱藏著哪些尚未被發現的極值呢？
