aa r X i v : . [ m a t h . HO ] J a n ARITM´ETICA
JOEL TORRES DEL VALLE
En memoria de Cata... ´Indice
Introducci´on 11. El modelo est´andar 31.1. La Aritm´etica de Peano, PA 42. Incompletitud 62.1. Numeraci´on de G¨odel 73. Modelos no-est´andar de la Aritm´etica 93.1. Existencia de Modelos no-est´andar 93.2. Z -cadenas 104. El Principio combinatorio de Paris-Harrington, PH 114.1. Teoremas de Ramsey para particiones. 114.2. Paris-Harrington 135. La independencia de PH en PA 165.1. Refinamientos 18Referencias 19 Introducci´on
Durante mucho tiempo existi´o la pretensi´on de concebir las matem´aticas como una idealizaci´ondel mundo palpable, y proceder sobre ellas como se har´ıa entre objetos del mundo real. A finalesdel siglo XIX comenz´o la aparici´on de paradojas en la joven Teor´ıa de Conjuntos del matem´aticoruso Georg Cantor (1845-1918) y, de esta manera, las matem´aticas, que ostentaban el t´ıtulo nomeritorio de un ciencia exacta , comenz´o a desvanecerse. Se observ´o, pues, que el bello edificio seencontraba parado sobre arenas movedizas y se tambaleaba, al son del viento m´as ligero.Comenz´o entonces un programa de fundamentaci´on de las matem´aticas, con el cual se pretend´ıala construcci´on de cimientos s´olidos sobre los cuales parar el edificio matem´atico. De las diversascorrientes de Filosof´ıa matem´atica que abordaron el problema, podemos se˜nalar al
Formalismo .El programa formalista estuvo principalmente impulsado por el matem´atico alem´an David Hilbert(1862-1943), y su requerimiento final era una prueba de la no contradicci´on de las matem´aticas.Por supuesto, damos por descontado, el sue˜no de la completitud de los sistemas formales sobrelos cuales se fundamentar´ıan las matem´aticas. Para David Hilbert, la l´ogica y las matem´aticasson teor´ıas de forma y no de sentido [2], [3]. Es decir, todas las pruebas se deb´ıan llevar a cabomediante reglas fijas sobre el manejo de s´ımbolos, sin tener en cuenta en ning´un momento elsignificado de los mismos . Pensamiento que queda en claro cuando este dice: la matem´atica es unjuego con reglas muy sencillas, que dejan marcas sin significado sobre el papel.
El af´an por una prueba de la no contradicci´on viene luego de que a partir los trabajos de GottlobFrege (1848-1925),
Begriffschrift, a formula language, modeled upon that of arithmetic, for purethought (University of Jena, 1879) se pudiera deducir la paradoja de Russell, que en la simbolog´ıade Peano podr´ıa expresarse como w = cls ∩ x (cid:127) ( x ∼ ǫx ) . ⊃ : w ∈ w. = .w ∼ ǫw. a cual, en palabras del propio Russell, corresponde a: Let w be the predicate: to be a predicatethat cannot be predicated of itself. Can w be a predicated of itself? From each answer its oppositefollows. Therefore we must conclude that w is not a predicate. Likewise there is no class (asa totality) of those classes which, each taken as a totality, do not belong to themselves. Y nopuedo dejar pasar, por supuesto, la altura con que Frege asume la aterradora noticia de que sutrabajo permit´ıa la aparici´on de paradojas y, lleno de humildad cientifica, a˜nade una nota alsegundo volumen de su trabajo
Die Grundlagen der Arithmetik (University of Jena, 1884) que seencontraba ya en imprenta, en la que comenta respecto al descubriemiento de Russell en el primervolumen de su trabajo.En el a˜no 1910 aparece el primer volumen de
Principia Mathematica , en el que Bertrand Russell(1972-1970) y Alfred North Whitehead (1861-1947), construyen gran parte de las matem´aticas sinparadojas ni contradicciones aparentes. Quedaba entonces la cuesti´on de si el sistema resultabacompleto, habida cuenta que todo parec´ıa indicar la consistencia. Los primeros pasos hacia unesclarecimiento de este requerimiento se dieron en una direcci´on que parec´ıa divisar una luz alfinal del t´unel . Primeramente en el a˜no 1930, en su tesis doctoral [5] Kurt G¨odel (1906-1978)demuestra la completitud del c´alculo l´ogico de primer orden. Sin embargo, por esas paradojas dela suerte, es el mismo G¨odel quien un a˜no despu´es, en 1931 demuestra que si a los Axiomas dePeano para la Aritm´etica, le juntamos toda la l´ogica de
Principia Mathematica , no obtenemosun sistema del cual se puedan demostrar todas las verdades sobre los n´umeros naturales [6].Concretamente
1. El sistema S no es completo, es decir, en ´el hay sentencias ϕ , tales que ni ϕ ni ¬ ϕ sondeducibles y, en especial, hay problemas indecidibles con la sencilla estructura ∃ xF x , donde x varia sobre los n´umeros naturales y F es una propiedad de los n´umeros naturales.2. Incluso si admitimos todos los medios l´ogicos de Principia Mathematica en la metama-tem´atica no hay ninguna prueba de consistencia para S . Por consiguiente, una pruebade consistencia para el sistema S solo puede llevarse a cabo con la ayuda de modos deinferencia que no esten formalizados en el sistema S .3. Ni siquiera a˜nadiendo a S una cantidad finita de axiomas de tal forma que el sistemaextendido permanezca siendo ω -consistente.Sin embargo, estas frases inicialmente no eran algo que un matem´atico se preguntara, por ejem-plo, un matem´atico se preguntar´ıa ¿es la Conjetura de Goldbach cierta o falsa? etc. Sin embargo,mediante un proceso hoy conocido como Codificaci´on de G¨odel, G¨odel construye una frase expli-cita, de la Teor´ıa de n´umeros (pero que sin embargo no surge de manera natural en la misma)que no se puede demostrar ni refutar. Algo as´ı como una formulaci´on matem´atica de la paradojadel mentiroso: G¨odel demuestra que los n´umeros naturales son lo suficientemente fuertes comopara codificar todas las verdades del sistema S y sobre el sistema S. ´Este construye una sentenciaexplicita, digamos G que de ser demostrable implica su refutaci´on y viceversa. De modo que niG su negaci´on son deducbibles si el sistema se supone consistente. Queda entonces la pregunta¿c´omo podemos hacer estas frases m´as matem´aticas? En los a˜nos 70’s Jeff Paris (1944-Ahora) yLeo Harrington (1946-Ahora), en [15] muestran que el resultado combinatorio:Para todos n´umeros naturales n, k, m hay un n´umero l tal que si f : [ n ] n → k ,hay un Y ⊂ l tal que Y es homog´eneo para f , card( Y ) ≥ m , y si y es el menorelemento de Y , entonces card( Y ) ≥ y .No es demostrable (aunque cierto) en PA (la Aritm´etica de Peano). De modo que se obtienen losprimeros resultados de independecia “matem´aticos” en Aritm´etica, como se deseaba. Antes, conlas geometr´ıas no-euclideanas ya se hab´ıan establecido ciertas independecias, como el V Postuladode Euclides , etc. Adem´as, en Teor´ıa de conjuntos, se hab´ıa establecido la independencia de la
Hip´otesis del continuo de Cantor, por parte de G¨odel, qui´en demostr´o que la Hip´otesis no sepod´ıa refutar en ZFC, y Paul Cohen (1934-2007), qui´en prob´o que la negaci´on de la Hip´otesistampoco se podr´ıa refutar en ZFC. Respecto a esta ´ultima podr´ıan consultarse
Set theory and thecontinuum hypothesis (Dover Books on Mathematics) de Paul Cohen y el trabajo
The Consistencyof the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of SetTheory (Princeton University press) de Kurt G¨odel. Quiero terminar con esta met´afora del escritorargentino Jorge Luis Borges (1899-986).
Algunos resultados metam´atematicos sobre completitud y consistencia , Kurt G¨odel, 1931. Puede encon-trarse en
Kurt G¨odel: obras completas , editado y traducido por Jes´ıs Monster´ın. ...] Veinticinco s´ımbolos suficientes (veintid´os letras, el espacio, el punto, la coma)cuyas variaciones con repetici´on abarcan todo lo que es dable expresar: en todaslas lenguas. El conjunto de tales variaciones integrar´ıa una Biblioteca Total, detama˜no astron´omico [...] Todo estar´ıa en sus ciegos vol´umenes. Todo: la historiaminuciosa del porvenir, Los egipcios de Esquilo, el n´umero preciso de veces que lasaguas del Ganges han reflejado el vuelo de un halc´on, el secreto y verdadero nombrede Roma, la enciclopedia que hubiera edificado Novalis, mis sue˜nos y entresue˜nosen el alba del catorce de Agosto de 1934, la demostraci´on del Teorema de PierreFermat, los no escritos cap´ıtulos de Edwin Drood, esos mismos cap´ıtulos traducidosal idioma que hablaron los garamantas, las Paradojas de Berkeley acerca del tiempoy que no public´o, los libros de hierro de Urizen, las prematuras epifan´ıas de StephenDedalus que antes de un ciclo de mil a˜nos nada querr´ıan decir, el evangelio gn´osticode Bas´ılides, el cantar que cantaron las sirenas, el cat´alogo fiel de la Biblioteca, lademostraci´on de la falacia de ese cat´alogo. Todo, ...Jorge Luis Borges, La biblioteca Total .Esta es una exposici´on de hechos sobre la Aritm´etica vista desde la l´ogica matem´atica. En laSecci´on 1 presentamos la aritm´etica de Peano, PA, y la teor´ıa completa de N , y mostramos que N es un modelo primo de la teor´ıa de N . En la Secci´on 2 nos ocupamos de los Teoremas de Incom-pletitud. En la Secci´on 3 nos ocupamos de modelos no-est´andar de la aritm´etica, en la Secci´on4 presentamos el principio combinatorio de Paris-Harrington y en la Secci´on 5 su independencia.Los resultados aqu´ı presentados, son citados de las referencias enlistadas al final. Una discusi´onespistemol´ogica e hist´otica de algunos aspectos discutidos aqu´ı se puede encontrar en [2], [3]. Sobrelos Teoremas de G¨odel con una aproximaci´on m´as amena es fuente obligada el trabajo El Teoremade la incompeltitud de G¨odel: versi´on para no iniciados de Claudia Guitierrez (Revista Cubo Mat.Educ., Universidad de la Frontera, Vol. 1, 1999 pgs 68-75.). Finalmente, una discusi´on elegante, yprescisa sobre algunos aspectos antes mencionados se puede encontrar esparcida entre las l´ıneas de
Un paseo finito por el infinito de Iv´an Castro y Jes´us P´erez, editado por la Universidad Javeriana.Estas referencias, son realmente, un caramelo para intelecto.
1. El modelo est´andar
Considere el conjunto de n´umeros naturales ω = { , , , ... } , en ´el queremos sumar, multiplicar yestablecer un orden. Deseamos encontrar una descripci´on (teor´ıa) para este conjunto, es decir, unconjunto de axiomas que nos permita establecer verdades acerca de ω . Esta secci´on est´a dedicadaa presentar el marco axiom´atico de Peano, PA, y mostrar que todos los modelos de PA, tienen a N como subestructura elemental. Pricipalmente me baso en [13, 10, 9]. Definici´on 1.1. Un lenguaje formal de primer orden L , es una colecci´on de s´ımbolos paraoperaciones (s´ımbolos de funci´on), relaciones y, constantes.Para nuestro inter´es, tomamos en consideraci´on L A := { + , · , <, , } donde + , · son s´ımbolos defunci´on, < es un s´ımbolo de relaci´on, y 0 , estructura para L A , o una L A -estructura, es un objeto de la forma M = ( M, + M , · M , < M , M , M ) donde M es un conjunto no vac´ıo, donde podemos interpretar cada s´ımbolo de L . La estructura est´andar (o natural) de L A es: N = ( ω, + , · , <, ,
1) donde ω = { , , , ... } y + , · , < son la funci´on suma, producto y la relaci´on de orden lineal, respectivamente. Los t´erminos de L A son los s´ımbolos constantes de ´este, las variables y aquellos obtenidos por + , · aplicados aconstantes y/o variables. Definici´on 1.2.
Las f´ormulas de L A , son definidas por inducci´on seg´un se sigue: si t , t sont´erminos, entonces, t = t , t < t son f´ormulas. Si ϕ, ψ son f´ormulas, y v es una variable,entonces, ¬ ϕ , ϕ ∨ ψ , ϕ ∧ ψ , ∀ vϕ y ∃ vϕ son f´ormulas. Definici´on 1.3.
Una sentencia es una f´ormula cuyas varibles est´an todas ligadas a cuantificado-res, en caso contrario se dice una propiedad o f´ormula abierta . Una teor´ıa es simplemente unacolecci´on de sentencias. Un modelo M para una teor´ıa T es una estructurta para su lenguaje enla cual son ciertos todos los axiomas de T , notamos M | = T para ´ındicar que M es un modelo de T . Si T tiene un modelo, se dice que es satisfacible . Definici´on 1.4.
Sea M una estructura, definimos Th( M ) := { ϕ : ϕ es una sentencia y M | = ϕ } donde M | = ϕ significa que ϕ vale en M . Th( M ) recibe el nombre de Teor´ıa completa de M . omentario 1.5. El nombre de teor´ıa completa es intencional. Dada una teor´ıa T esta se dicecompleta siempre que para toda sentencia φ del lenguaje de T , y todo modelo M de T , M | = φ o M | = ¬ φ . Entonces Th( M ) siempre es completa. Pareciera entonces que la busqueda de unadescripci´on para N puede deternerse aqu´ı pues tenemos una descripci´on ‘buena’ en el sentido enque esta es completa. Sin embargo, dada una f´ormula φ de L A no siempre es f´acil determinarcuando esta pertenece o no a Th( N ). Adem´as, por ser completa, no es recursivamente enumerable,por lo que nunca podremos conocerla del todo. Queremos una descripci´on un poco m´as simple,esta vendr´a dada por PA.David Hilbert era del pensamiento de que la no-contradicci´on de un conjunto de axiomas dados,nos da total derecho de pensar en la existencia de objetos (lo que hoy llamar´ıamos modelos) quecumplan dichos axiomas. De ah´ı su famosa frase: If the arbitrarily given axioms do not contradicteach other through their consequences, then they are true, then the objects defined through axiomsexist. That, for me, is the criterion of truth and existence. Este pensamiento termina de cimientarsecon el nombrado Teorema de Completitud G¨odel en el a˜no 1930: Una teor´ıa es consistente si, ys´olo si, es satisfacible [5].
Teorema 1.6 (Compacidad) . Para que un conjunto infinito de sentencias sea satisfacible, esnecesario y suficiente que cada subconjunto finito suyo lo sea.Demostraci´on.
Sea ∆ un conjunto infinito de sentencias, sea ϕ una contradicci´on deducida de ∆,como las pruebas son finitas, existe ∆ subconjunto de ∆ finito tal que ∆ ⊢ ϕ (esto significaque hay una demostraci´on de ϕ a partir de ∆ ), luego ∆ es inconsitente. Si M | = ∆ entonces
M | = ∆ para todo ∆ ⊂ ∆ finito. (cid:3) Por el cardinal de una estructura , entenderemos el cardinal de su universo. Tenemos el siguienteteorema:
Teorema 1.7 (L¨owenheim-Skolem-Tarski) . Si T tiene por lo menos un modelo de cardinal infi-nito, entonces, T tiene un modelo de cualquier cardinal infinito. (cid:3) Definici´on 1.8. Un homomorfismo de una estructura N en M , es una aplicaci´on que conservala interpretaci´on de los s´ımbolos del lenguaje L , en cuesti´on. Una inmersi´on es un homomorfismoinyectivo. Se dice que N es una subestructura de M si el morfismo inmersi´on de N en M es unainmersi´on de estructuras.Una inmersi´on ϕ : N → M se dice elemental , si para toda f´ormula libre en n variables ψ dellenguaje L se cumple que N | = ψ ( a ) si, y s´olo si, M | = ψ ( ϕ ( a )) para todo a = a , ..., a n ∈ N . Sedice que ϕ es elemental . Si el mapeo incluisi´on de N en M es una inmersi´on elemental, se diceque N es una subestructura elemental de M . La Aritm´etica de Peano (PA, por sus siglas en ingl´es,Peano arithmetic), es la L A -teor´ıa engendrada en el seno de los axiomas siguientes: leyes asociativaspara + y · , sus elementos neutros 0 y 1, respectivamente, distributividad, y los axiomas de ordenlineal discreto para < (orden total, hay un primer elemento 0, no hay mayor elemento, todoelemento tiene un sucesor, todo elemento diferente de 0 tiene un predecesor inmediato), 1 es elsucesor de 0, x < y → x + z < y + z , y el esquema de inducci´on: para toda L A f´ormula ϕ ( x, w ),tenemos el axioma ∀ w [ ϕ (0 , w ) ∧ ∀ x ( ϕ ( x, w ) → ϕ ( x + 1 , w )) → ∀ xϕ ( x, w )] . N | =PA, y claramente PA ⊂ Th( N ). As´ı que todo modelo de Th( N ) lo ser´a de PA, pero no rec´ıpro-camente.Observ´ese que la inducci´on no es como tal un axioma, sino un proceso que determina un conjuntoinfinito de axiomas siempre que ϕ ( x, w ) se reemplace por una f´ormula particular del lenguaje L A .Antes de continuar, quiero citar una anotaci´on de G¨odel acerca de la incompletitud, hecha en [6]. La verdadera raz´on para la incompletitud inherente en todo sistema formal de las ma-tem´aticas es qaue la formalizaci´on de tipos superiores se puede continuar en formainfinita... mientras que en cualquier sistema formal est´a disponioble s´olo una cantidadnumerable de ellos. Por esto, se puede mostrar que la proposici´on indecidible aqu´ı con-truida (en [6]) se vuelve decidible siempre que se a˜nadan tipos superiores apropiados(por ejemplo, el tipo ω al sistema de la Aritm´etica de Peano). Una situaci´on an´alogaprevalece para el sistema axiom´atico de de la Teor´ıa de Conjuntos. n par de resultados cl´asicos en PA, a saber, el Algoritmo de la divisi´on de Euclides y el Teoremade B´ezout, son presentados a continuaci´on. Teorema 1.9 (Algoritmo de Euclides) . Sea M | = PA y a, b ∈ M con a = 0 . Entonces, existen r, s ∈ M ´unicos tales que M | = ( b = as + r ∧ r < a ) . (1) Demostraci´on.
La existencia de r y s la probaremos por inducci´on sobre x en la f´ormula ∃ r ∃ s ( x = as + r ∧ r > a ) . En efecto, la f´ormula (0 = 0 a + 0 ∧ < a ) es cierta en M , ya que a = 0. Sup´ongase ahora, porhip´otesis de inducci´on que para x, r, s en M , se tiene que M | = ( x = as + r ∧ r < a ) . Entonces, M | = ( x + 1 = as + ( r + 1)), entonces, alguno r + 1 = a o r + 1 < a debe ocurrir, as´ı, M | = x + 1 = ( a ( s + 1) + 0);y en ambos casos tenemos: M | = ∃ r ′ ∃ s ′ ( x +1 = as ′ + r ′ ∧ r ′ < a ). Luego, por inducci´on, concluimos(1). Para probar la unicidad, sup´ongase que b, b ′ , s, s ′ , r, r ′ est´an en M con M | = b = as + r = as ′ + r ′ ∧ r < a ∧ r ′ < a . Si s < s ′ , entonces, M | = b = as + r < a ( s + 1) ≤ as ′ + r ′ = b , y si s ′ < s obtenemos una contradicci´on. As´ı, s = s ′ y M | = as + r = as + r ′ , as´ı r = r ′ . (cid:3) Ahora, procedemos a dar definiciones de nociones usuales en Teor´ıa de N´umeros, formalizadas enel lenguaje de PA.
Definici´on 1.10. i) Congruencia. x ≡ y (m´od z ) ↔ (cid:0) z = 0 ∧ (cid:0) xz (cid:1) = (cid:0) yz (cid:1)(cid:1) .ii) Primo.
Prim( x ) ↔ ( x ≥ ∧ ∀ y ∀ z ( x | ( yz ) → ( x | y ∨ x | z )).iii) Irreducible.
Irred( x ) ↔ ∀ y ( y | x → ( y = 1 ∨ y = x )).iv) Coprimos. ( x, y ) = 1 ↔ ( x ≥ ∧ y ≥ ∧ ∀ u ( u | x ∧ u | y → u = 1)). Teorema 1.11 (Teorema de B´ezout) . Sea M | = PA, si x, y ∈ M son coprimos, entonces existe z ∈ M tal que x tiene un inverso multiplicativo a saber, z , m´odulo y . (cid:3) Una consecuencia importante del Teormea de B´ezout es que en cualquier modelo de PA, lasnociones de primo e irreducible, son equivalentes. Formalmente, para todo x ∈ M | = PA, tenemosPA ⊢ Prim( x ) ↔ Irred( x ) [10]. Sea T una teor´ıa. Sea N un modelo de T . Se dice que N es un modelo primo de T , si para todo M | = T , N es una subestructura elemental de M . Lema 1.12 (Test de Tarski-Vaught) . Sea M una sub-estructura de N . Entonces, M es elementalsi, y s´olo si, para cada f´ormula ψ ( v, w ) y a ∈ M n , si hay b ∈ N tal que N | = ψ ( b, a ) , entonceshay c ∈ M tal que N | = ψ ( c, a ) . (cid:3) Teorema 1.13.
Sea
M | = Th( N ) , entonces, podemos ver a N como un segmento inicial de M ,esta inmersi´on es elemental, i.e., N es un modelo primo de Th( N ) .Demostraci´on. Sea ψ ( v, w , ..., w m ) una L A -f´ormula, y sean n , ..., n m ∈ N tal que M | = ψ ( v, n ).Sea ϕ la L A -sentencia ∃ v ψ ( v, . . . + 1 | {z } n − veces , . . . , . . . + 1 | {z } n m − veces ) . Entonces,
M | = ψ y N | = ψ ya que M ≡ N . Pero entonces, para alg´un s ∈ N tenemos que N | = ψ ( s, . . . + 1 | {z } n − veces , . . . , . . . + 1 | {z } n m − veces )y N | = ψ (1 + . . . + 1 | {z } s − veces , . . . + 1 | {z } n − veces , . . . , . . . + 1 | {z } n m − veces ) . Como la anterior es una L A -sentencia, | = ψ (1 + . . . + 1 | {z } s − veces , . . . + 1 | {z } n − veces , . . . , . . . + 1 | {z } n m − veces ) . y M | = ψ ( s, n , . . . , n m ) . Concluimos que N es un modelo primo de Th( N ). (cid:3)
2. Incompletitud
En la secci´on anterior, dado el conjunto ω pensamos en c´omo lograr una descripci´on de esteconjunto en concordancia con las funciones y relaciones que all´ı nos interesa estudiar, a saber, lasuma, el producto y el orden. Obviamente la descripci´on brindada por Th( N ) es una descripci´oncompleta pero no es de total agrado tener una teor´ıa con tantos axiomas. Ahora la preguntaser´ıa si el sistema de PA s´ı es completo, la respuesta es No, y est´a dada en los Teoremas de laIncompletitud de G¨odel. El proposito de esta secci´on es la introducci´on de dichos teoremas. Definici´on 2.1. La clase de funciones recursivas parciales C es la clase m´as peque˜na defunciones f : A → N para alg´un A ⊂ N k y alg´un k ≥ C contiene a 0 y las funciones sucesor : 0( x ) = 0 , ∀ x ∈ N y s ( x ) = x + 1 , ∀ x ∈ N . Para cada1 ≤ i ≤ n ∈ N , C contiene las funciones proyecci´on u ni ( x , ..., x n ) = x i .ii) Si f ( x , .., x k ) y g ( y ) , ..., g k ( y ) est´an en C , entonces h ( y ) = f ( g ( y ) , ..., g k ( y )) est´a en C con la convenci´on de que si g ( y ) , ..., g k ( y ) es indefinida, entonces as´ı lo es h , o si f ( g ( y ) , ..., g k ( y )) no lo es.iii) C es cerrado bajo recursi´on primitiva , i.e., si f ( x ) y g ( x, y, z ) est´an en C , entonces as´ı loes h ( x, y ) definida por h ( x,
0) = f ( x ) y h ( x, y + 1) = (cid:26) g ( x, y, h ( x, y ))indefinido si h ( x, y ) lo es . iv) C es cerrado bajo, minimizaci´on , i.e., si g ( x, y ) est´a en C , entonces as´ı lo es h ( x ) =( µy )( g ( x, y ) = 0) definida por h ( x ) = el menor y tal que g ( x, , g ( x, , ...., g ( x, y ) est´antodas definidas y g ( x, y ) = 0. h ( x ) indefinida, si no hay tal y . Definici´on 2.2. La clase de funciones primitivas recursivas PR es la clase de funcionesm´as peque˜na que tiene al 0, a s y u ni para cada 1 ≤ i ≤ n y cerrado bajo composici´on y recursi´onprimitiva . Las funciones recursivas son funciones totales f : N k → N para cierto k > C .Un conjunto A ⊂ N k es recursivo si, y s´olo si, lo es su funci´on caracteristica : χ A ( x ) := (cid:26) x ∈ A x A es recursiva. Similarmente, A es recursivo , si, y s´olo si, χ A ∈ PR .Un conjunto A ⊂ N k es recursivamente enumerable si, y s´olo si, A es el dominio de algunafunci´on recursiva parcial f , i.e., para todo x ∈ N k ( f ( x ) est´a definido ⇔ x ∈ A ). Algunos ejemplosde funciones primitivas recursivas son: + , · , m´ax , m´ın, etc. Definici´on 2.3.
Una relaci´on R ⊂ N n es primitiva recursiva si su funci´on caracter´ıstica χ R ( x ) = (cid:26) R ( x )1 si ¬ R ( x )es primitiva recursiva. Teorema 2.4 (G¨odel, 1930) . Cada problema de la forma ∀ xF x con F recursiva primitiva esreducible a la cuesti´on de si una determinada f´ormula de la l´ogica pura de primer orden essatisfacible o no (es decir, para cada F recursiva primitiva podemos encontrar una f´ormula de lal´ogica pura de primer orden, cuya satisfacibilidad es equivalente a la verdad de ∀ xF x ). (cid:3) Como consecuencia de esta, G¨odel prueba que, en particular, para PA, se cumple el teoremasiguiente: eorema 2.5 (Primer Teorema de Incompletitud, G¨odel) . Hay problemas de la l´ogica pura depredicados de primer orden, es decir, f´ormulas de la l´ogica pura de primer orden, respecto a lascuales no podemos probar ni su validez ni la existencia de un contraejemplo. (cid:3)
El anterior hecho da la impresi´on de entrar en contradicci´on con lo que el mismo G¨odel pruebaen 1930, y es que toda f´ormula de la l´ogica de predicados de primer orden, o es v´alida o poseeun contraejemplo. Sin embargo, lo que aqu´ı se acota es que no siempre es posible demostrar laexistencia de dicho contraejemplo. No, por lo menos, para los sistemas formales que se han tomadoen consideraci´on en [6].Para finalizar esta parte, acotamos este resultado debido a G¨odel, del que se desprende, quesupuesta al consistencia de PA, no podemos conseguir una prueba de esta dentro del mismosistema. Y del que nos valdremos para probar que el Principio combinatorio de Paris-Harringtones independiente de PA.
Teorema 2.6 (Segundo Teorema de Incompletitud de G¨odel) . Sea K una clase recursiva yconsistente cualquiera de f´ormulas. Entonces ocurre que la sentencia que dice que K es consistenteno es K -deducible. (cid:3) Asignaremos a cada s´ımbolo s de nuestro lenguaje L A , un ´unico n´umero natural s ) llamado c´odigo de G¨odel de s . Los n´umeros se asignan de la manera siguiente: ′ ′ ) =1 , ′ ′ ) = 2 , ′ + ′ ) = 3 , ′ · ′ ) = 4 , ′ = ′ ) = 5 , ′ ( ′ ) = 6 , ′ ) ′ ) = 7 , ′ → ′ ) = 8 , ′ ¬ ′ ) =9 , ′ ∀ ′ ) = 10 , ′ x ′ i ) = 11 + i . Definici´on 2.8.
Sea Λ ≡ α ...α n una f´ormula (o t´ermino) del lenguaje L A , el c´odigo de G¨odelde Λ, corresponde a ′ α ′ ) · ′ α ′ ) · ... · p ′ α ′ n ) n = Q ni =1 p ′ α ′ i ) i , donde p n representael n -´esimo primo. Por el Teorema fundamental de la Aritm´etica este c´odigo es ´unico para cadaf´ormula (o t´ermino) del lenguaje L A .De la misma manera podemos c´odificar conjuntos finitos como n´umeros. Por ejemplo, sea A = { a , a , a , ...., a n } ⊂ N . Entonces, ′ A ′ ) := 2 a · a · a · ... · p a n n := Y ≤ i ≤ n p a i i . As´ı, en lugar de hablar del conjunto A , podemos hablar de su c´odigo, y en lugar de su cardinal,hablar de la cantidad de factores primos en el c´odigo de A . Obs´ervese, que hay una forma naturalde exprersar el hecho, ’ p es primo’ simbolicamente. A saber,Prim( p ) := p = 0 ∧ p = 1 ∧ ∀ x ≤ p [ x | p → p = x ∨ x = 1] . Con x | p la definida seg´un la f´ormula x | y ↔ ∃ z ≤ y [ xz = y ]. Ahora, vamos a observar la expresi´on’ p n es el n -´esimo primo’. Sea g ( y, x ) una funci´on. Definimos el µ - operador acotado por: f ( x, x ) = µy < x [ g ( y, x ) = 0] a ser f ( x, x ) = el menor y < x tal que g ( y, x ) = 0, si tal y existe; y f ( x, x ) = x en otro caso. As´ı, podemos definir: p n := n -´esimo primo: p = 2, p n +1 := µx < p n ! + 1[ p n < x ∧ Prim( x )]. Definici´on 2.9. a ∈ Seq ↔ a = 1 ∨ ( a > ∧ ∀ x ≤ a [ p x +1 | a → p x | a ]) . Long( a ) := (cid:26) a Seq ∨ a = 1 µx ≤ a [ p x | a ∧ ¬ ( p x +1 | a )] si a ∈ Seq ∧ a = 1 . ( a ) x := µy ≤ x + 1[ p y +1 x | a ∧ ¬ ( p y +2 x | a )] . Seq denota el conjunto de n´umeros que son secuencias. Y Long( a ) la longitud de a . Observaci´on 2.10. a = Y i ≤ Long( a ) p ( a ) i +1 i . efinici´on 2.11. Una f´ormula ϕ es Σ n (resp. Π n ) si, y s´olo si, para alguna f´ormula recursivaprimitiva ψ , ϕ = Q x ...Q n x n ψ , donde Q = ∃ (resp. ∀ ) y los cuantificadores se alternan en eltipo y son todos acotados. Escribimos ϕ ∈ Σ n (resp. Π n ) para ´ındicar que ϕ es una Σ n (resp. Π n )f´ormula, o podemos demostrar que es equivalente a una de estas. Observaci´on 2.12.
G¨odel introdujo una
Funci´on par h , i la cual asigna a cada ( x, y ) ∈ N × N un´unico n´umero natural. Esta ser´a ´util para codificar particiones de conjutnos finitos en el Cap´ıtulo4. La Funci´on par de G¨odel est´a dada por h , i : N × N −→ N ( x, y ) ( x + y )( x + y +1)2 + y. Lema 2.13.
Para cualquier cuatro n´umeros naturales dados x, y, u, v se cumple lo siguiente h x, y i = h u, v i si, y s´olo si, x = y y u = v . (cid:3) Ahora, introducimos los principios de reflexi´on. Asumimos que el conjunto de c´odigos de losaxiomas de T (un sistema formal dado, por ejemplo uno que contenga PA) es recursivo primitivo.As´ı, tenemos: Prov T ( x, y ) ↔ x ∈ Seq ∧ ∀ i ≤ long( x )[( x ) i es un axioma l´ogico ∨ ( x ) i es un axioma de T ∨∃ jk < i (( x ) k = imp(( x ) j , ( x ) i ))] ∧ y = ( x ) long( x ) .Prov T ( y ) ↔ ∃ x Prov T ( x, y ) . Es decir, Prov T ( x, y ) afirma que x es el n´umero de G¨odel de una demostraci´on de y en T . YProv T ( y ) afirma que y es demostrable en T . Suele notarce el c´odigo de G¨odel de una f´ormula ϕ de la forma siguiente: p ϕ q . Sea ϕ una sentencia. Entonces, el Lema de L¨ob establece que T ⊢ Pr T ( p ϕ q ) → ϕ si, y s´olo si, T ⊢ ϕ . Principio 2.14 (Reflexi´on local, Rfn( T )) . Sea ϕ una sentencia, Pr T ( p ϕ q ) → ϕ. Principio 2.15 (Reflexi´on uniforme I, RFN( T )) . Sea ϕ una f´ormula con la s´ola variable libre x . ∀ x Pr T ( p ϕ ( x ) q ) → ∀ xϕ ( x ) . Principio 2.16 (Reflexi´on uniforme II, RFN’( T )) . Sea ϕ un f´ormula con la s´ola variable libre x . ∀ x [Pr T ( p ϕ ( x ) q ) → ϕ ( x )] . Teorema 2.17.
Sobre S , los siguientes son equivalentes:i) Con T ,ii) Rfn Q ( T ),iii) RFN Q ( T ),iv) RFN ′ Q ( T ),donde el segundo sub´ındice Q ´ındica la restricci´on de la elecci´on a ϕ ∈ Q . (cid:3) Observaci´on 2.18.
Sea RFN Q k ( T ) la restricci´on de f´ormulas en T en Q k . Similarmente, se defineRFN P k ( T ), RFN’ P k ( T ) y RFN’ Q k ( T ). Finalmente, la noci´on de ω - consistencia es aquella dadaa nuestra raz´on, seg´un la cu´al se cumple p´ara T , siempre que se cumplan para T , las dos condicionessiguientes: T ⊢ ∃ xϕ ( x ), T ⊢ ¬ ϕ (0) , ¬ ϕ (1) , ... . Teorema 2.19 (Primer Teorema de Incompletitud de G¨odel) . Sea T ⊢ ϕ ↔ ¬ Pr T ( p ϕ q ) . Enton-ces: i) T ϕ , ii) bajo un supuesto adicional, T ¬ ϕ . Teorema 2.20 (Segundo Teorema de Incompletitud de G¨odel) . Sea
Con T igual a ¬ Pr T ( p Λ q ) ,donde Λ es cualquier afirmaci´on contradictoria conveniente. Entonces, T Con T . (cid:3) ¿Ser´a entonces que Russell ten´ıa raz´on? ¿Ser´a que efectivamente las matem´aticas pueden serdefinidas como aquel tema del cual no sabemos nunca lo que decimos ni si lo que decimos esverdadero? Si bien no es un ‘nunca’, es ‘muchas veces’, la expresi´on que debemos usar. Debemosconcluir, sin embargo que Hilbert estaba equivocado. En matem´aticas s´ı hay ignorabimus. G¨odel,qui´en estuvo m´as cerca que nadie de llevar a feliz t´ermino el programa formalista, fue quien ¡ohsorpresa! not´o que ´este era irrealizable, a lo que muchos matem´aticos respondieron con rechazo,como si desconocer la prueba evitar´ıa la veracidad del teorema. . Modelos no-est´andar de la Aritm´etica Tenemos dos descripciones dadas para N , a saber, PA y Th( N ), querr´ıamos saber si estas descrip-ciones son univocas, es decir, si todo modelo de PA o de Th( N ) son isomorfos a N , la respuesta esNo. Vamos a demostrar la existencia de modelos de Th( N ) (y por lo tanto de PA) muy “parecidos”a N pero no isomorfos a ´el. Tales modelos se conocen como modelos no-est´andar .La prueba de la existencia de dichos modelos se debe a Thoralf Skolem en el a˜no 1934 en eltrabajo titulado ¨Uber die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abz¨ahl-bar unendlich vieler Aussagen mit ausschließlich Zahlenvariablen . Fundamenta Mathematicae,Alemania, Vol. 23, No. 1, 150—161, 1934. Definici´on 3.1.
Considere la L A -teor´ıa Th( N ). Sea n ∈ N . Definimos el L A -t´ermino n como( ... (((1 + 1) + 1) + 1) ... + 1) | {z } n − veces 1 y cero es simplemente el s´ımbolo constante 0. Sea c un nuevo s´ımbolo constante. Consideremos L c el lenguaje obtenido al unir a L A el s´ımbolo constante c . Sea T la L c -teor´ıa engendrada en elseno de los axiomas: σ (para cada σ ∈ Th( N ))y c > n (para cada n ∈ N ). Observaci´on 3.2.
Por el Teorema de Compacidad, demostrar que T es satisfacible es equivalentea demostrar que es finitamente satisfacible. Sea ∆ ⊂ T finito. Entonces, existe k ∈ N tal que∆ ⊂ T k ⊂ T , con T k = Th( N ) ∪ { c > n : n > k } y evidentemente ( N , k ) | = T k . Luego, T es finitamente satisfacible, y as´ı, satisfacible. Sea M c | = T .Ahora, como M c | = c > n para todo n ∈ N , entonces, existe un entero “infinito”. Ahora, claramente M c | = Th( N ) , P A envirtud de que P A ⊂ Th( N ) ⊂ T .Ahora vamos a mirar algunas propiedades interesantes de estos modelos no-est´andar cuya exis-tencia acabamos de demostrar. Proposici´on 3.3.
El reducto (restricci´on) M de M c al leguaje L A no es isomorfo a N .Demostraci´on. Sup´ongase que h : N → M es un isomorfismo. Necesariamente, h env´ıa a n ∈ N en n M el elemento que realiza el t´ermino cerrado n en M . Adem´as, M | = ∀ x ∀ y ( x > y → ¬ ( x = y )) , puesto que est´a sentencia es cierta en N , luego est´a en Th( N ). De aqu´ı se sigue que el elementoque realiza a c en M c no es la imagen de h . (cid:3) Por el Teorema de L¨oweheim-Skolem-Tarski, podemos tomar estos modelos no-est´andar con uncardinal infinito tan grande como queramos. Lo que nos dice que hay “muchos”modelos no iso-morfos de Th( N ). Proposici´on 3.4.
El mapeo h : N → M que env´ıa a n ∈ N en n M es una L A -inmersi´on deestructuras.Demostraci´on. Para ver que h es uno-uno, not´ese que si n, k ∈ N con k = n , entonces N | = ¬ ( n = k ) luego la sentencia ¬ ( n = k ) est´a en Th( N ) por tanto es cierta en M . Similarmente h preserva <, + y · , ya que para cualquier k, n, m ∈ N , n < m ⇔ N | = n < m ⇔ M | = n < m,n + m = k ⇔ N | = n + m = k ⇔ M | = n + m = k, n · m = k ⇔ N | = n · m = k ⇔ M | = n · m = k. (cid:3) Definici´on 3.5.
Considere el lenguaje L A de la aritm´etica y P A los axiomas de Peano. Supongaque M , N | = P A . Decimos que N es una extensi´on cofinal de M si M ⊂ N y a < b para todo a ∈ M y b ∈ N − M . Observaci´on 3.6.
Podemos siempre identificar a N como la imagen de h en M . As´ı, N es unasubestructura de todo M | = Th( N ). De donde M es no-est´andar si, y s´olo si, existe a ∈ M tal que a no es ning´un n ∈ N est´andar. A tales a ’s se les conoce como enteros no-est´andar . El orden < es un orden lineal sobre M con menor elemento 0 y sin mayor elemento (esto se puede expresaren una sentencia de primer orden γ que vale para N , luego est´a en Th( N ) de donde vale en M ).Ahora bien, sea k ∈ N , tenemos que N | = ∀ x x < k → k − _ i =0 x = i !! , luego la sentencia ∀ x x < k → k − _ i =0 x = i !! est´a en Th( N ) y as´ı M | = ∀ x x < k → k − _ i =0 x = i !! . As´ı, ning´un entero no-est´andar vive por debajo de alg´un entero est´andar. De donde, se obtieneque N es un segmento inicial de M y este ´ultimo una extensi´on cofinal de M . Proposici´on 3.7.
Sea θ ( x ) una L A -f´ormula con una ´unica variable libre x . Sea M | = Th( N ) no-est´andar. Entonces, existe un a ∈ M no-est´andar tal que M | = θ ( a ) si, y s´olo si, hay infinitosenteros est´andar k ∈ N que cumplen N | = θ ( k ) .Demostraci´on. Sup´ongase que para alg´un a ∈ M se tiene que M | = θ ( a ). Entonces, M | = ∃ xθ ( x )luego as´ı es para N ya que si N | = ¬∃ xθ ( x ) entonces, ¬∃ xθ ( x ) ∈ Th( N ) contradiciendo el supuesto.Como M | = Th( N ), entonces, M | = a > n ya que a es no-est´andar. As´ı, M | = ∃ x ( θ ( x ) ∧ x > n ) . As´ı, N | = ∃ x ( θ ( x ) ∧ x > n ). Se sigue que hay infinitos k en N que cumplen N | = θ ( k ). Recipro-camente, suponga que hay infinitos k ∈ N que cumplen N | = θ ( k ) y suponga que M | = Th( N ) esno-est´andar. Entonces, ya que N | = ∀ x ∃ y ( y > x ∧ θ ( y )), tenemos M | = ∀ x ∃ y ( y > x ∧ ( y )). As´ı,para cualquier b ∈ M , y en particular b ∈ M no-est´andar, hay a > b en M tal que M | = θ ( a ). (cid:3) Teorema 3.8.
Existen ℵ modelos no isomorfos de Th( N ) .Demostraci´on. Ver [10]. (cid:3) Z -cadenas. Sea
M | = Th( N ) no-est´andar. Sea c ∈ M no est´andar. Entonces, los elementos c − n y c + n existenen M , para todo n ∈ N − { } . En efecto, la sentencia ∀ x ( x = 0 → ∃ y ( x = y + n )) est´a en Th( N )para n fijo en N −{ } . Por lo tanto c − n existe en M . De la misma forma ∀ x ∃ y ( x + n = y ) ∈ Th( N ),para n ∈ N − { } fijo; y as´ı c + n existe en M para todo n est´andar diferente de 0. As´ı, motivamosla siguiente definici´on. Definici´on 3.9.
Sean
M | = Th( N ) y c ∈ M no est´andar. El conjunto Z ( c ) = { c } ∪ { c − n, c + n : n ∈ N − { } se llama Z - cadena asociada a c . Observaci´on 3.10.
Sean Z ( e ) y Z ( c ), Z -cadenas. Se cumple una y s´olo una se las siguientesafirmaciones: Z ( d ) = Z ( e ) o Z ( d ) ∩ Z ( e ) = ∅ . En efecto, por el hecho de que N | = ∀ x ∀ y ( x = y ∨ x < y ∨ x > y ), tenemos que ∀ x ∀ y ( x = y ∨ x < y ∨ x > y ) ∈ Th( N ). Ahora, si d = e , se tieneque Z ( d ) = Z ( e ). Si d = e , sup´ongase (sin perdida de generalidad) que d < e , luego, si hay unn´umero est´andar n , de modo que d + n = e , en cuyo caso Z ( d ) = Z ( e ), si no hay tal n , entonces Z ( d ) ∩ Z ( e ) = ∅ . otaci´on 3.11. Notaremos Z ( d ) < Z ( e ) para ´ındicar que todo x ∈ Z ( d ) es menor que todo x ∈ Z ( e ). As´ı, es evidente que una (y s´olo una) de las tres afirmaciones siguientes se cumple: Z ( d ) = Z ( e ), Z ( d ) < Z ( e ) y Z ( e ) < Z ( d ). Lema 3.12.
Para toda Z -cadena Z ( d ) , existen Z -cadenas Z ( d ) y Z ( c ) de modo que Z ( c ) < Z ( d ) < Z ( e ) .Demostraci´on. Basta considerar e = d + d . En efecto, ∀ x ∀ y ∀ z ( x + y = x + z → y = z ) ∈ Th( N ).Si d + d = d + n , para n ∈ N , nos da d = n y esto no es posible puesto que d no es est´andar y n s´ı.Luego, d + d Z ( d ). De aqu´ı el argumento, pues d + d > d . As´ı, hemos conseguido una Z -cadena Z ( e ) tal que Z ( d ) < Z ( e ).La sentencia ∀ x ( x = 0 ∧ x = 1 → ∃ y ( y < x ∧ ( y + y = x ∨ y + y = x + 1))) vale en N , luego est´aen Th( N ). Luego, hay un c tal que o bien c + c = d o bien c + c = d + 1, en todo caso Z ( c ) = Z ( d )y Z ( d ) < Z ( c ) es imposible, de modo que Z ( c ) < Z ( d ).En conclusi´on, hemos obtenido Z -cadenas Z ( e ) y Z ( c ) de modo que Z ( c ) < Z ( d ) < Z ( e ). (cid:3) Lema 3.13.
Sean Z ( d ) y Z ( e ) , Z -cadenas diferentes, tales que Z ( d ) < Z ( e ) . Existe una Z -cadena Z ( f ) tal que que Z ( d ) < Z ( f ) < Z ( e ) .Demostraci´on. La sentencia ∀ x ∀ y ∃ z ( z + z = x + y ∨ z + z = x + y + 1) vale en N , as´ı que est´a enTh( N ). Sea f + f = d + e si d + e es par, y sea f + f = d + e + 1 si d + e es impar. En cualquiercaso Z ( c ) < Z ( d ) < Z ( e ) . (cid:3) De los Lemas anterores se sigue que el conjunto de Z -cadenas es un orden lineal denso . Teorema 3.14.
Sup´ongase que para
M | = Th( N ) el conjunto de Z -cadenas es numerable. En-tonces, al olvidar la estructura interna de cada Z -cadena, el conjunto de Z -cadenas es isomorfoa Q , el conjunto de los n´umeros racionales. Observaci´on 3.15.
Si en la Z -cadena Z ( c ) identificamos a c con 0, lo que obtenemos es unaforma natural de ver a cada Z -cadena como una copia isomorfa de Z en un modelo no est´andar M . As´ı, obtenemos la conslusi´on de que en un modelo no est´andar dado M , viven infinitas copiasde los enteros, y m´as a´un, es una cantidad densa de las mismas.
4. El Principio combinatorio de Paris-Harrington, PH
Sea σ un cardinal, [ I ] k el conjunto de los subconjuntos de I de cardinal k . Unafunci´on P : [ I ] k → σ se llama una partici´on de [ I ] k en σ partes.Si P : [ I ] k → σ , llamamos H ⊂ I homog´eneo para P si, y s´olo si, P es constante sobre [ H ] n .Notaremos (siguiendo a Erd¨os) κ → ( λ ) nσ si siempre que P : [ κ ] n → σ , hay un H ⊂ κ homog´eneopara P de cardinalidad λ . Definici´on 4.2.
Sea H ⊂ N finito. Se dice que H es relativamente grande si card( H ) ≥ m´ın H .Dados n, r, k y m n´umeros naturales, usaremos la notaci´on m ∗ / / ( k ) nr para indicar que para cualquier partici´on P : [ m ] n → r hay un H ⊂ m relativamente grande quees homog´eneo para P y de cardinalidad al menos k . Definici´on 4.3. Un ´arbol es un conjunto parcialmente ordenado ( T, < T ) tal que para todo t ∈ T , el conjunto b t := { s ∈ T : s < T t } est´a bien ordenado. Una rama de un ´arbol T es unacadena (un subconjunto linealmente ordenado) m´aximal de T . Una trayectoria de T es unacadena de T que a su vez es un segmento inicial de T . Un ´arbol de ramaje finito es un conjuntoparcialmente ordenado ( T, < T ) tal que:i) Existe r ∈ T tal que r < T x para todo x ∈ T .ii) Si x ∈ T , entonces { y : y < T x } es finito y linealmente ordenado por < T .iii) Si x ∈ T , cada conjunto finito (quiz´a vac´ıo) { y , ..., y n } de elementos incomparables talque cada y i > x y si z > x , entonces z > y i para alg´un i . or el Teorema de Enumeraci´on, todo conjunto bien ordenado es isomorfo a alg´un ´unico ordinal .A este ordinal se le conoce como tipo ordinal del conjunto . La altura Alt( t ) de t en T es eltipo de ordinal de b t . El nivel α de T es el conjunto T α := { t ∈ T : Alt( t ) = α } . La altura de T es m´ın { α : T α = ∅} . Definici´on 4.4.
Sea θ un ordinal y λ un cardinal. Un ´arbol T es un ( θ, λ )- ´arbol si:i) ( ∀ α < θ )( T α = ∅ ).ii) T θ = ∅ .iii) ( ∀ α < θ )(card( T α ) < λ ).Un ℵ - ´arbol , es simplemente un ( ℵ , ℵ )-´arbol. Lema 4.5 (Lema de K¨oning) . Todo ℵ -´arbol tiene una rama cofinal, i.e., una rama que interceptatodos los niveles.Demostraci´on. Sea T un ℵ -´arbol. Por inducci´on sobre n < ω , elegimos t n ∈ T n tal que T t n esinfinito y t n < T t n +1 . Entonces, { t n : n < ω } es una rama cofinal de T . (cid:3) Teorema 4.6 (Teorema Infinito de Ramsey) . Para todo par de n´umeros naturales n y k , secumple que ℵ → ( ℵ ) nk .Demostraci´on. Procedemos por inducci´on sobre n . Para n = 0 no hay nada que probar, pues f es constante sobre [ A ] = {∅} . Sea n > A ⊃ A ⊃ ... de subconjuntos infinitos de A y una sucesi´on a , a , ... de elementos de A con a i ∈ A j s´olo si i ≥ j .Comenzamos con A = A . Supongamos que ya se construy´o A i . Sea a i ∈ A i arbitrario. Definimos f i : [ A i \ { a − i } ] n − → m mediante f i ( b ) = f ( { a i } ∪ b ). Como A i +1 , escogemos un subconjuntoinfinito f i -homog´eneo de A i \ { a i } .Sea m i el valor que toma f i en [ A i +1 ] n − . Entonces, para cada k < m el conjunto B = { a i : m i = k } es f -homog´eneo: cada subconjunto de n elementos c de B tiene la forma { a i } ∪ b para alguna b ∈ [ A i +1 ] n − . Se tiene f ( c ) = f i ( b ) = k . Existe entonces una k < m tal que m i = k para unacantidad infinita de i ∈ ω . B es infinito para esta k . (cid:3) Teorema 4.7 (Teorema Finito de Ramsey) . Para todos k, n, m n´umeros naturales, existe un l natural, tal que l → ( m ) nk .Demostraci´on. Sup´ongase que no hay tal l . Para cada l < ω , sea T l := { f : [ l ] n → k : no existe un subconjunto de l de tama˜no m homog´eneo para f } . Claramente, cada T l es finito, ya que hay finitas particiones para conjuntos finitos. Sea f ∈ T l +1 ,luego hay un ´unico g ∈ T l tal que g ⊂ f . As´ı, si ordenamos a T = [ l<ω T l por inclusi´on, obtenemos un arbol finito. Cada T j = ∅ . Luego, obtenemos un arbol de ramajefinito. Por el Lema de K¨oning, podemos encontrar f ⊂ f ⊂ ... con cada f i ∈ T i .Sea f = S f i , entonces, f : [ N ] n → k . Por el Teorema Infinito de Ramsey, hay un X ⊂ N infinito homog´eneo para f . Sea x , ..., x m , los primeros m elementos de X y sea s > x m , entonces, { x , ..., x m } es homog´eneo para f s . Contradicci´on. (cid:3) .2. Paris-Harrington.Teorema 4.8 (Principio de Paris-Harrington) . Para todos n´umeros naturales n, r y k hay unn´umero natural m tal que m ∗ / / ( k ) nr . Demostraci´on.
Sean n, r y k n´umeros naturales. Sup´ongase que no existe tal m . Sea P un con-traejemplo para m . Si P es una partici´on de [ m ] n en r partes con ning´un conjunto relativamentegrande de tama˜no a lo m´as k . Podemos ver el conjunto de contraejemplos como un arbol infinitode ramaje finito, es decir, si P y P ′ son contraejemplos para m y m ′ respectivamente, ponemos P bajo P ′ en nuestro arbol s´olo si m < m ′ y P es una restricci´on de P ′ a [ m ] n .Por el Lema de K¨onig hay un P : [ ω ] n → r tal que para todo m , la restricci´on de P a [ m ] n es uncontraejemplo para m . Por el Teorema Infinito de Ramsey, existe un H ⊂ ω infinito homog´eneopara P . Pero entonces, al tomar m suficientemente grande (comparado con k y m´ın H ) vemosque H ∩ m es, despu´es de todo, un conjunto homog´eneo relativamente grande para P ↾ [ m ] n detama˜no a lo menos k . (cid:3) PH es una variante del Teorema Finito de Ramsey, pues en ´el s´olo pedimos la condici´on adicionalde que H sea relativamente grande; y resulta deducible a partir del Teorema Infinito de Ramsey.Adem´as PH es expresable en el lenguaje de PA, y sin embargo indemostrable en PA. Puededemostrarse que ∀ n ∈ N , PA ⊢ ∀ r, k ∃ m ( m ∗ / / ( k ) nr ) . Es decir, para cada n´umero natural n fijo, podemos formalizar la prueba de ∀ r, k ∃ m ( m ∗ / / ( k ) nr )en PA. L A . El Teorema Finito de Ramsey es una afirmaci´onsobre n´umeros naturales, de esta forma, ser´ıa m´as preciso demostrarle sin recurrir a m´etodosinfinitarios [13]. Sin embargo, estos m´etodos requieren presentarse con un enfoque diferente al queaqu´ı planteamos. El lector interesado en una formulaci´on meramente finitar´ıa puede consultar [4].PH es expresable en el Lenguaje de la Aritm´etica de forma natural. Podemos ver tal factor de dosmaneras posibles. Primeramente, debido a que PA es equivalente al marco axiomatico ZF parala Teor´ıa de Conjuntos, si reemplazamos en ZF el Axioma de Infinitud por su negaci´on. De estamanera, se obtiene que PH es formalizable en PA sin necesidad de ning´un tipo de codificaci´on[15]. Por otra parte, todas las nociones sobre conjuntos y particiones (finitarias) son expresablesen el lenguaje de PA usando c´odigos de G¨odel. El razonamiento es el siguiente: hay f´ormulas S ( u ), l ( u, v ) y e ( v, u, i ) en el lenguaje L A tales que en N , el modelo natural de la aritm´etica, S ( u ) defineel conjunto de c´odigos para secuencias finitas, l ( u, v ) dice que u es el c´odigo de una secuencia delongitud v , y e ( v, u, i ) dice que v es el i -´esimo elemento codificado por u [13]. De esta manera, acada conjunto finito le asociamos una secuencia finita, de modo que la longitud de esta secuencia,ser´a el correspondiente cardinal del conjunto en cuesti´on. Codificamos las secuencias con la funci´on β de G¨odel [18].En primera instancia, fijamos el tama˜no de los conjuntos. Ahora, pedimos que todos los conjuntosde cierto tama˜no tengan una propiedad dada. De esta manera, seg´un expusimos antes, podemosdecir: todo c´odigo que represente una secuencia de longitud de cierto tama˜no cumple cierta propie-dad. As´ı, acotamos los tama˜nos de los conjuntos dentro de los cuantificadores. Resulta entoncesque todas las propiedades de los conjuntos se pueden traducir a los c´odigos de G¨odel de talesconjuntos.Para codificar particiones de conjuntos finitos procedemos as´ı: sean m, n, c ∈ N con n ≤ m ypensemos en ellos como conjuntos finitos. Escribimos ‘ H ∈ Part([ m ] n , c )’ para ´ındicar que ‘ H esuna partici´on de [ m ] n en c partes’. daremos una expresi´on de L A para esto. Not´ese que cualquierelemento en [ m ] n puede verse como { m − i , ..., m − i n − } con 1 ≤ i j ≤ m para 0 ≤ j ≤ n − m ] n tiene exactamente (cid:0) mn (cid:1) = m ! n !( m − n )! elementos. Luego, los podemos enlistar como m ] n = m , ..., m (cid:16) mn (cid:17) . Existe s´olo un n´umero finito de particiones de conjuntos finitos . Sea H ∈ Part([ m ] n , c ), cadapartici´on es un conjunto de pares, digamos H := n ( m δ , c α ) : 1 ≤ δ ≤ (cid:16) mn (cid:17) ∧ ≤ α ≤ c o As´ı, para codificar H debemos seguir los siguientes tres simples pasos:1. Codifique sobre cada conjunto m δ , para 1 ≤ δ ≤ (cid:0) mn (cid:1) de forma natural (seg´un se expusoen Cap´ıtulo 1, Secci´on 3.).2. Codifique sobre cada par ( m δ , c α ), 1 ≤ δ ≤ (cid:0) mn (cid:1) ∧ ≤ α ≤ c con la funci´on par de G¨odel(Cap´ıtulo 1, Secci´on 3.).3. Codifique sobre el conjunto obtenido en el Paso 2, seg´un se hizo en el Paso 1.Procedamos con el Paso 1. Sea m δ ∈ [ m ] n , para 1 ≤ δ ≤ (cid:0) mn (cid:1) . Luego: m δ ) = { m − i , ..., m − i n − } )= Y ≤ ij ≤ m ≤ j ≤ n − p m − i j i j para ciertos 1 ≤ i , ..., i n − ≤ m . As´ı, para cada par ( m δ , c α ) tenemos un ´unico par correspon-diente Y ≤ ij ≤ m ≤ j ≤ n − p m − i j i j , c α Y para ´este, procedemos con el Paso n´umero 2. As´ı, obtenemos el conjunto Y ≤ ij ≤ m ≤ j ≤ n − p m − i j i j , c α : 0 ≤ α ≤ c − . Luego, m δ , c α ) := h m δ ) , c α i = h { m − i , ..., m − i n − } ) , c α i = * Y ≤ ij ≤ m ≤ j ≤ n − p m − i j i j , c α + = Y ≤ ij ≤ m ≤ j ≤ n − p m − i j i j + c α + 1 Y ≤ ij ≤ m ≤ j ≤ n − p m − i j i j + c α c α Y, obtenemos el conjunto P : [ I ] k → σ es simplemente un subconjutno del producto cartesiano[ I ] k × σ y, al ser [ I ] k , σ finitos, necesariamente [ I ] k × σ es finito, de modo que s´olo hay finitas particiones de[ I ] k en σ partes. Y ≤ ij ≤ m ≤ j ≤ n − p m − i j i j + c α + 1 Y ≤ ij ≤ m ≤ j ≤ n − p m − i j i j + c α c α : 0 ≤ α ≤ c − . Finalmente completamos el Paso 3, poniendo H ) := Y ≤ r ≤ (cid:16) mn (cid:17) ≤ α ≤ c − p Y ≤ ij ≤ m ≤ j ≤ n − p m − i j i j + c α + 1 Y ≤ ij ≤ m ≤ j ≤ n − p m − i j i j + c α + c α r PH.
Para cualquier n´umeros naturales b, e, y codificando secuencias de longitud n, c y al menos λ , respectivamente, existe un n´umero natural a codificando una secuencia de longitud m tal que m ∗ / / ( k ) nr , i.e., para cualquier H ∈ Part([ m ] n , c ), existe un ´unico n´umero natural β ≤ Long( e ) tal que para cualquier 1 ≤ k ≤ (cid:0) mn (cid:1) , ( m k , c β ) ∈ H y no existe α ∈ N tal que paraalg´un 0 ≤ k ≤ (cid:0) mn (cid:1) , ( m k , c α ) ∈ H siempre que b es tal que existe una natural s codificando unasecuencia tal que y = b ∗ s con Long( y ) ≥ ( y ) . Observaci´on 4.9.
En la formulaci´on anterior, usamos H como un conjunto de pares, pero ellector no debe olvidar, que H tambi´en puede ser visto como un n´umero natural. En este trabajoconseguimos la sentencia siguiente para el Teorema Finito de Ramsey, en el cual tratamos lanoci´on se secuencia en lugar de la de conjunto, y la noci´on de longitud de una secuencia en lugarde la de cardinal.( ∀ b ∈ Seq)( ∀ e ∈ Seq)( ∀ y ∈ Seq)( ∃ a ∈ Seq) { [Long( b ) = n ∧ Long( a ) = m ∧ Long( e ) = c ∧ Long( y ) ≤ λ ∧ n ≤ m ] : ( ∀ H ∈ Part([ m ] n , c ))[( ∃ s ∈ Seq)[ y = b ∗ s ] → ( ∃ ! β ≤ Long( e ) ∈ N ))[( ∀ k ≤ (cid:0) mn (cid:1) ∈ N )[( m k , c β ) ∈ H ] ∧ ( ¬∃ α ≤ Long( e ) ∈ N )[( ∃ k ≤ (cid:0) mn (cid:1) ∈ N )[( m k , c α ) ∈ H ]]]] ∧ Long( y ) ≥ ( y ) } Teniendo en cuenta los significados de Seq, Long y que todo n´umero i en N se puede escribir como1 + 1 + 1 + ... + 1 | {z } i − veces , y definimos a ∗ b = a · Q x ≤ Long( b ) p ( b ) x +1Long( a )+ x +1 , si a, b = 1, y acordando que µx ≤ g [ p x | g ∧ ¬ ( p x +1 | g )]) = 0 cuando g Seq o g = 1, tenemos la siguiente sentencia del lenguajede la Aritm´etica para PH. ( ∀ b ( b = 1 ∨ ( b > ∧ ∀ x ≤ b [ p x +1 | b → p x | b ])))( ∀ e ( e = 1 ∨ ( e > ∧ ∀ x ≤ e [ p x +1 | e → p x | e ])))( ∀ y ( y = 1 ∨ ( y > ∧ ∀ x ≤ y [ p x +1 | y → p x | y ])))( ∃ a ( a = 1 ∨ ( a > ∧ ∀ x ≤ a [ p x +1 | a → p x | a ])))] (cid:26) (cid:20) µx ≤ b [ p x | b ∧ ¬ ( p x +1 | b )]) = n ∧ µx ≤ a [ p x | a ∧ ¬ ( p x +1 | a )]) = m ∧ µx ≤ e [ p x | e ∧ ¬ ( p x +1 | e )]) = c ∧ µx ≤ y [ p x | y ∧ ¬ ( p x +1 | y )]) ≤ λ ∧ n ≤ m ] : ∀ H = Y ≤ r ≤ n − ≤ α ≤ c − p Y ≤ ij ≤ m ≤ j ≤ n − p m − i j i j + c α + 1 Y ≤ ij ≤ m ≤ j ≤ n − p m − i j i j + c α + c α r ( ∃ s ( s = 1 ∨ ( s > ∧ ∀ x ≤ s [ p x +1 | s → p x | s ])) y = b Y x ≤ µx ≤ s [ p x | s ∧¬ ( p x | s )] p µx ≤ x +1[ p x x | s ∧¬ ( p x x | s )]+1 µx ≤ y [ p x | y ∧¬ ( p x | y )]+ x +1 → ( ∃ ! β = 1 + · · · + 1 | {z } β − veces ≤ µx ≤ e [ p x | e ∧ ¬ ( p x +1 | e )])) ∀ k = 1 + · · · + 1 | {z } k − veces ≤ m ( m − m − ··· ( m − ( m − n ( n − ··· ( n − ( n − m − n )( m − n − ··· (( m − n − ( m − n − = h ∃ η = 1 + · · · + 1 | {z } η − veces ≤ h (cid:20) p m k ) ,c β ) η | H (cid:21) ∧ ( ¬∃ α = 1 + · · · + 1 | {z } a − veces ≤ µx ≤ e [ p x | e ∧ ¬ ( p x +1 | e )])) ∃ k = 1 + · · · + 1 | {z } k − veces ≤ m ( m − m − ··· ( m − ( m − n ( n − ··· ( n − ( n − m − n )( m − n − ··· (( m − n − ( m − n − ∃ ρ = 1 + · · · + 1 | {z } ρ − veces ≤ h (cid:18) p m k ) ,c α ) ρ | H (cid:19)(cid:21)(cid:21)(cid:21) ∧ µx ≤ y [ p x | y ∧ ¬ ( p x +1 | y )]) ≥ µx ≤ p x | y ∧ ¬ ( p x | y )] (cid:27) Aqu´ı, m k ) , c α ) se interpreta de forma obvia, y ha sido escrito de esta forma breve paramayor comodidad en la lectura y notaci´on. Omitiendo µx ≤ y [ p x | y ∧ ¬ ( p x +1 | y )]) ≥ µx ≤ p x | y ∧ ¬ ( p x | y )] tendr´ıamos el Teorema Finito de Ramsey.
5. La independencia de PH en PA
Aqu´ı presentamos la prueba de independencia de PH sobre PA brindada por Jeff Paris y LeoHarrington en [15]. Definimos una cierta teor´ıa T , y demostraremos que sobre PA puede probarseque Con( T ) → Con(
P A ). Y concluiremos al probar que PH implica Con( T ) es tambi´en un teoremade PA. Expandimos el lenguaje L A agregandole una colecci´on infinita numerable de constantes c , c , ... . Sea T , la teor´ıa engendrada en el seno de los axiomas:i) Las ecuaciones recursivas usuales definidas para + , · , < m´as los axiomas de inducci´on s´olopara f´ormulas l´ımitadas.ii) Para cada i = 0 , , ... , el axioma ( c i ) < c i +1 . ii) Para cada subconjunto finito i = i , ..., i r de ω , sea c ( i ) = c i , ..., c i r . Para cada i < k, k ′ ycada sentencia ψ ( y, z ) (donde k, k ′ y z tienen todas el mismo tama˜no) tenemos el axioma: ∀ y < c i [ ψ ( y ; c ( k )) ↔ ψ ( y ; c ( k ′ ))] . Proposici´on 5.1.
Con( T ) implica Con(
P A ) .Demostraci´on. Sea U un modelo de T e I el segmento inicial de U del cual a < c i para alg´un i ∈ ω . Por (ii), I es cerrado bajo + , · . Entonces, ser´a suficiente mostrar los dos hechos siguientes:A1. I = ( I, + , · , < ) | = P A .A2. Dados i < k , a < c i y θ ( y ), donde k, a y y son todos de longitud adecuada, I | = θ ( a ) si, y s´olo si, U | = θ ∗ ( a ; c ( k )).Procedemos por inducci´on sobre θ . Sup´ongase que θ es ∃ x < z ψ ∗ ( x, y, z , ..., z r ) . As´ı,
I | = θ ( a ) si, y s´olo si, para alg´un b en I y alg´un j (con m´ın( j ) grande), U | = ψ ∗ ( b, a, c ( j )), lo que ocurre si, y s´olo si, para alg´un k ′ (de nuevo con m´ın( k ′ ) grande), U | = θ ∗ ( a, c ( k ′ )) lo que ocurre si, y s´olo si U | = θ ∗ ( a ; c ( k )).Ahora bien, A1., es consecuencia de A2. En efecto, por (i), para toda θ , U satisface la inducci´onpara θ ∗ . (cid:3) Proposici´on 5.2.
PH implica
Con( T ) . Por el segundo Teorema de Incompletitud, ser´a suficiente demostrar que la proposici´on se puedeprobar en PA, para obtener la independencia de PH sobre PA. Pues
P A no puede demostrarCon(
P A ) luego, PA no puede demostrar PH. Ahora, necesitamos algunos lemas.
Lema 5.3.
Sean P y P particiones de [ M ] e en r y r partes, respectivamente. Entonces, hayuna partici´on P de [ M ] e en r · r partes, tal que para H ⊂ M , H es homog´eneo para P si, ys´olo si, H es homog´eneo para ambas P y P .Demostraci´on. Basta considerar P ( a ) = ( P ( a ) , P ( a )). (cid:3) Lema 5.4.
Un conjunto H es homog´eneo para una partici´on P de [ M ] e si, y s´olo si, todosubconjunto de H de tama˜no e + 1 es homog´eneo para P .Demostraci´on. Sea a = a , ..., a e los primeros e elementos de H . Tom´ese b = b , ..., b e tal que P ( a ) = P ( b ) y tal que b + ... + b e es minimizado. Si i es el menor ´ındice tal que a i = b i , entonces, { a , ..., a i , b i , ..., b e } no es homog´eneo y de tama˜no e + 1. (cid:3) Definici´on 5.5.
Definimos √ r el primer n´umero natural s tal que s ≥ r . Observese que paramuchos r (i.e., r ≥ r ≥ √ r . Lema 5.6.
Dada P : [ M ] e → r hay un P ′ : [ M ] e +1 → (1 + 2 √ r ) tal que para todo H ⊂ M decardinal mayor que e + 1 , H es homog´eneo para P si, y s´olo si, H es homog´eneo para P ′ .Demostraci´on. Sea s = √ r . Definanse funciones Q (para cociente) y R (para residuo) ambasmapeando a [ M ] e en s seg´un la ecuaci´on P ( a ) := sQ ( a ) + R ( a ). Para b = b , ..., b e , b e +1 en[ M ] e +1 , sea b ′ = b , ..., b e . Ahora, definimos P ′ sobre [ M ] e +1 por: P ′ ( b ) := b es homog´eneo para P, (0 , R ( b ′ )) si b es homog´eneo para Q y no para P (1 , Q ( b ′ )) en otro caso. Sea H homog´eneo para P ′ de cardinalidad > e + 1, y sea c los primeros e + 1 miembros de H . Debemos ver que P ′ ( c ) = 0 para verificar que H es homog´eneo para P , por el Lema 5.4.Not´ese que para cada a en [ c ] e hay un b en [ H ] e +1 tal que b ′ = a . Sup´ongase que P ′ ( c ) = (1 , i ).Entonces, por las observaciones previas, Q ( a ) = i para toda a en [ c ] e as´ı que c es homog´enea para Q , contradiciendo la definici´on de P ′ . As´ı, sup´ongase que P ′ ( c ) = (0 , j ) as´ı que c es Q digamos Q ( a ) = i para todo a en [ c ] e . Pero entonces P ( a ) = si + i para toda tal a as´ı que c es homog´eneopara P , de nuevo contradiciendo la definici´on de P ′ . (cid:3) ema 5.7. Sup´ongase que nos son dadas n particiones P i : [ M ] e i → r i , i < n ≤ n . Sea e = m´ax i e i y r = Q i m´ax( r i , . Hay una partici´on P : [ M ] e → r tal que para todo H ⊂ M decardinalidad mayor que e , H es homog´eneo para P si, y s´olo si, H es homog´eneo para todos los P i ’s. Proposici´on 5.8.
Para todos e, r, k hay un M tal que para cualquier familia ( P ǫ , ǫ < M ) departiciones P ǫ : [ M ] e → r , hay un X de cardinalidad mayor o igual que k tal que: i) Si a, b ∈ X y a < b , entonces a < b , ii) Si a ∈ X y ǫ < a , entonces X ∼ ( a + 1) es homog´eneo para P ǫ . Afirmaci´on 5.9.
La proposici´on anterior implica Con( T ). Demostraci´on.
Ver [15]. (cid:3)
Para cualquier funci´on g , sea g ( x ) , g compuesta con s´ı misma n -veces. Sea f ( x ) = x + 2 ysea f n +1 ( x ) = f ( x ) n (2). Se puede observar que f ( x ) ≥ x , f ( x ) ≥ x , f ( x ) ≥ i x donde ⊐ i x = 2 . .. y as´ı para f , f , ... Lema 5.10.
Lo siguiente se cumple. i) Para todo P hay un Q : [ M ] → p + 1 tal que si X es homog´eneo para Q y de cardinalidadal menos 2, entonces m´ın( X ) ≥ p . ii) Para cada m hay una partici´on R : [ M ] → r (donde r depende solo de m ) tal que si X ⊂ M es relativamente grande y homog´eneo para R y de cardinalidad mayor que 2,entonces para todo x, y ∈ X , x < y se tiene que f m ( x ) < y .Demostraci´on. Ver [15]. (cid:3)
Lema 5.11.
Sea P : [ M ] e → s ( e ≥ ) y m dado. Hay una partici´on P ∗ : [ M ] e → s ′ , donde s ′ depende solo de m, e y s , tal que si hay un Y ∈ M relativamente grande y homog´eneo para P ∗ decardinalidad mayor que e , enotnces hay un X ⊂ M tal que X es homog´eneo para P y card( X ) es a lo menos e + 1 y f m (m´ın( X )) . Proposici´on 5.12.
PH implica 5.8.Demostraci´on.
Nos son dados e, r, k y debemos construir M como en 5.1.8. Encuentre un p talque para todo a ≥ p , f ( a ) es razonablemente grande en comparaci´on con e, r, k y a . Not´ese que f ( y ) ≥ i y . Sea e ′ = 2 e + 1. Ahora, dado cualquier M y cualquier familia P ǫ : [ M ] e → r para ǫ < M , define un nuevo S : [ M ] e ′ → S ( a, b, c ) = 0 si P ǫ ( b ) = P ǫ ( c ) para todo ǫ < a . S ( a, b, c ) = 1 en otro caso. Sea Q como en 5.10. y como en 5.11. para m = 1. Use 5.7. para combinar Q, R y S en P y luego use 5.12. para obtener P ∗ : [ M ] e ′ → s ′ . El n´umero s ′ depende solo de e ′ y de p . Ahora, aplicamos el principio PH. Encontramos un M tal que M ∗ / / ( e ′ + 1) e ′ s ′ . Por5.1.10. hay un M tal que es homog´eneo para Q, R, S (m´ın( X ) ≥ p ) con card( X ) ≥ f (m´ın( X )).Ya que X es homog´eneo para R , y ya que f ( y ) ≥ y para aquellos y lo suficientemente grandespara est´ar en X , X satisface ii) de 5.8.Para verificar iii) de 5.8. reemplazamos X por X ∼ d = X ′ donde d = d , ..., d e son los ´ultimos e elementos de X . Sea d ′ ǫ = P ǫ ( d ). Si mostramos que para todo a < b < ... < b e en X ′ y todo ǫ < a , P ǫ ( b i ) = i ǫ . Es suficiente con mostrar que S ( a, b, c ) = 0, para alg´un (y as´ı, por homog´eneidad, paratodo) 1 + 2 e t´upla a, b, c de X . Sea a = m´ın( X ) y considerese e -´uplas consecutivas de X ∼ ( a + 1).Nuestra anterior elecci´on de p debe ser tal que haya m´as de r (2 a ) e -´uplas para entonces podemosencontrar e -´uplas para todo ǫ < a , como se deseaba. (cid:3) Consider´ese Rfn Σ la afirmaci´on de la teor´ıa de n´umeros que dice que para toda Σ -sentencia ψ ,si PA ⊢ ψ entonces ψ . Teorema 5.13.
Es un teorema de la Aritm´etica de Peano que PH equivale a
Rfn Σ . emostraci´on. Se sabe que para todos e, r, k , PA ⊢ ∃ M ( M ∗ / / ( k ) er ). Este hecho en s´ı mismoes un teorema de PA. Una aplicaci´on de Rfn Σ nos da PH.Asum´ase PH. Probemos Rfn Σ . Sea ψ una Σ -sentencia. Probemos que si ¬ ψ , entonces Con(PA+ ¬ ψ ). Si ψ es falsa en ω , entonces Con(T + ¬ ψ ), usando PH pero la prueba de 5.11. muestra queCon(T + ¬ ψ ) implica Con(PA + ¬ ψ ). (cid:3) Defina una funci´on f recursiva por f ( e ) = el menor M tal que M ∗ / / ( e + 1) ee . Teorema 5.14. Si g es una (descripci´on de a ) funci´on recursiva y si adem´as PA ⊢ “ g es total”,entonces, para todo e suficientemente grande, f ( e ) > g ( e ) .Demostraci´on. Sea S un subconjunto finito de T y sea c , c , ..., c k − las constantes que incidenen S . Podemos interpretar c , ..., c k − usando miembros del intervalo ( e, f ( e )). Si g ( e ) < f ( e )para una cantidad infinita grande de e , lo anterior muestra la consistencia de T m´as los siguientesaxiomas en una nueva constante e : e < c ; ¬∃ x ≤ c i ( g ( e ) = x ) para todo i ≤ ω .Obtenemos la consistencia de PA+ ∃ e ( g ( e ) no est´a definida). (cid:3) Referencias [1] Blasco, J..
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