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為什麼加更多變數會讓 R² 增加，但不代表模型變得更好？
在統計學中，R²（決定係數）是衡量迴歸模型預測能力的重要指標。它表示依賴變數中可解釋變異的比例，理論上看，增加更多的變數應該能提供更好的預測，進而提升 R² 的值。然而，現實情況卻更為複雜，僅僅增加變數並不保證模型的提升，這引發了學術界廣泛的討論。
對於許多分析者來說，盲目追求更高 R² 值的誘惑是相當強烈的，但這可能會導致模型的過擬合。
R²的意義與限制
首先，R²的計算基於模型預測值與實際觀察值之間的關係。當增加變數時，模型往往能夠更好地適應數據，從而提高 R²。但是，這樣的提升未必意味著模型的真實預測能力有所改善。
增加變數的最大風險在於過擬合，這意味著模型過於複雜，以致於它不僅捕捉到了數據中的信號，還捕捉到了隨機噪聲。例如，在預測汽車銷量的模型中，加入與車款名稱首字母或設計工程師身高等無關的變量，可能會導致模型看似更精確，卻無法對未來數據進行有效預測。
在許多情況下，模型的過擬合可能導致預測的可靠性大打折扣，雖然 R² 可能會因此提高。
調整後的 R²
為了解決這一問題，學者們提出了調整 R² 值。調整後的 R² 考慮到了模型中的變量數，當增加無用變量時，調整 R² 會降低，這有助於防止過擬合並提供一個更可靠的模型評估。
例如，假設一個模型的 R² 為 0.85，這看似是相當出色的。然而，如果我們添加一個與結果無關的變量，而 R² 僅提升到 0.87，意味著該變量並沒有實質上提高模型的預測能力，反而可能使模型變得更加冗長，降低了實際的應用價值。
正確地理解和使用 R² 是統計分析中非常重要的一部分，因為這不僅影響模型的有效性，還可能對決策制定帶來深遠的影響。
模型評估的全貌
除了 R² 和調整後的 R²，還有其他多種指標可以用來評估模型的表現。例如，均方誤差（MSE）和均絕對誤差（MAE）提供了不同的觀點來衡量預測值的準確性，這些指標同樣值得分析者的重視。
R² 的提升並不意味著模型的質量自動提高。良好的模型應該考量變量的顯著性、模型的簡潔性及其對未來數據的預測能力。僅僅追求高 R² 值而忽視這些因素，最終可能使分析者陷入誤區。
結語
在進行數據分析和建構模型時，我們應該如何平衡 R² 的提升與模型的實用性和可靠性，以避免陷入過擬合的陷阱呢？
