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神秘的哈密頓循環：為何它在平面圖中如此特別？
在數學的圖論領域中，哈密頓路徑（又稱可追蹤路徑）是一條在無向或有向圖中恰好訪問每個頂點一次的路徑，而哈密頓循環（或哈密頓圓路）則是一個循環，恰好訪問每個頂點一次。與哈密頓路徑及循環相關的計算問題被認為是NP完全問題，意味著沒有已知的多項式時間算法可以解決這些問題。哈密頓路徑和循環以威廉·羅萬·哈密頓的名字命名，他發明了一種稱為icosian遊戲的拼圖遊戲，涉及在十二面體的邊圖中尋找哈密頓循環。
哈密頓的解法使用了icosian計算，這是一種基於單位根的代數結構，與四元數有很多相似之處。
值得注意的是，哈密頓的解法並不適用於任意圖。實際上，早在哈密頓之前，托馬斯·柯克曼已經對多面體中的哈密頓循環進行過研究，並且給出了沒有哈密頓循環的多面體的例子。此外，更早的9世紀時期，印度數學家盧德拉塔和伊斯蘭數學家阿爾-阿德利·阿爾-魯米亦曾探討過在棋盤上的騎士圖中的哈密頓路徑。
哈密頓概念的定義
哈密頓路徑是訪問圖中每個頂點恰好一次的路徑，而存在哈密頓路徑的圖稱為可追蹤圖。與此同時如果一個圖包含哈密頓循環，則稱之為哈密頓圖。哈密頓連通的圖是指對於每對頂點之間存在哈密頓路徑的圖。
哈密頓循環和路徑的存在性問題在很大程度上影響了許多圖的性質。
有趣的例子與性質
許多圖的結構都有助於理解哈密頓循環的存在。舉例如下：
- 任何超過兩個頂點的完全圖都是哈密頓的。
- 每個循環圖也是哈密頓的。
- 每個錦標賽賽事都有奇數條哈密頓路徑。
這些特性不僅限於完全圖和循環圖，這意味著在探討其他圖的特性時，哈密頓相關性質可以提供更深入的見解。
哈密頓循環的存在性定理
1972年，邦迪-查瓦塔爾定理為哈密頓圖的最佳頂點度數特徵提供了新的見解。該定理概括了早期G.A.迪拉克和烏斯丁·奧雷的結果。這些定理指向一個核心觀點：如果一個圖擁有足夠的邊，它就有可能是哈密頓的。
哈密頓循環的存在性問題隨著研究的深入，與圖的邊數、圖的密度和其他多個參數息息相關。
平面圖中的哈密頓循環
平面圖的哈密頓循環是另一個引人注目的研究領域。哈密頓環的存在與一個圖的構造密切相連，特別是在考量圖的形狀與邊的排布時。在許多情況下，即使是一個看似簡單的平面圖，仍可能具有複雜的哈密頓性質，這使得對平面上圖的研究變得特別吸引人。
哈密頓循環多項式的相關性
在權重有向圖中，哈密頓循環多項式是一種代數表示，用於描述該圖中所有哈密頓循環的權重。這種多項式的計算複雜性與其他數學對比問題密切相關，提供了更深入的視角，讓我們了解到哈密頓循環的存在性如何影響計算效率。
思考與展望
隨著數學和計算技術的不斷進步，對於哈密頓循環的研究也將不斷深入，揭示更複雜的數學結構及其在現實世界中的應用。至此，我們不禁要問，未來哈密頓循環的研究將如何推動其他數學領域的發展？
