aa r X i v : . [ m a t h . HO ] J un ARQUÍMEDES Y LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS
JONATHAN TABORDA HERNÁNDEZR
ESUMEN . Un breve repaso por la historia de las secciones cónicas no estaría completo sin un conteo exhaustivamente tole-rable sobre todas las cosas relativas al tema que pueden ser halladas en la extensa obra del sabio Arquímedes. No se poseeevidencia contundente de que el genio siracusano escribiera un tratado sobre las
Cónicas por separado.A
BSTRACT . A brief review of the history of the conic sections would not be complete without an exhaustively tolerableaccount of all the things related to the subject that can be found in the extensive work of the wise Archimedes. There is nostrong evidence that the Syracusan genius wrote a treatise on
Conics separately. Í NDICE
1. Introducción 12. Los elementos de trabajo de Arquímedes 53. El ortoconoide (paraboloide de revolución) 64. El ambliconoide (hiperboloide de revolución) 95. Superficies cuádricas, el tratamiento algebraico 105.1. Los primeros métodos 10Referencias 161. I
NTRODUCCIÓN
Un breve repaso por la historia de las secciones cónicas no estaría completo sin un conteo exhaustivamente tolerablesobre todas las cosas relativas al tema que pueden ser halladas en la extensa obra del sabio Arquímedes.No se posee evidencia contundente de que el genio siracusano escribiera un tratado sobre las cónicas por separado.La idea de que él lo hizo reposa en efecto sobre una base no muy substancial en la referencia para κονικ ΄α στοιχε῀ια [ ele-mentos de las cónicas ] (sin alguna mención sobre el nombre del autor) en dicho folium , que ha sido asumida como unareferencia para un tratado del mismo Arquímedes. Pero dicha suposición sencillamente puede ser refutada cuandolas referencias son comparadas con una cita similar en otro pasaje en el que por las palabras ΄εν τ ῀η στοιχει ΄ωδει [ en sus E-mail address : [email protected] .2010 Mathematics Subject Classification. Cf.
Sobre la Esfera y el Cilindro. I. pp. 24. en Heiberg.
Archimedis Opera Omnia.
Vol. I. pp. 24. La proposición citada está en EE . XII. 2: Los círculosson el uno al otro como los cuadrados de sus diámetros.
Esta proposición (i.e., EE X.I.) debe ser bien recordada porque es el lema requerido en la demostración que efectúa Euclides de la proposición 2,libro XII para el efecto en el que los círculos son el uno al otro como los cuadrados de sus diámetros. Algunos escritores parecen tener la impresiónde que XII.2 y las otras proposiciones en el libro XII, en que el método de exhausión es empleado, son los únicos lugares ( hapax legomena ) dondeEuclides hace uso de X.I. Además, es comúnmente visto que X.I. tendría que ser jústamente referida al inicio del libro XII. Cantor (cf.
Gesch. d.Math. I . p. 269. ) observa: «Euclides no hace ninguna referencia a este [X.I.], inclusive nosotros no tenemos nada más que esperar algo, a saberque, si dos magnitudes son inconmensurables, nosotros siempre podemos formar una magnitud conmensurable con la primera que será diferentede la segunda magnitud por pequeña que a nosotros nos plazca». Pero, sin hacer uso de X.I. antes de XII.2, Euclides emplea esta en toda laproposición siguiente, (X2). Se tiene entonces que X.2 produce un criterio para la inconmensurabilidad de dos magnitudes (un preliminar muynecesario para el estudio de los inconmensurables); X.I. será exactamente este. Euclides emplea X. I. para demostrar no únicamente XII.2 sino XII.5(i.e., las pirámides con la misma altura y base triangular no son la una a la otra como sus bases), por medio del cual él demuestra XII.7 y Porisma,que alguna pirámide es la tercera parte del prisma que tendrá la misma base e igual altura y XII.10 (i.e., que algún cono es una tercera parte delcilindro que tendrá la misma base e igual altura), entre otras proposiciones similares. Ahora, XII.7, Porisma y XII.10 son teoremas específicamenteatribuidos a Eudoxus por Arquímedes (cf. Sobre la esfera y el cilindro , prefacio), quien dice en otro lugar (cf.
Cuadratura de la parábola , prefacio) queel primero de los dos, y los teoremas sobre los círculos que son el uno al otro como los cuadrados de sus diámetros, se demuestra por cierto lemaque él establece como sigue: « de líneas desiguales, superficies desiguales, o sólidos desiguales, el más grande excede al menor por tal magnitudcomo sea posible, si se agrega [continuamente] a sí misma, excedería alguna magnitud de aquellas que son comparadas una con otra», i.e., de elementos ] en los
Elementos de Euclides indudablemente lo dan a entender.De manera similar las palabras «esto es demostrado en los elementos de las cónicas» simplemente significan que estoestá hecho en los libros de texto sobre los principios elementales de las cónicas. Una demostración positiva es queesto puede ser rastreado desed un pasaje sobre los comentarios de Eutocious a la obra de Apollonius. Heracleides, el biógrafo de Arquímedes, puede ser citado diciendo que «Arquímedes fue el primero en inventar teoremas sobrelas cónicas, y Apollonius había encontrado que ellos no habían sido publicados por Arquímedes, apropiándose deellos»; y Eutocius se une a la observación alegando que en su opinión esto no es verdadero, «por un lado Arquí-medes aparece en muchos pasajes haciendo referencia a los elementos de las cónicas como un tratado antiguo ( ΄ωςπαλαιοτ ΄ερας ) [conocidos previamente], y por otro lado, Apollonius no parece haber enseñado sus propios descubri-mientos».Así Eutocius estimó la referencia al inicio de una exposición temprana de la teoría elemental de las cónicas por otrosgeómetras; por otra parte, i.e., si él tuvo que pensar que Arquímedes se refería a un tratado temprano de su pro-pia autoría, él no podría haber empleado la palabra παλαιοτ ΄ερας [previo] en lugar de alguna expresión similar para πρ ΄οτερον ΄εκδεδομ ΄ενης [antiguamente emitido].En la investigación de las variadas proposiciones sobre las cónicas que pueden ser halladas en Arquímedes, es na-tural un vistazo, en primera instancia, para mostrar cómo el sabio siracusano está al tanto de la posibilidad paraproducir las tres secciones cónicas de los otros conos, en conos rectos y a través de otras secciones planas de aquellasperpendiculares a un generador del cono. Nosotros observamos, primero, que él siempre emplea los antiguos nom-bres «sección de un cono de ángulo-recto», etc., empleados por Aristaeus, y no debe dudarse de que aquellos treslugares donde la palabra ἕλλευψις [elipse] aparece no serán relevantes aquí.Al principio del tratado Sobre conoides y esferoides ( Κονοιδες υ Εσφεροιδες ) encontramos lo siguiente: «si un cono escortado por un plano encontrándose contenido en el cono, la sección será un círculo o una sección de un cono deángulo-agudo» (i.e., una elipse). La dirección en que tales proposiciones fueron demostradas en el caso en que la sec-ción del plano forma un ángulo recto con el plano de simetría, puede ser inferida de las proposiciones 7 y 8 del mismotratado, donde se muestra que es posible encontrar un cono del que una elipse es una sección y cuyo vértice no esuna línea recta trazada desde el centro de la elipse (1) perpendicular al plano de la elipse, (2) no es perpendicular aeste plano, pero reposa en un plano en ángulo recto a este y pasa a través de uno de los ejes de la elipse. El problemaevidentemente pertenece a la determinación de las secciones circulares del cono, y así es como Arquímedes procede:(1) Conciba una elipse con BB ′ su eje menor y levante un plano perpendicular al plano del papel: suponga quela línea CO traza una perpendicular al plano de la elipse, y sea O el vértice del cono requerido, (véase Fig.1).Tómese OB , OC , OB ′ , y en el mismo plano con ellos trace BED encontrando OC , OB ′ en E , D respectivamente,y en tal dirección se tiene BE · ED = EO = CA · CO (donde CA es la mitad del eje mayor de la elipse.) Y si esto es posible, entonces BE · ED : EO > BC · CB ′ : CO (Ambos, la construcción y ésta última proposición son asumidos como conocidas).Ahora conciba un círculo con BD como diámetro trazado en un plano perpendicular al plano del papel, y magnitudes del mismo tipo como las magnitudes originales. Arquímedes también afirma (loc. cit.) que el segundo de los dos teoremas que élatribuye a Eudoxus (EE. XII.10) fueron demostrados por medios de un «Lema similar mencionado anteriormente». El lema establecido así porArquímedes es decididamente diferente del X.I, el cual sin embargo, Arquímedes mismo empleó en varias ocasiones, mientras él se refiere al usode éste en XII.2 (cf. Sobre la esfera y el cilindro , I.6.). La aparente dificultad causada por la mención de los dos lemas en conexión con el teorema deEuclides XII.2 puede ser explicada por la referencia a la demostración de X.I. Euclides aquí toma la magnitud menor y dice que es imposible, por lamultiplicación de esta, que alguna vez exceda las más grande, y claramente emplea el estamento de la cuarta definición del libro V, para el efectode que «se dice que las magnitudes están en proporción una con otra, si multiplicándolas, se exceden una a la otra». Desde entonces la magnitudmás pequeña en X.I puede ser vista como la diferencia entre las dos magnitudes desiguales, y es claro que el lema establecido por Arquímedes esen substancia empleado para demostrar el lema X.I que parece jugar un papel mucho más extenso en las investigaciones sobre la cuadratura y lacubatura. El nombre aparece en el pasaje refiriéndose a este como ῾Ηρακλειος . Cf.
Apollonius (ed. Heiberg) Vol. II. pp. 168. La sentencia de Heracleides de que Arquímedes fue el primero en «inventar» ( ΄επινο῀ησαι ) teoremas sobre las cónicas no es sencillo de explicar.Bretschneider (pp. 156.) afirma, con respecto al cargo de plagio levantado contra Apollonius, bajo la malicia de las pequeñas mentes tendríanprobablemente que buscar venganza por ellos mismos para el concepto en que ellos tendrían que ser ayudados por un gigante intelectual similara Apollonius. Heiberg, por otro lado, piensa que esto es injusto para Heracleides, quien probablemente malinterpretó la elaboración del cargode plagio por encontrar muchas de las proposiciones de Apollonius ya citadas por Arquímedes, como es bien conocido. Heiberg deja en clarotambién que Heracleides no tuvo la intención de adscribir la invención actual de las cónicas a Arquímedes, sino únicamente la teoría elementalde las secciones cónicas como fueron formuladas por Apollonius debidas al siracusano; por otra parte, la contradicción de Eutocius tendría quetomar una forma diferente y él no tendría que haber omitido el punto bien conocido de que Menaechmus fue el descubridor de las seccionescónicas. Cf. Sir Thomas L. Heath.
Apollonius of Perga . Teatrise of Conic Section. Cap. III. Cambrigde Univ. Press. 1896.
RQUÍMEDES Y LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS 3
Figura 1 describa un cono pasando a través del círculo y tome a O como su vértice.Tenemos que probar entonces que dada una elipse, esta es una sección de dicho cono, o, si P es algún puntosobre la elipse, P está sobre la superficie del cono.Trace PN perpendicular a BB ′ . Una ON , y prolongue esta hasta encontrar a BD en M , y sea MQ trazada en elplano del círculo sobre BD como diámetro y perpendicular a BD , encontrando la circunferencia del círculo en Q . También trácese FG , HK a través de E , M , respectivamente paralelos a BB ′ .Ahora QM : H M · MK = BM · MD : H M · MK = BE · ED : FE · EG = (cid:16) BE · ED : EO (cid:17) · (cid:16) EO : FE · EG (cid:17) = (cid:16) CA : CO (cid:17) · (cid:16) CO : BC · CB ′ (cid:17) = CA : BC · CB ′ = PN : BN · NB ∴ QM : PN = H M · MK : BN · NB ′ = OM : ON ,donde, PN , QM son paralelos, OPQ es una línea recta.Pero Q no es la circunferencia del círculo sobre BD como su diámetro; entonces OQ es un generador del cono,y entonces P está sobre el cono.Así el cono pasa a través de todos los puntos de la elipse dada.(2) Sea OC no perpendicular a AA ′ , uno de los ejes de la elipse dada, y el plano del papel está conteniendo a AA ′ y OC ′ , así que el plano de la elipse es perpendicular al plano. Sea BB ′ el otro eje de la elipse, (véase Fig.2).Ahora OA , OA ′ no son iguales. Prolóngese OA ′ hasta D así que OA = OD . Una AD , y trace FG a través de C paralelo a este.Conciba un plano a través de AD perpendicular al plano del papel, y en este describa(a) si CB = FC · CG , un círculo con diámetro AD , o(b) si no, una elipse sobre AD como eje tal que si d es el otro eje d : AD = CB : FC · CB .Tome un cono con vértice en O pasando a través del círculo o una elipse justamente trazada.Esto es posible inclusive cuando la curva sea una elipse, porque la línea trazada desde O al punto medio de AD esperpendicular al plano de la elipse, y la construcción es similar a la precedente en el caso (1).Sea P algún punto sobre la elipse, y nosotros únicamente tenemos que probar que P está sobre la superficie del cono ARQUÍMEDES Y LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS
Figura 2 así descrito.Tracemos PN perpendicular a AA ′ . Unamos ON , y prolonge esta para encontrar AD en M . A través de M trace HK paralela a AA ′ . Finalmente, trace MQ perpendicular al plano del papel (y entonces perpendicular a HK y AD )encontrando la elipse o círculo sobre AD (y entonces la superficie del cono) en Q .Entonces QM : H M · MK = (cid:16) QM : DM · MA (cid:17) · ( DM · MA : H M · MK )= (cid:16) d : AD (cid:17) · (cid:0) FC · CG : A ′ C · CA (cid:1) = (cid:16) CB : FC · CG (cid:17) · (cid:0) FC · CG : A ′ C · CA (cid:1) = CB : A ′ C · CA = PN : A ′ N · N A ∴ QM : PN = H M · MK : A ′ N · N A = OM : ON Por tanto
OPQ es una línea recta, y, Q está sobre la superficie del cono, y esto se sigue de que P está también sobre lasuperficie del cono.La demostración de que las tres cónicas pueden ser producidas por medio de secciones de algún cono circular, rectou oblicuo, que son hechas por planos perpendiculares al plano de simetría, pero no necesariamente perpendicular alas líneas generatrices del cono, es de hecho esencialmente la misma que la demostración para la elipse.Debe entonces inferirse que Arquímedes estaba igualmente al tanto sobre el hecho de que la parábola y la hipérbolapodrían ser halladas por métodos más antiguos. Él continua empleando los nombres antiguos para las curvas y endicho contexto la elipse fue llamada «sección del cono de ángulo agudo», despues fue descubierto que esta podríaser producida por medio de un plano que las corte todas desde de un cono, siempre y cuando lo haga en ángulorecto. Heiberg concluye que Arquímedes únicamente obtuvo la parábola empleando los antiguos métodos porque éldescribe el parámetro como el doble de la línea entre el vértice de la parábola y el eje del cono, que es únicamentecorrecto en el caso del cono de ángulo recto; pero esto no es más que una objeción para el uso continuo del términoarquimediano «sección de un cono de ángulo agudo» para significar que la elipse fue hallada de forma diferente.Zeuthen señala, como evidencia posterior, el hecho de que nosotros tenemos las siguientes proposiciones enunciadaspor el siracusano sin demostración ( Sobre conoides y esferoides , 11):(1) Si un conoide de ángulo recto [un paraboloide de revolución] es cortado por un plano a través del eje o pa-ralelo al eje, la sección será la de un cono de ángulo recto y la misma que comprende la figura ( ἄ α `υτ `α τ῀απεριλαμβανο ΄υσα τ `ο σχ ῀ημα ) [aquellas figuras que incluyen la forma]. Y su diámetro [eje] será la sección común
RQUÍMEDES Y LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS 5 del plano que corta la figura y que es trazada a través del eje perpendicular al plano de corte.(2) Si un conoide de ángulo obtuso [hiperboloide de revolución] es cortado por un plano a través del eje o paraleloal eje o a través del cono envolvente ( περι ΄εχοντος ) [que contiene] el conoide, la sección será una sección de uncono de ángulo obtuso: si [el plano de corte pasa] a través del eje, el mismo que está comprendido en la figura:si es paralelo al eje, o similar a este; y si es a través del vértice del cono envolvente del conoide, es no similar.Y el diámetro [eje] de la sección será una sección común para el plano que corta la figura y de la que se trazael eje en ángulos rectos al plano de corte.(3) Si alguna de las figuras esferoidales son cortadas por un plano a través del eje o paralelo al eje, la secciónserá una sección de un cono de ángulo agudo: si es a través del eje, la sección actual que se obtiene es la quecomprende la figura: si es paralelo al eje, es similar a este.Arquímedes agrega que las demostraciones de todas aquellas proposiciones son obvias. Sí es entonces tolerable-mente cierto que ellas están basadas sobre los mismos principios como sus demostraciones tempranas relativas a lassecciones de una superficie cónica y las demostraciones dadas en sus investigaciones posteriores sobre las seccio-nes elípticas para las variadas superficies de revolución. Aquellas dependen, como se verá, de la proposición queafirma, que si dos cuerdas trazadas en direcciones fijas intersectan un punto, la proporción de los ángulos rectosbajo los segmentos es independiente de la posición del punto. Esta corresponde exactamente a la empleada en lasdemostraciones anteriores sobre el cono, para la proposición en que, si las líneas rectas FG , HK son trazadas en di-recciones fijas entre dos líneas formando un ángulo, y si FG , HK se encuentran en algún punto M , la proporción FM · MG : H M · MK es constante; la propiedad posterior es en efecto el caso particular en que la cónica se reduce ados líneas rectas.La siguiente es una reproducción, dada para un ejemplo, de la proposición (13) del tratado Sobre conoides y esferoides ,que prueba que la sección de un conoide de ángulo obtuso [un hiperboloide de revolución] por algún plano queencuentra todos los generadores del cono envolvente, y que no es perpendicular al eje, es una elipse cuyo eje mayores la parte interceptada en el interior del hiperboloide de la línea de intersección para el plano de corte y el plano através del eje perpendicular a este.2. L
OS ELEMENTOS DE TRABAJO DE A RQUÍMEDES
Propiamente hablando sobre los
Elementos de Euclides , los matemáticos griegos estaban en posesión de una colec-ción ordenada sistemáticamente de proposiciones matemáticas sobre las que ellos tendrían que basar sus investiga-ciones futuras. De esta manera se exhoneraban de la obligación de revertir en sus trabajos los temas de contenidoelemental, i.e., de naturaleza fundamental: cuando una proposición estaba contenida en los Elementos , esto era sufi-ciente, para el aparato de difusión universal del trabajo, y era una razón suficiente para no mencionar esta.El grado de conocimiento matemático requerido en la lectura moderna de los trabajos de Arquímedes constituyeinfrecuentemente una seria barrera para la apreciación de ellos, porque él adquiere su conocimiento de los elementosde su ciencia de una manera enteramente diferente de los discípulos de Euclides. Además, Euclides acostumbra apreceder el núcleo real de sus tratados por numerosos lemas, cuyo propósito no será aparentemente útil hasta muchodespués. Continuando con la referencia a la obra del Magno Arquímedes, en la carta nuncupatoria a
Dositheus que sirve comoexordio al tratado Sobre conoides y esferoides , las siguientes figuras son definidas: Cf. Heiberg. Op. cit. Vol.I. pp. 348 y ss. Para un estudio detallado y pormenorizado de los recursos lingüísticos empleados por los matemáticos griegos cuan-do efectúan la demostración de un resultado, véase: Fabio Acerbi.
La sintassi logico della matematica greca.
Libro I.: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00727063/file/LibroLogica1.pdf ., versión 1. 4 sep. 2012.
The language of the «Givens»: its forms and it is use deductive tool in Greek mathematics.
Arch. Hist. Exac. Sci. (2011) 65: 119-153. Cf.
Archimedes
E.J. Dijksterhuis. transladed by C. Dikshoorn with a new bibliographic essay by Wilbur R. Knorr. Princeton Univ. Press. 1987.pp. 49 y ss. Cf.
Sobre conoides y esferoides.
Introducción. En:
The works of Archimedes
Edit in modern notation with introductory chapters edited by SirThomas L. Heath. pp. 99-151. Cambridge University Press. This digitally printed version 2010.
ARQUÍMEDES Y LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS (I) Cuando un ortotoma ( ὀρτοτωμα ) rota sobre el diámetro, una figura es generada y es llamada un conoide deángulo recto ( ὀρθογ ΄ωνιου χωνοειδ ΄ες ); que puede ser trasladado como ( ὀρτοςονοιδε ). Cuando paralelo a algúnplano tangente a esta se traza un plano que la corta, este plano junto con la superficie determinan un segmentode conoide ( τμ῀αμα το῀υ χωνοειδ ΄εος ), del que la base es la sección para el corte del plano con el conoide; el vérticees el punto de contacto con el plano tangente, el eje la parte de corte externa por los planos de la línea recta através del vértice del segmento paralelo al eje de revolución.El ortoconoide es aparentemente un paraboloide de revolución .(II) A través de la rotación de un ἀμβλυτομε sobre el diámetro de un conoide de ángulo obtuso ( ἀμβλυγ ΄ωνιονχωνοειδ ΄ες ), que puede ser trasladado como ambliconoide , se obtiene entonces un hiperboloide de revolución de unao dos hojas . Las asíntotas de la sección durante la rotación generan el cono envolvente ( χ ΄ωνος περι ΄εχων ). De unsegmento como el definido en (I) el eje es la parte de corte externa por el plano tangente paralelo a la línea rectaque une el vértice del cono envolvente con el vértice del segmento. La parte de la línea recta entre aquellospuntos por si mismos es llamado eje producido ( ποτεο῀υσα τ ῀ω ἄξονι = adyacente al eje).(III) A través de la rotación del oxit¯oma ( ὀξιτωμα ) sobre un diámetro se genera el esferoide (elipsoide de revolución),que es llamado prolato ( παραμ῀αχες σφαιροιδ ΄ες ) u oblato ( `επιπλατ `υ σφαιροειδ ΄ες ), de acuerdo a la sección que harotado sobre el diámetro mayor o menor.El eje y el vértice son definidos en forma similar a la anteriormente descrita, el centro es el centro de la secciónrotante, el diámetro de la sección son los ángulos rectos al eje de rotación. Un plano para el corte junto conel esferoide determina dos segmentos, los vértices que son los puntos donde los planos tangentes paralelosal plano de corte tocan la superficie, las partes determinadas por el plano de corte sobre el segmento de líneaentre los puntos de contacto son llamados los ejes .3. E L ORTOCONOIDE ( PARABOLOIDE DE REVOLUCIÓN ) Proposición (C.S. 11(1) ) . Si un ortoconoide es cortado a través de un plano, o paralelo al eje, la sección será el mismo ortotomaque está contenido en la figura que revoluciona, y su diámetro será la sección común del plano de intersección de la figura y elplano levantado a través del eje en ángulos al plano de corte.Demostración.
La demostración, que está perdida en el tratado de Arquímedes (esta es requerida únicamente para unplano paralelo al eje), puede ser hallada como sigue (ver Fig. 3) Figura 3
Sea AB el eje, ΓΔ la intersección entre el plano del papel y el plano de corte en ángulos rectos. Se traza una línea recta Es un término antiguo, ya en desuso, utilizado por los antiguos griegos cuando todavía las curvas cónicas no tenían un nombre específico,definiéndose cada una por la forma en que habían sido descubiertas. Así se obtenían oxitomas o secciones de un cono agudo, ortomas o seccionesde un cono rectángulo y amblitomas o secciones de un cono obtuso. Arquímedes utilizó estos nombres, aunque según parece, también usó yael nombre de parábola , como sinónimo para una sección de un cono rectángulo. Pero fue realmente Apollonius, posiblemente siguiendo unasugerencia de Arquímedes, quién introdujo por primera vez los nombres de elipse y de hipérbola en conexión con estas curvas. Cf. DE CONOIDIBUS ET SPHAEROIDIBUS pp. 341 y ff. en
Archimedis Opera Omnia Vol.I. CUM COMMENTARIIS EUTOCII.
J. L. Heiberg. B.G. TEUBNERL. 1880. Cf. Dijksterhuis. op.cit. pp.113 y ss.
RQUÍMEDES Y LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS 7 a través de Δ perpendicular al plano del papel (i.e., en el plano de corte) encontrando la superficie en Χ . Entonces, siel orto para la sección meridiana es N , tenemos T ( Θ∆ ) = O ( E ∆ , Z ∆ ) = T ( BE ) − T ( B ∆ )= O ( N , AB ) − T ( Γ H ) = O ( N , AB ) − O ( N , AH )= O ( N , BH ) = O ( N , Γ∆ ) La sección entonces es un ortotoma con vértice en Γ , diámetro Γ∆ , y el mismo orto como EAZ , i.e., iguales y similares. (cid:4)
Proposición (C.S.12 ) . Si un ortoconoide es cortado por un plano que pasa a través del eje, no paralelo al eje, no perpendicularal eje, la sección será un oxitoma; el diámetro más grande será la parte de corte en el interior del conoide de la intersección entreel plano de corte y el plano a través del eje en ángulos rectos al plano de corte, el diámetro menor será igual a la distancia entrelas líneas rectas trazadas desde las extremidades del diámetro mayor, paralelo al eje.Demostración.
En la figura 4 sea A Γ la intersección entre el plano meridiano, que es el plano del papel, y el plano decorte en ángulo recto, sea K un punto de la intersección entre el plano de corte y la figura, K Θ la perpendicular de K a A Γ , EZ la intersección entre el plano del papel y un plano levantado a través de Θ en ángulo recto al eje; este planointersecta al conoide en un círculo sobre EZ como diámetro. Figura 4
Ahora T ( K Θ ) = O ( E Θ , Z Θ ) .Ahora, empleando la proposición 3 de conoides y esferoides , se tiene que [ O ( E Θ , Z Θ ) , O ( A Θ , ΓΘ )] = [ T ( BT ) , T ( NT )] cuando la tangente N M paralela a A Γ encuentra la tangente al vértice (paralelo a EZ ) en T porque NT = MT (quese sigue de PB = BM ) se tiene que [ T ( K Θ ) , O ( A Θ , ΓΘ )] = [ T ( BT ) , T ( MT )] = [ T ( A Λ ) , T ( A Γ )] entonces A Λ y A Γ son respectivamente el diámetro mayor y menor de la oxitoma que es el lugar de Κ . (cid:4) Proposición (C.S. 15(1) ) . De las líneas rectas, trazadas desde los puntos de un ortoconoide paralelo al eje, las partes queestán en la misma dirección de la convexidad ( ταχυρτα ) a la superficie caerán por fuera del conoide; las partes que están en otradirección caerán en su interior.Este resultado se obtiene con la ayuda de la Proposición 11 (1) correspondiente sobre el ortotoma.
Cf. Heiberg Op.cit. pp. 345-349. Cf. Heiberg. Op.cit. pp. 357. Proposición [C.S. 11(1)]
Si un paraboloide de revolución es cortado por un plano, o paralelo a este en los ejes, la sección será una parábola igual a laoriginal que por su revolución genera el paraboloide. Y los ejes de la sección serán la intersección entre el plano de corte y el plano a través del eje del paraboloideen ángulos rectos al plano de corte.Si el paraboloide es cortado por un plano en ángulo recto a los ejes, la sección será un círculo cuyo centro está sobre el eje .Cf. Heath. Op.cit. pp.122 y ss., Heiberg. Op. cit. pp. 341.
ARQUÍMEDES Y LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS
Definición.
Todos los ortoconoides (paraboloides de revolución) son similares.
Lo que esto significa no es mencionado posteriormente. Probablemente la referencia es simple debido a la simila-ridad de las secciones generadas por los ortoconoides, que ya se sabe que son similares.
Proposición.
Todos los ortotomas son similares uno al otro.Demostración.
Sobre la rigidez de la definición anterior de similaridad entre dos cónicas, esta hipótesis puede serprobada como sigue:De dos ortotomas sean las ordenadas y las abscisas sucesivamente y y x , η y ξ , el ortoide N y M .Entonces tenemos T ( y ) = O ( N , x ) T ( η ) = O ( M , ξ ) Ahora establezcamos entre las abscisas de las dos curvas la relación ( x , ξ ) = ( N , M ) , [ T ( y ) , T ( η )] = [ O ( N , x ) , O ( M , ξ )] = [ T ( x ) , T ( ξ )] ,entonces ( y , η ) = ( x , ξ ) o ( y , x ) = ( η , ξ ) (cid:4) Se obtiene la siguiente
Proposición.
Dos segmentos de ortotomas son llamados similares cuando las bases están en la misma proporción a sus diáme-tros, mientras en ambos el ángulo entre el diámetro y la base son el mismo.
En el corpus arquimediano, el siracusano habla repetidamente sobre la similaridad en conexión con las cónicas.Con toda probabilidad él comprendió dicho significado a través del trabajo de Apollonius, cuya concepción estáenraízada con el punto de vista de Euclides sobre el mismo tema; su definición (i.e., la de Arquímedes) puede serreproducida, en forma abreviada, como sigue:«
Nosotros decimos que dos cónicas son similares cuando las líneas trazadas hacia el diámetro en la dirección deuna ordenada son proporcionales a las partes del diámetro que ellos determinan desde el vértice ». Proposición (C.S. 15 (3) ) . Si un plano encuentra un conoide sin cortarlo, éste lo encontrará en un único punto, y el planotrazado a través del punto de contacto y el eje lo harán en ángulo recto con el plano que tocó éste.Demostración.
Supóngase que el plano toca la superficie en dos puntos Α y Β . Trace a través de cada uno de ellosaquellos puntos una línea recta paralela al eje, y trace un plano a través de aquellas dos líneas rectas. Este plano cortael conoide en un ortotoma sobre el que están los puntos Α y Β . Los puntos del segmento de línea ΑΒ entonces caenen el interior de la sección, i.e., en el interior del conoide.La segunda parte de la proposición es evidente para el plano tangente al vértice. En efecto, las tangentes a los vérticesa dos secciones de los conoides en los planos a través de los ejes son perpendiculares al eje, y consecuentementeasí también para el plano tangente (aquí entonces este es tomado en consideración para que el plano tangente seadeterminado por dos tangentes a las curvas sobre la superficie a través del punto bajo cuestión). Si el plano toca alconoide en otro punto, se sobrentiende que el plano contiene la tangente al círculo paralelo y es consecuentementeun ángulo recto a la sección meridiana a través del punto de contacto. (cid:4) No nos es bastante claro el por qué el Prof. Dijksterhuis, en su obra sobre
Achimedes realiza la siguiente cita en lo referente a la igualdady similaridad de las cónicas en el tratado de Apollonius: Cf.
Apollonius
Conica VI. Def. 2; referencia cruzada que pertenece a la monumentaledición del Prof. Heiberg:
Apollonii Pergaei quae graece exstant, cum commentariis antiquis edidit et latine interpretatus est J.L. Heiberg. 2 vol. Leipzig,B.G. Teubner 1891-93. Dicha
Opera , solo contiene los libros I-IV, y la referencia de Dijksterhuis pertenece al libro VI. La alusión correcta se puedeencontrar en,
Apollonius of Perga. Treatise on conic sections. Edited in modern notation.
Sir Thomas L. Heath. Cambridge Univ. Press. 1896. pp. 379. Cf. Heiberg.
Archimedes Opera Omnia.
Vol.I. pp. 358-363.
RQUÍMEDES Y LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS 9
4. E
L AMBLICONOIDE ( HIPERBOLOIDE DE REVOLUCIÓN ) Proposición (C.S. 11 (2) ) . Si un ambliconoide (hiperboloide de revolución) es cortado por un plano a través del eje, o paraleloal eje, o a través del vértice del cono que envuelve al conoide, la sección será un amblitoma ( ἀμβλιτομα ), i.e., el plano que pasaa través del eje, el mismo que contiene la figura
Figura 5
Sea ΓΑ la intersección de un plano paralelo al eje ΒΑ con un plano meridiano elegido como el plano del papel, unángulo recto al plano, Χ algún punto de la sección, ΧΕ la perpendicular de Χ a ΓΔ . Ahora, T ( Θ E ) = O ( ME , NE ) = T ( H M ) − T ( HE ) teniéndose que [ T ( H M ) , O ( AH , BH )] = [ T ( ∆ Z ) , O ( AZ , BZ )] ,entonces [ T ( H M ) , T ( HE )] = [ T ( KH ) − T ( KA ) , T ( KZ ) − T ( KA )] o [ T ( Θ E ) , T ( H M )] = [ T ( KH ) − T ( KZ ) , T ( KH ) − T ( KA )] ,entonces [ T ( Θ E ) , T ( Γ E ) − T ( Γ∆ )] = [ T ( H M ) , T ( KH ) − T ( KA )] El lugar de Θ entonces es un amblitoma que es similar a la sección meridiana. . En la figura 6Sea ΚΔΕ la intersección con el plano de corte a través del vértice para el cono envolvente (centro de la secciónmeridiana). Ahora tenemos: T ( Θ E ) = O ( ME , NE ) = T ( H M ) − T ( HE ) También, si E Λ k ∆ A , [ T ( MH ) , T ( KH ) − T ( KA )] = [ T ( ∆ Z ) , T ( KZ ) − T ( KA )]= [ T ( EH ) , T ( KH ) − T ( K Λ )] Cf. Heiberg. Op. cit. pp. 341-342. La propoposición anterior, consta de cuatro ítems, todos ellos «evidentes», como afirma Heath. Cf. Heath. Op. cit. pp. 122. Cf. Dijksterhuis.
Archimedes . pp. 113 y ss.
Figura 6 entonces, [ T ( MH ) , T ( EH )] = [ T ( KH ) − T ( KA ) , T ( KH ) − T ( K Λ )] ,de lo que se sigue que [ T ( MH ) − T ( EH ) , T ( MH )] = [ T ( K Λ ) − T ( KA ) , T ( KH ) − T ( KA )] ,entonces [ T ( Θ E ) , T ( K Λ ) − T ( KA )] = [ T ( MH ) , T ( KH ) − T ( KA )] La proporción [ T ( Θ E ) , T ( KE ) − T ( K ∆ )] entonces está compuesta de las proporciones constantes [ T ( MH ) , T ( KH ) − T ( KA )] y [ T ( K Λ ) − T ( KA ) , T ( KE ) − T ( K ∆ )] i.e., de la proporción para el cuadrado sobre la ordenada y el rectángulo sobre la abscisa de la sección meridiana y laproporción [ T ( KA ) , T ( K ∆ )] , que no es una proporción 1 : 1. El lugar de Θ entonces es un amblitoma, pero este no essimilar a la sección meridiana. (cid:4) Proposición.
Si un ambliconoide ( ἀμβλικωνοιδε = hiperboloide de revolución) es cortado por un plano que encuentra todoslos generadores del cono envolvente del conoide ( κονοιδε ) y este no forma ángulo recto con el eje, la sección será un oxitoma( ὀξιτομα ), y el diámetro más grande será la parte del corte externo en el diámetro del conoide de la intersección para el plano decorte y el plano a través del eje en ángulo recto a los planos de corte.Demostración. De la figura 5, encontramos que [ T ( K Θ ) , O ( A Θ , ΓΘ )] = [ T ( BT ) , T ( NT )] del que ya se sigue que el lugar de Κ es un oxitoma. Ahora, BP > BM , ∴ TN > TM > BT ,por tanto, BT < NT . Entonces ΑΓ es el diámetro más grande. (cid:4)
5. S
UPERFICIES CUÁDRICAS , EL TRATAMIENTO ALGEBRAICO
El primer texto que recoge un estudio algebraico sistemático para cuádricas en generalpertenece a Euler. Él no cubrió muchos hechos, pero forjó una herramienta para estudiar tales superficies en detalle.Su técnica esencial fue el cambio de ejes rectangulares. Iniciemos con la ecuación general de segundo grado en dosvariables: α z + β yz + γ xz + δ y + ǫ xy + ζ x + η x + θ y + ι z + κ = z quien las tome. Cf. Dijksterhuis. Op. cit. pp. 115.
RQUÍMEDES Y LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS 11
Figura 7
En comparación, nosotros podemos dejar de lado la constante y los términos lineales, así que en el infinito la super-ficie actúa similarmente como el cono α z + β yz + γ xz + δ y + ǫ xy + ζ x = αδ − β >
0; 4 αζ − γ >
0; 4 δζ − ǫ > x y y α (cid:16) δ y + ǫ xy + ζ x (cid:17) > ( β y + γ x ) , (cid:16) αδ − β (cid:17) y + ( αǫ − βγ ) xy + (cid:16) αζ − γ (cid:17) x > xy , yz , zx . Laecuación resultante es(1) Ap + Bq + Cr + Gp + Hq + Ir + K = ABC = Ap + Bq + Cr + L = z , tendría que anularse, él escribe Ap + Bq + Cp + Hq + Ir + L = Ap + Bq = ar .El tratamiento temprano obtuvo un progreso sustancial en los trabajos de Monge-Hachette. Monge fue uno de losmaestros más grandes del mundo, y sabemos que muchas de sus grandes ideas estaban contenidas en las lecturasque él deliberó en la École Polytechnique . La ecuación estándar escrita como(2) At + A ′ u + A ′′ v + Buv + B ′ vt + B ′′ ut + Ct + C ′ u + C ′′ v = k una línea a través de ( t ′ , u ′ , v ′ ) es escrita como t − t ′ = l ( v − v ′ ) u − u ′ = m ( v − v ′ ) .Asumiendo que ( t ′ , u ′ , v ′ ) no está en la superficie, sustituimos t por u y tenemos una ecuación que es lineal en v .Tomemos la raíz de v = v ′ y substituyendo por l y tomando a m , tenemos el plano tangente t (cid:0) At ′ + B ′′ u ′ + B ′ v ′ + C (cid:1) + u (cid:0) B ′′ t ′ + A ′ u ′ + Bv ′ + C (cid:1) ++ v (cid:0) B ′ t ′ + Bu ′ + A ′′ v ′ + C ′′ (cid:1) + Ct ′ + Cu ′ + C ′′′ v ′ − K = Los autores ahora van a investigar el centro de la superficie. Ellos substituyen en (2) t = x + α , u = y + β , v = z + γ .Los coeficientes de 2 x , 2 y , 2 z son A α + B ′′ β + B ′ γ + C , B ′′ α + A ′ β + B γ + C ′ , B ′ α + B β + A ′′ γ + C ′′ .Esta primera clase de superficie, que son los cono con centro, son aquellas en las que tales tres expresiones puedenser hechas para que se anulen. En nuestra notación (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) A B ′′ B ′ B ′′ A ′ BB ′ B A ′′ (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) = Ax + A ′ y + A ′′ z + Byz + B ′ zx + B ′′ xy = H El problema siguiente es más complicado y tiene que ver con los ejes de tal rotación en que los términos del productose anulan.La ecuación del plano tangente es (cid:2) Ax ′ + B ′′ y ′ + B ′ z ′ (cid:3) x + (cid:2) B ′′ x ′ + A ′ y ′ + Bz ′ (cid:3) y + (cid:2) B ′ x ′ + By ′ + A ′′ z ′ (cid:3) z = H .Esto también puede ser escrito como L ( x − x ′ ) + M ( y − y ′ ) + N ( z − z ′ ) = Lx ′ = My ′ = Nz ′ .Los autores Monge-Hachette realizan una larga serie de manipulaciones, y finalmente muestran que la determinaciónde aquellas normales depende de la ecucación cúbica(4) s (cid:16) AB + A ′ B ′ + A ′′ B ′′ − AA ′ A ′′ − BB ′ B ′′ (cid:17) + s (cid:16) A ′ A ′′ + A ′′ A + AA ′ − B − B ′ (cid:17) + s (cid:0) A + A ′ + A ′′ (cid:1) + = t , u , v se tiene12 t = − B ′ v + B ′′ u + CA + √ T ;12 u = − B ′′ t + Bv + C ′ A ′ + √ U ;12 v = − Bu + B ′ v + C ′′ A ′′ + √ V .Los puntos medios para las cuerdas perpendiculares a u , v están en At + B ′ v + B ′′ u + C = x a ± y b ± z c = Px + P ′ y − PP ′ x = RQUÍMEDES Y LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS 13
Ellos realizan algunos esfuerzos para determinar cuándo una cuádrica será una superficie de revolución.La simple ecuación (5) es útil para determinar nuevas propiedades de la cuádrica con centro. Aquellas son desarro-lladas en
Monge-Hachette , pp. 194 y ss.Si nosotros tenemos dos cónicas en un plano de tal naturaleza que los coeficientes de los términos cuadráticos seanproporcionales, podemos escribirlos como: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = Ax + Bxy + Cy + D ′ x + E ′ y + F ′ = Ax + Bxy + Cy + F = Ax + Bxy + Cy + F = z = Lx + My + Nx (cid:16) A + A ′′ L + B ′ L (cid:17) + xy (cid:0) B ′′ + BL + B ′ M + A ′′ LM (cid:1) + y (cid:16) A ′ + A ′′ M + BM (cid:17) + Px + Qy + R = N . Esto produce: Teorema 1.
Las secciones paralelas de una cuádrica son cónicas similares, y están en el mismo lugar. (cid:4) Considere en particular el elipsoide x a + y b + z c = ( a > b > c ) y corte este por la esfera x + y + z = b x p ( a − b ) a + p ( b − c ) c ! x p ( a − b ) a − z p ( b − c ) c ! = Teorema 2.
Una cuádrica con centro que no es una superficie de revolución tendrá dos conjuntos de secciones circulares enplanos paralelos.Los centros de los círculos de tales conjuntos estarán sobre un diámetro. (cid:4)
La primera edición de Monge-Hachette apareció en 1802 y contenía lo que podría observarse como una mencióntemprana de las secciones circulares de una cuádrica. Debe decirse, sin embargo, que sobre la p. 163 de la obrade DÁlembert está el estamento no demostrado de que el elipsoide, que él llama un esferoide , tendrá una seccióncircular.Podemos escribir la ecuación del hiperboloide de una hoja en la forma Px + P ′ y − P ′′ z = y = α x + β .La proyección de la intersección sobre el plano x , z es ( P + α P ′ ) x − P ′′ z + P ′ αβ x + P ′ β − = α y β de tal forma que β P − α = PP ′ , β = s(cid:18) α p + P ′ (cid:19) ; Cf. la definición dada por el magno Arquimedes en la p.8 de este apéndice. Jean Le Rond DÁlembert,
Opuscules mathématiques , Vol. vii. París, 1780, pp. 171.
Entonces la proyección es x q ( P + α P ′ ) + α r P ′ P ! − (cid:16) z √ P ′′ (cid:17) = Teorema 3.
El hiperboloide de una hoja y el paraboloide hiperbólico pueden ser generados en dos formas diferentes por una líneaque siempre está en movimiento para intersectar las tres líneas mutuamente asimétricas. (cid:4)
El estamento temprano para este teorema puede ser hallado en Monge, p. 5, sin demostración.Suficientemente curioso es el hecho de que éste teorema fue demostrado mucho antes para el hiperboloide de revo-lución, por Wren, p. 333. Figura 8
Supóngase (ver Fig. 8) que la hipérbola en el plano del papel es rotada sobre el eje OA . Sea AN perpendicular al planodel papel. De G , algún punto sobre la asíntota, trace una línea paralela a AN que tendrá que encontrar la superficieen H . HG = OH − OG = OD − OG , OD a − OA b = OG OA = a b ; OG a = OA b OD − OG = a = AN , GH = AN Entonces
N H es paralelo a AG , o a la línea a través de N paralela a la asíntota que está completamente embebida enla superficie. Teorema 4 ( Wren ) . La sección de un hiperboloide de revolución de una hoja en un plano a través de la asíntota de una hipérbolaperpendicular al plano de su curva son dos líneas paralelas a su tangente.
Se tienen otros dos teoremas que pueden ser hallados en la obra de Monge-Hachette.Supongamos que cortamos una elipse de un elipsoide y tomamos esta pegándola a la curva de un cono, cuyo vérticees el final de un diámetro que contiene los centros de los círculos cortados de la superficie. Ahora se puede observarque este cono corta el elipsoide. Parte de esta sección es la elipse. El resto necesita ser una cónica, a través del vérticedel cono, y así se tienen dos generadores (conos imaginarios). Pero como el plano tangente encuentra la superficie enel círculo, las dos líneas son minimales, y un plano paralelo cortará el cono en un círculo.
Teorema 5.
Si el vértice de un cono es un punto sobre un elipsoide que está al final de un diámetro que contiene los centros deun conjunto de secciones circulares, y los generadores son unidos por una elipse cortada del elipsoide, entonces aquellos planosque cortan los círculos de el elipsoide también cortarán círculos del cono. (cid:4) Sur les lignes de courbure de la surface de léllipsoide . Journal de L’École Polytechnique. Vol. i. 1794 Sir Christopher Wren.
The generation of a hyperbolical cylindroid.
Philosophical Transactions of the Royal Society. Vol. iv. 1669. (172).
RQUÍMEDES Y LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS 15
Teorema 6.
Si tres planos mutuamente perpendiculares son tangentes a un elipsoide, el lugar de intersección de tales puntos esuna esfera con los mismos centros del elipsoide.Demostración.
Empleando la notación de Monge-Hachette, consideremos la superficie Px + P ′ y + P ′′ z = ( x ′ , y ′ , z ′ ) , ( x ′′ , y ′′ , z ′′ ) , ( x ′′′ , y ′′′ , z ′′′ ) . Se tiene que: Tres ecuaciones del tipo Px ′ + P ′ y ′ + P ′′ z ′ = Tres planos tangentes Px ′ x + P ′ y ′ y + P ′′ z ′ z = Tres condiciones de perpendicularidad P x ′ x ′′ + P ′ y ′ y ′′ + P ′′ z ′ z ′′ = Px ′ = a , Px ′′ = a ′ , Px ′′′ = a ′′ , P ′ y ′ = b , P ′ y ′′ = b ′ , P ′ y ′′′ = b ′′ , P ′′ z ′ = c , P ′′ z ′′ = c ′ , P ′′′ z ′′′ = c ′′′ , P a = R , P a ′ = R ′ , P a ′′ = R ′′ Se tiene, entonces,
Tres ecuaciones a P + b P ′ + c P ′′ = Tres ecuaciones ax + by + cz = Tres ecuaciones aa ′ + bb ′ + cc ′ = aR bR cRa ′ R ′ b ′ R ′ c ′ R ′ a ′′ R ′′′ b ′′ R ′′′ c ′′ R ′′′ que es ortogonal, y sean x = R bR cR R ′ bR ′ cR ′ R ′′′ bR ′′′ cR ′′′ y = aR R cRaR ′ R ′ cR ′ aR ′′′ R ′′′ cR ′′′ z = aR bR RaR ′ bR ′ R ′ aR ′′′ bR ′′′ R ′′′ x + y + z = R + R ′ + R ′′ teniéndose exactamente que 1 P + P ′ + P ′′ = R + R ′ + R ′′ ; x + y + z = P + P ′ + P ′′ (cid:4) R EFERENCIAS [1] F. Acerbi. The meaning of
Πλασματικ ΄ον in diophantus arithmetica.
Archive for History ofExact Sciences , 63(1):5, Jan. 2009. ISSN 1432-0657. doi: 10.1007/s00407-008-0028-8. URL http://dx.doi.org/10.1007/s00407-008-0028-8 .[2] F. Acerbi. The geometry of burning mirrors in greek antiquity. analysis, heuristic, projections, lemmatic fragmen-tation.
Archive for History of Exact Sciences , 65(5):471, Sept. 2011. ISSN 1432-0657. doi: 10.1007/s00407-010-0076-8.URL http://dx.doi.org/10.1007/s00407-010-0076-8 .[3] F. Acerbi. The language of the givens: its forms and its use as a deductive tool in greek mathematics.
Ar-chive for History of Exact Sciences , 65(2):119, Mar. 2011. ISSN 1432-0657. doi: 10.1007/s00407-010-0072-z. URL http://dx.doi.org/10.1007/s00407-010-0072-z .[4] F. Acerbi. There is no consequentia mirabilis in greek mathematics.
Archive for History ofExact Sciences , 73(3):217, May 2019. ISSN 1432-0657. doi: 10.1007/s00407-019-00223-1. URL http://dx.doi.org/10.1007/s00407-019-00223-1 .[5] J. L. Berggren. History of greek mathematics: A survey of recent research [1984].
From Alexandria, Through Bagh-dad , Jan. 2014. doi: 10.1007/978-3-642-36736-6_1. URL http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-36736-6_1 .[6] J. L. Berggren. History of mathematics in the islamic world: The present state of the art[1985].
From Alexandria, Through Baghdad , Jan. 2014. doi: 10.1007/978-3-642-36736-6_4. URL http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-36736-6_4 .[7] J. L. Berggren. Mathematics and her sisters in medieval islam: A selective review of work done from1985 to 1995 [1997].
From Alexandria, Through Baghdad , Jan. 2014. doi: 10.1007/978-3-642-36736-6_5. URL http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-36736-6_5 . RQUÍMEDES Y LAS SUPERFICIES CUÁDRICAS 17 [8] A. Bernard, C. Proust, and M. Ross. Mathematics education in antiquity.
Handbook onthe History of Mathematics Education , Jan. 2014. doi: 10.1007/978-1-4614-9155-2_3. URL http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4614-9155-2_3 .[9] F. Borceux. Post-hellenic euclidean geometry.
An Axiomatic Approach to Geometry , Jan. 2014. doi: 10.1007/978-3-319-01730-3_5. URL http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-01730-3_5 .[10] F. Borceux. Some masters of greek geometry.
An Axiomatic Approach to Geometry , Jan. 2014. doi: 10.1007/978-3-319-01730-3_4. URL http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-01730-3_4 .[11] F. Borceux. Pre-hellenic antiquity.
An Axiomatic Approach to Geometry , Jan. 2014. doi: 10.1007/978-3-319-01730-3_1. URL http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-01730-3_1 .[12] J. Christianidis. The archimedes palimpsest: the definitive edition.
Metascience , 22(1):137, Mar. 2013. ISSN1467-9981. doi: 10.1007/s11016-012-9682-1. URL http://dx.doi.org/10.1007/s11016-012-9682-1 .[13] L. Corry. Geometry and arithmetic in the medieval traditions of euclid’s elements: a view from book ii.
Ar-chive for History of Exact Sciences , 67(6):637, Nov. 2013. ISSN 1432-0657. doi: 10.1007/s00407-013-0121-5. URL http://dx.doi.org/10.1007/s00407-013-0121-5 .[14] A. Holme. Greek and hellenic geometry.
Geometry , Jan. 2010. doi: 10.1007/978-3-642-14441-7_3. URL http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-14441-7_3 .[15] J. Høyrup. From the practice of explanation to the ideology of demonstration: An informal essay.
Interfacesbetween Mathematical Practices and Mathematical Education , Jan. 2019. doi: 10.1007/978-3-030-01617-3_2. URL http://dx.doi.org/10.1007/978-3-030-01617-3_2 .[16] R. Lorch. The second arabic translation of theodosius’sphaerica.
From Alexandria, Through Baghdad , Jan. 2014.doi: 10.1007/978-3-642-36736-6_13. URL http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-36736-6_13 .[17] R. Masià. On dating hero of alexandria.
Archive for History of Exact Sciences , 69(3):231, May 2015. ISSN 1432-0657.doi: 10.1007/s00407-014-0148-2. URL http://dx.doi.org/10.1007/s00407-014-0148-2 .[18] R. Masià. A new reading of archytas’doubling of the cube and its implications.
Archive for His-tory of Exact Sciences , 70(2):175, Mar. 2016. ISSN 1432-0657. doi: 10.1007/s00407-015-0165-9. URL http://dx.doi.org/10.1007/s00407-015-0165-9 .[19] D. Rabouin. Proclus’conception of geometric space and its actuality.
Mathematizing Space , Jan. 2015. doi: 10.1007/978-3-319-12102-4_5. URL http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-12102-4_5 .[20] V. Risi. The development of euclidean axiomatics.
Archive for History of Exact Sciences , 70(6):591, Nov. 2016. ISSN1432-0657. doi: 10.1007/s00407-015-0173-9. URL http://dx.doi.org/10.1007/s00407-015-0173-9 .[21] K. Saito. Mathematical reconstructions out, textual studies in: 30 years in the historiography of greek mat-hematics [1998].
From Alexandria, Through Baghdad , Jan. 2014. doi: 10.1007/978-3-642-36736-6_2. URL http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-36736-6_2 .[22] K. Saito and P. D. Napolitani. Reading the lost folia of the archimedean palimpsest: The last proposi-tion of the method.
From Alexandria, Through Baghdad , Jan. 2014. doi: 10.1007/978-3-642-36736-6_10. URL http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-36736-6_10 .[23] N. Sidoli. Research on ancient greek mathematical sciences, 1998-2012.
From Alexandria, Through Baghdad , Jan.2014. doi: 10.1007/978-3-642-36736-6_3. URL http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-36736-6_3 .[24] N. Sidoli. The concept of given in greek mathematics.
Archive for History of Exact Sciences , 72(4):353, July 2018.ISSN 1432-0657. doi: 10.1007/s00407-018-0211-5. URL http://dx.doi.org/10.1007/s00407-018-0211-5 .[25] N. Sidoli and K. Saito. The role of geometrical construction in theodosius’s spherics.
Archive for His-tory of Exact Sciences , 63(6):581, Aug. 2009. ISSN 1432-0657. doi: 10.1007/s00407-009-0045-2. URL http://dx.doi.org/10.1007/s00407-009-0045-2 .[26] R. S. D. Thomas. The definitions and theorems of the spherics of theodosios.
Researchin History and Philosophy of Mathematics , Jan. 2018. doi: 10.1007/978-3-319-90983-7_1. URL http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-90983-7_1http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-90983-7_1