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從心臟到身體表面：ECG背後的數學模型是什麼？
在當今醫學界，心電圖（ECG）是評估心臟健康的重要工具，其背後的數學模型卻往往不為人知。探討心臟的電活動方式，以及如何透過身體表面獲得電訊號，是電心電學（Electrocardiology）中的前向問題。一項重要的計算目標是重建一個具有臨床意義的ECG，以識別各種心臟病理，如缺血或心臟病發作。
這個建模過程主要結合心臟的電活動模型、電位在軀幹內的擴散模型，及其間的耦合條件。為了獲得ECG，必須考慮一個數學的電心臟模型，置於一個被動導體中的擴散模型中。這個耦合模型通常以偏微分方程的形式表述，並通常使用有限元素方法進行解決，以期在三維空間中追蹤解的演變及時間上的半隱式數值方案。
不過，這樣的計算成本尤其在三維模擬的情況下，相當高。因此，通常會考慮一些簡化模型，獨立解決心臟電活動和軀幹的問題。
心臟組織模型
心臟的電活動是由離子跨越細胞膜的流動所引起的，這種流動在心臟肌肉中造成一波興奮波，協調心臟的收縮，從而使心臟能夠將血液推送進入循環系統。心臟電活動的模型因此與微觀層面上離子的流動建模有關，並且與宏觀層面上興奮波的傳播相連。
早期的心電圖（ECG）概念模型主要由Willem Einthoven和Augustus Waller提出，基於一個在固定點周圍旋轉的偶極子模型，透過導聯軸的投影來獲取記錄。隨著研究的進一步深入，旋轉心臟偶極子的模型被更複雜的多極源模型所取代。
雙域模型
雙域模型的基本假設是，心臟組織可以被劃分為兩個連續的欧姆導電介質——細胞內和細胞外區域。這些區域分別表示細胞組織和细胞之間的空間。儘管在此模型中有一些理論上的不理想性，但它仍能合理地捕捉到與跨膜電位相關的現實生理現象。
這個模型的標準公式概括了心臟的跨膜電位在施加外部電流時的行為。在數學上，它顯示出心臟在臨床實踐中對於電流傳遞的複雜性。
單域模型
單域模型是雙域模型的一種簡化形式，專注於跨膜電位的傳遞，忽略了一些不必要的生理假設，以便在解釋主要的生理現象時保持合理性。這種模型雖然簡化，但還是能夠提供一些在電生理方面的可行解釋。
軀幹組織模型
在電心電圖的前向問題中，軀幹通常被視為一種被動導體，其模型可以從馬克士威方程在準靜態假設下推導而來。該模型的核心是利用廣義拉普拉斯方程來描述軀幹的電位分佈，進而影響心電圖的讀取結果。
對於一個健康的心臟來說，許多影響因素，如導體的電導率，均會影響最終的ECG結果，這突顯了模型準確性的重要性。
在這些各種模型之間，無論是從微觀的細胞行為到整體心臟表現的描述，數學模型的發展為臨床上提供了必要的數據與認知，幫助醫生進行更準確的診斷。然而，簡化模型的使用可能會導致與實際情況的偏差，這時是否有其他更有效的方式來平衡計算效率和模型準確性？
