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為何 R² 會超過 1 或低於 0？這背後隱藏的數學邏輯！
在統計學中，R平方（R²）是一個廣泛應用的指標，用於評估回歸模型的預測力。R²的基本概念就是説明變數如何有效地解釋應變數的變異。然而，令人困惑的是，我們經常看到一些情況，R²會超過1或低於0，因此需要深入探討這背後的數學邏輯。
R²是一種測量模型擬合度的指標，理想狀況下應在0到1之間。當這一指標不符合此範圍時，通常暗示著模型存在問題。
R²的基本解釋
根據定義，R²是可解釋的變異比例。當模型擬合的非常好時，R²接近1，顯示模型能夠極好地預測應變數的結果。而如果R²為0，則意味著模型無法解釋變異，與平均值的預測表現相同。
為何R²會小於0
在特定情況下，R²可能會小於0。這通常發生於預測結果相較於觀察結果更糟的情況。例如，當采用的模型並未正確擬合數據，或者未包含截距項時，就可能出現這種情況。這時候，R²呈現負值，意味著模型擬合的預測結果並不如使用數據的平均值來預測效果好。
當R²小於0時，這表示所選擇的模型可能是不合適的，甚至模型簡單的預測——如使用平均值，可能更具預測能力。
R²為何會超過1
R²超過1的情況稍微罕見，但在某些模型的應用中會發生。這主要與所選用的擬合方法和模型的複雜性有關。例如，當使用不正確的計算方式或不當地應用限制條件時，模型的R²可能結果超出預期的範圍。這常常是因為選擇了錯誤的數學模型，或者錯誤的假設導致的結果。
增量效應和模型過擬合
隨著模型中包含的變數越來越多，R²往往不會下降，這使得許多模型可能呈現出過擬合的情況。這就是為何在增加變數時R²可能看似改善，但其實可能並未增加實際預測能力。為了避免這種現象，使用調整後的R²是一個理想的選擇，它對模型中變數的數量進行了調整，從而使評估更加嚴謹。
調整後的R²考慮了變數的數量，因此在以後添加變數時，能夠更好地反映模型的真正預測能力。
如何妥善解讀R²
R²可用於比較不同模型的性能，然而僅僅依賴這個單一指標來進行決策是不夠的。不同模型的背景、數據的性質和其他統計檢驗都應綜合考量。例如，即使R²值很高，我們仍然要糾正可能存在的模型假設錯誤，從而避免誤導性的結論。
結論
R²在模型建構中是一個非常有價值的工具，但必須謹慎解讀其值。在某些情況下，這個指標可能超出了常規範圍，因此需要進一步考量背後的原因和數據特性。我們該如何正確地利用和理解這些統計指標，來建立出更為準確的模型呢?
