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從波動方程到複數坐標：完美匹配層如何徹底改變數值模擬？
在數值模擬的領域，完美匹配層（PML）的應用無疑是一次重要的技術突破。這種人造吸收層專為波動方程設計，旨在模擬具有開放邊界的問題，特別是在時域有限差分法（FDTD）和有限元素法（FE）中發揮了重要作用。
PML 之所以與普通吸收材料區別開來，是因為它的設計目的是讓從非PML介質入射到 PML 的波不會在界面上反射。
1994年，Berenger首創了完美匹配層的理念，原本針對的是馬克士威方程。隨著時間推移，該技術被不斷重構，適用於多種波動方程，包括彈性動力學、線性歐拉方程、亥姆霍茲方程和孔隙彈性等。Berenger 的原始公式化稱為分裂場 PML，這意味著在 PML 區域內將電磁場分裂為兩個非物理場。而後來的單軸 PML（UPML）則因其簡易性和效率而受到廣泛採用。
UPML 將 PML 描述為一種人造各向異性吸收材料。
這些不同的表述最終都可以歸結為一種更為優雅且一般化的方法：複數坐標的伸縮變換。這種觀點讓PML的派生能夠涵蓋不均質介質，例如波導，以及其他坐標系和波動方程。
技術描述
為了一個向右傳播的波來設計 PML，波動方程中的某項變數移除，轉化為 ∂/∂x → 1/(1 + iσ(x)/ω) * ∂/∂x，其中ω是角頻率，σ為某個x的函數。這樣做的目的是為了在σ為正時，降低波的傳播幅度，從而使其在接觸 PML 時不再反射，而是以指數衰減的方式消失。
這種轉換使得每當x依賴的形式為
e^ikx時，都會導致波的衰減。
這種坐標變換可以保留在變換後的波動方程中，或與材料描述結合以形成UPML描述。PML的吸收係數σ通常是頻率依賴的，這意味著不同頻率的波會受到不同程度的吸收。
完美匹配層的限制
儘管 PML 在計算電磁學中被廣泛應用且成為吸收邊界技術的首選，它仍存在一些限制。在某些重要情況下，PML 可能無法有效工作，並導致無法避免的反射或指數增長。在計算機上離散波動方程後，會出現小幅度的數值反射，這是由於PML的設計只能針對精確的連續波動方程起效。
PML 輸出通常需逐漸開啟，其吸收係數σ通常會從零緩慢提升，以降低不必要的數值反射。
另一個值得注意的限制是當材料顯現出“向後波”解時，PML的表現也會受到衝擊。在一些負的折射率材料中，會出現不穩定情況，導致指數增長。雖然可以透過翻轉σ的符號來解決此問題，但如果材料本身是頻率依賴的，事情會變得更加複雜。
未來的探索
作為一項技術，完美匹配層以其獨特的方式重塑了數值模擬的邊界條件。然而，隨著科技的進步，我們仍需探討和改進其在特殊情況下的應用，尤其是在處理複雜媒介和非均質結構時。這是否意味著PML的發展潛力尚未被完全發掘？
