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從哈爾丹相到拓撲絕緣體：SPT序的神秘世界是如何崛起的？
隨著量子物理研究的深入，科學家們對物質的理解也變得更加精細。特別是對於零溫度量子態的性質，其中一個新興概念便是對稱保護拓撲（Symmetry-Protected Topological, SPT）序。這一概念的興起，使得物質的分類在量子物理的世界中開創了一個嶄新的視野。
SPT序是一種在有對稱性及有限能隙的量子態下的秩序，具備獨特的物理特性。
SPT序的定義中包含兩個主要特徵。一方面，具有相同對稱性的不同SPT態無法在不發生相變的情況下進行平滑變形；另一方面，若在變形過程中破壞了對稱性，那麼這些態可以無相變地變形為相同的恣意產品態。這使得SPT序不僅能存在於玻色子系統，還能在費米子系統中找到其身影，形成玻色子SPT序和費米子SPT序的概念。
在此背景下，有學者將量子糾纏的概念引入其解釋中，指稱SPT態為具有對稱性的短程糾纏態。這與長程糾纏的拓撲序相對立，後者則與著名的EPR悖論並無關聯。
SPT序的特徵屬性
非平凡的SPT狀態其邊界有效理論總會存在純量子異常或混合的重力異常，這也賦予了它們在任何形式的樣本邊界下均為無隙或退化的特性。特別的是，對於非平凡的SPT狀態來說，不能形成一個無隙的非退化邊界。
如果邊界是一個無隙的退化狀態，那麼這種退化可能是由自發對稱破缺和/或內在的拓撲序造成的。
例如，在非平凡的2+1維SPT態中，單調瑕疵攜帶著非平凡的統計學及對稱群的分數量子數。這一點顯示出SPT序的邊界與內部的拓撲性質之間的深刻聯繫。
SPT序與內在拓撲序的關係
SPT態是短程糾纏的，而內在拓撲序則是長程糾纏的。雖然這兩者有時候都可以保護無隙邊界激發態，但兩者的穩定性來源有所不同。內在拓撲序中的無隙邊界激發態對任何局部擾動是穩定的，而SPT序中的無隙邊界激發態僅對那些不破壞對稱性的局部擾動保持穩定。
SPT序中無隙邊界激發態是受對稱性保護的，而內在拓撲序則是拓撲上受到保護的。
SPT序的興起不僅僅是理論上的突破，還激發了對許多新量子態的預測。特別是玻色子拓撲絕緣體及拓撲超導體的研究，使得SPT序成為現代凝聚態物理中的一個活躍領域。
SPT相的群上同調理論
當量子態在零溫度下被劃分時，SPT相的動態失去了自發對稱性，導致了與群上同調理論的深刻關聯。研究者們發現，這些( d + 1 )維SPT狀態可以通過群上同調來進行分類。
對於擁有純量子異常邊界的玻色子SPT相，這些相可以通過下述群同調類別來標定：
H^{d+1}[G,U(1)]
這使得科學界能夠透過數學工具深入瞭解各種SPT相的特性，從而對1D、2D及更高維度的量子態進行精確分類。
一維有互動的量子相的完整分類
在探索SPT序的過程中，研究者們發現1D系統中並不存在內在拓撲序，所有的1D緊湊量子態都是短程糾纏的。根據這一發現，當哈密頓值沒有對稱性時，這些量子態歸類為恣意產品狀態。
若哈密頓具有對稱性，則1D凝聚態的量子相可以是對稱破壞相、SPT相或它們的混合狀態。這一新的理解使得我們能夠更系統地分類所有的一維緊湊量子相。
面對SPT序的各種特性和相關知識的拓展，未來在這一領域的研究將持續進行。那麼，SPT序是否將成為揭開更多未知量子世界的鑰匙呢？
