Elementare Zahlentheorie
YYauheniya Abramchuk, Alina Bondarava,Matthias Kunik
Elementare Zahlentheorie
F ¨ur Studierende der Mathematik, Informatikund Lehramt
27. September 2018 a r X i v : . [ m a t h . HO ] S e p orwort Gegenstand der elementaren Zahlentheorie sind vorrangig die nat¨urlichen Zahlen N = { , , , ... } sowie die ganzen Zahlen Z = { , ± , ± , ± , ... } . Im Zusammen-hang mit den Grundrechenarten in diesen Zahlenbereichen spielen dabei der Begriffder Teilbarkeit sowie der Euklidische Algorithmus eine zentrale Rolle.Wir behandeln im vorliegenden Lehrbuch klassische Themen der Zahlentheorie,die erstmals von Gauß in seinen ”Disquisitiones Arithmeticae“, Untersuchungen¨uber h¨ohere Arithmetik [2], zu einer systematischen Wissenschaft entwickelt wor-den sind. Der einfache Euklidische Algorithmus in Lektion 2 ist die Grundlage f¨urden Fundamentalsatz 2.12 der Arithmetik. In nachfolgender Lektion 3 wird er f¨urdie Kettenbruchentwicklung reeller Zahlen zum erweiterten Euklidischen Algorith-mus ausgebaut. Die Anwendung der Kettenbruchentwicklung auf die reell quadra-tischen Irrationalzahlen liefert wiederum mit den Grundlagen aus Abschnitt 8.1 inAbschnitt 8.2 und 8.3 genau die periodischen Kettenbr¨uche sowie einen Algorith-mus zur Reduktion indefiniter quadratischer Formen.Auch bei der Behandlung der Farey-Folgen in Abschnitt 4 machen wir vom er-weiterten Euklidischen Algorithmus Gebrauch, man vergleiche insbesondere denApproximationssatz f¨ur Farey-Br¨uche 4.13 mit dem Satz 3.17 von den besten ra-tionalen Approximationen in der Theorie der Kettenbr¨uche. Damit zieht sich derEuklidische Algorithmus wie ein roter Faden durch das gesamte Fundament derelementaren Zahlentheorie.Die wichtigsten algebraischen Strukturen der elementaren Zahlentheorie sind Grup-pen, Ringe und K¨orper, mit deren Einf¨uhrung wir deshalb in Lektion 1 beginnen.Wir beschr¨anken uns dabei auf die Untersuchung derjenigen algebraischen Struk-turen, die f¨ur sp¨atere Zwecke ben¨otigt werden. Wichtige Beispiele hierf¨ur sind diePermutationsgruppen, die im Anhang 9.2 und dem Aufgabenteil von Lektion 1 be-handelt werden, die Gruppe der multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen, diein Abschnitt 5 eingef¨uhrt und untersucht werden, aber auch die Restklassenringebzw. die prime Restklassengruppe bez¨uglich eines Moduls in Lektion 6. vi Neben dem Euklidischen Algorithmus nimmt auch die Kongruenzrechnung in Lek-tion 6 einen bedeutenden Platz in der elementaren Zahlentheorie ein. Diese wird inLektion 7 auf die Theorie der quadratischen Reste angewendet, deren wichtigstesResultat das quadratische Reziprozit¨atsgesetz in Satz 7.9 darstellt. Gauß hat diesenSatz nicht nur als Erster bewiesen, sondern in [2] gleich mehrere Beweise geliefert.Jede Lektion beginnt mit einer kurzen ¨Ubersicht. Der nachfolgende theoretische Teilwird durch zahlreiche Beispiele anschaulich gemacht, und die Lektion wird mit aus-gew¨ahlten und vollst¨andig gel¨osten Aufgaben zur ¨Ubung und Vertiefung des Stof-fes abgeschlossen. Im Anhang findet der Leser neben allgemeinen Grundlagen undNotationen zu logischen Aussagen, Mengen und Abbildungen die bereits erw¨ahntekurze Einf¨uhrung der Permutationsgruppen sowie eine Primzahltabelle.Magdeburg, 27. September 2018
Yauheniya Abramchuk, Alina Bondarava und Matthias Kunik nhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . 11.1 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . . . . 132.1 Euklidischer Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Fundamentalsatz der Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1 Erweiterter Euklidischer Algorithmus und Kettenbr¨uche . . . . . . . . . . 303.2 Historische Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1 Farey-Sequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.1 Zahlentheoretische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 . . . . . 816.1 Kongruenzrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.1 Quadratische Reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 viiiii Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.1 Quadratische Formen und reell quadratische Irrationalzahlen . . . . . . 1118.2 Kettenbruchentwicklung reell quadratischer Irrationalzahlen . . . . . . 1228.3 Reduktion indefiniter quadratischer Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.1 Logische Symbole, Mengen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.2 Permutationsgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.3 Primzahltabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Indexverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 ektion 1
Algebraische Grundlagen der elementarenZahlentheorie
Wir beginnen mit allgemeinen, aber unverzichtbaren algebraischen Grundlagen zuGruppen und Ringen, zugeschnitten auf unsere sp¨ateren Anwendungen. Als Begleit-lekt¨ure empfehlen wir van der Waerden’s Lehrbuch [12, Kapitel 2, 3] ”Algebra I“sowie das Lehrbuch [4, Kapitel 2, 3] ”Algebra“ von Bernhard Hornfeck.
Beim Rechnen in Gruppen hat man nur eine (in der Regel multiplikativ geschriebe-ne) assoziative Verkn¨upfung ” ◦ “, die in einem gewissen Sinne ”umkehrbar“ ist: Definition 1.1: Gruppen
Eine nichtleere Menge G mit einer Verkn¨upfung ◦ : G × G → G heißt Gruppe, wennfolgende Axiome erf¨ullt sind:(G1) Assoziativgesetz: ( a ◦ b ) ◦ c = a ◦ ( b ◦ c ) f¨ur alle a , b , c ∈ G .(G2) Existenz eines Einselementes: Es existiert eine Linkseins e ∈ G mit e ◦ a = a f¨ur alle a ∈ G .(G3) Existenz eines inversen Elementes: Zu jedem a ∈ G existiert eine Linksinverse a − ∈ G mit a − ◦ a = e .Gilt zus¨atzlich(G4) a ◦ b = b ◦ a f¨ur alle a , b ∈ G ,so erhalten wir einen Spezialfall und nennen die Gruppe G abelsch bzw. kommuta-tiv. (cid:3) Die Elementeanzahl | G | heißt auch die Ordnung der Gruppe. Satz 1.2:
Es sei ( G , ◦ , e ) eine Gruppe mit der Linkseins e . Dann gilt:(a) Ist a − eine Linksinverse von a ∈ G , so auch eine Rechtsinverse: a − ◦ a = e ⇒ a ◦ a − = e .(b) Die Linkseins ist auch Rechtseins: a ◦ e = a f¨ur alle a ∈ G .(c) F¨ur alle a , b ∈ G sind die Gleichungen a ◦ x = b bzw. y ◦ a = b in G eindeutigl¨osbar.(d) Das Einselement in G ist eindeutig, ebenso die Inverse a − zu jedem a ∈ G .(e) ( a − ) − = a f¨ur alle a ∈ G . (cid:3) Beweis: (a) Ist a − Linksinverse zu a ∈ G , so auch Rechtsinverse, denn: Es sei a − einLinksinverses zu a in G , d.h. a − ◦ a = e , und ( a − ) − ein Linksinverses zu a − in G , d.h. ( a − ) − ◦ a − = e . Dann gilt unter Verwendung der Gruppenaxiome a ◦ a − = (G2) e ◦ ( a ◦ a − )= (G3) (( a − ) − ◦ a − ) ◦ ( a ◦ a − )= (G1) ( a − ) − ◦ (( a − ◦ a ) ◦ a − )= (G3) ( a − ) − ◦ ( e ◦ a − )= (G2) ( a − ) − ◦ a − = (G3) e . (b) Die Linkseins ist auch Rechtseins: Aus e ◦ a = a folgt mit (a) auch a ◦ e = (G3) a ◦ ( a − ◦ a ) = (G1) ( a ◦ a − ) ◦ a = (a) e ◦ a = (G2) a . (c) Die Gleichung a ◦ x = b ist in G l¨osbar:W¨ahle a − ∈ G zu a gem¨aß (G3) und setze x : = a − ◦ b . Dann wird nach (a) a ◦ x = a ◦ ( a − ◦ b ) = (G1) ( a ◦ a − ) ◦ b = (a) e ◦ b = (G2) b . Die Gleichung ist in G eindeutig l¨osbar:Es sei a ◦ x = a ◦ x (cid:48) mit a , x , x (cid:48) ∈ G . Dann folgen a − ◦ a ◦ x = a − ◦ a ◦ x (cid:48) , also e ◦ x = e ◦ x (cid:48) und somit x = x (cid:48) .Analog zeigt man die eindeutige L¨osbarkeit von y ◦ a = b .(d) Es folgt (d) sofort aus (c), da die Gleichungen y ◦ a = a bzw. y ◦ a = e in G eindeutig l¨osbar sind.(e) Nach (c) und (G3) hat y ◦ a − = e die eindeutige L¨osung y = ( a − ) − , undnach (a) darf y = a gesetzt werden. Somit ist ( a − ) − = a . .1 Gruppen 3 (cid:4) Merke:
Es sei ( G , ◦ , e ) Gruppe.1) Bei der Auswertung eines Mehrfachproduktes a ◦ a ◦ ... ◦ a n in G k¨onnen we-gen (G1) Klammern um je zwei Gruppenelemente beliebig gesetzt werden, sodass man Klammern nicht unbedingt mitschreiben muss. Auf die Reihenfolgeder Faktoren ist jedoch zu achten, wenn (G4) nicht gilt.2) Es gibt genau ein e ∈ G mit e ◦ a = a ◦ e = a f¨ur alle a ∈ G .
3) Zu jedem a ∈ G gibt es genau ein a − ∈ G mit a − ◦ a = a ◦ a − = e . (cid:3) Beispiel 1.3: (i) ( Z , + , ) bzw. ( R , + , ) sind additiv geschriebene abelsche Gruppen, das”Neutralelement“ 0 wird hierbei als Nullelement bezeichnet, und entsprechenddas ”inverse Element“ − a als die zu a entgegengesetzte Zahl. Diese Begriffeverwendet man f¨ur alle additiv geschriebene abelsche Gruppen.(ii) F¨ur N = { , , , , ... } ist ( N , + , ) keine Gruppe, da (G3) verletzt ist.(iii) Die Menge aller 2 × M = (cid:18) a bc d (cid:19) mit a , b , c , d ∈ Z und Determi-nante ad − bc = ± GL ( , Z ) bzgl. der Matri-zenmultiplikation ” · “ als Verkn¨upfung: (cid:18) a bc d (cid:19) · (cid:18) a (cid:48) b (cid:48) c (cid:48) d (cid:48) (cid:19) = (cid:18) aa (cid:48) + bc (cid:48) ab (cid:48) + bd (cid:48) ca (cid:48) + dc (cid:48) cb (cid:48) + dd (cid:48) (cid:19) . Dabei ist Det ( M · M (cid:48) ) = Det ( M ) · Det ( M (cid:48) ) ∈ { + , − } f¨ur M , M (cid:48) ∈ GL ( , Z ) .Es gilt (G1), (G2) mit der Einheitsmatrix (cid:18) (cid:19) als Neutralelement und (G3)mit der Inversen (cid:18) a bc d (cid:19) − = ad − bc (cid:18) d − b − c a (cid:19) zu (cid:18) a bc d (cid:19) ∈ GL ( , Z ) . Es ist (G4) nicht erf¨ullt, z.B. (cid:18) − (cid:19) · (cid:18) (cid:19) = (cid:18) − − (cid:19) , aber (cid:18) (cid:19) · (cid:18) − (cid:19) = (cid:18) − − (cid:19) . (iv) Die bijektiven Abbildungen f : N n → N n mit N n = { , , ..., n } und n ∈ N bil-den bzgl. der Komposition ” ◦ “ dieser Abbildungen die Permutationsgruppe Σ n der Ordnung | Σ n | = n !, siehe hierzu den entsprechenden Anhang 9.2.Die Identit¨at Id : N n → N n mit Id ( k ) = k f¨ur alle k = , ..., n ist das Einselementvon Σ n , die inverse Abbildung f − das zu f ∈ Σ n inverse Gruppenelement. Ab n ≥ Σ n . (cid:3) Definition 1.4: Untergruppe
Es sei ( G , ◦ , e ) Gruppe und U ⊆ G eine nicht leere Teilmenge von G . F¨ur alle a , b ∈ U gelte a ◦ b ∈ U sowie a − ∈ U . Dann heißt ( U , ◦ , e ) Untergruppe von ( G , ◦ , e ) . Wir sagen auch k¨urzer: U ist Untergruppe von G . Hierbei ist e ∈ U ga-rantiert. (cid:3) Beispiel 1.5: (i) ( Z , + , ) ist eine Untergruppe von ( R , + , ) .(ii) Die Menge aller Matrizen M = (cid:18) a bc d (cid:19) ∈ GL ( , Z ) mit Determinante ad − bc = + GL ( , Z ) . Diese Untergruppe bezeichnet man mit SL ( , Z ) . Hierbei steht ”G“ f¨ur ”general“ und ”S“ f¨ur ”special“. (cid:3) Satz 1.6: Satz von Lagrange
Es sei G eine Gruppe endlicher Ordnung und U ⊆ G eine Untergruppe von G . Dannist | G || U | eine nat¨urliche Zahl, die auch Index von U in G genannt wird. (cid:3) Beweis:
Es seien a , b , c ∈ G . Wir definieren die Linksnebenklassen a ◦ U : = { a ◦ x : x ∈ U } , die wegen e ∈ U ganz G aussch¨opfen, und zeigen: Zwei Linksnebenklassen a ◦ U , b ◦ U von U sind entweder elementfremd oder identisch. Haben a ◦ U und b ◦ U einElement c = a ◦ u = b ◦ u mit u , u ∈ U gemeinsam, so folgen a = b ◦ u ◦ u − und a ◦ u = b ◦ ( u ◦ u − ◦ u ) ∈ b ◦ U f¨ur jedes u ∈ U , also a ◦ U ⊆ b ◦ U . Durch Ver-tauschung der Rollen von a und b folgt auch b ◦ U ⊆ a ◦ U , also a ◦ U = b ◦ U , wennbeide Linksnebenklassen nicht elementfremd sind. .1 Gruppen 5 Der Satz von Lagrange folgt nun aus Satz 1.2 (c), der die eindeutige Aufl¨osbarkeitder Gleichungen a ◦ x = b garantiert, so dass jede Linksnebenklasse a ◦ U von U genau | U | Elemente besitzt. (cid:4)
Bemerkung 1.7:
Ist G eine Gruppe endlicher Ordnung und U eine Untergruppe von G , so zeigt obigerBeweis: Der Index | G | / | U | von U in G stimmt mit der Anzahl aller Linksnebenklas-sen a ◦ U = { a ◦ x : x ∈ U } , ( a ∈ G beliebig, aber fest ) von U ¨uberein. (cid:3) Wir bilden nun die von einem Element a der Gruppe ( G , ◦ , e ) erzeugten Potenzen a k :Beginnend mit a : = e definieren wir gem¨aß a k + : = a · a k die Potenzen a k zun¨achstrekursiv f¨ur alle k ∈ N , und dann mit a − k : = ( a − ) k auch f¨ur negative Exponenten − k <
0. Da die Elemente a , a − , e in Mehrfachprodukten miteinander vertauschbarsind, gilt a j ◦ a k = a j + k f¨ur alle j , k ∈ Z . (1.1)Wegen (1.1) ist U ( a ) : = { a n : n ∈ Z } (1.2)eine Untergruppe von G , die von a erzeugte zyklische Untergruppe. Wir nennen | U ( a ) | die Ordnung von a (in G ).Wegen (1.1) ist U ( a ) abelsche Untergruppe von G . Wir nehmen an, G habe endlicheOrdnung. Dann gibt es Exponenten 0 ≤ j < k mit a j = a k , und wegen (1.1) folgthieraus a h = e f¨ur h : = k − j ∈ N . Ist h ≥ a h = e und n ∈ Z , so gilt n = k · h + r mit 0 ≤ r ≤ h − k ≤ nh . Wir erhalten damit a n = a k · h + r = ( a h ) k ◦ a r = e ◦ a r = a r , so dass unter Beachtung der Minimalit¨at von h gilt: U ( a ) = { a , a , ..., a h − } , | U ( a ) | = h . (1.3)Nach Satz 1.6 ist h ein Teiler von | G | . Somit gilt Satz 1.8: a | G | = e f¨ur jedes a aus einer endlichen Gruppe ( G , ◦ , e ) . (cid:3) Beweis:
Nach Satz 1.6 ist die Ordnung h von a ein Teiler von | G | . Es folgt a | G | = ( a h ) | G | / h = e | G | / h = e . (cid:4) Definition 1.9: Ring
Eine algebraische Struktur ( R , + , · ) (oder kurz R ) mit einer additiven Verkn¨upfung + : R × R → R und einer multiplikativen Verkn¨upfung · : R × R → R heißt ein Ring,wenn gilt:(R1) ( R , + , · ) ist abelsche Gruppe mit dem Nullelement 0 und dem zu a ∈ R entge-gengesetzten Element − a mit a + ( − a ) = ( a · b ) · c = a · ( b · c ) f¨ur alle a , b , c ∈ R .(R3) Es gelten die Distributivgesetze a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c ) = ab + ac sowie ( b + c ) · a = ( b · a ) + ( c · a ) = ba + ca f¨ur alle a , b , c ∈ R . Das Zeichen ” · “ bindet wie ¨ublich st¨arker als ” + “ (Punkt- vor Strichrechnung) undwird nicht immer ausgeschrieben.Gilt zus¨atzlich(R4) a · b = b · a f¨ur alle a , b ∈ R , so wird der Ring kommutativ genannt. (cid:3) Bemerkung 1.10:
1) Aus den Ringaxiomen (R1) bis (R3) folgert man m¨uhelos f¨ur alle a , b , c ∈ R dieRechenregeln: • a · = (G2) a · ( + ) = (R3) a · + a ·
0, und hieraus folgt a · = ( R , + , ) . Analog folgt 0 · a = a ∈ R . • = a · = a · ( b + ( − b )) = a · b + a · ( − b ) , also a · ( − b ) = − a · b , und analog ( − a ) · b = − a · b . • a · ( b − c ) = a · ( b + ( − c )) = a · b + a · ( − c ) = a · b − a · c , und analog mitden Konventionen b − c : = b + ( − c ) sowie ”Punkt- vor Strichrechnung“: ( b − c ) · a = b · a − c · a . • (cid:32) n ∑ j = a j (cid:33) · (cid:18) m ∑ k = b k (cid:19) = n ∑ j = m ∑ k = a j b k .2) Enth¨alt R (cid:54) = { } ein Element 1 mit 1 · a = a · = a f¨ur alle a ∈ R , so nennenwir dieses Element Einselement von R . Zwei Einselemente 1 (cid:54) = (cid:48) kann R dannwegen 1 = · (cid:48) = (cid:48) nicht besitzen. Da a · = · a = a ∈ R gilt, ist ¨uberdies 1 (cid:54) = .3 Aufgaben 7 (cid:3) Definition 1.11: (a) Ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring ( R , + , · , ) heißt Integrit¨ats-bereich, falls gilt:F¨ur alle a , b ∈ R folgt aus a · b = a = b = ( R , + , · , , ) mit Einselement 1 (cid:54) = ( R \ { } , · , ) (abelsche) Gruppe ist. (cid:3) Bemerkung 1.12:
In einem Integrit¨atsbereich gilt die ”K¨urzungsregel“ a · b = a (cid:48) · b ⇒ a = a (cid:48) f¨ur alle a , a (cid:48) , b ∈ R mit b (cid:54) =
0, da man a · b = a (cid:48) · b nach Bemerkung 1.10 1 ) auch in der Form ( a − a (cid:48) ) · b = (cid:3) Beispiel 1.13: (a) Es ist Z mit der ¨ublichen Addition + und Multiplikation · ein Integrit¨atsbereich,ebenso n · Z : = { n · k : k ∈ Z } f¨ur festes n ∈ N . Aber nur f¨ur n = · Z = Z ein Integrit¨atsbereich mit (dem ¨ublichen) Eins-element 1.(b) Jeder K¨orper, wie z.B. Q , R , C mit den Grundrechenarten, ist auch ein Inte-grit¨atsbereich mit Einselement. (cid:3) Definition zur Vorbereitung der Aufgabe 1.1:Es seien ( G , ◦ ) und ( G (cid:48) , ◦ (cid:48) ) Gruppen sowie ϕ : G → G (cid:48) eine bijektive Abbildung.Wir nennen die Abbildung ϕ einen Isomorphismus zwischen den Gruppen G und G (cid:48) , wenn f¨ur alle a , b ∈ G folgendes gilt: ϕ ( a ◦ b ) = ϕ ( a ) ◦ (cid:48) ϕ ( b ) . Die Gruppen G und G (cid:48) heißen in diesem Falle isomorph , d.h. strukturgleich.Zur Bearbeitung der folgenden ¨Ubungsaufgabe beziehen wir uns auf die kurzeEinf¨uhrung der Permutationsgruppen im Anhang 9.2. Aufgabe 1.1: Permutationsgruppen
Es sei ( G , ◦ ) eine beliebige Gruppe mit | G | = n Elementen. Man zeige, dass G danneiner Untergruppe der vollen Permutationsgruppe Σ n isomorph ist.Hinweis: Betrachte f¨ur beliebiges aber festes b ∈ G die linksseitige Multiplikationder Gruppenelemente g , ..., g n von G mit b .Bemerkung: Isomorphe Gruppen unterscheiden sich nur hinsichtlich der Bezeich-nungsweise ihrer Elemente und ihrer Verkn¨upfung. Die Aufgabe 1 zeigt nun zus¨atz-lich, dass die Untergruppen der Permutationsgruppen Σ n so allgemein sind, dass siebereits alle endlichen Gruppen beinhalten! L¨osung:
Gegeben ist G = { g , g , ..., g n } mit | G | = n Elementen. Wir zeigen: G ist einer Un-tergruppe von Σ n isomorph.Zun¨achst stellen nach Satz 1.2 f¨ur festes b ∈ G die b ◦ g , b ◦ g ,..., b ◦ g n eine Per-mutation der urspr¨unglichen g , g , ... , g n dar, d.h. es gibt zu jedem b ∈ G einePermutation π b ∈ Σ n mit b ◦ g j = g π b ( j ) f¨ur alle j = , ..., n , da in G die Gleichung b ◦ g = a f¨ur alle a , b ∈ G genau eine L¨osung g besitzt, n¨amlich g = b − ◦ a . Die Abbildung φ : G → Σ n mit φ ( b ) : = π b ist somit injektiv.Betrachte a , b ∈ G . Dann gilt f¨ur alle j = , ..., n : g π a ◦ b ( j ) = ( a ◦ b ) ◦ g j = a ◦ ( b ◦ g j )= a ◦ g π b ( j ) = g π a ( π b ( j )) = g ( π a ◦ π b )( j ) ⇒ φ ( a ◦ b ) = π a ◦ π b = φ ( a ) ◦ φ ( b ) . Die Untergruppe von Σ n ist das Bild φ ( G ) = { φ ( g ) : g ∈ G } ⊆ Σ n . φ ( G ) ist Untergruppe von Σ n wegen φ ( a ◦ b − ) = φ ( a ) ◦ φ ( b ) − ∈ φ ( G ) f¨ur alle a , b ∈ G . Aufgabe 1.2: Ein Ring mit Nullteilern
Es werde R : = (cid:26) (cid:18) a b a (cid:19) : a , b ∈ R (cid:27) mit der komponentenweisen Addition ” + “ .3 Aufgaben 9 zweier Matrizen und der ¨ublichen Matrizenmultiplikation ” · “ versehen. Man zeige,dass dadurch ein kommutativer Ring mit Einselement entsteht, der kein Integrit¨ats-bereich ist. Hierzu bestimme man zwei Nullteiler, d.h. zwei von der Nullmatrix verschiedene Matrizen M , M (cid:48) ∈ R mit M · M (cid:48) = . L¨osung: R : = (cid:26) (cid:18) a b a (cid:19) : a , b ∈ R (cid:27) ist abgeschlossen unter den Rechenoperationen ” + “, ” · “im vollen Matrizenring ( R × , + , · ) , denn mit (cid:18) a b a (cid:19) , (cid:18) a (cid:48) b (cid:48) a (cid:48) (cid:19) ∈ R folgt auch (cid:18) a b a (cid:19) + (cid:18) a (cid:48) b (cid:48) a (cid:48) (cid:19) = (cid:18) a + a (cid:48) b + b (cid:48) a + a (cid:48) (cid:19) ∈ R sowie (cid:18) a b a (cid:19) · (cid:18) a (cid:48) b (cid:48) a (cid:48) (cid:19) = (cid:18) a (cid:48) b (cid:48) a (cid:48) (cid:19) · (cid:18) a b a (cid:19) = (cid:18) aa (cid:48) ab (cid:48) + ba (cid:48) aa (cid:48) (cid:19) ∈ R Die Matrizenmultiplikation ist bei Beschr¨ankung auf R kommutativ, auch ist sieassoziativ. ( R , +) ist abelsche Gruppe mit der entgegengesetzten Matrix − (cid:18) a b a (cid:19) = (cid:18) − a − b − a (cid:19) ∈ R zu (cid:18) a b a (cid:19) ∈ R und der Nullmatrix (cid:18) (cid:19) ∈ R als Nullelement. Die Distributivgesetze geltenschon allgemeiner in ( R × , + , · ) , und der Ring R hat E = (cid:18) (cid:19) als Einselement.Da (cid:18) (cid:19) · (cid:18) (cid:19) = (cid:18) (cid:19) gilt, ist R kein Integrit¨atsbereich. Vorbereitung zur Bearbeitung der Aufgaben 1.3 und 1.4:
Hier empfehlen wir f¨ur den Einstieg den ersten Teil des Anhangs 9.1 zu logischenSymbolen, Mengen und Abbildungen zu studieren.Die Aussageform A ( n ) ordne jedem n ∈ N einen Wahrheitswert ”wahr“ oder”falsch“ zu. Dann gilt das folgende Induktionsprinzip:
Wenn der Induktionsanfang A ( ) wahr ist und der Induktionsschluss A ( n ) ⇒ A ( n + ) f¨ur alle n ∈ N gilt, dann folgt bereits A ( n ) f¨ur alle n ∈ N . Aufgabe 1.3: Vollst¨andige Induktion
Aus dem vorigen Induktionsprinzip sollen zwei Varianten hergeleitet werden.(a) Es sei B ( n ) eine Aussageform f¨ur die nat¨urlichen Zahlen n und es bezeichne N n : = { , , . . . , n } die Menge der ersten n nat¨urlichen Zahlen. Man zeige:Wenn der Induktionsanfang B ( ) wahr ist und zudem ( ∀ k ∈ N n : B ( k ) ) ⇒ B ( n + ) f¨ur alle n ∈ N gilt, dann folgt B ( n ) f¨ur alle n ∈ N .(b) Es sei k ∈ Z fest gew¨ahlt. Die Aussageform B ( k ) ordne jeder ganzen Zahl k ≥ k einen Wahrheitswert ”wahr“ oder ”falsch“ zu. Man zeige:Wenn der Induktionsanfang B ( k ) wahr ist und f¨ur alle ganzen Zahlen k ≥ k der Induktionsschluss B ( k ) ⇒ B ( k + ) gilt, dann folgt B ( k ) f¨ur alle ganzenZahlen k ≥ k . L¨osung:
Wir verwenden das eingangs formulierte Induktionsprinzip:(a) Es gelte B ( ) und f¨ur alle n ∈ N : A ( n ) ⇒ B ( n + ) (1.4)mit A ( n ) : ⇔ n (cid:86) k = B ( k ) ⇔ ( ∀ k ∈ N n : B ( k ) ) f¨ur n ∈ N . Es gilt A ( ) wegen B ( ) , und nach Definition von A f¨ur alle n ∈ N die ¨Aquivalenz A ( n + ) ⇔ ( A ( n ) ∧ B ( n + ) ) , so dass A ( n + ) wegen (1.4) f¨ur alle n ∈ N aus A ( n ) folgt. Nach dem Induk-tionsprinzip gelten dann A ( n ) sowie B ( n ) f¨ur alle n ∈ N .(b) folgt einfach, indem man die Aussageform B ( k ) durch die Aussageform A ( n ) : ⇔ B ( k + n − ) mit n ∈ N ersetzt und dann auf A ( n ) Induktion an-wendet.
Aufgabe 1.4: Fibonacci-Folge, Teil 1
Die Folge ( f n ) n ∈ N der Fibonacci-Zahlen ist rekursiv definiert durch die beiden An-fangswerte f = f = n ∈ N durch die Rekursionsbeziehung f n + = f n + + f n . Zus¨atzlich definieren wir noch f − : = .3 Aufgaben 11 (a) Man zeige induktiv f¨ur alle n ∈ N : (cid:18) (cid:19) n = (cid:18) f n + f n f n f n − (cid:19) , und damit f n + f n − − f n = ( − ) n . (b) Mit den Eigenwerten λ ± : = ± √
52 der Matrix A : = (cid:18) (cid:19) und mit den Eigen-vektoren x ± = (cid:18) − λ ∓ (cid:19) zu den Eigenwerten λ ± zeige man f n + = λ + f n + λ n − = λ − f n + λ n + f¨ur alle n ∈ N . (c) Aus (b) leite man die Binetsche Formel her: f n = √ (cid:34)(cid:32) + √ (cid:33) n − (cid:32) − √ (cid:33) n (cid:35) f¨ur alle n ∈ N . (d) Man zeige f¨ur alle x ∈ R mit | x | < √ − : ∞ ∑ n = f n x n = x − x − x mit absoluter Konvergenz der linksstehenden Reihe. L¨osung: (a) Wir zeigen induktiv: (cid:18) (cid:19) n = (cid:18) f n + f n f n f n − (cid:19) f¨ur alle n ∈ N . (1.5) Induktionsanfang : (cid:18) (cid:19) = (cid:18) (cid:19) = (cid:18) f f f f − (cid:19) . Induktionsannahme : F¨ur ein n ∈ N sei (cid:18) (cid:19) n = (cid:18) f n + f n f n f n − (cid:19) bereits gezeigt.Dann folgt (cid:18) (cid:19) n + = (cid:18) f n + f n f n f n − (cid:19) (cid:18) (cid:19) = (cid:18) f n + + f n f n + f n + f n − f n (cid:19) = (cid:18) f n + f n + f n + f n (cid:19) , wobei noch f = f + f − zu beachten ist. Damit folgt (1.5). Aus dem Multi-plikationssatz f¨ur Determinanten und (1.5) folgt ( − ) n = f n + f n − − f n f¨ur alle n ∈ N . (b) Mit λ ± = ±√ gilt λ + + λ − = λ + · λ − = −
1. Hieraus folgt f¨ur x ± = (cid:18) − λ ∓ (cid:19) : A x ± = (cid:18) (cid:19) x ± = (cid:18) − λ ∓ (cid:19) = (cid:18) λ ± (cid:19) = λ ± (cid:18) − λ ∓ (cid:19) = λ ± x ± , und somit aus (a) f¨ur alle n ∈ N : A n (cid:18) − λ ∓ (cid:19) = (cid:18) f n + f n f n f n − (cid:19) (cid:18) − λ ∓ (cid:19) = (cid:18) f n + − λ ∓ f n f n − λ ∓ f n − (cid:19) = λ n ± (cid:18) − λ ∓ (cid:19) . Die Betrachtung der ersten Komponenten liefert f n + = λ ∓ f n + λ n ± .(c) Aus (b) folgt λ + f n + λ n − = λ − f n + λ n + , also wegen λ + − λ − = √ f n = λ n + − λ n − λ + − λ − die Binetsche Formel.(d) Aus der Binetschen Formel folgtlim n → ∞ n (cid:112) f n = λ + = + √
52 mit 1 λ + = √ − . Somit ist R = √ − der Konvergenzradius der Potenzreihe ∞ ∑ n = f n x n , die f¨ur | x | < R absolut konvergiert. Es folgt f¨ur | x | < R : ( − x − x ) ∞ ∑ n = f n x n = ∞ ∑ n = ( f n x n − f n x n + − f n x n + )= ∞ ∑ k = f k x k − ∞ ∑ k = f k − x k − ∞ ∑ k = f k − x k = f x + f x − f x + ∞ ∑ k = ( f k − f k − − f k − ) x k = x , wobei der letzte Schritt aus der Rekursionsformel f k = f k − + f k − folgt. ektion 2 Euklidischer Algorithmus und Fundamentalsatzder Arithmetik
Die Berechnung des gr¨oßten gemeinsamen Teilers zweier nat¨urlicher Zahlen mitHilfe des Euklidischen Algorithmus geht bis in die Antike zur¨uck. Wie wir nochsehen werden, reicht die Bedeutung des Euklidischen Algorithmus weit ¨uber die-se einfache Aufgabenstellung hinaus. In dieser Lektion f¨uhren wir zun¨achst deneinfachen Euklidischen Algorithmus mit dem Ziel ein, den Fundamentalsatz derArithmetik zu beweisen. Dieser besagt, dass sich jede na¨urliche Zahl gr¨oßer als 1abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren eindeutig in ein Produkt von Primzah-len zerlegen l¨asst.
Definition 2.1: Gauß-Klammer
Die Gauß-Klammer (cid:98) x (cid:99) : = max { k ∈ Z : k ≤ x } einer reellen Zahl x bezeichnet diegr¨oßte ganze Zahl k ≤ x .Die Gauß-Klammer einer reellen Zahl x ist somit diejenige ganze Zahl k , die durchdie Ungleichungskette k ≤ x < k + (cid:3) Bemerkung 2.2:
1) Die Gauß-Klammer l¨asst die ganzen Zahlen unver¨andert, die nicht ganzen Zah-len werden dagegen stets abgerundet, z. B. ist (cid:98) . (cid:99) = (cid:98)− . (cid:99) = − .
2) Entsprechend definiert man (cid:100) x (cid:101) : = min { k ∈ Z : k ≥ x } f¨ur x ∈ R durch Aufrun-den, wobei (cid:100) x (cid:101) = −(cid:98)− x (cid:99) gilt.
134 2 Euklidischer Algorithmus und Fundamentalsatz der Arithmetik (cid:3)
Graphische Darstellung der Gauß-Klammer (cid:45) x (cid:54) y (cid:114) (cid:114) (cid:114) (cid:114) (cid:114) (cid:114) -3 -2 -1 0 1 2-3-2-112 Abbildung 2.1: Graphische Darstellung der Funktion y = (cid:98) x (cid:99) Definition 2.3: Teiler (a) Es seien d , k ∈ Z mit d (cid:54) =
0. Wir nennen d einen Teiler von k und schreibendaf¨ur d | k , wenn es ein m ∈ Z gibt mit k = m · d . Es ist dann m = kd ganzzahlig.(b) Es seien a und b ganze Zahlen, die nicht beide Null sind. Dann bezeichnenwir mit ggT ( a , b ) den gr¨oßten gemeinsamen Teiler von a und b . Im FalleggT ( a , b ) = a und b teilerfremd. (cid:3) Bemerkung : Da a und b nicht beide verschwinden, gilt | d | ≤ max ( | a | , | b | ) f¨ur jedengemeinsamen Teiler d ∈ Z \ { } von a und b . Zudem ist 1 ein gemeinsamer nat¨urli-cher Teiler von a und b . Somit ist die Menge aller gemeinsamer Teiler von a und b endlich und ggT ( a , b ) eine wohldefinierte nat¨urliche Zahl.Zur Berechnung von ggT ( a , b ) beginnen wir mit dem Satz 2.4:
F¨ur je zwei Zahlen a ∈ Z und b ∈ N hat man eine eindeutige Darstellung der Form a = q · b + r mit q ∈ Z und 0 ≤ r < b . Hierbei gilt q = (cid:4) ab (cid:5) . (cid:3) .1 Euklidischer Algorithmus 15 Bemerkung : Der Satz beschreibt die Division von a durch b mit Hilfe des Divi-sionskoeffizienten q = (cid:4) ab (cid:5) und des Divisionsrestes r ∈ N . Beweis des Satzes 2.4:
Wir zeigen zuerst, dass q : = (cid:4) ab (cid:5) und r : = a − q · b einegew¨unschte Darstellung liefern:Aus der Definition 2.1 der Gauß-Klammer folgt, siehe dort (2.1): (cid:106) ab (cid:107) ≤ ab < (cid:106) ab (cid:107) + . (2.2)Die linke Ungleichung von (2.2) ergibt r = a − (cid:106) ab (cid:107) · b ≥ a − ab · b = , und die rechte Ungleichung r < a − (cid:16) ab − (cid:17) · b = b . Schließlich folgt eindeutig f¨ur jede Darstellung a = q (cid:48) · b + r (cid:48) mit q (cid:48) ∈ Z und0 ≤ r (cid:48) < b : (cid:106) ab (cid:107) = (cid:22) q (cid:48) + r (cid:48) b (cid:23) = q (cid:48) + (cid:22) r (cid:48) b (cid:23) = q (cid:48) = q , r (cid:48) = a − (cid:106) ab (cid:107) · b = r . (cid:4) Satz 2.5:
Die ganzen Zahlen a , b m¨ogen nicht beide verschwinden. Dann gelten die folgendenAussagen:(a) ggT ( a , b ) = ggT ( b , a ) .(b) Die gemeinsamen Teiler des Zahlenpaares a , b sind dieselben wie die des Zah-lenpaares a , | b | . Insbesondere gilt ggT ( a , b ) = ggT ( a , | b | ) .(c) F¨ur b ∈ N setzen wir r : = a − (cid:4) ab (cid:5) · b . Dann sind die gemeinsamen Teiler desZahlenpaares a , b dieselben wie die des Zahlenpaares b , r .Insbesondere gilt ggT ( a , b ) = ggT ( b , r ) .(d) F¨ur b ∈ N sind die gemeinsamen Teiler des Zahlenpaares b , 0 genau die Teilervon b , und insbesondere gilt ggT ( b , ) = b . (cid:3) Beweis:
Die Aussagen (a), (b) und (d) ergeben sich direkt aus Definition 2.3, sodass wir uns auf den Nachweis von (c) beschr¨anken k¨onnen:Es sei d ein gemeinsamer Teiler von a und b , a = d ˜ a , b = d ˜ b mit ˜ a , ˜ b ∈ Z . Dann giltauch r = a − (cid:98) a / b (cid:99) b = d (cid:0) ˜ a − (cid:98) a / b (cid:99) ˜ b (cid:1) mit d | r .Ist umgekehrt d (cid:48) gemeinsamer Teiler von b und r , so gilt d (cid:48) | ( r + (cid:98) a / b (cid:99) b ) , d.h. d (cid:48) | a .Insbesondere stimmt der gr¨oßte gemeinsame Teiler von a und b mit dem von b und r ¨uberein. (cid:4) Formulierung des Euklidischen Algorithmus
Die S¨atze 2.4 und 2.5 bilden das Fundament f¨ur den Euklidischen Algorithmus zurBerechnung von ggT ( a , b ) :Gegeben ist ein Paar a (cid:48)(cid:48) , b (cid:48)(cid:48) ganzer Zahlen, nicht beide Null, wobei auf deren Rei-henfolge zu achten ist. Wir beginnen mit zwei Startschritten gem¨aß Satz 2.5 (a), (b):Schritt 1: Wir ersetzen das Paar a (cid:48)(cid:48) , b (cid:48)(cid:48) durch a (cid:48) , b (cid:48) mit a (cid:48) = a (cid:48)(cid:48) , b (cid:48) = b (cid:48)(cid:48) f¨ur b (cid:48)(cid:48) (cid:54) = a (cid:48) = b (cid:48)(cid:48) , b (cid:48) = a (cid:48)(cid:48) f¨ur b (cid:48)(cid:48) = a (cid:48) , b (cid:48) durch a , b mit a = a (cid:48) , b = | b (cid:48) | . Nun istggT ( a (cid:48)(cid:48) , b (cid:48)(cid:48) ) = ggT ( a , b ) mit a ∈ Z , b ∈ N . F¨ur den Startindex j = r j − , r j gem¨aß r j − = r = b , r j = r = a − b (cid:4) ab (cid:5) . F¨ur sp¨atere Zwecke geeignet sei q = (cid:4) ab (cid:5) .Schritt 3: Solange r j > j =
1, dieGr¨oßen q j = (cid:22) r j − r j (cid:23) , r j + = r j − − q j r j . (cid:3) Dann gilt nach Satz 2.4: Das Schema aus Schritt 3 endet f¨ur einen Abbruchindex n ∗ ≥ r n ∗ =
0, denn die Folge der Divisionsreste r j nimmtin jedem Schritt echt ab: r > r > ... > r n ∗ − > r n ∗ = . Nach Satz 2.5(c) giltggT ( a , b ) = ggT ( r j − , r j ) = r n ∗ − f¨ur j = , ..., n ∗ , .1 Euklidischer Algorithmus 17 und zudem stimmen die gemeinsamen Teiler von a , b mit den Teilern von r n ∗ − = ggT ( a , b ) ¨uberein. Somit gilt der Satz 2.6:
F¨ur a , b ∈ Z mit | a | + | b | > d | ggT ( a , b ) f¨ur jeden gemeinsamen Teiler d von a , b . (cid:3) Beispiel 2.7:
Wir bestimmen ggT ( , ) f¨ur a =
138 und b = r = b = q = (cid:106) ab (cid:107) = r = a − q b =
138 unter Beachtungvon ggT ( , ) = ggT ( r , r ) = ggT ( , ) :462 = · + = · + = · + = · + . Schlusskette: ggT ( , )= ggT ( , )= ggT ( , )= ggT ( , )= ggT ( , ) = . Da 6 der letzte von 0 verschiedene Divisionsrest ist, folgt ggT ( , ) = n ∗ =
5, und f¨ur 1 ≤ j < n ∗ − = q j = (cid:106) r j − r j (cid:107) mit der Rekursion r j + = r j − − q j r j der Divisionsreste erkl¨art: j q j r j q = (cid:98) / (cid:99) = , q = (cid:98) / (cid:99) = , q = (cid:98) / (cid:99) = , q = (cid:98) / (cid:99) = , q = (cid:98) / (cid:99) = . (cid:3) In diesem Beispiel durchlaufen wir nun, beginnend mit der Darstellung des gr¨oßtengemeinsamen Teilers im vorletzten Schritt, den Euklidischen Algorithmus in um-gekehrter Reihenfolge, indem wir schrittweise den kleinsten auftretenden Rest r j + mit dem gr¨oßten Index j + r j − − q j r j ersetzen. Auf diese Weise erhaltenwir 6 = − · = − · ( − · )= − · + · = − · + · ( − · )= − · + · , also: ggT ( , ) = = − · + · . F¨uhrt man dieses Verfahren allgemein durch, so erh¨alt man den
Satz 2.8:
F¨ur a , b ∈ Z mit | a | + | b | > λ , µ mit ggT ( a , b ) = λ a + µ b . (cid:3) Beweis:
Die Menge ( a , b ) : = { xa + yb : x , y ∈ Z } bildet einen eigenst¨andigen Un-terring von ( Z , + , · , ) , der a und b enth¨alt. Es ist nicht ( a , b ) = { } , und folglichexistiert die kleinste positive Zahl g = λ a + µ b in ( a , b ) mit Koeffizienten λ , µ ∈ Z .Aus der Darstellung von g folgt sofortggT ( a , b ) | g . (2.3)Nach Satz 2.4 gibt es ganze Zahlen q , r mit a = q · g + r und 0 ≤ r < g . Mit a , g ∈ ( a , b ) ist aber auch r = a − q · g ∈ ( a , b ) , und da g minimal ist, folgt r = a = q · g . Entsprechend erhalten wir b = q (cid:48) · g mit passendem q (cid:48) ∈ Z : a = q · g , b = q (cid:48) · g . (2.4)Aus Satz 2.6 und (2.4) folgt nun g | ggT ( a , b ) , und zusammen mit (2.3):ggT ( a , b ) = g = λ a + µ b mit passenden λ , µ ∈ Z . (cid:4) Bemerkung:
Dieser nichtkonstruktive Beweis ist dem eines allgemeineren Resul-tates f¨ur sogenannte Euklidische Ringe nachempfunden, siehe hierzu das Lehrbuch[12, Kapitel 3, § (cid:3) Die folgende Zusammenfassung pr¨age man sich gut ein:
Satz 2.9:
Es sei a , b ∈ Z mit | a | + | b | > d | ggT ( a , b ) f¨ur jeden gemeinsamen Teiler d von a , b .(b) ggT ( a , b ) = λ a + µ b mit passenden λ , µ ∈ Z .(c) ggT ( a , b ) ist die kleinste positive Zahl, die von der Linearform x · a + y · b mit x , y ∈ Z dargestellt wird, und die Menge ( a , b ) = { xa + yb : x , y ∈ Z } .2 Fundamentalsatz der Arithmetik 19 besteht genau aus den ganzzahligen Vielfachen von ggT ( a , b ) .(d) Sind speziell a , b teilerfremd, also ggT ( a , b ) =
1, und gilt a | b · c f¨ur a ∈ Z \{ } und c ∈ Z , so folgt bereits a | c . (cid:3) Beweis: (a) ist der Satz 2.6 und (b) der weiterreichende Satz 2.8.Die erste Teilaussage von (c) haben wir im Beweis von Satz 2.8 gezeigt. Es sei k = xa + yb ∈ ( a , b ) mit x , y ∈ Z . Nach Satz 2.4 ist k = q · ggT ( a , b ) + r mit q ∈ Z und 0 ≤ r < ggT ( a , b ) sowie r = k − q · ggT ( a , b ) ∈ ( a , b ) , also muss r = k = q · ggT ( a , b ) sein.Wir zeigen (d): Bei ggT ( a , b ) = λ , µ ∈ Z mit λ a + µ b = a | bc , dass c = λ ac + µ bc durch a teilbar ist. (cid:4) Definition 2.10: Primzahl, Einheit, Primelement (a) Jede nat¨urliche Zahl p >
1, die nur 1 und p als nat¨urliche Teiler besitzt, nenntman eine Primzahl.(b) Eine Zahl ε ∈ { + , − } heißt Einheit in Z .Die Zahlen ε p = ± p mit einer Primzahl p nennt man die Primelemente von Z . (cid:3) Satz 2.11:
Ist p | ab mit p als Primzahl und a , b ∈ N , so gilt p | a oder p | b . Allgemeiner: Gilt p | a a ... a n , dann teilt p zumindest einen Faktor a j ∈ N des Produktes. (cid:3) Beweis:
F¨ur p (cid:45) a ist ggT ( p , a ) = p , und es gilt p | a · b . Nach Satz 2.9 (d) ist dann p | b . Die allgemeine Aussage folgt hieraus durchvollst¨andige Induktion nach der Anzahl n der Faktoren. (cid:4) Satz 2.12: Fundamentalsatz der Arithmetik
Jede nat¨urliche Zahl n > (cid:3) Beweis:
Unter allen Produktzerlegungen von n > ≥ r von (m¨oglicherweise mehrfachen) Faktoren,etwa n = p p ... p r , r ∈ N , (2.5)denn es gilt n ≥ r , und die Folge (cid:0) k (cid:1) k ∈ N ist streng monoton wachsend und unbe-schr¨ankt. Jedes p j ≥ p j = p (cid:48) j · p (cid:48)(cid:48) j mit p (cid:48) j ≥ p (cid:48)(cid:48) j ≥ n in r + ≥ n in Primfaktoren. Nun zeigen wir die Eindeutigkeit derPrimfaktorzerlegung, indem wir mittels Induktion f¨ur alle n ∈ N die folgende von n abh¨angige Aussage A ( n ) beweisen: Wenn n = q q ... q s , s ∈ N , (2.6)und n = q (cid:48) q (cid:48) ... q (cid:48) t , t ∈ N , (2.7)zwei Primfaktorzerlegungen von n sind, so stimmen diese bis auf die Reihenfolgeder Faktoren ¨uberein. Die Aussage stimmt f¨ur n =
1. Wir nehmen an, dass bei ei-nem gegebenem n ≥ A ( n (cid:48) ) f¨ur alle n (cid:48) < n bereits stimmt, und m¨ussen A ( n ) zeigen. Hierf¨ur nehmen wir zwei Primfaktorzerlegungen (2.6), (2.7) von n an.Nach Satz 2.11 teilt die Primzahl q (cid:48) einen Primfaktor q j in (2.6), so dass q (cid:48) = q j mit einem j ∈ { , ..., s } gilt. Aus beiden Darstellungen l¨aßt sich die Primzahl q (cid:48) herausk¨urzen und hiernach die Induktionsannahme auf n (cid:48) : = nq (cid:48) < n anwenden, d.h.es gilt A ( n (cid:48) ) . Hieraus folgen weiter s = t sowie die ¨Uberstimmung von (2.6) und(2.7) bis auf die Reihenfolge der Faktoren, und wir haben A ( n ) gezeigt. (cid:4) Satz 2.13:
Es gibt unendlich viele Primzahlen. (cid:3)
Beweis nach Euklid:
H¨atte man nur endlich viele Primzahlen p , ..., p s , so w¨are n = + s ∏ j = p j > p j teilbar, sondern durch eine ”neue“ Primzahl p ,Widerspruch. (cid:4) Bemerkung 2.14: (a) Dem Fundamentalsatz gem¨aß k¨onnen wir jede nat¨urliche Zahl n > n = p α · p α · ... · p α r r mit paarweise verschiedenen Primzahlen p j und Exponenten α j ∈ N schreiben. Man darf dabei sogar p < p < ... < p r voraussetzen, um die Reihenfolge eindeutig festzulegen.(b) L¨asst man alternativ noch α j ∈ N sowie r = a , b f¨ur passend gew¨ahltes r ∈ N in der Form a = p α · p α · ... · p α r r , b = p β · p β · ... · p β r r .2 Fundamentalsatz der Arithmetik 21 mit α j ≥ β j ≥ p j schreiben, j = , ..., r . Hiermit wird ggT ( a , b ) = r ∏ j = p min ( α j , β j ) j und kgV ( a , b ) : = a · b ggT ( a , b ) = r ∏ j = p max ( α j , β j ) j . Wir nennen kgV ( a , b ) das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b . Einenaheliegende Verallgemeinerung von ggT und kgV auf mehrere Argumentefindet der Leser in Aufgabe 5.2. Beispiel 2.15:
Man bestimme mittels Primfaktorzerlegung:ggT ( , ) sowie kgV ( , ) . L¨osung : Durch einfaches Probieren findet man2520 = · · · · sowie1188 = · · · · mitggT ( , ) = · · · · = , kgV ( , ) = · · · · = . F¨ur sehr große Zahlen ist die Primfaktorzerlegung viel zu aufwendig oder un-durchf¨uhrbar (Zahlen mit einigen Hundert Dezimalstellen), was man sich in derKryptographie zu Nutze macht. Der Euklidische Algorithmus zur Berechnungdes ggT ist dagegen sehr effizient! (cid:3) (c) Ist k ∈ Z \{ } , so kann man auch k = ε · p · p · ... · p s ( s ≥ ) mit einer Einheit ε = ± p , ..., p s von Z schreiben, die bis auf die Reihenfolge und das Vorzei-chen eindeutig sind. Diese Form des Fundamentalsatzes findet eine nat¨urlicheVerallgemeinerung in Euklidischen Ringen. Man beachte, dass f¨ur s = s ∏ j = p j den Wert 1 enth¨alt und ε kein Primelement in Z ist. (cid:3) Aufgabe 2.1: Euklidischer Algorithmus
Mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus bestimme man ggT ( , ) und k¨urzeanschliessend den Bruch 390 / L¨osung:
Berechnung von ggT ( , ) und K¨urzung des Bruches 390462 :Der Algorithmus startet mit r = b = , a = , q = (cid:106) ab (cid:107) = , r = a − bq = − · = . Tabelle: j q j r j q j = (cid:106) r j − r j (cid:107) f¨ur j ≥ , r j + = r j − − q j r j , n ∗ = . K¨urzen des Bruches mit ggT ( , ) = = / / = . Aufgabe 2.2: Pythagoreische Zahlentripel
Es sei ( a , b , c ) ∈ N ein Pythagoreisches Zahlentripel , d.h. es gelte a + b = c . Man zeige:(a) Genau dann sind a und c teilerfremd, wenn b und c teilerfremd sind. Wenn diesder Fall ist und zudem noch a ungerade ist, dann nennen wir ( a , b , c ) ein primi-tives Pythagoreisches Zahlentripel .(b) Man zeige, dass f¨ur die rationale Zahl s : = ba + c die folgenden beiden Darstel-lungen gelten: ac = − s + s , bc = s + s . (c) Man zeige mit Hilfe von (a) und (b): F¨ur je zwei teilerfremde nat¨urliche Zahlen u , v mit u > v , von denen nicht beide ungerade sind, erh¨alt man ein primitivesPythagoreisches Zahlentripel ( u − v , uv , u + v ) , und umgekehrt besitzt jedesprimitive Pythagoreische Zahlentripel ( a , b , c ) ∈ N eine solche Darstellung. .3 Aufgaben 23 L¨osung:
F¨ur a , b , c ∈ N sei a + b = c . Dann ist ( a , b , c ) Pythagoreisches Tripel.(a) Es seien a und c teilerfremd. Wir nehmen an, es sei p ≥ b und c . Wegen a = ( c − b )( c + b ) gilt dann auch p | a , denn p ist ein Teiler von c − b . Wir erhalten p | a , da p Primzahl ist, im Widerspruch zur VoraussetzungggT ( a , c ) =
1. Somit gilt ggT ( b , c ) =
1. Aus Symmetriegr¨unden folgt dannauch ggT ( a , c ) = ( b , c ) = s = b / ( a + c ) gilt1 − s + s = ( a + c ) − b ( a + c ) + b = a + ac + c − b a + ac + c + b = a + ac + a c + ac + c = a ( a + c ) c ( a + c ) = ac sowie mit einer Rechnung im Nenner wie oben:2 s + s = ba + c · + b ( a + c ) = b ( a + c )( a + c ) + b = b ( a + c ) c ( a + c ) = bc . (c) F¨ur u , v ∈ N mit ggT ( u , v ) = | u · v sowie u > v sei a (cid:48) : = u − v , b (cid:48) : = uv , c (cid:48) : = u + v . Dann gilt a (cid:48) + b (cid:48) = ( u − v ) + u v = u + u v + v = c (cid:48) , und ( a (cid:48) , b (cid:48) , c (cid:48) ) ist Pythagoreisches Tripel.Aus u > v und u , v ∈ N folgt dabei a (cid:48) , b (cid:48) , c (cid:48) ∈ N . Wegen ggT ( u , v ) = | u · v ist a (cid:48) ungerade. Wir nehmen an, es sei p ≥ a (cid:48) und c (cid:48) . Dannfolgen p | c (cid:48) + a (cid:48) und p | c (cid:48) − a (cid:48) , also p | u , p | v , und damit auch p | ggT ( u , v ) ,ein Widerspruch. Somit ist ( u − v , uv , u + v ) ein primitives PythagoreischesTripel.Nun sei umgekehrt das gegebene Pythagoreisches Tripel ( a , b , c ) als primitivvorausgesetzt. Dann gilt s = ba + c = vu mit u , v ∈ N , ggT ( u , v ) = . Aus (b) folgt ac = − s + s = u − v u + v , bc = s + s = uvu + v . (2.8)W¨aren a = k + b = m + k , m ∈ N beide ungerade, so h¨atten wir a = + k ( k + ) , b = + m ( m + ) , und c = a + b ≡ ( ) w¨are zwar gerade, aber nicht durch 4 teilbar, ein Wider-spruch. Also ist b gerade, und a , c m¨ussen ungerade sein. Aus der Darstellung(2.8) folgt cuv = b u + v , und hieraus, dass u und v nicht beide ungerade sind.Es folgt 2 | uv , und zusammen mit u > v , ggT ( u , v ) = ( u − v , uv , u + v ) ein primitives Pythagoreisches Tripel ist. nach Vorausset-zung ist aber auch ( a , b , c ) ein primitives Pythagoreisches Tripel. Wir erhaltensomit aus (2.8): a = u − v , b = uv , c = u + v . Aufgabe 2.3: Fibonacci-Folge, Teil 2
Wir erinnern an die Definition der Fibonacci-Folge ( f n ) n ∈ N mit den Fibonacci-Zahlen f = f = f n + = f n + + f n f¨ur alle n ∈ N , siehe Lektion 1,Aufgabe 1.4. Zus¨atzlich definieren wir noch f − : = b ∈ N : ggT ( f b , f b + ) = . Hinweis:
Lektion 1, Aufgabe 1.4 (a).(b) Man zeige f¨ur alle b , r ∈ N : f b + r = f b + f r + f b f r − . Hinweis: (cid:18) (cid:19) b + r = (cid:18) (cid:19) b · (cid:18) (cid:19) r . (c) Mit Hilfe von (a) und (b) zeige man f¨ur alle b ∈ N und q , r ∈ N :ggT ( f b , f r ) = ggT ( f b , f b + r ) , ggT ( f qb + r , f b ) = ggT ( f b , f r ) , und schließlich mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus:ggT ( f a , f b ) = f ggT ( a , b ) f¨ur alle a ∈ N , b ∈ N . L¨osung: f − = , f = , f = , f n + = f n + + f n f¨ur alle n ∈ N . Lektion 1, Aufgabe 1.4 (a) liefert (cid:18) (cid:19) n = (cid:18) f n + f n f n f n − (cid:19) f¨ur alle n ∈ N . .3 Aufgaben 25 (a) f n + f n − − f n = Det (cid:18)(cid:18) (cid:19) n (cid:19) = ( − ) n f¨ur alle n ∈ N . Ersetzen wir n durch b ∈ N , so folgt f¨ur λ : = ( − ) b f b − , µ : = ( − ) b + f b ∈ Z : λ f b + + µ f b = , d.h. ggT ( f b + , f b ) = . (b) Wir haben f¨ur alle b , r ∈ N mit A : = (cid:18) (cid:19) : A b + r = (cid:18) f b + r + f b + r f b + r f b + r − (cid:19) = A b A r = (cid:18) f b + f b f b f b − (cid:19) (cid:18) f r + f r f r f r − (cid:19) = (cid:18) f b + f r + + f b f r f b + f r + f b f r − f b f r + + f b − f r f b f r + f b − f r − (cid:19) , und hieraus f b + r = f b + f r + f b f r − .(c) Es seien b ∈ N , q , r ∈ N . Nach (b) ist jeder gemeinsame Teiler von f b und f r auch ein gemeinsamer Teiler von f b und f b + r . Umgekehrt gelte d | f b und d | f b + r .Aus f b + f r = f b + r − f b f r − folgt dann auch d | f b + · f r , und hieraus d | f r , dennwegen d | f b und ggT ( f b , f b + ) = d auch zu f b + teilerfremd. Damit haben f b und f r dieselben Teiler wie f b und f b + r , insbesondere giltggT ( f b , f r ) = ggT ( f b , f b + r ) . Induktion bzgl. q ∈ N liefert nunggT ( f qb + r , f b ) = ggT ( f b , f r ) f¨ur alle b ∈ N , q , r ∈ N . (2.9)Wir wenden auf a ∈ N , b ∈ N den Euklidischen Algorithmus mit Abbruchindex n ∗ an: r : = b , q : = (cid:106) ab (cid:107) , r : = a − q b , r j + = r j − − q j r j f¨ur q j = (cid:22) r j − r j (cid:23) und j = , ..., n ∗ − , r n ∗ − = ggT ( a , b ) , r n ∗ = . Wir erhalten der Reihe nach aus (2.9):ggT ( f a , f b ) = ggT ( f q b + r , f b ) = ggT ( f b , f r ) = ggT ( f r , f r ) , sowie f¨ur j = , ..., n ∗ − ( f r j − , f r j ) = ggT ( f q j r j + r j + , f r j ) = ggT ( f r j , f r j + ) . Hieraus folgt endlichggT ( f a , f b ) = ggT ( f r n ∗− , f r n ∗ (cid:124)(cid:123)(cid:122)(cid:125) = ) = f r n ∗− = f ggT ( a , b ) . Aufgabe 2.4: Eigenschaften der oberen und unteren Gauß-Klammer
Man zeige, dass f¨ur jede reelle Zahl x gilt:(a) (cid:98) x (cid:99) ≤ x < (cid:98) x (cid:99) + , x − < (cid:98) x (cid:99) ≤ x , ≤ x − (cid:98) x (cid:99) < , insbesondere ist (cid:98) x (cid:99) die gr¨oßte ganze Zahl kleiner oder gleich x .(b) (cid:98) x + k (cid:99) = (cid:98) x (cid:99) + k f¨ur alle k ∈ Z , (c) (cid:106) xn (cid:107) = (cid:22) (cid:98) x (cid:99) n (cid:23) f¨ur alle n ∈ N , (d) F¨ur (cid:100) x (cid:101) : = −(cid:98)− x (cid:99) ist (cid:100) x (cid:101) − < x ≤ (cid:100) x (cid:101) , x ≤ (cid:100) x (cid:101) < x + , ≤ (cid:100) x (cid:101) − x < , insbesondere ist (cid:100) x (cid:101) die kleinste ganze Zahl gr¨oßer oder gleich x . L¨osung:
Es sei x ∈ R . Dann ist (cid:98) x (cid:99) (ganzzahliger Anteil von x ) diejenige ganze Zahl j , f¨urdie gilt: j ≤ x < j + . (2.10)(a) Die erste Ungleichungskette entspricht (2.10), d.h. (cid:98) x (cid:99) ≤ x < (cid:98) x (cid:99) + j = (cid:98) x (cid:99) ,und die beiden anderen sind Umformulierungen dieser Ungleichungen.(b) Aus (a) bzw. (2.10) folgt f¨ur k ∈ Z : (cid:98) x (cid:99) + k ≤ x + k < ( (cid:98) x (cid:99) + k ) + (cid:98) x (cid:99) + k , d.h. (cid:98) x + k (cid:99) = (cid:98) x (cid:99) + k f¨ur alle k ∈ Z .(c) F¨ur n ∈ N ist zun¨achst nach (a):1) (cid:22) (cid:98) x (cid:99) n (cid:23) ≤ (cid:98) x (cid:99) n ≤ xn , und aus x < (cid:98) x (cid:99) + xn < (cid:98) x (cid:99) + n . Aus der zweiten Ungleichungskette in (a) folgt .3 Aufgaben 27 n (cid:22) (cid:98) x (cid:99) n (cid:23) > n (cid:18) (cid:98) x (cid:99) n − (cid:19) = (cid:98) x (cid:99) − n , und aus der Ganzzahligkeit von n (cid:22) (cid:98) x (cid:99) n (cid:23) sowie (cid:98) x (cid:99) − n die Ungleichung n (cid:22) (cid:98) x (cid:99) n (cid:23) ≥ (cid:98) x (cid:99) − n + . Die letzte Ungleichung schreiben wir in der ¨aquivalenten Form3) (cid:98) x (cid:99) + n ≤ (cid:22) (cid:98) x (cid:99) n (cid:23) + (cid:22) (cid:98) x (cid:99) n (cid:23) ≤ xn < (cid:22) (cid:98) x (cid:99) n (cid:23) + (cid:106) xn (cid:107) = (cid:22) (cid:98) x (cid:99) n (cid:23) .(d) folgt aus (a), indem man dort x durch − x ersetzt. Aufgabe 2.5: Die h¨ochsten Primzahlpotenzteiler von n !Es sei p eine Primzahl, n eine nichtnegative ganze Zahl und α p ( n ) die gr¨oßte ganzeZahl α ≥
0, f¨ur die p α ein Teiler von n ! ist. Man zeige α p ( n ) = ∞ ∑ k = (cid:22) np k (cid:23) . L¨osung:
Die Summe in der zu beweisenden Formel muß nur ¨uber die endlich vielen k mit p k ≤ n erstreckt werden. Wir beweisen die Formel durch Induktion nach n .F¨ur n = α p ( ) =
0, wobei 0! = n eine nat¨urliche Zahl mit α p ( m ) = ∞ ∑ k = (cid:22) mp k (cid:23) f¨ur alle ganzen Zahlen m mit 0 ≤ m < n . Da p eine Primzahl ist, k¨onnen wir zurBerechnung von α p ( n ) all diejenigen Faktoren d aus dem Produkt n ! = n ∏ d = d streichen, die nicht durch p teilbar sind, so dass p α p ( n ) auch die h¨ochste Potenz von p wird, welche das Produkt ∏ j ≤ n / p ( p j ) = p (cid:98) n / p (cid:99) · (cid:98) n / p (cid:99) !teilt. Hieraus folgt α p ( n ) = (cid:22) np (cid:23) + α p (cid:18)(cid:22) np (cid:23)(cid:19) . Nach der Induktionsannahme mit der Wahl von m = (cid:98) n / p (cid:99) < n und der zuvorgel¨osten Aufgabe 2.4(c) erhalten wir α p ( n ) = (cid:22) np (cid:23) + ∞ ∑ k = (cid:22) (cid:98) n / p (cid:99) p k (cid:23) = (cid:22) np (cid:23) + ∞ ∑ k = (cid:22) np k + (cid:23) = ∞ ∑ k = (cid:22) np k (cid:23) , so dass auch der Induktionsschritt gezeigt ist. ektion 3 Erweiterter Euklidischer Algorithmus undKettenbruchentwicklung reeller Zahlen
Jede rationale Zahl l¨asst sich als endlicher Kettenbruch q + q + q + . . . + q j − + q j mit q ∈ Z und q , . . . , q j ∈ N darstellen, wie wir in diesem Abschnitt mit Hilfe desEuklidischen Algorithmus zeigen werden. Mit der Zusatzforderung q j >
290 3 Kettenbr¨uche
Definition 3.1: endliche Kettenbr ¨uche
F¨ur λ ∈ R und positive reelle Zahlen λ , ..., λ j definieren wir den Kettenbruch (cid:104) λ , λ , ..., λ j (cid:105) = λ + λ + λ + . . . + λ j induktiv gem¨aß (cid:104) λ (cid:105) : = λ , (cid:104) λ , λ , ..., λ j (cid:105) : = λ + (cid:104) λ , ..., λ j (cid:105) , j ∈ N . (cid:3) Satz 3.2:
F¨ur alle λ ∈ R und alle λ , ..., λ j > j ∈ N , gilt (cid:104) λ , λ , ..., λ j (cid:105) = (cid:104) λ , (cid:104) λ , ..., λ j (cid:105)(cid:105) , und f¨ur j ≥ (cid:104) λ , λ , ..., λ j (cid:105) = (cid:104) λ , ..., λ j − , λ j − + λ j (cid:105) . (cid:3) Beweis:
Wegen (cid:104) λ , λ , ..., λ j (cid:105) = λ + (cid:104) λ , ..., λ j (cid:105) = (cid:104) λ , (cid:104) λ , ..., λ j (cid:105)(cid:105) folgt die erste Teilaussage des Satzes sofort aus der Definition 3.1. Setzen wir spe-ziell j =
2, so erhalten wir wegen (cid:104) λ , λ , λ (cid:105) = (cid:104) λ , (cid:104) λ , λ (cid:105)(cid:105) = (cid:104) λ , λ + λ (cid:105) bereits den Induktionsanfang f¨ur die zweite Teilaussage. Wir nehmen an, die zweiteTeilaussage sei f¨ur ein j ≥ j + .1 Erweiterter Euklidischer Algorithmus und Kettenbr¨uche 31 (cid:104) λ , λ , ..., λ j , λ j + (cid:105) = (cid:104) λ , (cid:104) λ , ..., λ j , λ j + (cid:105)(cid:105) = (cid:104) λ , (cid:104) λ , ..., λ j − , λ j + λ j + (cid:105)(cid:105) ( Induktionsannahme )= (cid:104) λ , λ , ..., λ j − , λ j + λ j + (cid:105) f¨ur alle λ ∈ R und alle λ , ..., λ j + > (cid:4) Bei Verwendung der Klammer-Notation f¨ur Kettenbr¨uche lassen sich mit Hilfe vonSatz 3.2 endliche Kettenbr¨uche besonders einfach berechnen, z.B. erhalten wir (cid:104) , , (cid:105) = (cid:104) , + (cid:105) = (cid:104) , (cid:105) = + = . Satz 3.3:
F¨ur j ∈ N seien λ ∈ R sowie λ , ..., λ j − > λ : = ( λ , ..., λ j − ) ∈ R j f¨ur j ≥ λ : = ( λ ) f¨ur j = T λ : = T ( λ ) · (cid:18) λ (cid:19) · ... · (cid:18) λ j − (cid:19) mit T ( λ ) : = (cid:18) λ (cid:19) f¨ur j ≥ σ = σ = λ , τ = τ = σ k + = σ k − + λ k σ k , τ k + = τ k − + λ k τ k f¨ur 1 ≤ k < j . Dann gilt:(a) T λ = (cid:18) σ j − σ j τ j − τ j (cid:19) .(b) (cid:104) λ , λ , ..., λ j − , x (cid:105) = σ j x + σ j − τ j x + τ j − f¨ur x > (cid:104) λ , λ , ..., λ j − , x (cid:105) − (cid:104) λ , λ , ..., λ j − , x (cid:48) (cid:105) = ( − ) j ( x − x (cid:48) )( τ j x + τ j − )( τ j x (cid:48) + τ j − ) f¨ur x , x (cid:48) > (cid:3) Beweis:
Wir f¨uhren den Beweis von (a) und (b) durch vollst¨andige Induktion:(a) F¨ur j = T ( λ ) = (cid:18) λ (cid:19) = (cid:18) σ σ τ τ (cid:19) aufgrund der Startvorgaben.Ist die Aussage f¨ur einen Index j ≥ λ (cid:48) = ( λ , λ , ..., λ j ) mit λ j >
0, so wird T λ (cid:48) = (cid:18) σ j − σ j τ j − τ j (cid:19) · (cid:18) λ j (cid:19) = (cid:18) σ j σ j − + σ j λ j τ j τ j − + τ j λ j (cid:19) = (cid:18) σ j σ j + τ j τ j + (cid:19) . (b) F¨ur j = (cid:104) λ , x (cid:105) = λ + x = σ x + σ τ x + τ . Wir nehmen an, die zu beweisende Aussage sei f¨ur einen Index j ≥ λ j > λ (cid:48) = ( λ , λ , ..., λ j ) . Dann folgt aus Satz 3.2und unserer Induktionsannahme: (cid:104) λ , λ , ..., λ j , x (cid:105) = (cid:104) λ , λ , ..., λ j − , λ j + x (cid:105) = σ j ( λ j + x ) + σ j − τ j ( λ j + x ) + τ j − = ( σ j − + λ j σ j ) x + σ j ( τ j − + λ j τ j ) x + τ j = σ j + x + σ j τ j + x + τ j , so dass die Aussage auch f¨ur j + T λ = ( − ) j − = σ j − τ j − σ j τ j − . (cid:4) Einf ¨uhrung des erweiterten Euklidischen Algorithmus
Gegeben sind a , b ∈ R mit b > x = ab , q = (cid:4) ab (cid:5) , r = b , r = a − b · (cid:4) ab (cid:5) , s = s = q , t = t = r j (cid:54) = j =
1, schrittweise die Gr¨oßen x j = r j − r j , q j = (cid:98) x j (cid:99) , r j + = r j − − q j r j , s j + = s j − + q j s j , t j + = t j − + q j t j .
3) Falls r j = j ∈ N gilt, brechen wir den Algorithmus ab und nennen ihnterminierend mit Abbruchindex n ∗ = n ∗ ( a , b ) = j . Falls r j (cid:54) = j ∈ N definiert ist, nennen wir den Algorithmus infinit und setzen n ∗ = n ∗ ( a , b ) = ∞ .Durch 1) bis 3) ist der erweiterte Euklidische Algorithmus mit Eingabewerten a und b erkl¨art. Die Ausgabewerte sind x j , q j mit 0 ≤ j < n ∗ sowie r j , s j , t j mit j ∈ N und j ≤ n ∗ . Ist der Algorithmus terminierend, so nennen wir auch n ∗ ∈ N einenAusgabewert. Bemerkung 3.4: (a) Ist λ > a , b durch λ a , λ b , so bleiben derAbbruchindex n ∗ ∈ N ∪ { ∞ } und alle Ausgabewerte mit Ausnahme der r j erhal-ten; allein die r j m¨ussen durch die neuen Ausgabewerte λ · r j ersetzt werden. .1 Erweiterter Euklidischer Algorithmus und Kettenbr¨uche 33 (b) Setzen wir in Satz 3.3 λ k = q k f¨ur 0 ≤ k < n ∗ , so folgt dort σ k = s k , τ k = t k f¨ur k ∈ N mit k ≤ n ∗ , wovon wir nun Gebrauch machen: (cid:3) Satz 3.5: (a) Es gilt r j > r j + ≥ ≤ j < n ∗ . Hierbei ist r j + = j + = n ∗ < ∞ m¨oglich.(b) Es gilt x j > q j ∈ N f¨ur 1 ≤ j < n ∗ sowie x j − q j = x j + f¨ur 1 ≤ j + < n ∗ .(c) (cid:104) q , ..., q j − , q j (cid:105) = s j + t j + mit t j + ≥ t j + ≥ t j f¨ur 0 ≤ j < n ∗ . (d) ab = (cid:104) q , .., q j − , x j (cid:105) f¨ur 1 ≤ j < n ∗ . (e) Es ist n ∗ genau dann endlich, wenn ab rational ist. In diesem Falle gilt die Be-ziehung x n ∗ − = q n ∗ − mit ab = (cid:104) q , ..., q n ∗ − (cid:105) . (cid:3) Beweis: (a) F¨ur j = r = b > a − b (cid:106) ab (cid:107) = r ≥ , denn einerseits ist a − b (cid:106) ab (cid:107) ≥ a − b ab = , und andererseits a − b (cid:106) ab (cid:107) < a − b (cid:16) ab − (cid:17) = b , da wir b > r j > j ≥ j < n ∗ gilt, erhalten wir zumeinen r j + = r j − − (cid:22) r j − r j (cid:23) r j ≥ r j − − r j − r j · r j = , und zum anderen r j + = r j − − (cid:22) r j − r j (cid:23) r j < r j − − (cid:18) r j − r j − (cid:19) r j = r j . Die Bedingung r j + = j + = n ∗ < ∞ ist genau die Abbruchbedingung f¨ur den erweiterten Euklidischen Algorithmus.(b) Aus (a) folgt x j = r j − r j > q j = (cid:98) x j (cid:99) ≥ ≤ j < n ∗ . Nun sei n ∗ > n ∗ endlich oder unendlich. Dann existiert x > x = r r = a − b (cid:98) a / b (cid:99) b = ab − (cid:106) ab (cid:107) = x − (cid:98) x (cid:99) . F¨ur einen Index j ∈ N mit 2 ≤ j + < n ∗ ist auch x j + > x j + = r j + r j = r j − r j − q j = x j − (cid:98) x j (cid:99) . (c) Es sei 0 ≤ j < n ∗ . Zun¨achst ist t = > t =
0. Es gilt t j + = t j − + q j · t j ≥ t j f¨ur j ≥ q j ≥
1. Nun beachten wir Bemerkung 3.4 (b) und setzen x = q j in Satz 3.3 (b). Es folgt (cid:104) q , ..., q j − , q j (cid:105) = s j q j + s j − t j q j + t j − = s j + t j + . (d) Aus (b) folgt wegen q j = (cid:98) x j (cid:99) : x j = q j + x j + f¨ur 1 ≤ j + < n ∗ . (3.1)Wir zeigen mit vollst¨andiger Induktion: ab = (cid:104) q , .., q j − , x j (cid:105) f¨ur 1 ≤ j < n ∗ . (3.2)F¨ur j = n ∗ > r > r > x = r r > (cid:104) q , x (cid:105) = q + x = x = ab . Wenn f¨ur einen Index j mit 1 ≤ j < n ∗ die Gleichung (3.2) gilt und auch noch j + < n ∗ bleibt, so folgt mit (3.1) und Satz 3.2: ab = (cid:104) q , .., q j − , q j + x j + (cid:105) = (cid:104) q , .., q j − , q j , x j + (cid:105) , so dass (3.2) auch f¨ur j + ab rational ist, k¨onnen wir nach Bemerkung 3.4 (a) voraussetzen, dass a ∈ Z und b ∈ N gilt. Damit ist der erweiterte Euklidische Algorithmus mit demeinfachen Euklidischen Algorithmus aus Lektion 2 vertr¨aglich und terminiert .1 Erweiterter Euklidischer Algorithmus und Kettenbr¨uche 35 mit n ∗ < ∞ .Nun sei umgekehrt n ∗ < ∞ vorausgesetzt.F¨ur n ∗ = r = a − b (cid:4) ab (cid:5) = x = q = ab = (cid:4) ab (cid:5) mit ab = (cid:104) q (cid:105) .F¨ur n ∗ ≥ r n ∗ = r n ∗ − − q n ∗ − r n ∗ − = x n ∗ − = q n ∗ − , undwegen (d) ist ab = (cid:104) q , ..., q n ∗ − (cid:105) ∈ Q . (cid:4) Satz 3.6: (a) Es gilt s j t j + − t j s j + = ( − ) j f¨ur 0 ≤ j < n ∗ mit ggT ( s j , t j ) = j ∈ N mit j ≤ n ∗ . Insbesondere sind f¨ur 0 ≤ j < n ∗ die Br¨uche s j + t j + aus Satz 3.5 (c) bereitsgek¨urzt.(b) Es gilt j ∈ N mit j ≤ n ∗ : bs j − at j = ( − ) j r j . (c) Ist ¨uberdies n ∗ < ∞ und gilt auch noch a ∈ Z , b ∈ N , so ist s n ∗ / t n ∗ = a / b mitdem gek¨urzten Bruch s n ∗ / t n ∗ sowie mit ggT ( a , b ) = r n ∗ − : ( − ) n ∗ − · ggT ( a , b ) = bs n ∗ − − at n ∗ − . (cid:3) Beweis: (a) Nach Satz 3.3 (a) und Bemerkung 3.4 (b) gilt T ( q ,..., q j ) = (cid:18) s j s j + t j t j + (cid:19) mit Det T ( q ,..., q j ) = ( − ) j , s j t j + − t j s j + = ( − ) j f¨ur 0 ≤ j < n ∗ . Hieraus folgen auch die ¨ubrigen Behauptungen von (a).(b) Behauptung (b) stimmt f¨ur j =
0, 1 nach Wahl der Startwerte. Stimmt (b) bis zueinem j ≥ r j > j + ≤ n ∗ , so ist sie auch f¨ur j + bs j + − at j + = b ( s j − + s j q j ) − a ( t j − + t j q j )= ( − ) j − r j − + q j ( − ) j r j = ( − ) j + r j + . (c) folgt aus (b), indem man dort j = n ∗ −
1, ggT ( a , b ) = r n ∗ − bzw. j = n ∗ , r n ∗ = (cid:4) Beispiel 3.7:
Hier greifen wir das Beispiel 2.7 zur Berechnung von ggT ( , ) noch ein-mal auf: F¨ur die Eingabewerte a = b =
462 erhalten wir folgende Tabelle mit n ∗ = j q j r j s j t j bs j − at j = ( − ) j r j − −
424 7 6 3 10 65 — 0 23 77 0 q = (cid:106) ab (cid:107) = , r = b = , r = a − b · q = , s = , t = , s = , t = , und f¨ur j = , ..., q j = (cid:22) r j − r j (cid:23) , r j + = r j − − q j r j , s j + = s j − + q j s j , t j + = t j − + q j t j . F¨ur n ∗ < ∞ ist eine Spalte mit den Werten x j entbehrlich, stattdessen f¨ugen wir dieKontrollspalte bs j − at j = ( − ) j r j ein.Hier haben wir ab = = s t = ( , ) = , ggT ( , ) = · − · =
6, da n ∗ − = (cid:3) F¨ur die Theorie der Kettenbr¨uche sind wir in Satz 3.3 vor allem an nat¨urlichen Zah-len λ , ..., λ j − interessiert. Die einfachste Wahl ist λ , ..., λ j − =
1, was in Verbin-dung mit τ = τ = τ k + = τ k + τ k − zur Bildung der .1 Erweiterter Euklidischer Algorithmus und Kettenbr¨uche 37 Fibonacci-Zahlen f¨uhrt, die in der Theorie der Kettenbr¨uche eine besondere Rollespielen:
Definition 3.8:
Die Fibonacci-Zahlen f k sind f¨ur k ∈ N rekursiv erkl¨art gem¨aß f = f = f k + = f k + f k − . Eine Liste der Anfangswerte lautet: k f k f k ≥ k ≥ ( f k ) k ≥ ab k = (cid:3) Beispiel 3.9:
Wir wenden auf die positive der beiden L¨osungen λ ± : = ±√ der quadratischenGleichung λ = λ + a : = λ + = + √ , b : = j x j q j r j s j t j + √
52 1 1 1 01 1 + √
52 1 √ −
12 1 12 1 + √
52 1 (cid:32) √ − (cid:33) + √
52 1 (cid:32) √ − (cid:33) n ∗ = ∞ , denn nach Satz 3.5 (b) ist x j + = x j − (cid:98) x j (cid:99) = x j = √ + j ∈ N mit einer konstanten Folge ( x j ) j ∈ N . Hierbei ist q j = (cid:98) x j (cid:99) = j ∈ N . Aus r = r j − r j = x j = √ + f¨ur j ∈ N folgt: r j = (cid:32) √ − (cid:33) j f¨ur alle j ∈ N . Hier ist s j = t j + = f j + f¨ur alle j ∈ N , und Satz 3.6 (b) liefert:1 · s j − λ + · t j = f j + − λ + · f j = λ j − f¨ur alle j ∈ N . (3.3)Nun erhalten wir aus (3.3) f¨ur j ∈ N : ( λ + − λ − ) · f j + + λ j + − = ( λ + − λ − ) · ( λ + · f j + λ j − ) + λ j + − = ( λ + − λ − ) · λ + · f j + λ + · λ j − = λ + · (cid:104) ( λ + − λ − ) · f j + λ j − (cid:105) . Mit ( λ + − λ − ) · f + λ − = ( λ + − λ − ) · f j + λ j − = λ j + f¨ur alle j ∈ N , und somit die Binetsche Formel f¨ur die Fibonacci-Zahlen: f j = √ · (cid:32) + √ (cid:33) j − (cid:32) − √ (cid:33) j f¨ur alle j ∈ N . (3.4) (cid:3) Definition und Satz 3.10:
Gegeben seien λ ∈ Z sowie eine unendliche Folge ( λ j ) j ∈ N nat¨urlicher Zahlen λ j .Dann existiert der sogenannte unendliche Kettenbruch (cid:104) λ , λ , λ , ... (cid:105) : = lim j → ∞ (cid:104) λ , λ , ..., λ j (cid:105) , den man auch in der Form (cid:104) λ , λ , λ , ... (cid:105) = λ + λ + λ + ... schreibt. (cid:3) Beweis:
Wir setzen x : = λ j und w¨ahlen x (cid:48) ≥ (cid:104) λ , λ , ..., λ j (cid:105) − (cid:104) λ , λ , ..., λ j − + x (cid:48) (cid:105) = ( − ) j ( λ j − x (cid:48) ) τ j + ( τ j x (cid:48) + τ j − ) (3.5)Im Limes x (cid:48) → ∞ erhalten wir aus (3.5): d j : = (cid:104) λ , λ , ..., λ j (cid:105) − (cid:104) λ , λ , ..., λ j − (cid:105) = ( − ) j + τ j τ j + f¨ur alle j ∈ N . (3.6) .1 Erweiterter Euklidischer Algorithmus und Kettenbr¨uche 39 Setzen wir noch d : = (cid:104) λ (cid:105) = λ , so folgt aus (3.6): (cid:104) λ , λ , ..., λ j (cid:105) = j ∑ k = d k = λ + j ∑ k = ( − ) k + τ k · τ k + . (3.7)Nun gilt f¨ur alle k ∈ N die Monotoniebeziehung τ k + · τ k + τ k · τ k + = τ k + τ k = τ k + λ k + τ k + τ k > k → ∞ τ k · τ k + =
0. Das Leibniz-Kriterium liefert die Konvergenz der alternieren-den Reihe in (3.7). (cid:4)
Bemerkung 3.11:
Es gilt τ j ≥ f j f¨ur j ∈ N , so dass die alternierende Reihe in (3.7) sogar absolutkonvergiert. Nach Beispiel 3.9 gilt insbesondere (cid:104) , , , ... (cid:105) = + + + ... = √ + . (cid:3) Satz 3.12: Eindeutigkeit unendlicher Kettenbr ¨uche
Es seien λ ∈ Z und λ j ∈ N f¨ur j ∈ N . Dann gilt:(a) (cid:104) λ , λ , λ , ... (cid:105) = λ + (cid:104) λ , λ , λ , ... (cid:105) = (cid:104) λ , (cid:104) λ , λ , λ , ... (cid:105)(cid:105) .(b) Wir setzen y j : = (cid:104) λ j , λ j + , λ j + , ... (cid:105) f¨ur j ∈ N . Dann gilt λ j < y j < λ j + λ j = (cid:98) y j (cid:99) sowie y j + = y j − (cid:98) y j (cid:99) f¨ur alle j ∈ N .(c) Wendet man den erweiterten Euklidischen Algorithmus auf die Eingabewerte a = x : = (cid:104) λ , λ , λ , ... (cid:105) , b : = n ∗ = ∞ , x j = y j und q j = λ j f¨uralle j ∈ N :Der unendliche Kettenbruch hat eine eindeutige Darstellung (cid:104) λ , λ , λ , ... (cid:105) = λ + λ + λ + ... , und er liefert eine Irrationalzahl x . (cid:3) Beweis: (a) (cid:104) λ , λ , ..., λ j (cid:105) = λ + (cid:104) λ ,..., λ j (cid:105) liefert im Limes j → ∞ die Behauptung.(b) Nach (a) gilt y j = λ j + y j + mit y j + = λ j + + (cid:104) λ j + , λ j + , ... (cid:105) > λ j + ≥ , j ∈ N . Hieraus folgen 0 < y j + < λ j = (cid:98) y j (cid:99) sowie y j + = y j − (cid:98) y j (cid:99) f¨ur alle j ∈ N .(c) Die Startwerte und die Rekursionsvorschriften stimmen f¨ur beide Zahlenfolgen ( y j ) j ∈ N und ( x j ) j ∈ N ¨uberein. Somit gelten der Reihe nach x j = y j , q j = (cid:98) x j (cid:99) = (cid:98) y j (cid:99) = λ j f¨ur alle j ∈ N . Nach Satz 3.5 (e) ist x irrational mit n ∗ = ∞ . (cid:4) Bemerkung 3.13:
Es seien λ ∈ Z , λ (cid:48) ∈ N sowie x ≥ y > (cid:104) λ (cid:48) , x (cid:105) >
1, und es gilt λ = (cid:98)(cid:104) λ , y (cid:105)(cid:99) = (cid:98)(cid:104) λ , λ (cid:48) , x (cid:105)(cid:99) , so dass λ sowohl durch (cid:104) λ , y (cid:105) als auch durch (cid:104) λ , λ (cid:48) , x (cid:105) eindeutig bestimmt ist. Wendet man diese Beziehungen schrittweise auf einen end-lichen Kettenbruch ρ = (cid:104) λ , ..., λ j − , (cid:105) mit λ ∈ Z , λ , ..., λ j − ∈ N f¨ur j ≥ ρ genau zwei Kettenbruchdarstellungenbesitzt, n¨amlich ρ = (cid:104) λ , ..., λ j − , (cid:105) = (cid:104) λ , ..., λ j − , λ j − + (cid:105) , j ≥ . (3.8)Ebenso gilt (cid:104) λ , (cid:105) = (cid:104) λ + (cid:105) , (3.9)wobei sich jedes ρ ∈ Q entweder gem¨aß (3.8) oder (3.9) schreiben l¨asst. So liefernSatz 3.5 (c) und Beispiel 3.7:310 = (cid:104) , , , (cid:105) = (cid:104) , , (cid:105) , = (cid:104) , , , , (cid:105) = (cid:104) , , , , , (cid:105) . Nur die Irrationalzahlen besitzen eine eindeutige Darstellung als (unendlicher) Ket-tenbruch. (cid:3) .1 Erweiterter Euklidischer Algorithmus und Kettenbr¨uche 41
Satz 3.14:
F¨ur eine Irrationalzahl x w¨ahlen wir a : = x , b : = x j , q j bzw. r j , s j , t j f¨ur j ∈ N . Dann folgt x = (cid:104) q , q , q , ... (cid:105) , genauer f¨ur alle j ∈ N :(a) Es gilt x − (cid:104) q , ..., q j − (cid:105) = x − s j t j = ( − ) j + r j t j f¨ur alle j ∈ N mit der streng monoton fallenden positiven Nullfolge (cid:16) r j t j (cid:17) j ∈ N .(b) F¨ur die verallgemeinerten Divisionsreste gilt r j = t j x j + t j − mit 0 < r j < q j · t j und der streng monoton fallenden positiven Nullfolge ( r j ) j ∈ N .(c) Es besteht die Absch¨atzung (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) x − s j t j (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) < q j t j mit den gek¨urzten N¨aherungsbr¨uchen s j t j = (cid:104) q , ..., q j − (cid:105) zu x . (cid:3) Beweis: (a) folgt sofort aus Satz 3.5 (a), (c) und Satz 3.6 (b).(b) In Satz 3.3 (c) setzen wir λ k = q k f¨ur 0 ≤ k < j bzw. τ k = t k f¨ur 0 ≤ k ≤ j sowie x = x j , und erhalten mit Satz 3.5 (d): x − (cid:104) q , ..., q j − , x (cid:48) (cid:105) = ( − ) j ( x j − x (cid:48) )( t j x j + t j − )( t j x (cid:48) + t j − ) , und f¨ur x (cid:48) → ∞ im Limes: x − (cid:104) q , ..., q j − (cid:105) = ( − ) j + t j ( t j x j + t j − ) . Der Vergleich mit der Teilaussage (a) dieses Satzes liefert0 < r j = t j x j + t j − ≤ t j x j < q j t j f¨ur alle j ∈ N , womit ( r j ) j ∈ N auch eine streng monoton fallende Nullfolge ist.(c) folgt direkt aus (a) und (b). (cid:4) Bemerkung 3.15: (a) Nach Satz 3.14 (a) stellen die gek¨urzten Br¨uche s j t j N¨aherungsbr¨uche f¨ur x dar, die abwechselnd kleiner bzw. gr¨oßer als x sind. Diese Br¨uche liegen beiungeradem Index j links von x , und bei geradem Index j rechts von x gem¨aß s t < s t < s t < ... < x < s t < s t < s t . Da allgemein t j ≥ f j mit der j − ten Fibonacci-Zahl f j und f j ∼ √ (cid:16) + √ (cid:17) j f¨ur j → ∞ gilt, also lim j → ∞ f j · √ (cid:32) + √ (cid:33) j = , erhalten wir: (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) x − s j t j (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) < f j · f j + , und die s j t j = (cid:104) q , ..., q j − (cid:105) konvergieren zumindest exponentiell schnell gegen x .(b) Satz 3.14 (c) ist eine Versch¨arfung des klassischen Dirichletschen Approxima-tionssatzes. Dieser besagt, dass f¨ur jede Irrationalzahl x unendlich viele ratio-nale Zahlen st mit (cid:12)(cid:12)(cid:12) x − st (cid:12)(cid:12)(cid:12) < t und s ∈ Z , t ∈ N existieren. (cid:3) Satz 3.16: Die Medianteneigenschaft
Gegeben sind u , u (cid:48) ∈ Z und v , v (cid:48) ∈ N mit u (cid:48) v − uv (cid:48) =
1. Dann gilt uv < u (cid:48) v (cid:48) , und dersogenannte Mediant u + u (cid:48) v + v (cid:48) ist unter allen Br¨uchen st mit uv < st < u (cid:48) v (cid:48) und s ∈ Z , t ∈ N der einzige mit dem kleinsten Nenner t . (cid:3) Beweis:
Wir zeigen, dass die Ungleichungen uv < u + u (cid:48) − β v + v (cid:48) − α < u (cid:48) v (cid:48) (3.10)mit den Nebenbedingungen .1 Erweiterter Euklidischer Algorithmus und Kettenbr¨uche 43 α , β ∈ Z und 0 ≤ α < v + v (cid:48) (3.11)die einzige L¨osung α = β = u ( v + v (cid:48) − α ) < v ( u + u (cid:48) − β ) ,also zu v β − u α < u (cid:48) v − uv (cid:48) = . (3.12)Entsprechend ist die rechte Ungleichung in (3.10) ¨aquivalent zu u (cid:48) α − v (cid:48) β < . (3.13)F¨ur α = β = v , v (cid:48) ≥ α = β =
0. Wir nehmendaher α ∈ N an und m¨ussen diese Annahme zum Widerspruch f¨uhren:Da ggT ( u , v ) = v β = u α die Beziehung v | α folgen, und hieraus α = λ v , β = λ u mit einem λ ∈ N , was der Beziehung (3.13) widerspricht.Mit der Ganzzahligkeit aller Gr¨oßen folgt somit v β − u α < βα < uv . Dies widerspricht wegen uv < u (cid:48) v (cid:48) der aus (3.13) resultierenden Ungleichung u (cid:48) v (cid:48) ≤ βα . (cid:4) Satz 3.17: Satz von den rationalen Bestapproximationen
Mit den Voraussetzungen und Bezeichnungsweisen von Satz 3.14 gilt f¨ur alle s ∈ Z und t ∈ N :Aus t ≤ t j sowie aus st (cid:54) = s j t j folgt | t j x − s j | < | tx − s | f¨ur j ≥ . Dies besagt, dass die N¨aherungsbr¨uche s j t j der Kettenbruchentwicklung von x stetsdie besten Approximationen an x mit rationalen Zahlen liefern. (cid:3) Beweis:
Wir verwenden hier entscheidend die verallgemeinerten Divisionsreste r k .Neben der Darstellung in Satz 3.14 (b) brauchen wir r k = | t k x − s k | f¨ur alle k ∈ N . (3.14) F¨ur k = k ∈ N aus Satz 3.14 (a). Den Fall st = s j t j habenwir ausgeschlossen.Wegen j ≥ s j − t j − bilden, denn es ist t j − ≥ st echt zwischen s j − t j − und s j t j liegt, k¨onnen wir nach dem Medianten-satz 3.16 wegen t ≤ t j ebenfalls ausschließen.Nun betrachten wir den m¨oglichen Fall st = s j − t j − und beachten, dass r j − > r j nachSatz 3.5 (a) gilt. In diesem Falle folgt bereits die Behauptung mit Verwendung von(3.14) wegen s = λ · s j − , t = λ · t j − mit einem λ ∈ N : | tx − s | = λ · r j − > r j = | t j x − s j | . Aus Satz 3.3 (b), Bemerkung 3.4 (b) und Satz 3.5 (d) gewinnen wir folgende Dar-stellungsformel: x = s j x j + s j − t j x j + t j − . (3.15)F¨ur die Position von st m¨ussen wir nun nur noch zwei F¨alle unterscheiden:Fall A: st < s j − t j − und st < s j t j bzw.Fall B: st > s j − t j − und st > s j t j .In beiden F¨allen haben die beiden Terme ts j − st j und ts j − − st j − dasselbe Vorzei-chen, und wir erhalten die entscheidende Absch¨atzung | tx − s | = (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ( ts j − st j ) x j + ( ts j − − st j − ) t j x j + t j − (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ( wegen (3.15) )= | ts j − st j | x j + | ts j − − st j − | t j x j + t j − ( Fall A bzw. B )= r j x j | ts j − st j | + r j | ts j − − st j − | ( Satz 3 .
14 (b) ) > r j ( wegen x j > , | ts j − st j | ≥ ) , also auch im Falle A bzw. B: | tx − s | > | t j x − s j | . (cid:4) Bemerkung 3.18:
Aus Satz 3.17 folgt insbesondere f¨ur j ≥ .1 Erweiterter Euklidischer Algorithmus und Kettenbr¨uche 45 (cid:12)(cid:12)(cid:12) x − st (cid:12)(cid:12)(cid:12) ≥ tt j (cid:12)(cid:12)(cid:12) x − st (cid:12)(cid:12)(cid:12) = t j | tx − s | > (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) x − s j t j (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) . (cid:3) Die folgende Version des Approximationssatzes von Hurwitz orientiert sich an Per-rons Lehrbuch [9, § Satz 3.19: Der Approximationssatz von Hurwitz
Es sei x eine Irrationalzahl. Hiermit w¨ahlen wir a : = x , b : = x hat mindestens einer, sagenwir s j t j mit j ∈ N , die Eigenschaft (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) x − s j t j (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) < √ t j . (3.16)Insbesondere gibt es zu jeder Irrationalzahl x unendlich viele N¨aherungsbr¨uche s j / t j , die der Absch¨atzung (3.16) gen¨ugen. (cid:3) Beweis:
F¨ur jedes j ≥ δ j mit x − s j t j = ( − ) j + δ j t j , < δ j < . (3.17)Aus (3.17) folgt unter Beachtung von Satz 3.6 (a) f¨ur j ≥ δ j t j + δ j − t j − = ( − ) j + (cid:20) x − s j t j (cid:21) − ( − ) j + (cid:20) x − s j − t j − (cid:21) = ( − ) j (cid:18) s j t j − s j − t j − (cid:19) = t j t j − , was wir auch in folgender Form schreiben k¨onnen: δ j − (cid:18) t j t j − (cid:19) − t j t j − + δ j = , j ≥ . (3.18)Dies ist eine quadratische Gleichung in t j / t j − , und deren Aufl¨osung ergibt mit σ j ∈ { , − } : t j t j − = + σ j (cid:112) − δ j δ j − δ j − , t j − t j = − σ j (cid:112) − δ j δ j − δ j . (3.19)F¨ur nat¨urliche Zahlen k ≥ j = k +
1, die zweite f¨ur j = k , und erhalten t k + t k − t k − t k = σ k + (cid:112) − δ k + δ k + σ k (cid:112) − δ k δ k − δ k . Unter Beachtung von t k + = t k − + q k t k folgt2 δ k q k = σ k + (cid:112) − δ k + δ k + σ k (cid:112) − δ k δ k − , k ≥ . (3.20)Nun k¨onnen in (3.18) keine zwei aufeinanderfolgenden Koeffizienten δ j − , δ j ¨uber-einstimmen, da andernfalls δ j − = δ j = t j t j − · + (cid:16) t j t j − (cid:17) rational w¨are. Nehmen wir schließlich δ k − , δ k , δ k + ≥ √ < δ k q k < (cid:114) − + (cid:114) − = √ , denn es ist q k ≥
1, und wenigstens eine der drei Zahlen δ k − , δ k , δ k + muss gr¨oßerals 1 √ (cid:4) Bemerkung 3.20: Zus¨atze zum Approximationssatz von Hurwitz (a) Obiger Beweis zeigt auch, dass von je zwei aufeinanderfolgenden N¨aherungs-br¨uchen der Kettenbruchentwicklung von x wenigstens einer, etwa s j / t j mit j ∈ N , die Eigenschaft (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) x − s j t j (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) < t j besitzt, da δ j − = δ j ausgeschlossen ist und nach (3.18) die quadratische Glei-chung δ j − x − x + δ j = x = t j t j − besitzt, so dass in (3.19) immer Quadratwurzeln vonnichtnegativen reellen Zahlen gebildet werden.(b) In der Absch¨atzung (3.16) kann die Konstante √ x : = √ +
12 lehrt: Hier ist x j = x und t j = f j , s j = f j + ( j -te Fibonacci-Zahl f j ) f¨ur alle j ∈ N , siehe Beispiel 3.9. Hier liefertder Satz 3.14 (a), (b) f¨ur alle j ∈ N : x − s j t j = x − f j + f j = ( − ) j + f j ( x + f j − f j ) .2 Historische Anmerkungen 47 mit lim j → ∞ ( x + f j − f j ) = √ + + √ + = √ (cid:3) • Der niederl¨andische Astronom, Mathematiker und Physiker
Christiaan Huygens (1629-1695) verwendete die besten damals verf¨ugbaren Daten zur Konstruktioneines mechanischen Modells unseres Sonnensystems. Dabei kamen Kettenbr¨uchezur Berechnung von Kalendern und Schaltjahren zum Einsatz. • Leonard Euler (1707-1783) entwickelte 1737 in seinem Werk ”De Fractioni-bus Continuis Dissertatio“ eine Theorie, die auch allgemeinere Kettenbr¨uche derForm a + b a + b a + b a + ... beinhaltet. F¨ur die nach ihm benannte Eulersche Zahl e hat er die regelm¨aßigeKettenbruchentwicklung e − = < , , , , , , , , , ... > angegeben. Auch wusste er, dass Kettenbruchentwicklungen, die in eine Periodeeinm¨unden, quadratische Irrationalzahlen darstellen. • Neben Euler hat vor allem
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) die Theorie derKettenbr¨uche vorangetrieben. Der Satz 3.17 von den rationalen Bestapproxima-tionen einer Irrationalzahl mit den endlichen Kettenbruchentwicklungen geht aufihn aus dem Jahre 1770 zur¨uck. Er bewies, dass reell quadratische Irrationalzah-len eine Kettenbruchentwicklung besitzen, die in eine Periode m¨undet. • Carl Friedrich Gauß (1777-1855) entwickelte in seinen ”Disquisitiones Arith-meticae“ von 1801, siehe [2], eine einheitliche Grundlage der Zahlentheorie. Inseinem Werk nimmt die Theorie der quadratischen Formen F ( x , y ) = ax + bxy + cy mit a , b , c ∈ Z einen breiten Raum ein; in verkleideter Form hat diese Theorie, zumindest im in-definiten Fall D : = b − ac >
0, weitreichende Bez¨uge zur Kettenbruchentwick-lung der reell quadratischen Irrationalzahlen √ D − b a , siehe hierzu insbesondere noch den Abschnitt 8 des vorliegenden Lehrbuches. • Das Lehrbuch von
Oskar Perron [9] (1880-1975) ”Die Lehre von den Ket-tenbr¨uchen“ erschien 1913 im Teubner Verlag. Es ist bis heute eine wertvolleEinf¨uhrung in die Theorie geblieben. Im Vorwort dieses Buches werden die Ar-beiten Eulers als Inspirationsquelle hervorgehoben:”Besonders die Arbeiten Eulers ¨uber Kettenbr¨uche erweisen sich als wahre Fund-grube f¨ur h¨ochst interessante Beziehungen sowohl zwischen verschiedenen Ket-tenbr¨uchen als auch zwischen Kettenbr¨uchen und Reihen oder bestimmten Inte-gralen; ...“.Die dritte verbesserte und erweiterte Auflage von Perrons Lehrbuch ist ab 1957als Werk in zwei B¨anden erh¨altlich.
Aufgabe 3.1: Erweiterter Euklidischer Algorithmus
Mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus ermittle man zu den beiden teiler-fremden Zahlen a = b =
81 zun¨achst ein und dann alle Zahlenpaare ( λ , µ ) ∈ Z mit 81 λ − µ = L¨osung: a = , b =
81 : r = b = , r = a = . j q j r j s j t j n ∗ = n ∗ ( a , b ) = . Da n ∗ − bs − at = · − · = + , also81 λ − µ = λ = , µ = . Nun m¨ogen λ , µ ∈ Z eine weitere L¨osung von 81 λ − µ = ( λ − λ ) − ( µ − µ ) = , d.h.81 ( λ − λ ) = ( µ − µ ) . Wegen ggT ( , ) = | µ − µ und 7 | λ − λ . Setzen wir λ − λ = k mit k ∈ Z , so folgt µ − µ = k , und alle L¨osungen ( λ , µ ) ∈ Z mit 81 λ − µ = .3 Aufgaben 49 gegeben durch λ = + k , µ = + k mit k ∈ Z , wie man durch eine Rechenprobe best¨atigt. Aufgabe 3.2: Fibonacci-Folge, Teil 3
Wir wenden den erweiterten Euklidischer Algorithmus auf die beiden Eingabewerte a ∈ Z und b ∈ N an und verwenden dabei die Notationen im Hauptteil dieses Ab-schnitts, insbesondere sei n ∗ ( a , b ) ∈ N der zugeh¨orige Abbruchindex.Wir betrachten f = f = f n + = f n + + f n f¨ur n ∈ N .Man zeige, dass f¨ur alle n ∈ N mit n ≥ a ∈ Z und b ∈ N mit b ≤ f n ist n ∗ ( a , b ) ≤ n −
1, wobei n ∗ ( a , b ) = n − q ∈ Z gibt mit a = f n − + ˜ q f n und b = f n . Bemerkung:
Der Euklidische Algorithmus mit ganzen Zahlen als Eingabewertenhat insbesondere f¨ur a = f n − , b = f n und n ≥ n ∗ ( f n − , f n ) = n − L¨osung:
Wir zeigen vorab 1 < f n + / f n < n ≥ . (3.21)Tabelle der ersten 5 Fibonacci-Zahlen: n f n n = f f = . Wird sie f¨ur ein n ≥ f n + f n + = f n + + f n f n + = + f n f n + mit 0 < f n f n + <
1. Die Behauptung gilt dann auch f¨ur n +
1, womit (3.21) bewiesenist.F¨ur a ∈ Z und b ∈ N gilt n ∗ ( a , b ) = n ∗ ( r , r ) (3.22)mit r = b , r = a − b (cid:4) ab (cid:5) , 0 ≤ r < r .F¨ur n = f n − = f n = b = r = a ∈ Z und n ∗ ( a , b ) = n ∗ ( a , ) = Wir m¨ussen die Behauptung nur noch f¨ur n ≥ n ≥ A ( n ) ¨aquivalent:F¨ur alle r ∈ N und alle r ∈ N mit r < r ≤ f n ist n ∗ ( r , r ) ≤ n −
1, wobei n ∗ ( r , r ) = n − r = f n − und r = f n eintritt.Diese Aussage A ( n ) beweisen wir induktiv f¨ur alle n ≥ Induktionsanfang:
F¨ur n = ≤ r < r ≤ f = r , r vorausgesetzt. r = r = , n ∗ ( r , r ) = < − r (cid:54) = f − . F¨ur r = = f − und r = = f ist n ∗ ( r , r ) = = −
1. Insgesamtgilt damit A ( ) . Induktionsschritt:
Wir nehmen A ( k ) f¨ur 3 ≤ k ≤ n und ein n ≥ A ( n + ) zu zeigen, setzen wir 0 ≤ r < r ≤ f n + (3.23)voraus. Gem¨aß (3.23) unterscheiden wir drei F¨alle: Fall A: r = n ∗ ( r , r ) = n ∗ ( , r ) = < n , und auch f¨ur r = f n + haben wir r = < f n .Da A ( n + ) im Falle A gilt, werden wir im Folgenden r > n ∗ ( r , r ) = n ∗ ( r , r ) + . (3.24)Hierbei ist r der auf r , r folgende Divisionsrest im Euklidischen Algorithmus. Esgilt r = r · (cid:22) r r (cid:23) + r , ≤ r < r < r . (3.25) Fall B: < r < f n .Wir wenden die Induktionsannahme A ( n ) auf das Zahlenpaar r , r an, und erhaltenaus (3.24): n ∗ ( r , r ) < ( n − ) + = n . Unter Beachtung von r (cid:54) = f n gilt hier A ( n + ) . Fall C: f n ≤ r < r ≤ f n + .Hier folgt (cid:106) r r (cid:107) = < r = r − r ≤ f n + − f n = f n − ,wobei r = f n − genau f¨ur r = f n und r = f n + gilt. (3.26) .3 Aufgaben 51 Hier k¨onnen wir den Divisionsrest r ≥ n ∗ ( r , r ) = n ∗ ( r , r ) + . (3.27)F¨ur n = A ( ) aus 0 < r = f − = r = f = r = f = n ≥ n ∗ ( r , r ) = n ∗ ( r , r ) + . (3.28)mit r ≤ f n − . Wegen n ≥ A ( n − ) , so dass n ∗ ( r , r ) ≤ ( n − ) + = n mit (3.28) folgt. Nehmen wir n ∗ ( r , r ) = n an, d.h. n ∗ ( r , r ) = n −
2, so erhal-ten wir r = f n − aus A ( n − ) , und somit auch r = f n , r = f n + aus (3.26).Aus r = f n , r = f n + folgen umgekehrt r = f n − wegen (3.26) und schließlich n ∗ ( r , r ) = n − n ∗ ( r , r ) = n wegen A ( n ) . Aufgabe 3.3: Quadratische Irrationalzahlen
Das quadratische Polynom P ( x ) : = ax + bx + c mit a , b , c ∈ Z besitze die Diskri-minante D : = b − ac >
0, die keine Quadratzahl sei. Es sei f : = (cid:98)√ D (cid:99) . DemPolynom P ordnen wir die Nullstelle x P : = √ D − b a zu. Man zeige:(a) Es ist x P eine Irrationalzahl.(b) F¨ur jedes q ∈ Z besitzt auch Q ( x ) : = ax + ( b + aq ) x + ( c + q ( b + aq )) die po-sitive Diskriminante D , und es gilt x Q = x P − q = √ D − ( b + aq ) a .(c) R ( x ) : = − cx − bx − a hat ebenfalls dieselbe Diskriminante D wie P und Q , undes gilt x R = / x P = √ D + b − c .(d) (cid:98) x P (cid:99) = (cid:22) f − b a (cid:23) , a > , (cid:22) b − ( f + ) | a | (cid:23) , a < . L¨osung: (a) Angenommen √ D − b a = st mit s ∈ Z , t ∈ N . Dann ist t √ D − tb = as bzw. t · D = t (cid:48) mit t (cid:48) = | tb + as | >
0. Nach dem Satz von der eindeutigen Prim-faktorzerlegung w¨are dann D = p α · ... · p α j j mit paarweise verschiedenen Prim-zahlen und geraden Exponenten α , ..., α j ∈ N , also D im Widerspruch zur An- nahme eine Quadratzahl. Somit ist √ D − b a eine Irrationalzahl.(b) Die Diskriminante von Q ( x ) = ax + ( b + aq ) x + ( c + q ( b + aq )) ist ( b + aq ) − a ( c + q ( b + aq )) = b + abq + a q − ac − aqb − a q = b − ac = D , damit gilt auch x Q = √ D − ( b + aq ) a = √ D − b a − q = x P − q . (c) Es ist klar, dass auch R ( x ) = − cx − bx − a die Diskriminante D hat mit x P · x R = √ D − b a · √ D + b − c = D − b ( − ac ) = . (d) (cid:98) x P (cid:99) = (cid:36) √ D − b a (cid:37) = (cid:36) (cid:4) √ D − b (cid:5) a (cid:37) = (cid:36) (cid:4) √ D (cid:5) − b a (cid:37) = (cid:22) f − b a (cid:23) folgt f¨ur a >
0, d.h. 2 a ∈ N , aus Aufgabe 2.4 (c) und (b).F¨ur a < (cid:98) x P (cid:99) = (cid:36) b − √ D | a | (cid:37) = (cid:36) b + (cid:4) −√ D (cid:5) | a | (cid:37) = (cid:36) b − (cid:6) √ D (cid:7) | a | (cid:37) = (cid:22) b − ( f + ) | a | (cid:23) , denn D ist keine Quadratzahl und somit (cid:6) √ D (cid:7) = f +
1, siehe Aufgabe 2.4 (d).
Vorbereitung zur Bearbeitung der Aufgabe 3.5
Wir f¨uhren in tabellarischer Form die Kettenbruchentwicklung einer quadratischenIrrationalzahl an einem Beispiel vor, und verwenden die Resultate der Aufgabe 3.3.Analog soll dann bei der L¨osung der folgenden Aufgabe verfahren werden.Wir entwickeln x : = √ + , indem wir die Folge x j + = x j − q j mit den Divisions-koeffizienten q j = (cid:98) x j (cid:99) f¨ur j ∈ N bilden. In der folgenden Tabelle ist x j = x P j f¨ur P j ( x ) = a j x + b j x + c j . Aus den Koeffizienten a j , b j , c j des Polynoms P j ( x ) be-rechnen wir zun¨achst q j mit den Fallunterscheidungen a j > a j < x ∗ j : = x j − q j = x P ∗ j f¨ur P ∗ j ( x ) = a ∗ j x + b ∗ j x + c ∗ j berechnen wir hierauf die Koeffizi-enten a ∗ j , b ∗ j , c ∗ j des Polynoms P ∗ j ( x ) mit Hilfe von q j aus den Koeffizienten a j , b j , c j des Polynoms P j ( x ) gem¨aß Aufgabe 3.3(b). Schliesslich erhalten wir die neuen Ko-effizienten a j + = − c ∗ j , b j + = − b ∗ j , c j + = − a ∗ j in der Folgezeile der Tabelle gem¨aßAufgabe 3.3(c), d.h. es gilt x j + = / x ∗ j bzw. x j + x ∗ j = j ∈ N , wobei die .3 Aufgaben 53 letzte Beziehung als einfache Rechenprobe bei der Erstellung dieser Tabellen dient.Zu Beginn wird P ( x ) = a x + b x + c mit a , b , c ∈ Z und x = x P ermittelt: Wirhaben ( x − ) =
2, d.h. 196 x − x + =
0. Nach K¨urzung des Faktors14 k¨onnen wir a = b = − c = P ( x ) = x − x + D = x = x P . Wir erhalten f = (cid:98)√ D (cid:99) = j a j b j c j x j q j a ∗ j b ∗ j c ∗ j x ∗ j = x j − q j √ + √ + √ − − √ − − √ + √ − √ + √ − Wir erhalten die periodische Kettenbruchentwicklung √ + = (cid:104) , , , (cid:105) . Aufgabe 3.4: Kettenbruchentwicklung quadratischer Irrationalzahlen
Man wende den obigen f¨ur quadratische Irrationalzahlen x formulierten Ketten-bruchalgorithmus auf x : = √ √ L¨osung:
Wir haben D = f = P ( x ) = x − x = √ = x P . j a j b j c j x j q j a ∗ j b ∗ j c ∗ j x ∗ j = x j − q j √ − √ − √ + √ − √ + √ − √ + √ − √ + √ − Die Tabelle liefert √ = (cid:104) , , , , (cid:105) . Hierbei ist folgendes zu beachten: Da x ∗ mit x ∗ ¨ubereinstimmt, stimmt x = / x ∗ wieder mit x = / x ∗ ¨uberein, so dass ab demIndex j = Aufgabe 3.5: Ein periodischer Kettenbruch mit zwei Parametern
Gegeben sind zwei nat¨urliche Zahlen a und b . Man berechne den periodischen Ket-tenbruch (cid:104) a , b (cid:105) . L¨osung:
Die zweimalige Anwendung von Satz 3.12(a) auf ξ = (cid:104) a , b (cid:105) > ξ = (cid:104) a , (cid:104) b , a (cid:105)(cid:105) = a + (cid:104) b , a (cid:105) = a + b + ξ . Hieraus erhalten wir f¨ur ξ die quadratische Gleichung b ξ − ab ξ − a = ξ , = a ± (cid:114) a + ab . Da ξ positiv ist, folgt eindeutig ξ = a + (cid:114) a + ab . ektion 4 Farey-Sequenzen
Wenn wir die gek¨urzten Br¨uche zwischen Null und Eins mit einem vorgegebenmaximalen nat¨urlichen Nenner n der Gr¨oße nach ordnen, so erhalten wir etwa f¨urden maximalen Nenner n = < < < < < < < < < < . Dem Geologen John Farey (geboren 1766 in Woburn, Bedfordshire, England undgestorben am 6. Januar 1826 in London, England) fiel beim Betrachten solcher Fol-gen von Br¨uchen, die bis heute seinen Namen tragen, folgendes auf: Bei drei aufein-anderfolgenden Br¨uchen ergibt sich der Wert des mittleren Bruches als Quotient ausZ¨ahler- und Nennersumme von den beiden links und rechts benachbarten Br¨uchen,z.B. 13 = + + , = + + , = + + . Diese anhand von Beispielen erkannte Eigenschaft hielt Farey in einem 1816 er-schienenen Artikel mit dem Titel “On a curious property of vulgar fractions” im
Philosophical Magazine fest. Der franz¨osische Mathematiker Cauchy las FareysAufsatz und lieferte noch im selben Jahr 1816 den bei Farey fehlenden Beweis.Farey war nicht der erste, der diese Eigenschaft erkannt hat. So schrieb Haros 1802einen Artikel ¨uber Dezimalbr¨uche, aus dem hervorgeht, dass er Fareys “curious pro-perty” f¨ur n =
99 verwendet hat.Im Folgenden untersuchen wir die nach Farey benannten Sequenzen von Br¨uchen.Auch wenn wir hierf¨ur nur einfache Rechenregeln f¨ur den Umgang mit Br¨uchen undUngleichungen verwenden, wie sie aus dem Schulunterricht bekannt sind, so erhal-ten wir dennoch eine F¨ulle interessanter zahlentheoretischer Eigenschaften. Diesewerden schließlich dazu verwendet, einfache Rechenschemata zu entwickeln, mitdenen sich auch beliebige Ausschnitte aus der n -ten Farey-Sequenz bzw. die bestenApproximationen einer Irrationalzahl mit Farey-Br¨uchen sehr effizient berechnenlassen.
556 4 Farey-Sequenzen
Wir beginnen mit der folgenden
Aufgabenstellung:
F¨ur gegebenes n ∈ N finde und ordne man der Gr¨oße nach allegek¨urzten Br¨uche ab mit 0 ≤ ab ≤ a ∈ N , b ∈ N und b ≤ n .Zur L¨osung konstruieren wir Zeile f¨ur Zeile folgende Tabelle:(a) In der ersten Zeile steht nur 01 und 11 .(b) Die n -te Zeile bildet man, indem man die ( n − a + a (cid:48) b + b (cid:48) zwischen die aufeinanderfolgenden Br¨uche ab und a (cid:48) b (cid:48) der abgeschriebenen ( n − b + b (cid:48) = n ist. Definition 4.1:
Die n -te Zeile dieser Tabelle nennt man die Farey-Sequenz (Farey-Folge) F n derOrdnung n . (cid:3) Beispiel 4.2:
Konstruktion der Farey-Sequenzen bis zur Ordnung n = n Br¨uche der n -ten Farey-Sequenz F n Ziel:
Die Konstruktion der n -ten Farey-Sequenz F n liefert der Gr¨oße nach allegek¨urzten Br¨uche ab von 01 bis 11 mit den Nennern b ≤ n . Satz 4.3:
Sind ab und a (cid:48) b (cid:48) aufeinanderfolgende Br¨uche der n -ten Zeile, so gilt a (cid:48) b − ab (cid:48) = (cid:3) Beweis:
Wir beweisen den Satz mit Hilfe der vollst¨andigen Induktion. Der Satzgilt f¨ur n = n −
1. Die .1 Farey-Sequenzen 57 aufeinanderfolgenden Br¨uche der Zeile n sind dann ab , a (cid:48) b (cid:48) bzw. ab , a + a (cid:48) b + b (cid:48) bzw. a + a (cid:48) b + b (cid:48) , a (cid:48) b (cid:48) , wobei ab , a (cid:48) b (cid:48) alle aufeinanderfolgenden Br¨uche der ( n − ) -ten Zeile durchl¨auft. Wirerhalten in allen drei F¨allen a (cid:48) b − ab (cid:48) = ( a + a (cid:48) ) b − a ( b + b (cid:48) ) = a (cid:48) b − ab (cid:48) = a (cid:48) ( b + b (cid:48) ) − ( a + a (cid:48) ) b (cid:48) = a (cid:48) b − ab (cid:48) = . (cid:4) Satz 4.4:
Jeder Bruch ab in der Tabelle ist gek¨urzt, d.h. ggT ( a , b ) =
1. Die Br¨uche sind injeder Zeile nach aufsteigender Gr¨oße geordnet. Die Farey-Sequenz F n in der n -ten Zeile ist ¨uberdies vollst¨andig, d.h. sie enth¨alt alle gek¨urzten Br¨uche ab ∈ [ , ] mit 1 ≤ b ≤ n . (cid:3) Beweis:
Sind ab , a (cid:48) b (cid:48) zwei aufeinanderfolgende Br¨uche von F n , so gilt a (cid:48) b − ab (cid:48) = ( a , b ) =
1, und zum anderen a (cid:48) b (cid:48) = ab + bb (cid:48) > ab , so dass die Br¨uche der Farey-Sequenz F n nach aufsteigender Gr¨oße sortiert sind.Die Vollst¨andigkeit von F n beweisen wir unter Verwendung des Mediantensat-zes 3.16 mit vollst¨andiger Induktion: F , bestehend aus den beiden Br¨uchen 01 , 11 , ist vollst¨andig (Induktionsanfang). Wirnehmen an, die Vollst¨andigkeit von F n − sei f¨ur ein n ≥ ab ∈ [ , ] mit b ≤ n − F n − , und somitauch in F n . Nun sei An ∈ [ , ] ein beliebiger gek¨urzter Bruch. Wir m¨ussen An ∈ F n zeigen. Wegen n ≥ < An <
1, und An kann nicht in F n − liegen.Damit gibt es eindeutig bestimmte und in F n − aufeinanderfolgende Br¨uche ab , a (cid:48) b (cid:48) ,so dass gilt: 0 ≤ ab < An < a (cid:48) b (cid:48) ≤ , a (cid:48) b − ab (cid:48) = . Mit Satz 3.16 folgt b + b (cid:48) ≤ n , und aus der Vollst¨andigkeit von F n − erhalten wir b + b (cid:48) ≥ n , da andernfalls b + b (cid:48) ≤ n − a + a (cid:48) b + b (cid:48) schon in F n − liegenw¨urde, im Widerspruch zur Wahl von ab , a (cid:48) b (cid:48) . Wir haben b + b (cid:48) = n gezeigt, und da a + a (cid:48) b + b (cid:48) nach Satz 3.16 der einzige Bruch mit kleinstem Nenner ist, der echt zwischen ab und a (cid:48) b (cid:48) liegt, folgt auch noch A = a + a (cid:48) . Damit liegt An = a + a (cid:48) b + b (cid:48) in F n , und F n ist vollst¨andig. (cid:4) Definition 4.5:
Mit F extn bezeichnen wir die erweiterte Farey-Sequenz der Ordnung n , bestehendaus allen gek¨urzten Br¨uchen ab mit a ∈ Z , b ∈ N und b ≤ n . Die Br¨uche von F extn denken wir uns nach aufsteigender Gr¨oße sortiert. (cid:3) Beispiel 4.6:
Die erweiterte Farey-Sequenz F ext lautet: · · · < − < − < − < − < < < < < < < < · · · (cid:3) Satz 4.7:
Es seien a , a (cid:48) ∈ Z , b , b (cid:48) ∈ N und ggT ( a , b ) = ggT ( a (cid:48) , b (cid:48) ) =
1. Genau dann folgendie gek¨urzten Br¨uche ab < a (cid:48) b (cid:48) in F extn aufeinander, wenn gilt: a (cid:48) b − ab (cid:48) = , b ≤ n , b (cid:48) ≤ n und b + b (cid:48) > n . (4.1) (cid:3) Beweis:
Wir nehmen an, dass ab < a (cid:48) b (cid:48) in F extn aufeinanderfolgen. Mit q : = (cid:106) ab (cid:107) bilden wir ˜ a : = a − qb , ˜ a (cid:48) : = a (cid:48) − qb (cid:48) . Dann ist 0 ≤ ˜ a < b , und ˜ ab < ˜ a (cid:48) b (cid:48) folgen bereitsin F n aufeinander. Insbesondere ist ˜ a (cid:48) b (cid:48) ∈ ( , ] , und aus Satz 4.3 folgt:1 = ˜ a (cid:48) b − ˜ ab (cid:48) = ( a (cid:48) − qb (cid:48) ) b − ( a − qb ) b (cid:48) = a (cid:48) b − ab (cid:48) . Die Bedingungen b ≤ n , b (cid:48) ≤ n folgen aus der Definition von F extn . Zudem ist b + b (cid:48) ≤ n ausgeschlossen, da man sonst zwischen ab und a (cid:48) b (cid:48) den neuen Bruch .1 Farey-Sequenzen 59 a + a (cid:48) b + b (cid:48) ∈ F extn h¨atte.Nun setzen wir (4.1) voraus. Dann folgt zun¨achst, dass ab < a (cid:48) b (cid:48) in F extn liegen. Nachdem Mediantensatz 3.16 sind wegen b + b (cid:48) > n die beiden Br¨uche in F extn aufein-anderfolgend. (cid:4) Im Folgenden werden S¨atze hergeleitet, mit denen jede (erweiterte) Farey-Sequenzin einem beliebigen Abschnitt sehr effizient berechnet werden kann, ohne die vor-hergehenden (erweiterten) Farey-Sequenzen kennen zu m¨ussen:
Satz 4.8:
Es seien ab < a ∗ b ∗ zwei gek¨urzte Br¨uche, die in F extb aufeinanderfolgen. Ist dann b ≤ n , so folgen die beiden Br¨uche ab < a ∗ + a (cid:106) n − b ∗ b (cid:107) b ∗ + b (cid:4) n − b ∗ b (cid:5) in F extn aufeinander. (cid:3) Beweis:
Wir setzen q ∗ : = (cid:22) n − b ∗ b (cid:23) und verwenden Satz 4.7:Unter Beachtung von a ∗ b − ab ∗ = ( a ∗ + aq ∗ ) · b − a · ( b ∗ + bq ∗ ) = a ∗ b − ab ∗ = . Nach Voraussetzung ist b ≤ n . Wir haben b ∗ + b (cid:22) n − b ∗ b (cid:23) ≤ b ∗ + b n − b ∗ b = n sowie b + b ∗ + b (cid:22) n − b ∗ b (cid:23) > b + b ∗ + b (cid:18) n − b ∗ b − (cid:19) = n , womit der Satz schon bewiesen ist. (cid:4) Bemerkung 4.9:
Die linken Nachbarbr¨uche zu a / b in F extn werden analog zum Satz 4.8 f¨ur b ≤ n in Aufgabe 4.3 berechnet. Dazu sowie f¨ur die folgenden Betrachtungen merken wirfolgendes an: Wenn ab < a ∗ b ∗ in F extb aufeinanderfolgen und b ≥ b = b ∗ = a ∗ = a + ≤ b ∗ < b , und nach Satz 3.16 folgen die Br¨uche a − a ∗ b − b ∗ < ab < a ∗ b ∗ (4.2)in F extb aufeinander.F¨ur b ≥ a ∗ : = a − a ∗ , b ∗ : = b − b ∗ , (4.3)so dass der erweiterte Euklidische Algorithmus mit den Eingabewerten a , b f¨ur ge-raden Abbruchindex n ∗ die Werte a ∗ = s n ∗ − , b ∗ = t n ∗ − (4.4)liefert, dagegen f¨ur ungerades n ∗ > a ∗ = s n ∗ − , b ∗ = t n ∗ − , (4.5)siehe Satz 3.6 (c), hier mit ggT ( a , b ) = a ∗ b ∗ aus ab , bevor mit Satz 4.8 der rechte Nachbarbruch von ab in F extn berechnet werdenkann. (cid:3) Satz 4.10:
Es seien ab < a (cid:48) b (cid:48) < a (cid:48)(cid:48) b (cid:48)(cid:48) drei aufeinanderfolgende Br¨uche von F extn , n ∈ N . Dann giltmit a (cid:48)(cid:48) b − ab (cid:48)(cid:48) > a (cid:48) = a + a (cid:48)(cid:48) a (cid:48)(cid:48) b − ab (cid:48)(cid:48) , b (cid:48) = b + b (cid:48)(cid:48) a (cid:48)(cid:48) b − ab (cid:48)(cid:48) , a (cid:48) b (cid:48) = a + a (cid:48)(cid:48) b + b (cid:48)(cid:48) . (cid:3) Beweis:
Aus Satz 4.7 folgt: a (cid:48) b − ab (cid:48) = , a (cid:48)(cid:48) b (cid:48) − a (cid:48) b (cid:48)(cid:48) = ab < a (cid:48)(cid:48) b (cid:48)(cid:48) bzw. a (cid:48)(cid:48) b − ab (cid:48)(cid:48) > a (cid:48) , b (cid:48) mit der eindeutigen L¨osung a (cid:48) = a + a (cid:48)(cid:48) a (cid:48)(cid:48) b − ab (cid:48)(cid:48) , b (cid:48) = b + b (cid:48)(cid:48) a (cid:48)(cid:48) b − ab (cid:48)(cid:48) . (4.7)Durch Division folgt hieraus noch .1 Farey-Sequenzen 61 a (cid:48) b (cid:48) = a + a (cid:48)(cid:48) b + b (cid:48)(cid:48) . (4.8) (cid:4) Satz 4.11:
Es seien ab < a (cid:48) b (cid:48) < a (cid:48)(cid:48) b (cid:48)(cid:48) drei aufeinanderfolgende Br¨uche von F extn , n ∈ N . Danngelten die folgenden Aussagen:i) b (cid:48)(cid:48) = b (cid:48) (cid:22) n + bb (cid:48) (cid:23) − b , ii) a (cid:48)(cid:48) = a (cid:48) (cid:22) n + bb (cid:48) (cid:23) − a , iii) (cid:22) n + bb (cid:48) (cid:23) = b (cid:48)(cid:48) + bb (cid:48) = a (cid:48)(cid:48) b − ab (cid:48)(cid:48) = ggT ( a + a (cid:48)(cid:48) , b + b (cid:48)(cid:48) ) . (cid:3) Beweis: (ii) folgt aus (i) und Satz 4.10, angewendet auf die aufeinanderfolgendenFarey-Br¨uche ab , a (cid:48) b (cid:48) , a (cid:48)(cid:48) b (cid:48)(cid:48) aus F extn . Die letzten beiden Gleichungen von (iii) folgenaus Satz 4.10, w¨arend die erste Gleichung in (iii) zu (i) ¨aquivalent ist.Wir m¨ussen nur noch die erste Gleichung von (iii) zeigen:Aus a (cid:48)(cid:48) b (cid:48)(cid:48) ∈ F extn folgen b (cid:48)(cid:48) ≤ n sowie b (cid:48)(cid:48) + bb (cid:48) ≤ n + bb (cid:48) . (4.9)Aus Satz 4.7 folgt b (cid:48)(cid:48) + b (cid:48) > n , wonach gilt: b (cid:48)(cid:48) + bb (cid:48) + = b (cid:48)(cid:48) + b (cid:48) + bb (cid:48) > n + bb (cid:48) . (4.10)Wir fassen (4.9) und (4.10) zusammen: b (cid:48)(cid:48) + bb (cid:48) ≤ n + bb (cid:48) < b (cid:48)(cid:48) + bb (cid:48) + . (4.11)Schließlich beachten wir, dass b (cid:48)(cid:48) + bb (cid:48) nach Satz 4.10 eine nat¨urliche Zahl ist, sodass aus (4.11) folgt: (cid:22) n + bb (cid:48) (cid:23) = b (cid:48)(cid:48) + bb (cid:48) . (cid:4) Eine r¨uckw¨artslaufende Rekursion zweiter Ordnung zur Berechnung der Farey-Br¨uche der Ordnung n findet der Leser in Aufgabe 4.2. Dort erweist sie sich sogarals ¨aquivalent zu der in Satz 4.11 . Die Kombination der S¨atze 4.8 und 4.11 gestattetnun eine sehr effiziente Berechnung von F extn in einem vorgegebenen Abschnitt.Wir illustrieren dies in dem abschließenden Beispiel 4.12:
Wir berechnen den Abschnitt der Farey-Sequenz F im abgeschlossenen Intervall (cid:20) , (cid:21) . Die Intervallr¨ander geh¨oren zu F , und wir beginnen mit dem linkenRandbruch ab f¨ur a = b =
8, den Eingabewerten f¨ur den erweiterten EuklidischenAlgorithmus: j q j r j s j t j n ∗ = < < − − = F aufeinanderfolgen. Wir setzen n = a ∗ = b ∗ = a = b = < + · + · = F benachbart sind, in ¨Ubereinstimmung mit Satz 4.7. Mit den beiden Start-br¨uchen 38 ,
821 wenden wir noch zweimal den Satz 4.11 an, und erhalten so denfolgenden Abschnitt von F : 38 < < < . (cid:3) Satz 4.13: Approximationssatz f ¨ur Farey-Br ¨uche
Ist x eine Irrationalzahl, so wenden wir den erweiterten Euklidischen Algorithmusauf die beiden Eingabewerte a = x , b = n ≥ .1 Farey-Sequenzen 63 t j < n ≤ t j + genau einen Index j ∈ N zu. Der Zahl n = j = s n , j + : = s j − + s j (cid:22) n − t j − t j (cid:23) , t n , j + : = t j − + t j (cid:22) n − t j − t j (cid:23) . Dann gilt f¨ur ungerades j : s j t j < x < s n , j + t n , j + , und die gek¨urzten Br¨uche s j t j < s n , j + t n , j + sind in F extn benachbart.F¨ur gerades j gilt entsprechend: s n , j + t n , j + < x < s j t j , und die gek¨urzten Br¨uche s n , j + t n , j + < s j t j sind in F extn benachbart. (cid:3) Beweis:
Wir setzen q n , j = (cid:22) n − t j − t j (cid:23) , so dass gilt: s n , j + = s j − + q n , j s j , t n , j + = t j − + q n , j t j . (4.12)Es gelten die Ungleichungen 0 ≤ q n , j ≤ q j (4.13)wegen n ≥ t j ≥ t j − , n − t j − t j ≤ t j + − t j − t j = q j , sowie 1 ≤ t j ≤ n , ≤ t n , j + ≤ n , (4.14)denn q n , j = t j > t j − ≥ t n , j + ≤ t j − + t j n − t j − t j = n . Auch haben wir t j + t n , j + > n (4.15)wegen t j + t n , j + > t j + t j − + t j (cid:18) n − t j − t j − (cid:19) = n . Nun gilt nach (4.12) und Satz 3.6 (a): s n , j + t j − s j t n , j + = ( s j − + q n , j s j ) t j − s j ( t j − + q n , j t j )= s j − t j − s j t j − = ( − ) j − . (4.16) F¨ur q ≥ M x , j ( q ) = s j − + qs j t j − + qt j mit der Ableitung M (cid:48) x , j ( q ) = s j t j − − s j − t j ( t j − + qt j ) = ( − ) j ( t j − + qt j ) . Fall A:
F¨ur ungerades j ist M x , j monoton fallend, und wir erhalten mit (4.13) sowiemit Satz 3.6 (b): s j t j < x < s j + t j + = s j − + q j s j t j − + q j t j ≤ s j − + q n , j s j t j − + q n , j t j = s n , j + t n , j + . Nach (4.14), (4.15) und (4.16) sind zudem die gek¨urzten Br¨uche s j t j < s n , j + t n , j + in F extn benachbart, siehe Satz 4.7. Fall B:
F¨ur gerades j ist M x , j monoton wachsend, und wir erhalten mit (4.13)sowie mit Satz 3.6 (b): s n , j + t n , j + = s j − + q n , j s j t j − + q n , j t j ≤ s j − + q j s j t j − + q j t j = s j + t j + < x < s j t j . Wieder sind nach (4.14), (4.15), (4.16) und Satz 4.7 die beiden gek¨urzten Br¨uche s n , j + t n , j + < s j t j benachbart, jedoch in umgekehrter Reihenfolge. (cid:4) F¨ur die praktische Anwendung des Approximationssatzes mit vorgegebener Ir-rationalzahl x und vorgegebenem Farey-Index n ∈ N ist es oft vorteilhaft, mitdem erweiterten Euklidischen Algorithmus die f¨unf Spalten k , x k , q k , s k , t k f¨ur k = , , . . . , j + j ∈ N derjenige Index ist, welcher der Farey-Ordnung n zugeordnet ist. Das Schema hat dann die Startwerte (cid:26) x , q = (cid:98) x (cid:99) , s = , t = s = q , t = k ≥ x k = x k − − q k − , q k = (cid:98) x k (cid:99) , s k + = s k − + s k q k , t k + = t k − + t k q k . Beispiel 4.14: x = √ , n = .2 Aufgaben 65 k x k q k s k t k √ √ + √ + √ + √ + √ + t < ≤ t , also j =
4. Da j gerade ist, folgt s , t , < √ < s t mit denbeiden Nachbarbr¨uchen s , t , < s t in F ext , konkret s , = s + s (cid:22) − t t (cid:23) = + · = , t , = t + t (cid:22) − t t (cid:23) = + · = , und schließlich 2417 < √ < F ext .Mit dem hier entwickelten Rechenschema lassen sich allgemeiner die besten ratio-nalen Approximationen von √ F extn f¨ur n ≤
29 bestimmen. So erhalten wir z.B.f¨ur n =
10 den Index j = t < ≤ t mit ungeradem j , s , = s + s (cid:22) − t t (cid:23) = + (cid:22) − (cid:23) = , t , = t + t (cid:22) − t t (cid:23) = + (cid:22) − (cid:23) = < √ <
107 in F ext . (cid:3) Aufgabe 4.1: Approximation einer Irrationalzahl mit Farey-Br ¨uchen
Man bestimme die besten Approximationen an x = √ F ext . L¨osung:
Zun¨achst wenden wir den erweiterten Euklidischen Algorithmus auf die Eingabe-werte a = x = √ b = n =
200 einen Index j ∈ N mit t j < n ≤ t j + . k x k q k s k t k √ √ + √ + √ + √ + k x k q k s k t k √ + √ + √ + √ + √ + t = < ≤ = t mit geradem Index j = (cid:22) − t t (cid:23) = (cid:22) − (cid:23) = s t = , s , = s + · s = , t , = t + · t = , und die besten Approximationen von √ F ext von links und rechts sind gegebendurch 463175 < √ < . Aufgabe 4.2: R ¨uckl¨aufige Rekursion f ¨ur Farey-Br ¨uche
Es seien ab < a (cid:48) b (cid:48) < a (cid:48)(cid:48) b (cid:48)(cid:48) drei aufeinanderfolgende Br¨uche aus F extn , n ≥ b = b (cid:48) (cid:22) n + b (cid:48)(cid:48) b (cid:48) (cid:23) − b (cid:48)(cid:48) , a = a (cid:48) (cid:22) n + b (cid:48)(cid:48) b (cid:48) (cid:23) − a (cid:48)(cid:48) , (cid:22) n + b (cid:48)(cid:48) b (cid:48) (cid:23) = (cid:22) n + bb (cid:48) (cid:23) . L¨osung:
Voraussetzung: ab < a (cid:48) b (cid:48) < a (cid:48)(cid:48) b (cid:48)(cid:48) sind gek¨urzte Br¨uche, die f¨ur n ∈ N in F extn aufeinan-derfolgen. Nach Satz 4.11 (i) gilt b (cid:48)(cid:48) + bb (cid:48) = (cid:22) n + bb (cid:48) (cid:23) . (4.17)Nach Satz 4.11 (ii) muss nur noch (cid:22) n + b (cid:48)(cid:48) b (cid:48) (cid:23) = (cid:22) n + bb (cid:48) (cid:23) gezeigt werden: Aus b ≤ n folgt zun¨achst unter Beachtung der Ganzzahligkeit von b (cid:48)(cid:48) + bb (cid:48) in (4.17): b (cid:48)(cid:48) + bb (cid:48) ≤ (cid:22) n + b (cid:48)(cid:48) b (cid:48) (cid:23) . (4.18) .2 Aufgaben 67 Nach Satz 4.7 ist b + b (cid:48) > n , und hieraus folgt b (cid:48)(cid:48) + bb (cid:48) + = b (cid:48)(cid:48) + b + b (cid:48) b (cid:48) > n + b (cid:48)(cid:48) b (cid:48) ≥ (cid:22) n + b (cid:48)(cid:48) b (cid:48) (cid:23) , d.h. (cid:22) n + b (cid:48)(cid:48) b (cid:48) (cid:23) < b (cid:48)(cid:48) + bb (cid:48) + . (4.19)Aus (4.17)-(4.19) erhalten wir schließlich: b (cid:48)(cid:48) + bb (cid:48) = (cid:22) n + bb (cid:48) (cid:23) = (cid:22) n + b (cid:48)(cid:48) b (cid:48) (cid:23) , was noch zu zeigen war. Aufgabe 4.3:
Es seien a ∗ b ∗ < ab zwei gek¨urzte Br¨uche, die in F extb aufeinanderfolgen. Man zeige:f¨ur b ≤ n folgen die beiden Br¨uche a ∗ + a (cid:106) n − b ∗ b (cid:107) b ∗ + b (cid:106) n − b ∗ b (cid:107) < ab in F extn aufeinander. L¨osung:
Wir setzen q ∗ : = (cid:22) n − b ∗ b (cid:23) und verwenden Satz 4.7:Unter Beachtung von ab ∗ − a ∗ b = a · ( b ∗ + bq ∗ ) − ( a ∗ + aq ∗ ) · b = . Nach Voraussetzung ist b ≤ n . Wir haben b ∗ + b (cid:22) n − b ∗ b (cid:23) ≤ b ∗ + b n − b ∗ b = n sowie b + b ∗ + b (cid:22) n − b ∗ b (cid:23) > b + b ∗ + b (cid:18) n − b ∗ b − (cid:19) = n , womit alles gezeigt ist. Diese Aufgabe ist eine Erg¨anzung zum Satz 4.8, siehe auchBemerkung 4.9, um die hier gemachte Voraussetzung mit der vom Satz 4.8 in Ein-klang zu bringen. Aufgabe 4.4:
Es sei n eine nat¨urliche Zahl.(a)Man zeige, dass die ersten 1 + (cid:98) n / (cid:99) Nachbarbr¨uche in F n rechts von 0 / n < n − < . . . < (cid:100) n / (cid:101) . (b)Man berechne f¨ur n ≥ / F n . L¨osung:
Zum Beweis von (a) verwenden wir den Satz 4.7 mit den dortigen Notationen,setzen zun¨achst a = b = a (cid:48) = b (cid:48) = n und erhalten a (cid:48) b − ab (cid:48) = b + b (cid:48) = n + > n neben a / b , a (cid:48) / b (cid:48) ∈ F n . Damit ist gezeigt, dass 1 / n der rech-te Nachbarbruch von 0 / F n ist. F¨ur n = n ≥ k ≤ (cid:100) n / (cid:101) die beiden Br¨uche 1 k + < k . (4.20)F¨ur a = a (cid:48) = b = k + b (cid:48) = k gilt wieder a (cid:48) b − ab (cid:48) =
1, und wegen n ≥ k + ≤ (cid:100) n / (cid:101) + ≤ n sowie k ≤ n . Schliesslich ist b + b (cid:48) = k + ≥ n + > n ,so dass die beiden Br¨uche in (4.20) in F n benachbart sind.F¨ur die Teilaufgabe (b) setzen wir a = b =
2, und erhalten aus Aufgabe 4.3 mit a ∗ = b ∗ = a ∗ = b ∗ =
1, dass die folgenden drei B¨uchef¨ur n ≥ F n benachbart sind: (cid:4) n − (cid:5) + (cid:4) n − (cid:5) < < + (cid:4) n − (cid:5) + (cid:4) n − (cid:5) . ektion 5 Zahlentheoretische Funktionen
Zahlentheoretische Funktionen sind zun¨achst nichts anderes als reell- oder kom-plexwertige Zahlenfolgen. Motiviert durch die Einschr¨ankung auf sogenannte mul-tiplikative zahlentheoretische Funktionen werden grundlegende spezielle zahlen-theoretische Funktionen wie die M¨obius-Funktion µ und die Eulersche Funktion ϕ eingef¨uhrt und studiert. Im Rahmen dieser Untersuchungen wird man neben derpunktweisen Multiplikation von Zahlenfolgen noch auf die allgemeine Dirichlet-sche Faltung von Zahlenfolgen gef¨uhrt, eine interessante weitere Art der Multipli-kation, welche die Einf¨uhrung von zwei f¨ur die Zahlentheorie wichtigen abelschen,multiplikativen Gruppen in Satz 5.5 erm¨oglicht. Ganz allgemein nennt man eine Abbildung f : N → C zahlentheoretische Funk-tion. Man schreibt sie auch als Zahlenfolge ( a n ) n ∈ N mit a n = f ( n ) . Von besonderemInteresse sind dabei multiplikative bzw. vollst¨andig multiplikative Funktionen: Definition 5.1:
Die zahlentheoretische Funktion f : N → C heißt multiplikativ, wenn f ( ) = f ( n · n ) = f ( n ) · f ( n ) f¨ur alle teilerfremden nat¨urlichen Zahlen n , n gilt.Wenn f ( ) = f ( n · n ) = f ( n ) · f ( n ) f¨ur alle n , n ∈ N gilt,dann wird f sogar vollst¨andig multiplikativ genannt. (cid:3) Bemerkung 5.2:
Nach dem Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung der nat¨urlichen Zahlen n ist eine multiplikative Funktion f durch ihre Werte an allen Primzahlpotenzen p α mit α ∈ N eindeutig festgelegt:
690 5 Zahlentheoretische Funktionen
Aus der Zerlegung n = p α · . . . · p α m m mit paarweise verschiedenen Primzahlen p , . . . , p m und Exponenten α , . . . , α m ∈ N folgt ja f ( p α · . . . · p α m m ) = f ( p α ) · . . . · f ( p α m m ) . (5.1)Soll f sogar vollst¨andig multiplikativ sein, so gen¨ugt es, f¨ur jede Primzahl p undjedes α ∈ N neben f ( ) = f ( p α ) = f ( p ) α . (5.2) (cid:3) Definition 5.3: (a) Wir definieren ε , , Id : N → N mit ε ( n ) : = (cid:26) , n = , n ≥
2, 1 ( n ) : = , Id ( n ) : = n . Dies sind vollst¨andig multiplikative Funktionen.(b) Ist p irgendeine Primzahl und α ∈ N , so definiert man gem¨aß Bemerkung 5.2durch die Festlegungen µ ( p α ) : = (cid:26) − , α = , α ≥
2, bzw. ϕ ( p α ) : = p α − · ( p − ) die multiplikative M¨obius-Funktion µ : N → { , ± } bzw. die multiplikativeEuler-Funktion ϕ : N → N . Weder µ noch ϕ sind vollst¨andig multiplikativ, da(5.2) in Bemerkung 5.2 nicht allgemein gilt.Tabelle: n ε ( n ) ( n ) ( n ) µ ( n ) ϕ ( n ) ε ( ) = ( ) = Id ( ) = µ ( ) = ϕ ( ) = , f ( n · n ) = f ( n ) · f ( n ) f¨ur alle n , n ∈ N f¨ur f = ε , , Id; schließlichggT ( n , n ) = ⇒ g ( n · n ) = g ( n ) · g ( n ) f¨ur g = µ bzw. g = ϕ und jeweils f¨ur alle teilerfremden n , n ∈ N . (cid:3) .1 Zahlentheoretische Funktionen 71 Definition 5.4: Dirichlet-Faltung
Je zwei zahlentheoretischen Funktionen f , g : N → C ordnen wir ihre Dirichlet-Faltung f ∗ g : N → C zu mit ( f ∗ g )( n ) : = ∑ d | n f ( d ) g (cid:16) nd (cid:17) , wobei d alle nat¨urlichen Teiler von n durchl¨auft. Da mit d auch nd alle nat¨urlichenTeiler von n durchlaufen werden, ist die Dirichlet-Faltung kommutativ: ( f ∗ g )( n ) = ( g ∗ f )( n ) , was man auch mit folgender symmetrischer Kurzschreibweise ausdr¨uckt: ( f ∗ g )( n ) = ∑ d d = n f ( d ) f ( d ) . (cid:3) Satz 5.5: (a) Die Dirichlet-Faltung zahlentheoretischer Funktionen ist kommutativ und asso-ziativ mit der Funktion ε aus Definition 5.3 (a) als Einselement: ε ∗ f = f f¨ur jedes f : N → C . (b) Jedes f : N → C mit f ( ) (cid:54) = f − ∗ : N → C mit f − ∗ ( ) (cid:54) = f − ∗ ∗ f = ε . Mit der Dirichlet-Faltung ist F ∗ : = { f : N → C : f ( ) (cid:54) = } eine abelsche Gruppe, die große Faltungsgruppe.(c) Die Menge M aller multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen ist bzgl.,, ∗ ” eine Untergruppe der großen Faltungsgruppe F ∗ . Wir nennen M die Fal-tungsgruppe der multiplikativen Funktionen. (cid:3) Beweis: (a) Die Kommutativit¨at von ,, ∗ ” wurde schon gezeigt, und die Assoziativit¨at folgtf¨ur alle n ∈ N und je drei Funktionen f , g , h : N → C aus (( f ∗ g ) ∗ h ) ( n ) = ∑ d | n ( f ∗ g ) (cid:18) nd (cid:19) h ( d )= ∑ d | n ∑ d | nd f (cid:18) nd d (cid:19) g ( d ) h ( d )= ∑ ( d , d , d ) ∈ N : d · d · d = n f ( d ) g ( d ) h ( d )= ∑ d d d = n f ( d ) g ( d ) h ( d ) = ( f ∗ ( g ∗ h ))( n ) . Auch ist ( ε ∗ f )( n ) = ∑ d | n ε ( d ) f (cid:16) nd (cid:17) = ε ( ) f (cid:16) n (cid:17) = f ( n ) f¨ur alle n ∈ N klar.(b) F¨ur (b) beachten wir zun¨achst ( f ∗ g )( ) = f ( ) g ( ) (cid:54) = f , g ∈ F ∗ , sodass auch f ∗ g ∈ F ∗ ist. Zu jedem f ∈ F ∗ konstruieren wir nun f − ∗ ∈ F ∗ ausden Rekursionsformeln f − ∗ ( ) = f ( ) , f − ∗ ( n ) = − f ( ) ∑ d | n : d < n f (cid:16) nd (cid:17) f − ∗ ( d ) , wobei n > n = ( f − ∗ ∗ f )( ) = f − ∗ ( ) · f ( ) = = ε ( ) . F¨ur n > ( f − ∗ ∗ f )( n ) = ∑ d | n : d < n f − ∗ ( d ) f (cid:16) nd (cid:17) + f − ∗ ( n ) f (cid:16) nn (cid:17) = = ε ( n ) , und insgesamt f − ∗ ∗ f = ε . Zusammen mit (a) folgt, dass F ∗ bzgl. ,, ∗ ” eineabelsche Gruppe ist.(c) Mit M haben wir die Menge aller multiplikativen zahlentheoretischen Funk-tionen bezeichnet. Es seien f , g ∈ M . Dann ist ( f ∗ g )( ) = f ( ) g ( ) =
1. Dienat¨urlichen Zahlen m , n seien teilerfremd. Es gilt ( f ∗ g )( mn ) = ∑ d | mn f ( d ) g (cid:16) mnd (cid:17) . Wegen ggT ( m , n ) = d von m · n umkehrbareindeutig ein Zahlenpaar ( d (cid:48) , d (cid:48)(cid:48) ) ∈ N mit d (cid:48) | m , d (cid:48)(cid:48) | n , so dass d = d (cid:48) · d (cid:48)(cid:48) wird.Aus der Multiplikativit¨at von f und g folgt somit .1 Zahlentheoretische Funktionen 73 ( f ∗ g ) ( mn ) = ∑ d (cid:48) | m ∑ d (cid:48)(cid:48) | n f (cid:0) d (cid:48) d (cid:48)(cid:48) (cid:1) g (cid:16) md (cid:48) · nd (cid:48)(cid:48) (cid:17) = ∑ d (cid:48) | m ∑ d (cid:48)(cid:48) | n f (cid:0) d (cid:48) (cid:1) g (cid:16) md (cid:48) (cid:17) f (cid:0) d (cid:48)(cid:48) (cid:1) g (cid:16) nd (cid:48)(cid:48) (cid:17) = (cid:32) ∑ d (cid:48) | m f (cid:0) d (cid:48) (cid:1) g (cid:16) md (cid:48) (cid:17)(cid:33) · (cid:32) ∑ d (cid:48)(cid:48) | n f (cid:0) d (cid:48)(cid:48) (cid:1) g (cid:16) nd (cid:48)(cid:48) (cid:17)(cid:33) = ( f ∗ g ) ( m ) · ( f ∗ g ) ( n ) . Damit ist wieder f ∗ g ∈ M .Schließlich m¨ussen wir noch die Abgeschlossenheit von M unter der Dirichlet-schen Inversion zeigen. Wir setzen hierf¨ur f ∈ M voraus und m¨ussen f − ∗ ∈ M zeigen: Nach (b) ist f − ∗ ∈ F ∗ eindeutig konstruierbar. Auch haben wir im er-sten Beweisteil von Satz 5.5 (c) bereits f , g ∈ M ⇒ f ∗ g ∈ M gezeigt. In F ∗ gilt f − ∗ ( ) = f ( ) = f ( ) = g ∈ M an Primzahlpotenzstellen p α gem¨aß g ( p α ) = f − ∗ ( p α ) und setzen dann g unter Beachtung von g ( ) = F ∗ f¨ur alle α ∈ N und alle Primzahlen p : ( f ∗ g )( p α ) = ∑ d | p α f ( d ) f − ∗ (cid:18) p α d (cid:19) = ε ( p α ) = . Wegen f ∗ g ∈ M folgt hieraus f ∗ g = ε mit g = f − ∗ ∈ M . (cid:4) Definition 5.6: (a) Eine nat¨urliche Zahl n heißt quadratfrei, wenn k | n f¨ur keine nat¨urliche Zahl k > n = p α · ... · p α j j mit Primzahlen p < ... < p j und α , ..., α j ∈ N die Prim-faktorzerlegung von n ∈ N f¨ur n > j verschiedenen Primzahlen, so setzenwir ω ( n ) : = j . Zudem setzen wir ω ( ) : = (cid:3) Satz 5.7: (a) Die multiplikative M¨obius-Funktion µ berechnet sich nach der Formel µ ( n ) = (cid:26) ( − ) ω ( n ) , falls n ∈ N quadratfrei ist,0 , sonst. Es gilt f¨ur alle n ∈ N : ∑ d | n µ ( d ) = (cid:26) , n = , n >
1, d.h. µ ∗ = ε bzw. µ = − ∗ . (b) Die multiplikative Eulersche Funktion ϕ erf¨ullt die Beziehungen ∑ d | n ϕ ( d ) = n f¨ur n ∈ N , d.h. ϕ ∗ = Id , sowie ϕ = µ ∗ Id . Es ist ϕ ( n ) die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen k ∈ N mit 1 ≤ k ≤ n . (cid:3) Bemerkung zu Satz 5.7:
Mit der Berechnungsformel f¨ur µ ( n ) in (a) kann man dieBeziehung ϕ = µ ∗ Id in (b) f¨ur alle n ∈ N auch in der folgenden Form schreiben: ϕ ( n ) = n Π p | n : p prim (cid:18) − p (cid:19) . Beweis von Satz 5.7:(a) Die Berechnungsformel f¨ur µ ( n ) mit Hilfe von ω ( n ) ergibt sich direkt aus De-finition 5.3 (b). Nach Satz 5.5 (c) ist mit µ , ∈ M auch µ ∗ ∈ M , so dasswir die Beziehung µ ∗ = ε nur an Primzahlpotenzstellen p α mit α ∈ N zeigenm¨ussen: ( µ ∗ )( p α ) = ∑ d | p α µ ( d ) = ∑ d | p α : p quadratfrei µ ( d ) = + µ ( p ) = = ε ( p α ) . µ = − ∗ folgt damit ebenfalls aus Satz 5.5 (c).(b) Wir verwenden Satz 5.5 (c): Es ist ϕ ∗ ∈ M sowie ( ϕ ∗ )( p α ) = ∑ d | p α ϕ ( d ) = α ∑ β = ϕ ( p β ) = + α ∑ β = (cid:16) p β − p β − (cid:17) = p α = Id ( p α ) an jeder Primzahlpotenzstelle p α mit α ∈ N , siehe auch Definition 5.3 (b). Da-her gelten ϕ ∗ = Id bzw. ϕ = ( ϕ ∗ ) ∗ − ∗ = Id ∗ µ allgemein. Zur Interpre-tation von ϕ ( n ) definieren wir f¨ur jeden nat¨urlichen Teiler d von n die Mengen A d , n = { k ∈ N : 1 ≤ k ≤ n und ggT ( k , n ) = d } . Deren Elementeanzahl ist | A d , n | = ˜ ϕ (cid:0) nd (cid:1) , wenn ˜ ϕ ( j ) f¨ur j ∈ N die Anzahl dernat¨urlichen Zahlen k ≤ j mit ggT ( k , j ) = .1 Zahlentheoretische Funktionen 75 Die Mengen A d , n sind f¨ur festes n ∈ N elementfremd mit (cid:91) d | n A d , n = { k ∈ N : 1 ≤ k ≤ n } und ∑ d | n | A d , n | = ∑ d | n ˜ ϕ (cid:16) nd (cid:17) = n , also gilt 1 ∗ ˜ ϕ = Id . Aus Satz 5.5 (a) und Satz 5.7 (a) folgt endlich ϕ = µ ∗ Id = µ ∗ ( ∗ ˜ ϕ ) = ( µ ∗ ) ∗ ˜ ϕ = ε ∗ ˜ ϕ = ˜ ϕ . (cid:4) Satz 5.8: M¨obiussche Umkehrformel
Zu jedem g : N → C gibt es genau ein f : N → C mit der Eigenschaft g ( n ) = ∑ d | n f ( d ) f¨ur alle n ∈ N , d.h. g = f ∗ . F¨ur dieses gilt f ( n ) = ∑ d | n µ ( d ) g (cid:16) nd (cid:17) f¨ur alle n ∈ N , d.h. f = µ ∗ g . (cid:3) Beweis: Zu g : N → C definieren wir f : N → C mit f : = µ ∗ g . Dann gilt nachSatz 5.5 (a): f = g ∗ µ , f ∗ = ( g ∗ µ ) ∗ = g ∗ ( µ ∗ ) , und weiter mit Satz 5.7 (a): f ∗ = g ∗ ε = g . Zur Eindeutigkeit von f nehmen wir noch ˜ f ∗ = f ∗ f : N → C an.Wie zuvor folgt ( ˜ f ∗ ) ∗ µ = ( f ∗ ) ∗ µ , also wegen 1 ∗ µ = ε :˜ f ∗ ( ∗ µ ) = f ∗ ( ∗ µ ) , und ˜ f = ˜ f ∗ ε = f ∗ ε = f . (cid:4) Bemerkung 5.9:
In Satz 5.8 m¨ussen weder f noch g multiplikativ sein, nicht einmal f ∈ F ∗ oder g ∈ F ∗ muß gelten. Dagegen gilt dort nach Satz 5.5 (c) die ¨Aquivalenz f ∈ M ⇔ g ∈ M . (cid:3) Satz 5.10:
Es sei f : N → C vollst¨andig multiplikativ, siehe Definition 5.1. Dann gilt f − ∗ = f · µ ,d.h f¨ur alle n ∈ N ist f − ∗ ( n ) = f ( n ) · µ ( n ) f¨ur alle n ∈ N . (cid:3) Beweis:
Es ist f auch multiplikativ, also f ∈ M und f · µ ∈ M , so dass wir gem¨aßSatz 5.5 (c) die Beziehung ( f · µ ) ∗ f = ε nur an Primzahlpotenzstellen p α mit α ∈ N zeigen m¨ussen. Dort gilt in der Tat (( f · µ ) ∗ f )( p α ) = ∑ d | p α f ( d ) µ ( d ) f (cid:18) p α d (cid:19) = f ( ) µ ( ) f ( p α ) + f ( p ) µ ( p ) f ( p α − )= · f ( p α ) − f ( p ) f ( p α − ) = f ( p α ) − f ( p α ) = = ε ( p α ) . (cid:4) Bemerkung 5.11:
Die Funktion f = f − ∗ = µ nur noch multi-plikativ. Auch sieht man leicht, dass die Dirichlet-Faltung f ∗ g zweier vollst¨andigmultiplikativer Funktionen f , g im Allgemeinen nur noch multiplikativ ist:Als Beispiel betrachten wir f = g = τ : = ∗
1, wobei τ ( n ) die Anzahl der nat¨urlichen Teiler von n liefert. Es ist zwar τ ∈ M , aber τ istnicht vollst¨andig multiplikativ, denn an Primzahlpotenzstellen p α mit α ∈ N gilt: τ ( p α ) = α +
1. Zum Beispiel ist τ ( p ) =
3, dagegen τ ( p ) · τ ( p ) = · = (cid:3) Aufgabe 5.1: Inversion zahlentheoretischer Matrizen
Es sei λ : N → C vollst¨andig multiplikativ, also λ ( ) = λ ( mk ) = λ ( m ) λ ( k ) ∀ m , k ∈ N . Definiere A λ , n = ( a jk ) j , k = ,..., n ∈ C n × n , B λ , n = ( b km ) k , m = ,..., n ∈ C n × n mit den Matrix-Eintr¨agen .2 Aufgaben 77 a jk = (cid:40) λ (cid:16) kj (cid:17) , f¨ur j | k , , f¨ur j (cid:54) | k , b km = (cid:40) µ (cid:0) mk (cid:1) λ (cid:0) mk (cid:1) , f¨ur k | m , , f¨ur k (cid:54) | m . Man zeige: Die Matrix B λ , n ist invers zu A λ , n , d.h. n ∑ k = a jk b km = δ jm = (cid:40) , f¨ur j = m , , f¨ur j (cid:54) = m . L¨osung:
Die Eintr¨age der Produktmatrix A λ , n , B λ , n lauten c jm = n ∑ k = a jk b km = n ∑ k = j | k , k | m λ (cid:18) kj (cid:19) µ (cid:16) mk (cid:17) λ (cid:16) mk (cid:17) . F¨ur j (cid:45) m ist c jm = j | m erhalten: c jm = λ (cid:18) mj (cid:19) n ∑ k = j | k , k | m µ (cid:16) mk (cid:17) = λ (cid:18) mj (cid:19) ∑ l | mj µ (cid:18) ml · j (cid:19) mit c jm = (cid:40) λ (cid:16) mj (cid:17) = , f¨ur m = j ( siehe Satz 5.7 (a) ) , , sonst . Insgesamt ist c jm = δ jm = (cid:40) , j = m , , j (cid:54) = m . Aufgabe 5.2: Eigenschaften des ggT und seine Verallgemeinerung auf mehrereArgumente (a) F¨ur jedes feste n ∈ N zeige man die Multiplikativit¨at der zahlentheoretischenFunktion ggT ( n , · ) : N → N .(b) Mit ggT ( a , . . . , a n ) bezeichnen wir den gr¨oßten gemeinsamen Teiler von n ∈ N ganzen Zahlen a , . . . , a n , die nicht alle zugleich verschwinden. Man zeige, dasses ganze Zahlen λ , . . . , λ n gibt mit ggT ( a , . . . , a n ) = n ∑ k = λ k a k und dass d | ggT ( a , . . . , a n ) f¨ur jeden gemeinsamen Teiler d von a , . . . , a n gilt. L¨osung: (a) Betrachte ggT ( n , · ) : N → N f¨ur festes n ∈ N . Die Zahlen j , k ∈ N seien teiler-fremd. Dann gelten die Darstellungen j = r ∏ ρ = p α ρ ρ , k = s ∏ σ = p (cid:48) β σ σ und n = r ∏ ρ = p γ ρ ρ · s ∏ σ = p (cid:48) δ σ σ · t ∏ τ = p (cid:48)(cid:48) ε τ τ , mit r , s , t ∈ N , mit paarweise verschiedenen Primzahlen p , ..., p r ; p (cid:48) , ..., p (cid:48) s ; p (cid:48)(cid:48) , ..., p (cid:48)(cid:48) t und Exponenten α ρ , β σ , ε τ ∈ N , γ ρ , δ σ ∈ N . F¨ur r = s = t = ( n , ) =
1. Nun erhalten wir allgemein f¨ur ggT ( j , k ) = ( n , j ) = r ∏ ρ = p min ( α ρ , γ ρ ) ρ , ggT ( n , k ) = s ∏ σ = p (cid:48) min ( β σ , δ σ ) σ , ggT ( n , jk ) = r ∏ ρ = p min ( α ρ , γ ρ ) ρ · s ∏ σ = p (cid:48) min ( β σ , δ σ ) σ = ggT ( n , j ) · ggT ( n , k ) , d.h. ggT ( n , · ) ist multiplikativ.(b) Wir zeigen durch Induktion bzgl. n ∈ N :Wenn a , ..., a n ∈ Z nicht alle verschwinden, dann gibt es ganze Zahlen λ , ..., λ n mit ggT ( a , ..., a n ) = n ∑ k = λ k a k . (5.3)Ist dann d ein gemeinsamer Teiler von a , ..., a n , also a k = d · a (cid:48) k mit a (cid:48) k ∈ Z f¨ur k = , ..., n , so folgt aus ggT ( a , ..., a n ) = d · n ∑ k = λ k a (cid:48) k .2 Aufgaben 79 auch d | ggT ( a , ..., a n ) . Induktionsanfang:
Es gilt (5.3) f¨ur n = ( a ) = | a | = λ a mitdem Vorzeichen λ = sgn ( a ) = (cid:40) a > − a < . Induktionsannahme:
Wir nehmen an, f¨ur ein n ≥ j ∈ { , ..., n − } ganze Zahlen λ , ..., λ j geben mitggT ( a , ..., a j ) = j ∑ k = λ k a k . Hierbei k¨onnen wir voraussetzen, dass alle Zahlen a , ..., a n von Null verschie-den sind, da man Argumente a k = ( a , .., a j ) einfach streichen kann, umdanach auf die reduzierte Liste die Induktionsannahme anwenden zu k¨onnen.Nach der Induktionsannahme gibt es zu d ∗ : = ggT ( a , ..., a n − ) ganze Zahlen λ , ..., λ n − mit d ∗ = n − ∑ k = λ k a k . Weiterhin gibt es nach Satz 2.8 Zahlen α , β ∈ Z mitggT ( d ∗ , a n ) = α d ∗ + β a n = n − ∑ k = αλ k a k + β a n . (5.4)Nach (5.4) ist d ∗ : = ggT ( a , ..., a n ) ein Teiler von ggT ( d ∗ , a n ) und ggT ( d ∗ , a n ) gem¨aß Konstruktion ein gemeinsamer Teiler von a , ..., a n . Aus der Maximalit¨atvon d ∗ folgt d ∗ = ggT ( d ∗ , a n ) , und wiederum nach (5.4) ist d ∗ eine Linearkom-bination von a , ..., a n mit ganzzahligen Koeffizienten, womit der Induktions-schritt gezeigt ist. Aufgabe 5.3: Variante der Umkehrformel von M¨obius
Wir betrachten Funktionen F , G : [ , ∞ ) → C . Man zeige die ¨Aquivalenz der beidenBedingungen G ( x ) = ∑ n ≤ x F (cid:16) xn (cid:17) f¨ur alle x ≥ F ( x ) = ∑ n ≤ x µ ( n ) G (cid:16) xn (cid:17) f¨ur alle x ≥ . L¨osung:
Aus der ersten Bedingung folgt ∑ n ≤ x µ ( n ) G (cid:16) xn (cid:17) = ∑ n ≤ x µ ( n ) ∑ k ≤ x / n F (cid:16) xnk (cid:17) = ∑ m ≤ x ∑ n | m µ ( n ) F (cid:16) xm (cid:17) = F ( x ) f¨ur alle x ≥ ∑ n | m µ ( n ) = (cid:22) m (cid:23) . Umgekehrt erhalten wir ausder zweiten Bedingung die erste, denn ∑ n ≤ x F (cid:16) xn (cid:17) = ∑ n ≤ x ∑ k ≤ x / n µ ( k ) G (cid:16) xnk (cid:17) = ∑ m ≤ x ∑ k | m µ ( k ) G (cid:16) xm (cid:17) = G ( x ) . Aufgabe 5.4: Addition und Multiplikation zahlentheoretischer Funktionen
Mit R bezeichnen wir hier die Menge aller zahlentheoretischer Funktionen. Wirversehen R mit der punktweisen Addition + zweier zahlentheoretischer Funktionensowie mit der Dirichlet-Faltung ∗ als Multiplikation. Man zeige, dass ( R , + , ∗ ) einkommutativer Ring mit Einselement ist. L¨osung:
Wir ¨uberpr¨ufen die Ringaxiome (R1)-(R4) aus Definition 1.9. Bezeichnen wir dieNullfunktion mit , also ( n ) = n ∈ N , so folgt aus den Gruppeneigenschaf-ten von ( R , + , ) sofort, dass auch ( R , + , ) abelsche Gruppe ist. Somit gilt (R1). Mitder Dirichletschen Faltung ∗ als Multiplikation gilt (R2) und (R4) nach Satz 5.5(a).Wegen (R4) m¨ussen wir f¨ur den Nachweis von (R3) nur das erste Distributivge-setz ¨uberpr¨ufen. Es seien hierzu drei zahlentheoretische Funktionen f , g , h : N → C gegeben. Dann gilt f¨ur jedes n ∈ N : ( f ∗ ( g + h ))( n ) = ∑ d | n f ( d ) (cid:16) g (cid:16) nd (cid:17) + h (cid:16) nd (cid:17)(cid:17) = ∑ d | n f ( d ) g (cid:16) nd (cid:17) + ∑ d | n f ( d ) h (cid:16) nd (cid:17) =( f ∗ g )( n ) + ( f ∗ h )( n ) . Wir erhalten einen kommutativen Ring, der nach Satz 5.5(a) die zahlentheoretischeFunktion ε aus Definition 5.3(a) als Einselement besitzt. ektion 6 Kongruenzen, Restklassenringe und primeRestklassengruppen
Zwei ganze Zahlen nennt man kongruent bzgl. eines sogenannten Moduls n ∈ N ,wenn deren Differenz durch n teilbar ist. Man stellt dann nicht nur fest, dass die Kon-gruenz eine ¨Aquivalenzrelation ist, sondern auch, dass man die zugeh¨origen ¨Aqui-valenzklassen, von denen es nur endlich viele gibt, wie ihre Representanten addie-ren und multiplizieren kann. So wird man auf die Restklassenringe sowie die primeRestklassengruppe modulo n gef¨uhrt. Dies sind endliche algebraische Strukturen,die in den darauffolgenden Abschnitten wichtige neue Anwendungen erm¨oglichen. Grundlage dieses Abschnittes ist die
Definition 6.1:
Es sei n eine nat¨urliche Zahl, hier auch Modul genannt. Zwei ganze Zahlen a , a (cid:48) mit n | a − a (cid:48) werden kongruent bzgl. des Moduls n genannt. Wir schreiben a ≡ a (cid:48) mod n bzw. a ≡ a (cid:48) ( n ) oder einfach nur a ≡ a (cid:48) , wenn der entsprechende Modul eindeutig aus dem Kontexthervorgeht. (cid:3) Satz 6.2:
Die Kongruenz ≡ mod n ∈ N ist eine ¨Aquivalenzrelation. Es gibt genau n verschie-dene ¨Aquivalenzklassen [ a ] n : = { a (cid:48) ∈ Z : a ≡ a (cid:48) ( n ) } = a + n Z , gegeben durch dieRepr¨asentanten a ∈ Z mit 0 ≤ a ≤ n − (cid:3) Beweis:
Wegen n | a − a ist die Kongruenz ≡ mod n reflexiv, wegen n | a − a (cid:48) ⇒ n | a (cid:48) − a symmetrisch, und die Transitivit¨at folgt aus der Implikation
812 6 Kongruenzen, Restklassenringe und prime Restklassengruppen n | a − a (cid:48) ∧ n | a (cid:48) − a (cid:48)(cid:48) ⇒ n | a − a (cid:48)(cid:48) wegen a − a (cid:48)(cid:48) = ( a − a (cid:48) ) + ( a (cid:48) − a (cid:48)(cid:48) ) . F¨uhrt man f¨ur jedes a ∈ Z die Division durch n mit Rest r aus gem¨aß a = r + n (cid:106) an (cid:107) , so erh¨alt man nach Satz 2.4 jeweils ein r ≡ a ( n ) mit genau n paarweise mod n inkongruenten Resten 0 ≤ r ≤ n − (cid:4) Definition und Satz 6.3:
F¨ur je zwei Restklassen [ a ] n , [ b ] n wird gem¨aß [ a ] n + [ b ] n : = [ a + b ] n , [ a ] n · [ b ] n : = [ a · b ] n eine von der Auswahl der Repr¨asentanten a , b unabh¨angige Addition bzw. Multipli-kation eingef¨uhrt. Damit ist Z n : = { [ a ] n : a ∈ Z } f¨ur jedes feste n ∈ N ein kommutativer Ring mit n Restklassen, der sogenannte Restklassenring mod n .F¨ur n > [ ] n .Schließlich ist Z n genau dann ein Integrit¨atsbereich , wenn n = p eine Primzahl ist.In diesem Fall ist Z p sogar ein K¨orper (mit p Elementen). (cid:3)
Beweis:
Hat man a (cid:48) ≡ a ( n ) , b (cid:48) ≡ b ( n ) , so gibt es ganze Zahlen k , l mit a = a (cid:48) + kn , b = b (cid:48) + ln . Hieraus folgt die Wohldefiniertheit der Addition und Multiplikation vonRestklassen, denn ( a + b ) − ( a (cid:48) + b (cid:48) ) = n · ( k + l ) und a · b − a (cid:48) · b (cid:48) = n · ( a (cid:48) l + b (cid:48) k + nkl ) . Nun erinnern wir uns an Definition 2.1, die axiomatischen Beschreibung eines Rin-ges:Es gilt das assoziative Gesetz ([ a ] n + [ b ] n ) + [ c ] n = [ a + b ] n + [ c ] n == [ a + b + c ] n = [ a ] n + [ b + c ] n = [ a ] n + ([ b ] n + [ c ] n ) , und das kommutative Gesetz folgt noch einfacher: [ a ] n + [ b ] n = [ a + b ] n = [ b + a ] n = [ b ] n + [ a ] n . Es ist [ ] n das Nullelement und [ − a ] n das zu [ a ] n entgegengesetzte Element. Damitist ( Z n , + , [ ] n ) abelsche Gruppe, die additive Restklassengruppe mod n , und es gilt(R1). Das assoziative Gesetz (R2) der Restklassenmultiplikation beweist man v¨ollig .1 Kongruenzrechnung 83 analog wie bei der Addition, ebenso die Kommutativit¨at der Restklassenmultiplika-tion, so dass sich (R3) schon folgendermaßen ergibt: [ a ] n · ([ b ] n + [ c ] n ) = [ a ] n · [ b + c ] n = [ a ( b + c )] n = [ a · b + a · c ] n = [ a ] n · [ b ] n + [ a ] n · [ c ] n . Damit ist Z n ein kommutativer Ring, f¨ur n > [ ] n . F¨ur n = Z n dagegen nur aus dem Nullelement [ ] n , was wir in Definition 2.3 f¨ureinen Integrit¨atsbereich ausgeschlossen haben.Ist n = a · b > < a < n , 1 < b < n keine Primzahl, so wird [ ] n = [ n ] n = [ a ] n · [ b ] n mit den Nullteilern [ a ] n , [ b ] n , siehe Definition 2.3, und Z n ist wieder kein Integrit¨ats-bereich. Schließlich sei n = p ≥ [ a ] p · [ b ] p = [ ] p . Dann gilt p | a · b , also p | a oder p | b und mithin [ a ] p = [ ] p oder [ b ] p = [ ] p , so dass Z p Inte-grit¨atsbereich ist.Wir zeigen, dass Z p ein K¨orper ist. Hierzu sei [ a ] p (cid:54) = [ ] p , d.h. p (cid:45) a und somitauch ggT ( a , p ) =
1. Der Euklidische Algorithmus liefert ganze Zahlen b , k mit a · b + k · p =
1, und hieraus folgt [ a ] p · [ b ] p = [ ] p , so dass [ b ] p die multiplikative Inverse zu [ a ] p liefert. Damit ist Satz 6.3 bewiesen. (cid:4) Beispiel 6.4:
Betrachte den K¨orper Z zum Primzahlmodul n =
3. In folgenden Tabellen rechnetman gem¨aß Satz 6.2 nur noch mit den eindeutig bestimmtem Divisionsresten mod n ,0 ≤ a ≤ n −
1, d.h. man ersetzt [ a ] n durch diese Werte von a . + · Z erhalten wir dagegen keinen K¨orper: + · Tabellen: Addition und Multiplikation modulo 4. (cid:3)
Definition und Satz 6.5:
Es sei n > Z ∗ n : = { [ a ] n : ggT ( a , n ) = } . Dann ist ( Z ∗ n , · , [ ] n ) bzgl.der Restklassenmultiplikation eine abelsche Gruppe mit dem Einselement [ ] n alsNeutralelement, die sogenannte prime Restklassengruppe mod n . Diese besitzt ge-nau ϕ ( n ) Elemente, und f¨ur jedes a ∈ Z mit ggT ( a , n ) = a ϕ ( n ) ≡ ( n ) . (cid:3) Beweis:
Da aus ggT ( a , n ) = ggT ( b , n ) = ( ab , n ) = Z ∗ n unterder assoziativen Multiplikation abgeschlossen. Nun betrachten wir eine ganze Zahl a , die zu n teilerfremd ist. Der Euklidische Algorithmus liefert dann ganze Zahlen b , k mit ab + kn =
1, so dass [ a ] n · [ b ] n = [ ] n mit dem Einselement [ ] n ∈ Z ∗ n wird.Damit ist ( Z ∗ n , · , [ ] n ) eine abelsche Gruppe. Deren Elementeanzahl ist | Z ∗ n | = ϕ ( n ) ,da ϕ ( n ) die Anzahl der nat¨urlichen Zahlen a mit a ≤ n liefert, die zu n teilerfremdsind, siehe Satz 5.7 (b). Aus dem Satz 1.8 folgt nun a ϕ ( n ) ≡ ( n ) f¨ur ggT ( a , n ) = . (cid:4) Bemerkung 6.6:
Auch f¨ur n = Z ∗ : = { [ ] } als einelementige abelsche Gruppemit a ϕ ( n ) ≡ a ≡ ≡ ( ) f¨ur a ∈ Z . (cid:3) Beispiel 6.7: (a) Z ∗ = { [ ] , [ ] , [ ] , [ ] } . Die prime Restklassengruppe modulo 12 hat ϕ ( ) = ϕ ( ) · ϕ ( ) = · = · n = ϕ ( ) = Z ∗ = { [ ] , [ ] , [ ] , [ ] , [ ] , [ ] } .Tabelle der inversen Elemente in Z ∗ : a a − . (cid:3) .1 Kongruenzrechnung 85 Satz 6.8: Chinesischer Restsatz
Es seien n , n , ..., n r nat¨urliche Zahlen, die paarweise teilerfremd sind:ggT ( n j , n k ) = j , k ∈ { , ..., r } mit j (cid:54) = k . Sind dann a , a , ..., a r weitere r ganze Zahlen, dann haben die Kongruenzen x ≡ a j ( n j ) f¨ur j = , ..., r gemeinsame L¨osungen x ∈ Z . Je zwei dieser L¨osungen sind einander modulo n : = n n ... n r kongruent. (cid:3) Beweis:
F¨ur n = n n ... n r ist n (cid:48) j : = nn j eine nat¨urliche Zahl, und es giltggT ( n j , n (cid:48) j ) = j = , ..., r . W¨are n¨amlich p ein gemeinsamer Primteiler von n j und n (cid:48) j , so m¨usste r > p schon einen der Faktoren n k mit k (cid:54) = j teilen, aus denen n (cid:48) j zusammengesetzt ist.Man h¨atte dann den Widerspruch p | n j ∧ p | n k . Nach Satz 6.5 gibt es ganze Zahlen b j mit n (cid:48) j b j ≡ ( n j ) , j = , , ..., r , (6.1)was trivialerweise auch f¨ur Indizes j mit n j = j , k = , ..., r mit j (cid:54) = k : n (cid:48) k b k ≡ ( n j ) . (6.2)Nun ist x : = r ∑ k = n (cid:48) k b k a k eine gesuchte L¨osung, denn es gilt nach (6.1) und (6.2) f¨uralle j = , ... r : x = n (cid:48) j b j a j + r ∑ k = k (cid:54) = j n (cid:48) k b k a k ≡ a j ( n j ) . Es sei ˜ x eine weitere L¨osung des Kongruenzsystems ˜ x ≡ a j ( n j ) , j = , ..., r . Dannist n j | ˜ x − x , und f¨ur j (cid:54) = k haben n j , n k stets verschiedene Primteiler. Nach dem Satzvon der eindeutigen Primfaktorzerlegung folgt dann auch n | ˜ x − x , d.h. x ≡ ˜ x ( n ) . (cid:4) Nach Satz 6.5 gilt a ϕ ( n ) ≡ ( n ) f¨ur ggT ( a , n ) =
1, siehe auch Bemerkung 6.6 undSatz 1.8. Dies rechtfertigt die
Definition 6.9:
F¨ur n ∈ N und a ∈ Z sei ggT ( a , n ) =
1. Dann bezeichnet h = ord n ( a ) die kleinstenat¨urliche Zahl mit a h ≡ ( n ) . Wir nennen h die Ordnung oder auch den Exponen-ten von a modulo n . (cid:3) In dieser Definition ist h ≥
1. Bei ggT ( a , n ) = j ∈ Z Poten-zen a j modulo n berechnen: Nach Satz 6.5 gibt es ein b ∈ Z mit ggT ( b , n ) = a · b ≡ ( n ) , wobei b modulo n eindeutig ist. Auch f¨ur j < a j ≡ b − j ( n ) einen modulo n zu a j kongruenten Divisionsrest r ∈ N . Dann gilt Satz 6.10:
F¨ur h = ord n ( a ) gilt h | ϕ ( n ) . Des weiteren ist die Kongruenz a j ≡ a k ( n ) f¨ur alle j , k ∈ Z genau dann erf¨ullt, wenn j ≡ k ( h ) gilt. (cid:3) Beweis:
Wir dividieren j und k mit Rest jeweils durch h , also j = r + (cid:22) jh (cid:23) h , k = r (cid:48) + (cid:22) kh (cid:23) h mit ganzzahligen Resten r , r (cid:48) ∈ { , ..., h − } . Dann ist wegen a λ h ≡ ( n ) f¨ur λ ∈ Z die Kongruenz a j ≡ a k ( n ) zu a r ≡ a r (cid:48) ( n ) ¨aquivalent.W¨are r (cid:54) = r (cid:48) , etwa r < r (cid:48) , so w¨urde aus a r ≡ a r (cid:48) ( n ) die Kongruenz a r (cid:48) − r ≡ ( n ) mit 1 ≤ r (cid:48) − r < h folgen, im Widerspruch zur Minimalit¨at von h ∈ N . Es muss also r = r (cid:48) gelten, und die Kongruenzen a j ≡ a k ( n ) sowie j ≡ k ( h ) sind ¨aquivalent. (cid:4) Satz 6.11:
Aus ggT ( a , n ) = n ( a ) = h folgtord n ( a k ) = h ggT ( h , k ) f¨ur alle k ∈ Z . (cid:3) Beweis:
Es ist s : = ord n ( a k ) die kleinste Zahl s ∈ N mit a ks ≡ ( n ) , d.h. mit h | ks nach Satz 6.10. Die letzte Bedingung ist ¨aquivalent dazu, dass h ggT ( h , k ) ein Teilervon k ggT ( h , k ) · s und somit auch von s ist, da h ggT ( h , k ) und k ggT ( h , k ) teilerfremdsind. Aus der Minimalit¨at von s folgt nun s = h ggT ( h , k ) . (cid:4) Satz 6.12:
Es sei q ( x ) = n ∑ k = a k x k ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten a , ..., a n f¨ur n ∈ N , und es sei p eine Primzahl, die kein Teiler von a n ist. Dann gibt es modulo p nicht mehr als n zueinander inkongruente L¨osungen y ∈ Z von q ( y ) ≡ ( p ) . (cid:3) .1 Kongruenzrechnung 87 Beweis:
Wenn der Satz nicht gilt, gibt es ein Polynom ˜ q ( x ) = m ∑ k = b k x k mit mini-malem Grad m ∈ N , zu dem wir eine Primzahl p mit p (cid:45) b m sowie m + p zueinander inkongruente L¨osungen x , ..., x m , x m + ∈ Z mit ˜ q ( x α ) ≡ ( p ) f¨ur α = , ..., m + m ≥ m = q ( x ) = b durch p teilbar ist. Nun setzen wir Q ( x ) : = ˜ q ( x ) − b m · m ∏ k = ( x − x k ) . Hierbei k¨urzt sich der Anteil der gr¨oßten Potenz x m heraus. Es ist Q ( x m + ) ≡ − b m m ∏ k = ( x m + − x k ) ( p ) , wobei kein Faktor b m bzw. x m + − x k durch p teilbar ist. Daher ist Q ( x ) = N ∑ j = a j x j ein Polynom vom Grad N < m , dessen Koeffizienten a j nicht alle durch p teilbarsind. Ist n ≤ N der gr¨oßte Index, f¨ur den a n nicht durch p teilbar ist, so setzen wir q ( x ) : = n ∑ j = a j x j . Nun gilt p (cid:45) a n mit n < m , q ( y ) ≡ Q ( y ) ( p ) f¨ur alle y ∈ Z sowie f¨ur α = , .., mq ( x α ) ≡ Q ( x α ) ≡ ˜ q ( x α ) ≡ ( p ) , und wieder muss n ≥ q ( x ) nichtden geforderten Minimalgrad m . (cid:4) Definition 6.13:
Es sei ggT ( a , n ) =
1. Wir nennen a eine Primitivwurzel mod n , wenn gilt:ord n ( a ) = ϕ ( n ) . (cid:3) Primitivwurzeln haben demnach die gr¨oßtm¨ogliche Ordnung. Jedoch gibt es nichtzu jedem Modul n Primitivwurzeln:
Satz 6.14: (a) Ist p eine Primzahl, so gibt es ϕ ( p − ) Primitivwurzeln mod p .(b) Die einzigen Moduln n ∈ N , zu denen es Primitivwurzeln gibt, sind gegebendurch n = , , , p β , p β , wobei β eine beliebige nat¨urliche Zahl ist und p eine ungerade Primzahl. (cid:3) Beweis: (a) Jedes a ∈ N mit 1 ≤ a ≤ p − p teilerfremd und besitzt eineOrdnung h : = ord p ( a ) mod p mit h | p −
1. F¨ur k = , ..., h − ( a k ) h ≡ ( p ) , und 1 , a , ..., a h − sind nach Satz 6.10 zueinander mod p inkongruent. Somit stel-len nach Satz 6.12 die a k mit 0 ≤ k ≤ h − x h − ≡ ( p ) dar. Davon gibt es nach Satz 6.11 und Satz 5.7 (b) genau ϕ ( h ) L¨osun-gen, die exakt die Ordnung h mod p besitzen, n¨amlich die a k mit 0 ≤ k ≤ h − ( h , k ) =
1. Insbesondere ist jedes a mit p (cid:45) a und ord p ( a ) = h L¨osung von x h − ≡ ( p ) .Jedes a ∈ N mit 1 ≤ a ≤ p − p eine Ordnung h , die p − ϕ p ( h ) die Anzahl dieser Zahlen a mit Ordnung h mod p bezeichnet: ∑ h | p − ϕ p ( h ) = p − . (6.3)Nach den vorigen Betrachtungen ist entweder ϕ p ( h ) = ϕ ( h ) oder ϕ p ( h ) =
0, jenachdem, ob es ¨uberhaupt ein a ∈ { , ..., p − } mit Ordnung h gibt oder nicht. Esfolgt ϕ p ( h ) ≤ ϕ ( h ) f¨ur jedes h ∈ N mit h | p − . (6.4)Nach Satz 5.7 (b) gilt zudem ∑ h | p − ϕ ( h ) = p − . (6.5)Aus (6.3) bis (6.5) folgt sofort ϕ p ( h ) = ϕ ( h ) f¨ur jedes h | p −
1. Insbesondere ist ϕ p ( p − ) = ϕ ( p − ) ≥
1, womit (a) bewiesen ist.(b) Den Nachweis von (b) f¨uhren wir in vier Schritten durch:Schritt 1: Wir zeigen, dass die Moduln n = k f¨ur k = , , k ≥ n = , , n Primitivwurzeln mod n :1 1 (bzw. 0)2 14 3Nun sei n = k mit k ≥ a ∈ N ungerade. Wir zeigen induktiv: a k − ≡ ( k ) f¨ur alle k ≥ . (6.6) .1 Kongruenzrechnung 89 Wegen 2 k − = ϕ ( k ) = ϕ ( n ) ist dann Schritt 1 getan. Mit a = t + a = t ( t + ) + ≡ ( ) , da t ( t + ) gerade ist. Somit gilt (6.6)f¨ur k =
3. Nun nehmen wir an, (6.6) sei f¨ur ein k ≥ a k − = + k · u mit einem u ∈ N .Durch Quadrieren folgt hieraus der Induktionsschritt: a k − = + k + u + k u ≡ ( k + ) . Schritt 2: Nun sei n = k · m ∏ j = p α j j > k ∈ N , m , α j ∈ N und paarweise ver-schiedenen ungeraden Primzahlen p j , j = , ..., m . Wir zeigen, dass n f¨ur m ≥ m = k ≥ n : = p α und n : = nn sind teilerfremd mit n = n · n und ϕ ( n ) = ϕ ( n ) ϕ ( n ) . Es ist ϕ ( n ) = p α − ( p − ) gerade. Nun sei m ≥ m = k ≥
2. Dann ist auch ϕ ( n ) gerade. Es sei a ∈ N zu n tei-lerfremd. Dann ist a auch zu n und n teilerfremd, und nach Satz 6.5gilt a ϕ ( n ) ≡ ( n ) , a ϕ ( n ) ≡ ( n ) , also wegen ggT ( n , n ) = a ϕ ( n ) = ( a ϕ ( n ) ) ϕ ( n ) = ( a ϕ ( n ) ) ϕ ( n ) ≡ ( n ) , und a ist keine Primitivwurzel mod n .Schritt 3: Es sei n = p β mit ungerader Primzahl p . F¨ur die Suche nach Primitiv-wurzeln mod n d¨urfen wir β ≥ b mod p als gegeben betrachten.Dann ist f¨ur jedes t ∈ Z mit b auch ˜ a : = b ( + t p ) Primitivwurzel mod p .Es gilt b p − = + sp f¨ur ein s ∈ Z , und weiter mit Hilfe des binomischenLehrsatzes: ˜ a p − = ( + sp )( + t p ) p − ≡ ( + sp )( + t p ( p − )) ( p ) ≡ + ( s − t ) p ( p ) . F¨ur t (cid:54)≡ s ( p ) ist ˜ a eine Primitivwurzel mod p mit ˜ a p − (cid:54)≡ ( p ) .Es gibt also immer eine Primitivwurzel a mod p mit a p − (cid:54)≡ ( p ) . Wirzeigen nun, dass dieses a bereits eine Primitivwurzel mod p β ist:Aus der Darstellung a p − = + λ p mit λ (cid:54)≡ ( p ) (6.7)folgt mit vollst¨andiger Induktion f¨ur alle j ∈ N : a p j ( p − ) ≡ + λ p j + ( p j + ) . Setzen wir j : = β −
2, so erhalten wir a p β − ( p − ) ≡ + λ p β − ( p β ) . (6.8)Es sei d die Ordnung von a modulo p β . Es ist ϕ ( p β ) = p β − ( p − ) , undSatz 6.10 liefert d | p β − ( p − ) . (6.9)Es gilt a d ≡ ( p β ) , und hieraus folgt a d ≡ a ( p ) . Nun wenden wirSatz 6.10 auf die letzte Kongruenz an, und beachten, dass die Primitiv-wurzel a modulo p die Ordnung p − d ≡ ( p − ) ,d.h. p − | d . (6.10)Aus (6.9) und (6.10) folgt mit einem Exponenten k ≤ β − d = p k ( p − ) . (6.11)Wegen (6.8) und λ (cid:54)≡ ( p ) in (6.7) ist k ≤ β − a d ≡ ( p β ) gelten muss. Somit gilt k = β −
1, und aus (6.11) folgt d = ϕ ( p β ) , so dass a in der Tat Primitivwurzel mod p β ist.Schritt 4: Es sei n = p β mit einer ungeraden Primzahl p und β ∈ N , sowie b einePrimitivwurzel mod p β . Nun setzen wir a : = (cid:40) b , falls b ungerade ist , b + p β , falls b gerade ist . (6.12)Dann liefert (6.12) eine ungerade Primitivwurzel a mod p β , und es giltggT ( a , n ) =
1. Es sei d die Ordnung von a modulo n . Dann gilt d | ϕ ( n ) mit ϕ ( n ) = ϕ ( p β ) , also d | ϕ ( p β ) . Aus a d ≡ ( p β ) folgen aber auch a d ≡ ( p β ) sowie ϕ ( p β ) | d , da a Primitivwurzel mod p β ist. Es folgtendlich d = ϕ ( p β ) = ϕ ( p β ) , so dass a Primitivwurzel mod 2 p β ist. (cid:4) Definition 6.15:
Es sei n ∈ N .(a) Wir sagen, die Zahlen a , a , ..., a n bilden ein vollst¨andiges Restsystem mod n ,wenn Z n = { [ a ] n , [ a ] n , ..., [ a n ] n } gilt. Man beachte, dass dann die a j f¨ur j = , ..., n zueinander modulo n inkongruent sind.(b) Wir sagen, die Zahlen a , a , ..., a ϕ ( n ) bilden ein reduziertes Restsystem mod n ,wenn Z ∗ n = { [ a ] n , [ a ] n , ..., [ a n ] ϕ ( n ) } gilt. Man beachte, dass dann die a j f¨ur j = , ..., ϕ ( n ) zueinander modulo n inkongruent und alle zum Modul n teiler- .2 Aufgaben 91 fremd sind. (cid:3) Bemerkung 6.16:
Ist n = , , , p β , p β ein Modul aus Satz 6.14 mit einer ungeraden Primzahl p und β ∈ N und a eine Primitivwurzel mod n , so ist die Gruppe Z ∗ n zyklisch, denn diePotenzen a , a , ..., a ϕ ( n ) bilden ein reduziertes Restsystem mod n . Von diesen sind nach Satz 6.11 genau diePotenzen a k mit 1 ≤ k ≤ ϕ ( n ) und ggT ( ϕ ( n ) , k ) = n , so dasses genau ϕ ( ϕ ( n )) Primitivwurzeln mod n gibt.Aus dem Beweis von Satz 6.14 geht klar hervor, dass aus der Kenntnis der Primi-tivwurzeln zu Primzahl-Moduln p sofort die Primitivwurzeln zu obigen Moduln n gewonnen werden k¨onnen. Aus diesem Grund tabelliert man meist nur die Primitiv-wurzeln mod p . (cid:3) Beispiel 6.17:
Ist a eine Primitivwurzel mod n und λ , λ , ..., λ ϕ ( n ) ein vollst¨andiges Restsystemmod ϕ ( n ) , so bilden die Potenzen a λ , a λ , ..., a λ ϕ ( n ) ein reduziertes Restsystemmod n :Es sei p = n = p = ϕ ( n ) = − =
6. Dann ist b = − = (cid:54)≡ ( ) auch Primitivwurzel mod 9. Die Zahlen 0, ± ±
2, 3bilden ein vollst¨andiges Restsystem mod 6, und somit1 = , = , ≡ − ( ) , = , ≡ − ( ) , = ein reduziertes Restsystem mod 9. Davon gibt es nur ϕ ( ϕ ( )) = ϕ ( ) = Z ∗ wird von [ ] und [ ] erzeugt. k ( k ) (cid:3) Aufgabe 6.1: Der Wilsonsche Satz
Man zeige: F¨ur jede Primzahl p und nur f¨ur Primzahlen p gilt bei p > ( p − ) ! ≡ − ( p ) . L¨osung:
F¨ur p = ( − ) ! = ≡ − ( ) , und f¨ur p = ( − ) ! = ≡− ( ) . Nun sei p ≥ x ≡ ( p ) f¨ur1 ≤ x < p genau die beiden L¨osungen x = x = p −
1. Dies folgt aus Satz 6.12mit q ( x ) = x −
1. Die ¨ubrigen von Null verschiedenen Divisionsreste 2 , , ..., p − p lassen sich f¨ur α = , , ..., p −
32 zu paarweise disjunkten Mengen { x α , y α } mit x α · y α ≡ ( p ) und x α (cid:54) = y α zusammenfassen. Es folgt ( p − ) ! = · ( p − ) p − ∏ α = ( x α · y α ) ≡ − ( p ) . Ist schließlich n = ab aus den nat¨urlichen Zahlen a > b > ( n − ) ! die Faktoren a und b , undfolglich wird ( n − ) ! ≡ (cid:54)≡ − ( n ) . Aufgabe 6.2: Ordnungen in der primen Restklassengruppe Z ∗ F¨ur die Zahlen a ∈ {± , . . . , ± } fertige man eine Tabelle der Ordnungen von a mod 17 an. Welche davon sind Primitivwurzeln mod 17? L¨osung:
Die Ordnungen von k und − k mod 17 stimmen f¨ur k = , , ..., ϕ ( ) = = gr¨oßer als Eins und somit gerade Zahlen sind.Tabelle der Ordnungen: a − ± ± ± ± ± ± ± ( a ) ± , ± , ± , ± . Aufgabe 6.3: Die b -adische Darstellung nat ¨urlicher Zahlen Wir verwenden die nat¨urliche Zahl b > b -adische Zahldarstellungen.(a) Man zeige f¨ur alle n ∈ N : Jede ganze Zahl a mit 0 ≤ a < b n + besitzt genaueine b -adische Darstellung a = a n b n + a n − b n − + . . . + a mit den Ziffern a , . . . , a n − , a n ∈ { , , . . . , b − } .(b) Die nat¨urliche Zahl a besitze die Dezimaldarstellung a = a n n + a n − n − + . . . + a .2 Aufgaben 93 mit den Ziffern a , . . . , a n − , a n ∈ { , , . . . , } . Man zeige: F¨ur die Quersumme Q ( a ) : = n ∑ j = a j bzw. f¨ur die alternierende Quersumme Q − ( a ) : = n ∑ j = ( − ) j a j ha-ben wir Q ( a ) ≡ a ( ) bzw. Q − ( a ) ≡ a ( ) . Durch iterierte Bildung von Quer-summen bzw. von alternierenden Quersummen erh¨alt man so einfache Rechen-proben modulo 9 bzw. modulo 11. L¨osung: (a) folgt durch Induktion bzgl. n ∈ N . Der Induktionsanfang f¨ur n = a = a ∈ { , , . . . , b − } f¨ur jedes ganze a mit 0 ≤ a < b erf¨ullt. Wir nehmen an, die Behauptung sei f¨ur ein n ∈ N richtig, und betrachteneine beliebige ganze Zahl a mit 0 ≤ a < b n + . Nun dividieren wir a durch b n + mitRest, und erhalten nach Satz 2.4 eindeutig bestimmte ganze Zahlen q ≥ r mit0 ≤ r < b n + , so dass a = qb n + + r gilt. Es ist aber q = (cid:106) ab n + (cid:107) ≤ ab n + < b , und somit q ∈ { , , . . . , b − } eindeutig bestimmt. Auf den Divisionsrest r wendenwir die Induktionsannahme an, und erhalten eindeutig bestimmte Ziffern a , . . . , a n − , a n ∈ { , , . . . , b − } mit r = a n b n + a n − b n − + . . . + a . Hieraus folgt mit a n + = q f¨ur a die eindeutige Darstellung a = a n + b n + + a n b n + a n − b n − + . . . + a , was zu zeigen war.(b) ist ein Anwendung der Kongruenzrechnung und des vorigen Resultates: Aus10 ≡ ( ) bzw. 10 ≡ − ( ) folgen 10 j ≡ ( ) bzw. 10 j ≡ ( − ) j ( ) f¨ur alle j ∈ N , und somit nach der Teilaufgabe (a) auch Q ( a ) ≡ a ( ) bzw. Q − ( a ) ≡ a ( ) ,da unabh¨angig von der Wahl der Repr¨asentanten modulo 9 bzw. 11 addiert und mul-tipliziert werden darf, siehe Definition und Satz 6.3. Aufgabe 6.4: Kongruenzen mit den Fibonacci-Zahlen
Wir betrachten f¨ur k ∈ N die Fibonacci-Zahlen f k aus Aufgabe 1.4. Man zeige:(a) Es gilt f n ≡ ( ) bzw. f n ≡ ( ) f¨ur alle n ∈ N . (b) F¨ur alle n , j ∈ N gilt f n + j ≡ ( − ) n f j ( ) . L¨osung: ggT ( f n , f ) = f ggT ( n , ) = f =
144 liefert f n ≡ ( ) bzw. f n ≡ ( ) f¨ur alle n ∈ N , siehe Aufgabe 2.3(c). Aus Aufgabe 2.3(b) erhalten wir weiter unterBeachtung von f = ≡ − ( ) : f + j = f f j + f f j − ≡ − f j + ≡ − f j ( ) , und somit gilt f n + j ≡ ( − ) n f j ( ) f¨ur alle n ∈ N . Aufgabe 6.5: Eine vollst¨andig multiplikative, periodische Funktion
Betrachte die 3-periodische Zahlenfolge χ : N → Z mit χ = ( , − , ) , χ ( ) = χ ( ) = − χ ( ) = χ vollst¨andig multiplikativ ist, undberechne die Dirichlet-Inverse χ − ∗ zu χ . F¨ur die Werte χ − ∗ ( n ) mit 1 ≤ n ≤ L¨osung:
Die beiden Zahlen ± f : Z ∗ → { + , − } mit f ([ ] ) = f ([ − ] ) = − f ([ n · m ] ) = f ([ n ] ) · f ([ m ] ) f¨ur alle ganzen Zahlen n , m , die nicht durch 3 teilbar sind. Speziell f¨ur nicht durch 3teilbare nat¨urliche Zahlen n , m erhalten wir aufgrund der 3-Periodizit¨at von χ : χ ( n · m ) = f ([ n · m ] ) = f ([ n ] ) · f ([ m ] ) = χ ( n ) · χ ( m ) . Ist dagegen zumindest eine der beiden nat¨urlichen Zahlen n , m durch 3 teilbar, sogilt χ ( n · m ) = χ ( n ) · χ ( m ) =
0. Damit ist χ vollst¨andig multiplikativ, und Satz 5.10liefert χ − ∗ = χ · µ f¨ur die Dirichlet-Inverse von χ . Wir erhalten f¨ur die ersten 20Funktionswerte von χ − ∗ die folgende Tabelle: n χ − ∗ ( n ) ektion 7 Quadratische Reste
Quadratische Reste bzgl. eines Moduls, auch kurz Reste genannt, sind die einfach-sten Potenzreste, die auf mathematisch anspruchsvolle Fragestellungen f¨uhren. De-ren Untersuchung geht schon auf Euler, Fermat und Lagrange zur¨uck, doch erstGauß gab in seinem Buch “Disquisitiones Arithmeticae“ eine systematische Theo-rie an. Er war der erste, der das sogenannte quadratische Reziprozit¨atsgesetz nichtnur bewiesen hat, siehe Satz 7.9, sondern gleich mehrere unterschiedliche Beweis-zug¨ange geliefert hat. Heute kennt man etwa 200 Beweise dieses grundlegendenSatzes, allerdings sind die meisten davon nur leichte Varianten von vorausgegange-nen Beweisen. Wir zitieren Gauß aus der deutschen ¨Ubersetzung [2, Art. 131] seineslateinischen Originalwerkes:”Ist p eine Primzahl von der Form 4 n +
1, so wird + p , ist dagegen p eine solchevon der Form 4 n +
3, so wird − p Rest oder Nichtrest jeder Primzahl sein, welche,positiv genommen, Rest oder Nichtrest von p ist.Da fast alles, was sich ¨uber die quadratischen Reste sagen l¨asst, auf diesem Satzeberuht, so wird die Bezeichnung ”Fundamentalsatz“, die wir im Folgenden gebrau-chen werden, f¨ur denselben nicht unpassend sein.“ Hier untersuchen wir f¨ur einen Modul m = p α · p α · ... · p α k k ≥ p , p , ..., p k und Exponenten α , α , ..., α k ∈ N f¨urgegebenes a ∈ Z die L¨osungen der quadratischen Kongruenz x ≡ a ( m ) . (7.1)Aus (7.1) folgt x ≡ a ( p α j j ) f¨ur alle j = , ..., k . Sind umgekehrt die x j ∈ Z f¨ur j = , ..., k L¨osungen der Kongruenzen x j ≡ a ( p α j j ) ,
956 7 Quadratische Reste so liefert der chinesische Restsatz eine modulo m eindeutige L¨osung x ∈ Z des Kon-gruenzsystems x ≡ x j ( p α j j ) , j = , ..., k , so dass x auch L¨osung von (7.1) ist. Somitgen¨ugt es, anstelle von (7.1) die Kongruenz x ≡ a ( p α ) (7.2)nur f¨ur Primzahlpotenz-Moduln p α zu l¨osen, also mit Primzahlen p und Exponen-ten α ∈ N .F¨ur a ≡ ( p α ) erh¨alt man nur triviale L¨osungen, n¨amlich genau die ganzen Zahlen x mit x ≡ ( p (cid:100) α (cid:101) ) , wobei (cid:100) y (cid:101) = −(cid:98)− y (cid:99) = min { k ∈ Z : k ≥ y } f¨ur y ∈ R ist.F¨ur a (cid:54)≡ ( p α ) ist dagegen (7.2) h¨ochstens dann l¨osbar, wenn a = p β · ˜ a und x ≡ ( p β ) f¨ur ganzzahlige ˜ a , β ist mit 0 ≤ β < α und ˜ a (cid:54)≡ ( p ) .Mit ˜ x : = xp β muss dann nur noch ˜ x ≡ ˜ a ( p α − β ) gel¨ost werden. Im Folgenden seidaher a (cid:54)≡ ( p ) .Wir betrachten zun¨achst p =
2. Dann muss a ungerade sein, so dass nur ungeradeL¨osungen x = k + x = ( k + ) = + · k ( k + ) ≡ ( ) . (7.3)F¨ur α = a nur ungerade sein und f¨ur α = a ≡ ( ) erf¨ullen, undjedes ungerade x ist L¨osung von (7.2).Wir zeigen, dass (7.2) mit p = α ≥ a ≡ ( ) l¨osbar ist: Nach (7.3)ist a ≡ ( ) f¨ur α ≥ α =
3. Wir nehmen x ≡ a ( α ) f¨ur ein α ≥ λ ∈ Z so, dass gilt: ( x + λ α − ) = x + x λ α + λ α − ≡ a ( α + ) . Das ist m¨oglich, da 2 α − ≥ α + α ≥ x − a α + x · λ ≡ ( ) l¨osbarist. Die Behauptung ist bewiesen.Von nun ab betrachten wir nur noch Primzahlen p ≥ a (cid:54)≡ ( p ) . Damit (7.2) l¨osbar ist, muss es ein x ∈ Z mit x ≡ a ( p ) geben.Diese Bedingung ist auch hinreichend zur L¨osbarkeit von (7.2). Genauer zeigen wirinduktiv:Es gibt eine rekursiv konstruierte Folge ( x n ) n ∈ N ganzer Zahlen x n , so dass f¨ur alle n ∈ N gilt: x n ≡ a ( p n ) , x n x n + ≡ x n + a ( p n + ) . (7.4) .1 Quadratische Reste 97 F¨ur n = x ≡ a ( p ) vorausgesetzt, und k¨onnen wegen 2 x (cid:54)≡ ( p ) die Kongruenz 2 x x ≡ x + a ( p ) nach x aufl¨osen. Ist (7.4) f¨ur ein n ≥ x n x n + ≡ x n ( p n ) , also x n + ≡ x n ( p n ) durch K¨urzen desFaktors [ x n ] p n in der Gruppe Z ∗ p n . Hieraus erhalten wir0 ≡ ( x n + − x n ) ≡ x n + − x n + x n + x n ≡ x n + − a ( p n + ) . Indem wir noch eine L¨osung x n + der Kongruenz 2 x n + x n + ≡ x n + + a ( p n + ) ermitteln, was wegen 2 x n + (cid:54)≡ ( p ) m¨oglich ist, folgt (7.4) f¨ur alle n ∈ N .Nun definieren wir quadratische Reste: Definition 7.1:
Es sei m ∈ N mit m ≥
2. Eine ganze Zahl a mit ggT ( a , m ) = m , wenn es ein x ∈ Z gibt mit x ≡ a ( m ) . Damit ist notwendigerweise auch ggT ( x , m ) = (cid:3) Wir erhalten nun den
Satz 7.2:
Bei ggT ( a , m ) = m = α · m (cid:48) ≥ m (cid:48) und α ∈ N ist die Kon-gruenz x ≡ a ( m ) genau dann l¨osbar, wenn gilt:Die Kongruenz x ≡ a ( p ) ist f¨ur jeden Primteiler p von m (cid:48) l¨osbar, und ¨uberdies gilt a ≡ ( ) f¨ur α = a ≡ ( ) f¨ur α ≥ x mod m von x ≡ a ( m ) ist in diesem Falle gegebendurch min (cid:16) , max ( α , ) − (cid:17) · ω ( m (cid:48) ) = min ( , ϕ ( α )) · ω ( m (cid:48) ) mit der Anzahl ω ( m (cid:48) ) der verschiedenen Primfaktoren von m (cid:48) (ohne Vielfachhei-ten).Beachte: Die Anzahl der L¨osungen von x ≡ a ( m ) ist insbesondere f¨ur alle qua-dratischen Reste a mod m dieselbe. (cid:3) Beweis:
Wir m¨ussen gem¨aß den vorausgegangenen Betrachtungen nur noch dieFormel f¨ur die L¨osungsanzahl zeigen: Gilt x ≡ a ( m ) , x ≡ a ( m ) , so finden wir ein x ∗ ∈ Z mit x · x ∗ ≡ ( m ) . Damit gilt ( x · x ∗ ) ≡ a · x ∗ ≡ x · x ∗ ≡ ( m ) sowie x ≡ x · y ( m ) f¨ur die L¨osung y : = x · x ∗ der Kongruenz y ≡ ( m ) . Umge-kehrt liefert jede L¨osung y von y ≡ ( m ) bei festem x ein x ≡ x · y ( m ) , dasL¨osung von x ≡ a ( m ) ist. Damit gen¨ugt es, die Anzahlformel f¨ur den einfachstenquadratischen Rest a = m = α :F¨ur α = α = x ≡ ( α ) modulo2 α . F¨ur α = x ≡ ± ( ) , und schließlich f¨ur α ≥ x ≡ ( α ) modulo 2 α , n¨amlich x ≡ − , x ≡ , x ≡ α − − , x ≡ α − + ( α ) . Dies sind die einzigen, denn f¨ur sie gilt x − = ( x − )( x + ) ≡ ( α ) mit den beiden geraden Faktoren x ±
1, von denen jeweils genau einer nicht durch4 teilbar ist. Somit erh¨alt man f¨ur m = α in jedem Fall genau min (cid:16) , max ( α , ) − (cid:17) L¨osungen.Nun betrachten wir den Spezialfall m = p α mit einer Primzahl p ≥
3. Dann hat dieKongruenz x ≡ ( p α ) modulo p α die beiden L¨osungen x , ≡ ± ( p α ) , und wegen x − = ( x − ) · ( x + ) ≡ ( p α ) sind dies modulo p α die einzigen,da in jedem Produkt ( x − )( x + ) nur jeweils ein Faktor durch p und damit schondurch p α teilbar ist.Da gem¨aß dem chinesischen Restsatz die L¨osungen von (7.1) f¨ur einen aus paar-weise teilerfremden Primzahlpotenzen p α j j zusammengesetzten Modul m aus denL¨osungen der Kongruenzen x j ≡ a ( p α j j ) hervorgehen, hier mit a =
1, folgt die An-zahlformel durch Produktbildung. (cid:4)
Beispiel 7.3: x ≡ ( ) . Hier ist m = = · = · , α = m (cid:48) = a =
13. Da x ≡ ≡ ( ) modulo 3 die L¨osungen x = ± x ≡ ≡ ( ) modulo 4 die L¨osungen x = ±
1, besitzt die Ausgangskongruenz genau vier L¨osungen:min (cid:16) , max ( α , ) − (cid:17) · ω ( m (cid:48) ) = · = . .1 Quadratische Reste 99 Mit (7.4) bestimmen wir die L¨osungen von z ≡ ( ) , beginnend mit z = z z ≡ z + ( ) liefert z ≡ ( ) . z z ≡ z + ( ) f¨uhrt auf 14 z ≡ ( ) bzw. 7 z ≡ ( ) . Wir bestimmen das multiplikative Inverse zu 7 mod 81: j q j r j s j t j · − · = , − · ≡ ( ) , z ≡ − · ≡ − ( ) . Nun ist sogar ( ± ) ≡ ( ) . Wir l¨osen jeweils vier simultane Kongruenzsysteme:1 ) x ≡ ( ) , x ≡ − ( ) liefert x ≡ ( ) , ) x ≡ − ( ) , x ≡ − ( ) liefert x ≡ − ( ) , ) x ≡ ( ) , x ≡ ( ) liefert x ≡ ( ) , ) x ≡ − ( ) , x ≡ ( ) liefert x ≡ − ( ) . Wir erhalten die L¨osungen x ≡ ±
65 bzw. x ≡ ±
97 mod 324 von x ≡ ( ) . (cid:3) Nun charakterisieren wir quadratische Reste (Q-Reste) bzw. quadratische Nichtreste(Q-Nichtreste) bzgl. eines Primzahlmoduls p ≥ Satz 7.4: Eulersches Kriterium
F¨ur Primzahlen p ≥ a ∈ Z definieren wir das Legendre-Symbol ( a | p ) : = + , wenn x ≡ a ( p ) mit x (cid:54)≡ ( p ) l¨osbar ist , − , wenn x ≡ a ( p ) nicht l¨osbar ist , , wenn a ≡ ( p ) gilt . Dann ist ( a | p ) ≡ a p − ( p ) . (cid:3) Beweis:
Da f¨ur a ≡ ( p ) die Behauptung stimmt, d¨urfen wir a (cid:54)≡ ( p ) voraus-setzen. Ist x ≡ a ( p ) mit x (cid:54)≡ ( p ) l¨osbar, so ist x p − ≡ ( p ) nach Satz 6.5. Indiesem Falle folgt ( a | p ) = ≡ ( x ) p − ≡ a p − ( p ) .
00 7 Quadratische Reste
Nun sei x ≡ a ( p ) nicht l¨osbar, d.h. ( a | p ) = −
1. Wegen a p − − = (cid:16) a p − − (cid:17) (cid:16) a p − + (cid:17) ≡ ( p ) kommt nur a p − ≡ ± ( p ) in Frage, so dass wir nur a p − ≡ ( p ) ausschliessenm¨ussen: Die Quadrate 1 , , ..., (cid:18) p − (cid:19) (7.5)sind L¨osungen der Kongruenz u p − − ≡ ( p ) , und modulo p voneinander ver-schieden, da j − k = ( j + k )( j − k ) (cid:54)≡ ( p ) gilt wegen 0 < j + k < p , 0 < j − k < p f¨ur j > k und j , k ∈ { , , ..., p − } . Nach Satz 6.12 sind dies modulo p alle L¨osungenvon u p − − ≡ ( p ) .Da a als Q-Nichtrest vorausgesetzt wurde, ist er modulo p keiner der Zahlen aus(7.5) kongruent, und es folgt a p − ≡ − ( p ) . (cid:4) Folgerung 7.5:
Modulo einer Primzahl p ≥ p − Q-Reste, die einer der Zahlen1 , , ..., (cid:18) p − (cid:19) kongruent sind, und damit auch ebensoviele Q-Nichtreste. Dabei gilt ( a | p ) · ( a (cid:48) | p ) = ( aa (cid:48) | p ) ∀ a , a (cid:48) ∈ Z . (cid:3) Merke: F¨ur Primzahl p ≥ · Q-Rest = Q-Rest , Q-Rest · Q-Nichtrest = Q-Nichtrest , Q-Nichtrest · Q-Nichtrest = Q-Rest . mod p . Beweis:
Dies folgt sofort aus dem Eulerschen Kriterium und seinem Beweis. (cid:4)
Setzen wir a : = − Folgerung 7.6:
F¨ur jede Primzahl p ≥ ( − | p ) = ( − ) p − . .1 Quadratische Reste 101 Somit ist − p ≡ ( ) ein Q-Rest mod p . (cid:3) Neben Satz 7.4 dient auch das folgende Kriterium der Bestimmung des Restsymbo-les ( a | p ) : Satz 7.7: Gaußsches Lemma, erweiterte Version
F¨ur jede Primzahl p ≥ ( a , p ) = t die Anzahl derjenigen kleinsten positiven Reste der Zahlen a , a , a , ..., p − a modulo p ist, die gr¨oßer als p sind, dann gilt ( a | p ) = ( − ) t . Hierbei ist t ≡ p − ∑ j = (cid:22) jap (cid:23) + ( a − ) p −
18 mod 2 . (cid:3) Beweis:
Wir k¨onnen die kleinsten positiven Divisionsreste von a , a , a , ..., p − a bei Division durch p in der Form r , r , ..., r s ; p − r (cid:48) , p − r (cid:48) , ..., p − r (cid:48) t (7.6)darstellen mit s + t = p − und r , r , ..., r s ; r (cid:48) , r (cid:48) , ..., r (cid:48) t ∈ (cid:26) , , ..., p − (cid:27) . (7.7)Dabei sind die Reste in (7.6) mod p paarweise verschieden, denn a (cid:54)≡ ( p ) . Auchgibt es keine zwei Zahlen j , k ∈ (cid:110) , , ..., p − (cid:111) mit j (cid:54) = k und j · a ≡ − k · a ( p ) , daf¨ur diese j + k ≡ ( p ) mit 1 < j + k < p gelten m¨usste, ein Widerspruch. Somitsind auch alle Reste in (7.7) paarweise verschieden und m¨ussen wegen s + t = p − genau die Zahlen 1 , , , ..., p − liefern.Es folgt f¨ur das Produkt aller Zahlen in (7.6) modulo p : a p − · (cid:18) p − (cid:19) ! ≡ ( − ) t · s ∏ α = r α · t ∏ β = r (cid:48) β ≡ ( − ) t · (cid:18) p − (cid:19) ! mod p , und da wir mod p den Faktor (cid:16) p − (cid:17) ! k¨urzen d¨urfen: a p − ≡ ( − ) t mod p . (7.8)Aus dem Eulerschen Kriterium und (7.8) folgt der erste Teil der Behauptung.Wir zeigen die Kongruenzformel f¨ur t mod 2:
02 7 Quadratische Reste p − ∑ j = a · j = a p − = p p − ∑ j = (cid:22) jap (cid:23) + s ∑ α = r α + t ∑ β = ( p − r (cid:48) β ) (7.9)folgt mit der Bildung der Divisionsreste r α , p − r (cid:48) β .Unter Beachtung von p − r (cid:48) β ≡ + r (cid:48) β ( ) , p ≡ ( ) , sowie mit s ∑ α = r α + t ∑ β = r (cid:48) β = p − ∑ j = j = p − a p − ≡ p − ∑ j = (cid:22) jap (cid:23) + p − + t mod 2 . (7.10)Addieren wir in (7.10) modulo 2 auf beiden Seiten die Summe p − ∑ j = (cid:106) jap (cid:107) und subtra-hieren p − , so folgt die Behauptung. (cid:4) Folgerung 7.8:
Es sei p ≥ ( | p ) = ⇔ p ≡ ± ( ) . Allgemein gilt ( | p ) = ( − ) p − .(b) ( − | p ) = ⇔ p ≡ , ( ) . Allgemein gilt ( − | p ) = ( − ) ( p − )( p − ) . (cid:3) Beweis: (a) Wir setzen a = (cid:106) jp (cid:107) = j = , ..., p − . Damit ist ( | p ) = ( − ) p − = ( − ) ( p − )( p + ) und ( | p ) = p ≡ ± ( ) . (b) folgt aus (a) und Folgerung 7.6: F¨ur ( − | p ) = ( | p ) = ( − | p ) = p ≡ ( ) , oder ( | p ) = − ( − | p ) = − p ≡ ( ) .Insgesamt ist ( − | p ) = ( − | p ) · ( | p ) = ( − ) − p − · ( − ) p − = ( − ) ( p − )( p − ) . (cid:4) .1 Quadratische Reste 103 Satz 7.9: Das Reziprozit¨atsgesetz von Gauß
Sind p , q ≥ ( p | q ) · ( q | p ) = ( − ) p − q − . (cid:3) Beweis:
Wegen p , q ≥ p , q ungerade, und wegen p (cid:54) = q gilt ( p | q ) · ( q | p ) = ± ( p | q ) · ( q | p ) = ( − ) p − ∑ j = (cid:106) qjp (cid:107) + q − ∑ k = (cid:106) pkq (cid:107) . (7.11)F¨ur die Menge G : = (cid:110) ( j , k ) : j ∈ (cid:110) , ..., p − (cid:111) , k ∈ (cid:110) , ..., q − (cid:111)(cid:111) gilt q j (cid:54) = pk f¨uralle ( j , k ) ∈ G mit | G | = p − · q − . (7.12)Somit ist G = G p ∪ G q die Vereinigung der beiden disjunkten Mengen G p : = { ( j , k ) ∈ G : pk < q j } , G q : = { ( j , k ) ∈ G : q j < pk } . Es besteht G p aus allen ( j , k ) ∈ N × N mit j ∈ (cid:110) , ..., p − (cid:111) und k ≤ q jp , wobei k = q jp nicht auftritt, und entsprechend G q aus allen ( j , k ) ∈ N × N mit k ∈ (cid:110) , ..., q − (cid:111) und j ≤ pkq , wobei j = pkq nicht auftritt. Wir erhalten | G p | = p − ∑ j = (cid:22) q jp (cid:23) , | G q | = q − ∑ k = (cid:22) pkq (cid:23) , | G | = | G p | + | G q | . (7.13)Aus (7.11)-(7.13) folgt nun die Behauptung des Satzes. (cid:4) Zusammenfassung 7.10:
1) Der Wert des Legendre-Symbols ( a , p ) ≡ a p − ( p ) entscheidet f¨ur Primzahl-Moduln p ≥ x ≡ a ( p ) : (7.14)Bei ( a , p ) = x (cid:54)≡ ( p ) l¨osbar, bei ( a , p ) = x ≡ ( p ) undbei ( a , p ) = − ( a | p ) = ( a (cid:48) | p ) f¨ur a ≡ a (cid:48) ( p ) .2) Es gilt (cid:32) n ∏ j = a j | p (cid:33) = n ∏ j = ( a j | p ) f¨ur alle a , ..., a n ∈ Z .3) ( − | p ) = ( − ) p − sowie ( | p ) = ( − ) p − , ( − | p ) = ( − ) ( p − )( p − ) .4) F¨ur jede zwei Primzahlen p , q ≥ ( q | p ) = ( − ) p − q − · ( p | q )
04 7 Quadratische Reste (cid:3)
Beispiel 7.11: (a) F¨ur welche Primzahlen p > L¨osung:
Aus Zusammenfassung 7.10 4) folgt mit q : = ( | p ) = ( − ) p − · ( p | ) . Dabei gilt ( p | ) = (cid:40) , falls p ≡ ( ) , − , falls p ≡ − ( ) . Hieraus folgt ( | p ) = p ≡ ( ) , p ≡ ( ) , d.h. f¨ur p ≡ ( ) , oderaber f¨ur p ≡ − ( ) , p ≡ − ( ) , d.h. f¨ur p ≡ − ( ) . F¨ur p ≡ ± ( ) istdagegen ( | p ) = −
1, und x ≡ ( p ) besitzt keine L¨osung.(b) F¨ur welche Primzahlen p > − L¨osung:
Aus Zusammenfassung 7.10 2) und 3) folgt ( − | p ) = ( − | p ) · ( | p ) = ( − ) p − · ( | p ) , und weiter nach (a): ( − | p ) = ( p | ) . Somit ist x ≡ − ( p ) f¨ur p ≡ ( ) l¨osbar ( p > p ist − − p ≡ − ( ) .(c) Tabellen: Im Folgenden ist p ≥ a = p , und x ≡ ± ( p ) die L¨osungen von x ≡ ( p ) .1.2) a = − p ⇔ p ≡ ( ) . p ≡ ( ) x von x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ − ( p ) mod 5 mod 13 mod 17 mod 29 mod 3741 53 61 73 89 x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± a = p ⇔ p ≡ ± ( ) . .1 Quadratische Reste 105 p ≡ ± ( ) x von x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ( p ) mod 7 mod 17 mod 23 mod 31 mod 4147 71 73 79 89 x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± a = − p ⇔ p ≡ , ( ) . p ≡ , ( ) x von x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ − ( p ) mod 3 mod 11 mod 17 mod 19 mod 4143 59 67 73 83 x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± a = p ⇔ p ≡ ± ( ) . p ≡ ± ( )
11 13 23 37 47L¨osungen x von x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ( p ) mod 11 mod 13 mod 23 mod 37 mod 4759 61 71 73 83 x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± a = − p ⇔ p ≡ ( ) . p ≡ ( ) x von x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ − ( p ) mod 7 mod 13 mod 19 mod 31 mod 3743 61 67 73 79 x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± (cid:3) Die Verwendung des Legendre-Symbols und des quadratischen Reziprozit¨atsgeset-zes hat in der vorliegenden Form den Nachteil, dass auf die Primfaktorzerlegungzur¨uckgegriffen werden muss. Dies l¨asst sich durch Verwendung des sogenann-ten Jacobi-Symbols ( P | Q ) vermeiden, einer sinnvollen Erweiterung des Legendre-Symbols. Wir orientieren uns an [6, Band 46, § P , Q teilerfremd, Q = q q . . . q s > q j . Dann ist durch das Jacobi-Symbol ( P | Q ) = s ∏ j = ( P | q j ) eine Verallgemeinerung des Legendre-Symbols gege-ben, dass der Beziehung ( P | Q ) = ( P (cid:48) | Q ) f¨ur P ≡ P (cid:48) ( Q ) gen¨ugt. Nun lassen sich f¨urje zwei teilerfremde und ungerade nat¨urliche Zahlen P , Q sowohl das quadratische
06 7 Quadratische Reste
Reziprozit¨atsgesetz ( P | Q ) · ( Q | P ) = ( − ) P − Q − als auch die erg¨anzenden Beziehungen ( − | Q ) = ( − ) Q − , ( | Q ) = ( − ) Q − ohne gr¨oßere M¨uhe auf das Jacobi-Symbol ¨ubertragen. Damit l¨asst sich insbesonde-re das Legendre-Symbol, das Aufschluss ¨uber das quadratische Restverhalten einerZahl bzgl. eines Primzahlmoduls gibt, sehr effizient mit Hilfe eines dem Euklidi-schen Algorithmus ¨ahnendeln Verfahrens berechnen, siehe [6, Band 46, § Aufgabe 7.1: L¨osungen quadratischer Kongruenzen (a) Man bestimme die Anzahl der L¨osungen zur Kongruenz x ≡ ( ) .(b) F¨ur eine Primzahl p ≡ − ( ) sei a ∈ Z nicht durch p teilbar und quadrati-scher Rest mod p . Man zeige, dass dann x ≡ a ( p ) genau die folgenden beidenL¨osungen besitzt: x / ≡ ± a p + ( p ) . (c) Es sei p ≡ ( ) eine Primzahl. Man zeige: Es ist 2 quadratischer Nichtrestvon p , aber − x ≡ − ( p ) besitzt genau diebeiden L¨osungen x / ≡ ± p − ( p ) . (d) Man bestimme alle L¨osungen der Kongruenz x ≡ − ( ) . (e) Man bestimme jeweils alle Primzahlen p ≥
3, f¨ur die −
5, 5, − L¨osung: (a) x ≡ ( ) hat wegen 360 = · · ( , max ( , ) − ) · = · = p ≡ − ( ) sei ( a | p ) =
1. Nach dem Eulerschen Kriterium ist a p − ≡ ( p ) ,und somit gilt (cid:16) ± a p + (cid:17) ≡ a p + ≡ a · a p − ≡ a ( p ) . Es sind x , ≡ ± a p + ( p ) .2 Aufgaben 107 die einzigen L¨osungen von x ≡ a ( p ) , da p ≥ p ≡ ( ) eine Primzahl. Dann ist ( − ) p − =
1, und somit − p nach dem Eulerschen Kriterium. Nach Folgerung 7.8 (a) ist ( | p ) = − p − ≡ − ( p ) . Wir erhalten (cid:16) ± p − (cid:17) = p − ≡ − ( p ) , und da die Kongruenz x ≡ − ( p ) mod p nicht mehr als zwei L¨osungen be-sitzten kann, sind x , ≡ ± p − ( p ) alle L¨osungen von x ≡ − ( p ) .(d) Es ist 65 = ·
13 mit den beiden Primzahlen 5 und 13 ≡ ( ) . Nach (c) sind y = y = − y ≡ − ( ) sowie y = ≡ − ( ) und y = − ≡ ( ) L¨osungen von y ≡ − ( ) . Nach Satz 7.2 hat die quadratischeKongruenz x ≡ − ( ) genau vier L¨osungen x , x , x , x , die wir aus denfolgenden vier simultanen Kongruenzen erhalten:1) x ≡ ( ) , x ≡ ( ) liefert x ≡ − ( ) ,2) x ≡ ( ) , x ≡ − ( ) liefert x ≡ − ( ) ,3) x ≡ − ( ) , x ≡ ( ) liefert x ≡ ( ) ,4) x ≡ − ( ) , x ≡ − ( ) liefert x ≡ ( ) .(e) Nach dem Eulerschen Kriterium und dem quadratischen Reziprozit¨atsgesetzgilt f¨ur Primzahl p ≥ ( − | p ) = ( − ) p − · ( p | ) , und somit gilt ( − | p ) = p ≡ ( ) ∧ p ≡ ± ( ) oder aber p ≡ − ( ) ∧ p ≡ ± ( ) gilt, siehe Folgerung 7.5. Wir erhalten − p ≡ ( ) ∧ p ≡ ( ) , d.h. p ≡ ( ) , oder p ≡ ( ) ∧ p ≡ − ( ) , d.h. p ≡ ( ) , oder p ≡ − ( ) ∧ p ≡ ( ) , d.h. p ≡ ( ) , oder p ≡ − ( ) ∧ p ≡ − ( ) , d.h. p ≡ ( ) . Zusammengefasst gilt ( − | p ) = p ≡ , , , ( ) . Es ist ( | p ) = ( p | ) = ⇔ p ≡ ± ( ) ∧ p ≡ ( ) ⇔ p ≡ ± ( ) .
08 7 Quadratische Reste
F¨ur die Q-Reste ± ( ± | p ) = ( | p ) · ( ± | p ) , siehe Folgerung 7.5,also gilt ( ± | p ) = ( | p ) = ( − ) ( p − )( p + ) = ∧ ( ± | p ) = ( | p ) = ( − ) ( p − )( p + ) = − ∧ ( ± | p ) = − . Q-Rest −
6: Wir verwenden Folgerung 7.8 und Beispiel 7.11 (b).1) p ≡ ( ) ∧ p ≡ ( ) liefert p ≡ ( ) ,2) p ≡ − ( ) ∧ p ≡ ( ) liefert p ≡ ( ) ,3) p ≡ ( ) ∧ p ≡ − ( ) liefert p ≡ ( ) ,4) p ≡ − ( ) ∧ p ≡ − ( ) liefert p ≡ ( ) . Q-Rest
6: Wir verwenden Folgerung 7.8 und Beispiel 7.11 (a).1) p ≡ ( ) ∧ p ≡ ( ) liefert p ≡ ( ) ,2) p ≡ − ( ) ∧ p ≡ − ( ) liefert p ≡ − ( ) ,3) p ≡ ( ) ∧ p ≡ − ( ) liefert p ≡ − ( ) ,4) p ≡ − ( ) ∧ p ≡ ( ) liefert p ≡ ( ) . Zusammenfassung:
F¨ur jede Primzahl p ≥ ( − | p ) = ⇔ p ≡ , , , ( ) .(ii) ( | p ) = ⇔ p ≡ ± ( ) .(iii) ( − | p ) = ⇔ p ≡ , , , ( ) .(iv) ( | p ) = ⇔ p ≡ ± , ± ( ) .Zu jedem dieser vier F¨alle pr¨asentieren wir in den folgenden Tabellen jeweilsdie ersten zehn Primzahlen mit den entsprechenden L¨osungen der quadratischenKongruenzen: p ≡ , , , ( ) x von x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ − ( p ) mod 3 mod 7 mod 23 mod 29 mod 4143 47 61 67 83 x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± .2 Aufgaben 109 p ≡ ± ( )
11 19 29 31 41L¨osungen x von x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ( p ) mod 11 mod 19 mod 29 mod 31 mod 4159 61 71 79 89 x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± p ≡ , , , ( ) x von x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ − ( p ) mod 5 mod 7 mod 11 mod 29 mod 3153 59 73 79 83 x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± p ≡ ± , ± ( ) x von x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ( p ) mod 5 mod 19 mod 23 mod 29 mod 4347 53 67 71 73 x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± x ≡ ± Aufgabe 7.2: Quadratische Reste Fermatscher Primzahlen (a) F¨ur m ∈ N sei p = m + m eine Potenzvon 2 sein muss, d.h. es muss m = n f¨ur ein n ∈ N gelten.(b) Es sei p eine Primzahl der Gestalt p = m + m ∈ N und a eine nicht durch p teilbare ganze Zahl. Man zeige, dass a genau dann quadratischer Rest mod p ist, wenn a keine Primitivwurzel mod p ist. Bemerkung:
Die Primzahlen der Gestalt p = n + n ∈ N werden auch Fer-matsche Primzahlen genannt. Nach Gauß ist f¨ur diese Primzahlen p das regelm¨assi-ge p -Eck allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar. L¨osung: (a) Es sei p = m + m ∈ N Primzahl. Dann wird p auch Fermatsche Primzahlgenannt. Ist λ > k ∈ N beliebig, so ist2 λ k + = ( k + ) · λ − ∑ j = ( − ) j jk wegen 1 < k + < λ k + λ k +
1, so dass m f¨ur die Fermatsche Primzahl p eine Potenz von 2 sein muß, d.h. m = n f¨ur ein
10 7 Quadratische Reste n ∈ N .(b) Es sei p = m + a eine Primitivwurzel mod p .Wir haben ϕ ( p ) = p − = m , und die Kongruenz a p − ≡ ( p ) kann nichterf¨ullt sein. Nach Satz 7.4 ist a Q-Nichtrest mod p . Es gibt genau p − = m − Q-Nichtreste mod p , siehe Folgerung 7.5, und genau ϕ ( ϕ ( p )) = ϕ ( m ) = m − Primitivwurzeln mod p . Damit sind die Q-Nichtreste mod p genau die Primitiv-wurzeln mod p . Aufgabe 7.3: Anwendung des quadratischen Reziprozit¨atsgesetzes zur Berech-nung eines quadratischen Restsymboles
Man berechne ( − | ) . L¨osung:
Da das Legendre-Symbol ( ·| p ) f¨ur Primzahlen p ≥ − = ( − ) · · ( − | ) = ( − | ) · ( | ) · ( | ) . (7.15)Unter Beachtung von ( − | p ) = ( − ) p − (Folgerung 7.6) und ( | p ) = ( − ) ( p − ) (Folgerung 7.8) erhalten wir hier f¨ur p : = ( − | ) = , ( | ) = − . (7.16)Wir m¨ussen in (7.15) nur noch ( | ) berechnen:Nach dem Reziprozit¨atsgesetz ist ( q | p ) = ( p | q ) , wenn eine der beiden Primzahlen p (cid:54) = q modulo 4 den Divisionsrest 1 hat, und sonst ( q | p ) = − ( p | q ) . Hier ist p = ≡ ( ) , q =
3, also mit 101 ≡ − ( ) : ( | ) = ( | ) = ( − | ) = − . (7.17)Aus (7.15) bis (7.17) folgt ( − | ) = · ( − ) · ( − ) = + . Es ist − ektion 8 Quadratische Formen
In diesem Kapitel betrachten wir bin¨are quadratische Formen, wobei wir uns auf dieindefiniten Formen und deren Zusammenhang mit der Kettenbruchentwicklung re-ell quadratischer Irrationalzahlen konzentrieren. Dabei legen wir den Schwerpunktauf die Entwicklung eines effizienten Reduktionsverfahrens f¨ur indefinite quadra-tische Formen, das Hand in Hand mit der Kettenbruchentwicklung quadratischerIrrationalzahlen geht, die wir diesen Formen zuordnen. Ein wichtiges Nebenpro-dukt dieser Untersuchungen ist, dass genau die reell quadratischen Irrationalzah-len eine Kettenbruchentwicklung besitzen, die in eine Periode m¨undet. Auch gehenwir mit Hilfe des hier entwickelten Verfahrens erste Schritte zur Beantwortung derFrage, wie sich die ¨aquivalenten quadratischen Formen ineinander transformierenlassen. Weiterf¨uhrende Themen werden aufgrund ihres Umfangs, wenn ¨uberhaupt,nur angerissen. Als Begleitlekt¨ure f¨ur die tiefergehenden Studien zu quadratischenZahlk¨orpern empfehlen wir das Lehrb¨ucher von Niven und Zuckerman [6, Band 47, § F¨ur gegebene Koeffizienten a , b , c ∈ Z nennen wir D = b − ac (8.1)die Diskriminante einer nicht verschwindenden quadratischen Form F ( x , y ) = ax + bxy + cy . (8.2)Es bestehen die Darstellungen4 aF ( x , y ) = ( ax + by ) − Dy ,4 cF ( x , y ) = ( cy + bx ) − Dx . (cid:27) (8.3) Die quadratische Form F heißt definit, wenn D < a als auch c von Nullverschieden sind und zudem entweder beide positiv oder beide negativ sind.Ist bei D < a > c >
0, so nennen wir F positiv definit, weil dann nach (8.3)die Form F nur positive Werte annimmt, wenn man in (8.2) f¨ur x , y ∈ Z , abgese-hen von x = y =
0, beliebige Werte einsetzt. Entsprechend heißt F f¨ur D < a < c < D = f ≥ f ∈ N . Dann folgt aus der erstenGleichung von (8.3): aF ( x , y ) = (cid:18) ax + b − f y (cid:19) (cid:18) ax + b + f y (cid:19) (8.4)mit b ≡ f ( ) , so dass die Gr¨oßen b ± f a = F ( x , y ) = ( bx + cy ) · y . Nun setzen wir a (cid:54) = a = λ · λ (cid:48) mit den ganzzahligen Gr¨oßen λ = ggT (cid:18) a , b − f (cid:19) , λ (cid:48) = a λ . Die ganzen Zahlen a λ , b − f λ sind teilerfremd, und es gilt ac = b − f · b + f , a λ c (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) b − f λ · b + f , folglich auch λ (cid:48) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) b + f λ (cid:48) | a .Wir erhalten aus (8.4), dass auch im Fall a (cid:54) = F ( x , y ) = (cid:18) λ (cid:48) x + b − f λ y (cid:19) · (cid:18) λ x + b + f λ (cid:48) y (cid:19) in das Produkt zweier Linearformen mit ganzzahligen Koeffizienten zerf¨allt.Nun gelte umgekehrt F ( x , y ) = ( λ (cid:48) x + µ (cid:48) y ) ( λ x + µ y ) mit irgendwelchen Zahlen λ , λ (cid:48) , µ , µ (cid:48) ∈ Z . Dann errechnet man f¨ur diese Form die Diskriminante D = f mit f : = | λ (cid:48) µ − λ µ (cid:48) | ∈ N . Diesen Fall schließen wir im Folgenden aus.Jetzt muß noch f¨ur die allgemeine Form F in (8.2) der verbleibende Fall D = b − ac > D keine Quadratzahl ist. In diesemFalle nennen wir F eine indefinite Form . Dann ist a (cid:54) = c (cid:54) =
0. Bei indefinitenFormen werden wir im Folgenden stets stillschweigend voraussetzen, dass D keine .1 Quadratische Formen und reell quadratische Irrationalzahlen 113 Quadratzahl ist.Wir schicken eine Definition voraus, die f¨ur Formen mit beliebiger Diskriminantegilt:
Definition 8.1:
Die quadratische Form F in (8.2) heißt primitiv, wenn a , b , c teilerfremd sind, d.h.der gr¨oßte gemeinsame Teiler von a , b , c hat den Wert 1. (cid:3) Bemerkung : Die weiterreichende paarweise Teilerfremdheit von a , b , c wird in De-finition 8.1 nicht verlangt. Definition und Satz 8.2:
Der indefiniten quadratischen Form F ( x , y ) = ax + bxy + cy mit Diskriminante D = b − ac ordnen wir ihre reell quadratische Irrationalzahl X ( F ) : = √ D − b a zu.Ist dann F primitiv, so ist F durch X ( F ) eindeutig bestimmt. (cid:3) Beweis: Da D > X ( F ) eine reell quadratische Irratio-nalzahl. Wir setzen nun F als primitiv voraus, und betrachten eine weitere primitiveund indefinite Form F (cid:48) ( x , y ) = a (cid:48) x + b (cid:48) xy + c (cid:48) y mit Diskriminante D (cid:48) > D (cid:48) ebenfalls keine Quadratzahl, so dass X ( F ) = X ( F (cid:48) ) gilt. Wir erhalten √ D (cid:48) − b (cid:48) a (cid:48) = √ D − b a (8.5)bzw. a (cid:48) b − ab (cid:48) = a (cid:48) √ D − a √ D (cid:48) , und hieraus durch Quadrieren: ( a (cid:48) b − ab (cid:48) ) = a (cid:48) D + a D (cid:48) − aa (cid:48) √ DD (cid:48) sowie √ DD (cid:48) = aa (cid:48) (cid:2) a (cid:48) D + a D (cid:48) − ( a (cid:48) b − ab (cid:48) ) (cid:3) . Somit gibt es ein rationales q > √ D (cid:48) = q √ D , und es folgt aus (8.5): b (cid:48) a (cid:48) − ba = (cid:18) qa (cid:48) − a (cid:19) √ D . Aus 2 ab − √ D = √ D + b c = a (cid:48) b (cid:48) − √ D (cid:48) = √ D (cid:48) + b (cid:48) c (cid:48) folgt aber auch b (cid:48) c (cid:48) − bc = (cid:18) c − qc (cid:48) (cid:19) √ D ,
14 8 Quadratische Formen und da √ D irrational ist: b (cid:48) a (cid:48) = ba , (8.6) b (cid:48) c (cid:48) = bc , (8.7) q = a (cid:48) a = c (cid:48) c , a (cid:48) c (cid:48) = ac . (8.8)Wir erinnern an q > q = αα (cid:48) mit teilerfremden Zahlen α , α (cid:48) ∈ N .Wir erhalten aus (8.6), (8.7), (8.8): a (cid:48) = qa , b (cid:48) = qb , c (cid:48) = qc , und schließlich α = α · ggT ( a , b , c ) = α (cid:48) · ggT ( a (cid:48) , b (cid:48) , c (cid:48) ) = α (cid:48) , da F und F (cid:48) primitivsind. Somit ist α = α (cid:48) = q = F = F (cid:48) . (cid:4) Definition und Satz 8.3: Transformation der Formen
Gegeben sind eine Matrix A = (cid:18) α βγ δ (cid:19) ∈ GL ( , Z ) , also α , β , γ , δ ∈ Z und αδ − β γ = ±
1, sowie f¨ur a , b , c ∈ Z eine quadratische Form F ( x , y ) = ax + bxy + cy mit nichtquadratischer Diskriminante. Hiermit definieren wir die transformierteForm F A gem¨aß F A ( x , y ) = F ( α x + β y , γ x + δ y ) , also F A = F (cid:48) mit F (cid:48) ( x , y ) = a (cid:48) x + b (cid:48) xy + c (cid:48) y und a (cid:48) = a α + b αγ + c γ = F ( α , γ ) , b (cid:48) = a αβ + b ( αδ + β γ ) + c γδ , c (cid:48) = a β + b β δ + c δ = F ( β , δ ) . Dann haben F und F A dieselbe Diskriminante, und es giltggT ( a , b , c ) = ggT ( a (cid:48) , b (cid:48) , c (cid:48) ) . (cid:3) Beweis:
Es gilt die Darstellung2 F ( x , y ) = (cid:18) xy (cid:19) T (cid:18) a bb c (cid:19) (cid:18) xy (cid:19) , wobei die der Form F zugeordnete Matrix (cid:18) a bb c (cid:19) symmetrisch ist, und .1 Quadratische Formen und reell quadratische Irrationalzahlen 115 D = − Det (cid:18) a bb c (cid:19) = b − ac die Diskriminante von F ist. Nun gilt entsprechend2 F A ( x , y ) = (cid:18) A (cid:18) xy (cid:19)(cid:19) T (cid:18) a bb c (cid:19) A (cid:18) xy (cid:19) = (cid:18) xy (cid:19) T A T (cid:18) a bb c (cid:19) A (cid:18) xy (cid:19) , (8.9)d. h. der Form F A ist die symmetrische Matrix A T (cid:18) a bb c (cid:19) A zugeordnet.Wir bezeichnen die Diskriminante von F (cid:48) mit D (cid:48) , und erhalten D (cid:48) = − Det (cid:18) A T (cid:18) a bb c (cid:19) A (cid:19) = − ( ± ) Det (cid:18) a bb c (cid:19) = b − ac = D . Die Berechnung der Matrix-Eintr¨age von A T (cid:18) a bb c (cid:19) A liefert ferner die angege-benen Formeln f¨ur a (cid:48) , b (cid:48) , c (cid:48) , aus denen sofort ggT ( a , b , c ) | ggT ( a (cid:48) , b (cid:48) , c (cid:48) ) folgt. Aus F = F (cid:48) A − mit A − ∈ GL ( , Z ) folgt umgekehrt ggT ( a (cid:48) , b (cid:48) , c (cid:48) ) | ggT ( a , b , c ) , und wirerhalten ggT ( a , b , c ) = ggT ( a (cid:48) , b (cid:48) , c (cid:48) ) . (cid:4) Ist F ( x , y ) = ax + bxy + cy mit a , b , c ∈ Z eine quadratische Form, dann gilt (cid:0) F A (cid:1) B = F A · B ∀ A , B ∈ GL ( , Z ) , (8.10)denn gem¨aß (8.9) ist den beiden Formen (cid:0) F A (cid:1) B , F A · B die Matrix M = ( AB ) T (cid:18) a bb c (cid:19) AB mit 2 (cid:0) F A (cid:1) B ( x , y ) = F A · B ( x , y ) = (cid:18) xy (cid:19) T M (cid:18) xy (cid:19) zugeordnet. Wir erinnern an SL ( , Z ) = (cid:26)(cid:18) α βγ δ (cid:19) : α , β , γ , δ ∈ Z , αδ − β γ = (cid:27) . Man schreibt F ∼ G f¨ur zwei quadratische Formen F und G , wenn es sogar ein A ∈ SL ( , Z ) gibt mit G = F A . F¨ur eine sogenannte uneigentliche Transformation
16 8 Quadratische Formen T ∈ GL ( , Z ) mit Det T = − F ∼ F T i.A. verletzt.Aus (8.10) folgt nun, dass durch ∼ eine ¨Aquivalenzrelation auf der Menge allernicht verschwindenden quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffizienten defi-niert ist. Bezeichnen wir die ¨Aquivalenzklasse, der F angeh¨ort, mit [ F ] , dann habennach Satz 8.3 alle Formen G ( x , y ) = a (cid:48) x + b (cid:48) xy + c (cid:48) y aus [ F ] dieselbe Diskriminan-te D = b − ac , und es gilt ggT ( a (cid:48) , b (cid:48) , c (cid:48) ) = ggT ( a , b , c ) .Ist insbesondere F primitiv, so auch jede weitere Form aus [ F ] , so dass wir auch dieFormenklasse [ F ] primitiv nennen d¨urfen. Definition und Satz 8.4: Automorphe Transformationen, Pellsche Gleichung
Gegeben sind eine Matrix A = (cid:18) α βγ δ (cid:19) ∈ SL ( , Z ) , also α , β , γ , δ ∈ Z und αδ − β γ =
1, sowie f¨ur a , b , c ∈ Z eine quadratische Form F ( x , y ) = ax + bxy + cy mit nichtquadratischer Diskriminante D = b − ac . Wir nennen A eine automorpheTransformation von F , wenn F A = F gilt. Die Hauptform H D zur Diskriminante D definieren wir folgendermassen: F¨ur D = m ≡ ( ) setzen wir H D ( x , y ) = x − my ,bzw. f¨ur D = m + ≡ ( ) sei H D ( x , y ) = x + xy − my . Ist dann F primitiv, sogelten f¨ur jede Matrix A ∈ Z × die folgenden Aussagen:(a)Im Falle D = m ≡ ( ) ist A genau dann automorphe Transformation f¨ur F ,wenn sich A mit einer ganzzahligen L¨osung x , y ∈ Z der Gleichung H D ( x , y ) = A = (cid:18) x − b y − cy ay x + b y (cid:19) . (b)Im Falle D = m + ≡ ( ) ist A genau dann automorphe Transformationf¨ur F , wenn sich A mit einer ganzzahligen L¨osung x , y ∈ Z der Gleichung H D ( x , y ) = A = (cid:18) x − b − y − cy ay x + b + y (cid:19) . (c)Sowohl f¨ur D = m ≡ ( ) als auch f¨ur D = m + ≡ ( ) ist A genau dannautomorphe Transformation f¨ur F , wenn sich A mit einer ganzzahligen L¨osung t , u ∈ Z der Pellschen Gleichung t − Du = A = (cid:18) ( t − bu ) − cuau ( t + bu ) (cid:19) . (cid:3) .1 Quadratische Formen und reell quadratische Irrationalzahlen 117 Beweis:
F¨ur eine automorphe Transformation A von F gilt nach Definition und Satz8.3: (cid:18) α γβ δ (cid:19) (cid:18) a bb c (cid:19) (cid:18) α βγ δ (cid:19) = (cid:18) a bb c (cid:19) . Hieraus folgt durch Multiplikation mit der inversen Matrix auf der linken Seite (cid:18) a bb c (cid:19) (cid:18) α βγ δ (cid:19) = (cid:18) δ − γ − β α (cid:19) (cid:18) a bb c (cid:19) , und hieraus durch Vergleich der Koeffizienten der letzten beiden Produktmatrizen: a ( δ − α ) = b γ , a β + c γ = , c ( δ − α ) = − b β . (8.11)Diese drei Gleichungen sind also notwendig und hinreichend daf¨ur, dass A auto-morphe Transformation von F ist, allerdings unter der Annahme A ∈ SL ( , Z ) . Ausden ersten beiden Gleichungen folgt a | b γ und a | c γ . Da F primitiv ist, sind a undggT ( b , c ) teilerfremd, und a muss bereits ein Teiler von γ sein. Wir erhalten dahermit (8.11) eine ganze Zahl y mit γ = ay , β = − cy , δ − α = by . (8.12)Wir unterscheiden nun zwei F¨alle.A) Es sei D = m ≡ ( ) . Dann ist b gerade. Zun¨achst nehmen wir an, dass A automorphe Transformation ist. Da F primitiv ist, k¨onnen nicht auch noch a und c gerade sein, und aus (8.11) folgt δ ≡ α ( ) . Wir definieren damit die ganze Zahl x = ( α + δ ) , und erhalten aus (8.12) die gew¨unschte Darstellung von A der Teilaussage(a) des Satzes. Die Darstellung von A in (c) folgt dann f¨ur t = x und u = y ,wobei αδ − β γ = H D ( x , y ) = t − Du = H D ( x , y ) = x , y . F¨ur t = x und u = y gilt dann auch die Pellsche Gleichung, und wir erhalten aus (8.11), dass A = (cid:18) x − b y − cy ay x + b y (cid:19) = (cid:18) ( t − bu ) − cuau ( t + bu ) (cid:19) automorphe Transformation von F ist.B) Nun sei D = m + ≡ ( ) . Dann ist b ungerade. Wir nehmen an, dass A auto-morphe Transformation ist. Dann definieren wir die ganze Zahl x = α + b − y , und erhalten aus (8.12) die gew¨unschte Darstellung von A . Da A Determinante 1besitzt, ist zudem die Gleichung H D ( x , y ) = t = x + y , u = y , und erhalten aus der ersten Gleichung von (8.3), dort mit H D anstelle von F ,dass t , u ∈ Z L¨osungen der Pellschen Gleichung
18 8 Quadratische Formen H D ( x , y ) = t − Du = A in (c) erf¨ullen.Abschliessend nehmen wir H D ( x , y ) = x , y an. F¨ur t = x + y und u = y gilt dann auch die Pellsche Gleichung, und wir erhalten aus(8.11), dass A = (cid:18) x − b − y − cy ay x + b + y (cid:19) = (cid:18) ( t − bu ) − cuau ( t + bu ) (cid:19) automorphe Transformation von F ist. Damit ist der Satz bewiesen. (cid:4) Die Gleichung x − my = Satz 8.5: Automorphismen positiv definiter Formen
Gegeben sei f¨ur a , b , c ∈ Z eine primitve quadratische Form F ( x , y ) = ax + bxy + cy mit negativer Diskriminante D = b − ac <
0. Dann gelten die folgenden Aussagen:(a)Im Falle D = − F gege-ben durch die Matrizen A = ± (cid:18) (cid:19) , A = ± (cid:18) − b − ca + b (cid:19) , A = ± (cid:18) + b c − a − b (cid:19) . (b)Im Falle D = − F gege-ben durch die Matrizen A = ± (cid:18) (cid:19) , A = ± (cid:18) − b − ca b (cid:19) . (c)F¨ur D < − F nur die beiden trivialen Automorphismen zu A = ± (cid:18) (cid:19) . (cid:3) .1 Quadratische Formen und reell quadratische Irrationalzahlen 119 Beweis:
Dies folgt mit den L¨osungen der Pellschen Gleichung t − Du = D = − | t | = u = | t | = | u | = D = − | t | = u = t = | u | = D < − | t | = u = (cid:4) Ist F ( x , y ) = ax + bxy + cy eine quadratische Form, so schreiben wir auch k¨urzer F = ( a , b , c ) . F¨ur den Rest dieses Abschnitts betrachten wir nur noch indefini-te Formen F = ( a , b , c ) , die nach Satz 8.2 zu den quadratischen Irrationalzahlen X ( F ) = √ D − b a mit D = b − ac in enger Beziehung stehen. F¨ur diese Formenwerden wir u.a. zeigen, dass sie im Gegensatz zu den positiv definiten Formen ¨uberunendlich viele Automorphismen verf¨ugen.F¨ur − F = ( − a , − b , − c ) erhalten wir die zu X ( F ) quadratisch konjugierte Zahl X ( − F ) = −√ D − b a . Wir nennen daher sowohl die Formen F und − F als auchdie Formenklassen [ F ] und [ − F ] zueinander konjugiert.Wir definieren noch mit der Spiegelung S : = (cid:18) − (cid:19) die zur Form F = ( a , b , c ) uneigentlich konjugierte Form F − : = − F S , d.h. F − = ( a , b , c ) − = ( − a , b , − c ) , (8.13)sowie die zur Formenklasse [ F ] uneigentlich konjugierte Klasse [ F ] − : = [ F − ] . (8.14)Genau wie die zu F ¨aquivalenten Formen besitzt jede Form G = ( a (cid:48) , b (cid:48) , c (cid:48) ) ∈ [ F ] − nach Satz 8.3 dieselbe Diskriminante wie F , und es giltggT ( a (cid:48) , b (cid:48) , c (cid:48) ) = ggT ( a , b , c ) . Satz 8.6:
Es sei F = ( a , b , c ) eine indefinite Form.(a) Genau dann ist G ∈ [ F ] − , wenn es eine uneigentliche Transformation T ∈ GL ( , Z ) gibt, also Det T = −
1, mit G = − F T .(b) ( F − ) − = F und ([ F ] − ) − = [ F ] .(c) Speziell f¨ur G : = ( − c , − b , − a ) gilt X ( G ) = X ( F ) sowie G ∈ [ F ] − . (cid:3) Beweis:
20 8 Quadratische Formen (a) G ∈ [ F ] − ⇔ G ∼ F − = − F S ⇔ G = − F SA f¨ur ein A ∈ SL ( , Z ) . Die Transfor-mation T = SA ist uneigentlich, und umgekehrt l¨aßt sich jedes uneigentliche T mit A = ST ∈ SL ( , Z ) in der Form T = SA schreiben.(b) ist trivial, und f¨ur (c) beachten wir X ( F ) = √ D − b a f¨ur D = b − ac sowie1 X ( F ) = a √ D + bD − b = √ D + b − c = X ( G ) f¨ur G = ( − c , − b , − a ) = − ( a , b , c ) C = − F C mit C : = (cid:18) (cid:19) und Det C = −
1. Gem¨aß der Teilaussage (a) folgt G ∈ [ F ] − . (cid:4) Definition 8.7:
Zwei Irrationalzahlen x , x (cid:48) heißen strikt ¨aquivalent, wenn es eine Matrix (cid:18) α βγ δ (cid:19) ∈ SL ( , Z ) mit x = α x (cid:48) + βγ x (cid:48) + δ gibt. (cid:3) Bemerkung : Man best¨atigt m¨uhelos, dass hierdurch eine ¨Aquivalenzrelation auf derMenge aller Irrationalzahlen gegeben ist.
Satz 8.8:
Es sei F = ( a , b , c ) eine indefinite Form und x : = X ( F ) = √ D − b a . Genau dannsind x und x (cid:48) strikt ¨aquivalent gem¨aß x = α x (cid:48) + βγ x (cid:48) + δ mit A = (cid:18) α βγ δ (cid:19) ∈ SL ( , Z ) ,wenn x (cid:48) = X ( F A ) gilt. (cid:3) Bemerkung : Ist zudem F primitiv, dann auch F A nach Satz 6.3. Dann entsprechengem¨aß Satz 8.2 und Satz 8.8 strikt ¨aquivalenten quadratischen Irrationalzahlen x , x (cid:48) genau ¨aquivalente, primitive und indefinite Formen F , F (cid:48) . Beweis:
Es ist x = √ D − b a = α x (cid:48) + βγ x (cid:48) + δ ¨aquivalent zu x (cid:48) = δ x − βα − γ x = δ √ D − ( δ b + a β ) − γ √ D + ( γ b + a α ) unter Beachtung von αδ − β γ =
1. Um von dem letzten Bruch den Nenner ganz-zahlig zu machen, erweitern wir ihn mit γ √ D + ( γ b + a α ) , wobei noch [ δ √ D − ( δ b + a β )][ γ √ D +( γ b + a α )] = a [ √ D − ( a αβ + b ( αδ + β γ )+ c γδ )] sowie .1 Quadratische Formen und reell quadratische Irrationalzahlen 121 ( γ b + a α ) − γ ( b − ac ) = a ( a α + b αγ + c γ ) zu beachten ist. Aus Satz 8.3 folgt nun mit x = X ( F ) die behauptete ¨Aquivalenzwegen x (cid:48) = √ D − ( a αβ + b ( αδ + β γ ) + c γδ ) ( a α + b αγ + c γ ) = X ( F (cid:48) ) f¨ur die transformierte Form F (cid:48) = F (cid:18) α βγ δ (cid:19) . (cid:4) Beispiel 8.9:
Die indefinite Form F = ( − , − , − ) und ihre Transformierte F (cid:48) = F (cid:16) − −
31 2 (cid:17) = ( , , − ) haben die Diskriminante D =
365 mit x (cid:48) = X ( F (cid:48) ) = √ − x = − x (cid:48) − x (cid:48) + = − √ − + √ − + = √ − ( − )( − ) = X ( F ) . (cid:3) Satz 8.10:
Ist x = X ( F ) eine quadratische Irrationalzahl mit der indefiniten quadratischen Form F = ( a , b , c ) und q ∈ Z , so ist X ( F (cid:48) ) = x − q f¨ur F (cid:48) = F (cid:16) q (cid:17) = ( a , b + aq , aq + bq + c ) . (cid:3) Beweis:
Wir setzen α = δ = γ = β = q in Satz 8.8 und beachten die Trans-formationsformeln f¨ur F (cid:48) aus Satz 8.3. (cid:4) Formen F und F (cid:48) wie in Satz 8.10 werden auch parallel genannt, wenn sie sichdurch eine Transformation T = (cid:18) q (cid:19) ineinander ¨uberf¨uhren lassen.Im Hinblick auf Satz 8.8 k¨onnte man geneigt sein, strikt ¨aquivalente Irrationalzahlen x = α x (cid:48) + βγ x (cid:48) + δ und x (cid:48) (8.15)einfach nur als ¨aquivalent zu bezeichnen.
22 8 Quadratische Formen
Doch w¨urde dies die in der Theorie der Kettenbr¨uche ¨ubliche Konvention verletzen,nach der die Irrationalzahlen x , x (cid:48) bereits f¨ur eine Transformation T = (cid:18) α βγ δ (cid:19) ∈ GL ( , Z ) als ¨aquivalent bezeichnet werden.Nach einem wohlbekannten Resultat aus der Lehre der Kettenbr¨uche, das man et-wa in dem Lehrbuch von G.H. Hardy und E.M. Wright “An introduction to thetheory of numbers”, [3, Theorem 175], findet, sind zwei Irrationalzahlen x , x (cid:48) (nichtnotwendigerweise quadratisch) genau dann ¨aquivalent, wenn sich ihre beiden Ket-tenbruchentwicklungen nur um jeweils endlich viele Anfangsglieder unterscheiden.Wir betrachten daher noch als Erg¨anzung zum Satz 8.8 in (8.15) zwei quadratischeIrrationalzahlen x = X ( F ) , x (cid:48) = X ( F (cid:48) ) , die durch eine Transformation T = (cid:18) α βγ δ (cid:19) mit Det T = − F , F (cid:48) d¨urfen wir hierbeials primitiv voraussetzen, so dass sie sich aus x , x (cid:48) eindeutig ergeben.Dann sind die beiden Irrationalzahlen x = x (cid:48) β + α x (cid:48) δ + γ und 1 x (cid:48) (8.16)verm¨oge der Transformation (cid:18) β αδ γ (cid:19) ∈ SL ( , Z ) wieder strikt ¨aquivalent, und nachSatz 8.8 sowie Satz 8.6 (c) geh¨oren die Formen F , F (cid:48) zu uneigentlich konjugiertenFormenklassen, denn es gilt F (cid:48) = − F (cid:18) α βγ δ (cid:19) , [ F (cid:48) ] = [ F ] − (8.17)wegen Det (cid:18) α βγ δ (cid:19) = − Satz 8.11:
Es sei G = ( a , b , c ) eine indefinite Form mit Diskriminante D = b − ac und f : = (cid:98)√ D (cid:99) . Hierf¨ur definieren wir die K-Nachfolgeform G (cid:48) zu G gem¨aß G (cid:48) = ( a (cid:48) , b (cid:48) , c (cid:48) ) .2 Kettenbruchentwicklung reell quadratischer Irrationalzahlen 123 mit a (cid:48) = − c , b (cid:48) = − cq − b , c (cid:48) = q ( − cq − b ) − a und q : = (cid:22) X ( G ) (cid:23) = (cid:22) f + b − c (cid:23) , c < (cid:22) − f + b + c (cid:23) , c > X ( G (cid:48) ) = X ( G ) − (cid:22) X ( G ) (cid:23) ∈ ( , ) mit G (cid:48) = − G (cid:16) q (cid:17) und [ G (cid:48) ] = [ G ] − . (cid:3) Beweis:
Die Transformationsformel G (cid:48) = − G (cid:16) q (cid:17) folgt sofort aus Satz 8.3, alsoist [ G (cid:48) ] = [ G ] − nach Satz 8.6 (a). Aus der Darstellung G (cid:48) = ( − c , − b , − a ) (cid:16) q (cid:17) und den S¨atzen Satz 8.6 (c) sowie Satz 8.10 folgt nun auch die Beziehung X ( G (cid:48) ) = X ( G ) − (cid:22) X ( G ) (cid:23) ∈ ( , ) . Um die Darstellung f¨ur q = (cid:22) X ( G ) (cid:23) zu beweisen, verwenden wir die Beziehung (cid:22) ξ n (cid:23) = (cid:22) (cid:98) ξ (cid:99) n (cid:23) , die f¨ur alle ξ ∈ R , n ∈ N gilt. Unter Beachtung der Fallunterschei-dung f¨ur c < c > X ( G ) = √ D + b − c . (cid:4) Nun setzen wir 0 < X ( G ) < G kann dann als Anwendung eines Kettenbruchschrittes auf die quadratische Ir-rationalzahl 1 X ( G ) > X ( G (cid:48) ) = X ( G ) − (cid:106) X ( G ) (cid:107) > . Das Pr¨afix “K” steht hierbei f¨ur “Kettenbruch”.
24 8 Quadratische Formen
Definition 8.12:
Die indefinite Form G = ( a , b , c ) heißt K-reduziert, wenn f¨ur D = b − ac , f = (cid:98)√ D (cid:99) folgendes gilt: a > b > f − min ( a , | c | ) < b ≤ f . Sie heißt re-duziert, wenn G oder G − K-reduziert ist. (cid:3)
Bemerkung 8.13:
Die gegen¨uber der K-Reduziertheit schw¨achere Reduziertheit der indefiniten Form G = ( a , b , c ) l¨aßt sich wie folgt charakterisieren: b > , f − min ( | a | , | c | ) < b ≤ f . (cid:3) Satz 8.14:
Es sei G = ( a , b , c ) eine indefinite Form, und damit insbesondere ihre Diskriminante D = b − ac keine Quadratzahl. Wir setzen f : = (cid:98)√ D (cid:99) .(a) Die folgenden drei Aussagen sind ¨aquivalent:(i) G ist K-reduziert,(ii) a > c < | a + c | < b ,(iii) a > b > c < a − c ≤ f .(b) Die folgenden drei Aussagen sind ¨aquivalent:(i) G ist reduziert,(ii) ac < | a + c | < b ,(iii) b > ac < | a | + | c | ≤ f . (cid:3) Beweis:
Wir k¨onnen generell b ∈ N voraussetzen. Wir erinnern auch daran, dass D = b − ac > f : = (cid:98)√ D (cid:99) gilt: f < √ D < f + , a · c (cid:54) = . (8.18)Die Bedingung ac < D = b − ac zu D > b und wegen (8.18) zu b ≤ f ¨aquivalent. Wir d¨urfen daher zur Charakterisierung der K-Reduziertheit derindefiniten Form G = ( a , b , c ) schon vorab a > , b > , c < b ≤ f . (8.20)Mit (8.18), (8.19) erh¨alt man die beiden ¨Aquivalenzumformungen .2 Kettenbruchentwicklung reell quadratischer Irrationalzahlen 125 f − a < b ⇔ √ D < b + a ⇔ b − ac < b + ab + a ⇔ − ( a + c ) < b sowie f + c < b ⇔ √ D < b − c ⇔ b − ac < b − bc + c ⇔ bc < ( a + c ) c ⇔ a + c < b . Wir erhalten aus (8.18), (8.19) die ¨Aquivalenz f − min ( a , | c | ) < b ⇔ | a + c | < b . (8.21)Wiederum mit (8.18), (8.19) k¨onnen wir die letzte Ungleichung in (8.21) wie folgtumformulieren: | a + c | < b ⇔ a + ac + c < b ⇔ a − ac + c < D ⇔ ( a − c ) < D ⇔ a − c ≤ f . Das entsprechende Kriterium f´ur Reduziertheit ergibt sich sofort aus dem f¨ur K-Reduziertheit. (cid:4)
Bemerkung 8.15:
Die Charakterisierung der Reduziertheit von G in Satz 8.14 (b) erfordert in (ii)und (iii) die Bedingung a · c <
0, wie das Beispiel der nicht reduzierten Form G = ( , , ) mit D = f = (cid:3) Satz 8.16:
F¨ur die indefinite Form G = ( a , b , c ) sei 0 < X ( G ) <
1. Mit D = b − ac und f = (cid:98)√ D (cid:99) gelte | b | ≤ f . Es sei G (cid:48) die K-Nachfolgeform zu G . Dann ist G (cid:48) eineK-reduzierte Form. (cid:3) Beweis:
Nach Voraussetzung ist0 < √ D − b a < , (8.22) | b | < √ D . (8.23)Aus (8.22) folgt 2 a √ D − b = a ( √ D + b ) − ac = √ D + b − c > √ D ± b >
0. Somit ist a (cid:48) = − c > , a > . (8.24)Nach Satz 8.11 ist
26 8 Quadratische Formen < X ( G (cid:48) ) = √ D − b (cid:48) a (cid:48) < , und unter Beachtung von a (cid:48) > b (cid:48) < √ D < a (cid:48) + b (cid:48) . (8.25)Nun ist b (cid:48) = a (cid:48) q − b ≥ a (cid:48) − b > a (cid:48) − √ D mit der nat¨urlichen Zahl q = (cid:22) X ( G ) (cid:23) .Zusammen mit der rechten Ungleichung in (8.25) folgt2 a (cid:48) − b (cid:48) < √ D < a (cid:48) + b (cid:48) . (8.26)Dies ist nur f¨ur b (cid:48) > < b (cid:48) < √ D . (8.27)Die rechte Ungleichung von (8.26) schreiben wir in der Form √ D − a (cid:48) < b (cid:48) , (8.28)und aus der linken folgern wir noch √ D + b (cid:48) a (cid:48) = − c (cid:48) √ D − b (cid:48) >
1. Zusammen mit (8.27)haben wir nun c (cid:48) < , √ D + c (cid:48) < b (cid:48) . (8.29)Schließlich beachten wir f < √ D < f + f , und erhalten: a (cid:48) > , < b (cid:48) ≤ f aus (8.27)sowie f − min ( a (cid:48) , | c (cid:48) | ) < b (cid:48) aus (8.28) und (8.29) . Somit ist G (cid:48) = ( a (cid:48) , b (cid:48) , c (cid:48) ) eine K-reduzierte Form. (cid:4) Satz 8.17:
Es seien G , ˜ G , G (cid:48) indefinite und K-reduzierte Formen und G (cid:48) die K-Nachfolgeformsowohl von G als auch von ˜ G . Dann ist G = ˜ G . (cid:3) Beweis:
Wir setzen G = ( a , b , c ) , ˜ G = ( ˜ a , ˜ b , ˜ c ) , G (cid:48) = ( a (cid:48) , b (cid:48) , c (cid:48) ) . Dann gilt a (cid:48) = − c = − ˜ c und insbesondere c = ˜ c . Folglich gelten die Kongruenzen b (cid:48) ≡ − b ( c ) , b (cid:48) ≡ − ˜ b ( c ) , .2 Kettenbruchentwicklung reell quadratischer Irrationalzahlen 127 und somit ist b ≡ ˜ b ( c ) . Wir m¨ussen nur noch b ≡ ˜ b zeigen, da mit c = ˜ c und derGleichheit der Diskriminanten von G und ˜ G mit der von G (cid:48) auch a = ˜ a folgt.Nun gilt wegen der K-Reduziertheit von G und ˜ G : f + c < b ≤ f und f + c < ˜ b ≤ f . Da die Zahlen k ∈ Z mit f + c < k ≤ f ein vollst¨andiges Restsystem mod 2 c bilden,folgt aus b ≡ ˜ b ( c ) in der Tat b = ˜ b . (cid:4) Satz 8.18:
Es sei G = ( a , b , c ) eine indefinite Form mit Diskriminante D = b − ac und f = (cid:98)√ D (cid:99) . Es sei 0 < X ( G ) < | b | > f . F¨ur die K-Nachfolgeform G (cid:48) = ( a (cid:48) , b (cid:48) , c (cid:48) ) von G sei | b (cid:48) | > f . Dann gilt a · c > a (cid:48) · c (cid:48) > | a (cid:48) + c (cid:48) | < | a + c | . (cid:3) Beweis:
F¨ur q : = (cid:22) X ( G ) (cid:23) ∈ N folgt G = − G (cid:48) (cid:16) − q
11 0 (cid:17) aus Satz 8.11, und hieraus c = − a (cid:48) , a = − ( a (cid:48) q − b (cid:48) q + c (cid:48) ) bzw. a + c = − ( a (cid:48) + c (cid:48) ) − ( a (cid:48) q − b (cid:48) q ) . (8.30)Aus | b | > f folgt | b | ≥ f + > √ D , und somit b > b − ac , d.h. a · c > | b | > √ D , a · c > . (8.31)Entsprechend folgt aus | b (cid:48) | > f : | b (cid:48) | > √ D , a (cid:48) · c (cid:48) > . (8.32) Fall 1: a (cid:48) <
0, und somit auch c (cid:48) < < X ( G (cid:48) ) < X ( G (cid:48) ) = a (cid:48) √ D − b (cid:48) = | a (cid:48) | b (cid:48) − √ D = √ D + b (cid:48) − c (cid:48) > . Wir erhalten b (cid:48) > √ D , √ D + b (cid:48) > − c (cid:48) , und hieraus 2 b (cid:48) > b (cid:48) + √ D > − c (cid:48) , also b (cid:48) > − c (cid:48) > . (8.33)
28 8 Quadratische Formen
Aus a (cid:48) = − c < c > a > | a + c | = a + c ≥ − ( a (cid:48) + c (cid:48) ) − a (cid:48) + b (cid:48) > − ( a (cid:48) + c (cid:48) ) − a (cid:48) − c (cid:48) = | a (cid:48) + c (cid:48) | . Fall 2: a (cid:48) >
0, und somit auch c (cid:48) > < X ( G (cid:48) ) < X ( G (cid:48) ) = a (cid:48) √ D − b (cid:48) = − (cid:0) √ D + b (cid:48) (cid:1) c (cid:48) > . Wir erhalten hier − (cid:0) √ D + b (cid:48) (cid:1) > c (cid:48) sowie − b (cid:48) > √ D + c (cid:48) > c (cid:48) > . (8.34)Aus a (cid:48) = − c > c < a < | a + c | = − ( a + c ) = a (cid:48) + c (cid:48) + a (cid:48) q − b (cid:48) q ≥ a (cid:48) + c (cid:48) + a (cid:48) − b (cid:48) > a (cid:48) + c (cid:48) + a (cid:48) + c (cid:48) = | a (cid:48) + c (cid:48) | . (cid:3) Die Form F = ( a , b , c ) sei indefinit, und D = b − ac > x : = X ( F ) = √ D − b a (8.35)Irrationalzahl. Zu F definieren wir mit q : = (cid:98) X ( F ) (cid:99) die Parallelform G = F (cid:16) q (cid:17) = ( a , b + aq , c + q ( b + aq )) . (8.36)Beginnend mit j = G j = ( a j , b j , c j ) dieK-Nachfolgeform G j + = ( a j + , b j + , c j + ) und setzen x j : = X ( G j ) , q j : = (cid:98) x j (cid:99) f¨ur j ∈ N . (8.37)Die S¨atze 8.10 und 8.11 liefern dann x j + = x j − q j ∀ j ∈ N , (8.38)und nach dem erweiterten Euklidischen Algorithmus ist .3 Reduktion indefiniter quadratischer Formen 129 x j = (cid:104) q j , q j + , q j + , ... (cid:105) ∀ j ∈ N . (8.39)Mit diesen Notationen und Bezeichnungsweisen gilt nun der Satz 8.19:
Die Folge ( G j ) j ∈ N der indefiniten Formen G j m¨undet in eine Periode, die auslauter K-reduzierten Formen besteht. Die Periode beginnt stets mit der erstenK-reduzierten Form, die in der Folge ( G j ) j ∈ N auftritt. (cid:3) Beweis:
F¨ur die Form G in (8.36) gilt0 < X ( G ) = X ( F ) − (cid:98) X ( F ) (cid:99) < G j + f¨ur alle j ∈ N die K-Nachfolgeform von G j ist, folgt mit Satz 8.11:0 < X ( G j ) < ∀ j ∈ N . (8.40)Alle Formen G j = ( a j , b j , c j ) besitzen dieselbe Diskriminante D = b j − a j c j ,und wir setzen wieder f : = (cid:98)√ D (cid:99) . Nun kann wegen (8.40) und Satz 8.18 nicht | b j | > f f¨ur alle j ∈ N gelten. Folglich gibt es einen Index j ∈ N mit | b j | ≤ f , undnach (8.40) sowie nach Satz 8.16 sind alle auf G j folgende Formen K-reduziert.Zur festen Diskriminante D gibt es aber nach Satz 8.14 (a) nur endlich vieleK-reduzierte Formen, so dass die Folge ( G j ) j ∈ N in eine Periode m¨undet, dieaus lauter K-reduzierten Formen besteht. Es sei j ∗ ∈ N der erste Index, ab dem G j ∗ , G j ∗ + , G j ∗ + , ... usw. K-reduziert ist. Dann gibt es Zahlen s , t ∈ N mit s < t und G j ∗ + s = G j ∗ + t . Wir w¨ahlen s minimal und f¨uhren die Annahme s ≥ G j ∗ + s die K-Nachfolgeform sowohl von G j ∗ + s − als auch von G j ∗ + t − , undalle drei Formen G j ∗ + s , G j ∗ + s − , G j ∗ + t − sind wegen s ≥ G j ∗ + s − = G j ∗ + t − , was der Minimalit¨at von s widerspricht. So-mit ist s =
0, und die Periode K-reduzierter Formen beginnt wie behauptet mit G j ∗ . (cid:4) Hier fassen wir die Formeln aus dem vorigen Abschnitt noch einmal zu einem leichtzu implementierenden Rechenschema zusammen. Die Form F = ( a , b , c ) sei indefi-nit, und D = b − ac >
30 8 Quadratische Formen X ( F ) = √ D − b a (8.41)Irrationalzahl mit q : = (cid:98) X ( F ) (cid:99) = (cid:22) f − b a (cid:23) , a > (cid:22) b − ( f + ) − a (cid:23) , a <
0, (8.42)f¨ur f : = (cid:98)√ D (cid:99) . Zu F definieren wir die Parallelform G : = F (cid:16) q (cid:17) = ( a , b + aq , c + q ( b + aq )) . (8.43)Dabei gilt X ( G ) = X ( F ) − q . (8.44)Beginnend mit j = G j = ( a j , b j , c j ) die K-Nachfol-geform G j + = ( a j + , b j + , c j + ) , d.h. a j + = − c j , b j + = − c j q j − b j , c j + = q j · ( − c j q j − b j ) − a j (8.45)mit der Gr¨oße q j : = (cid:22) X ( G j ) (cid:23) = (cid:22) f + b j − c j (cid:23) , c j < (cid:22) − f + b j + c j (cid:23) , c j >
0. (8.46)Dann gilt f¨ur alle j ∈ N : X ( G j + ) = X ( G j ) − (cid:22) X ( G j ) (cid:23) = X ( G j ) − q j . (8.47)Mit den G j definieren wir f¨ur alle j ∈ N die Formen F j : = (cid:26) G j , falls j ungerade ist, ( − a j , b j , − c j ) , falls j gerade ist. (8.48)Mit der Matrix S = (cid:18) − (cid:19) kann man die F j einheitlich f¨ur j ∈ N in der Form F j = (cid:0) ( − ) j + a j , b j , ( − ) j + c j (cid:1) = ( − ) j + G S j + j (8.49) .3 Reduktion indefiniter quadratischer Formen 131 schreiben.Schließlich definieren wir die Transformationsmatrizen T j ∈ SL ( , Z ) f¨ur j ∈ N re-kursiv gem¨ass T = (cid:18) q (cid:19) , T j + = T j A j mit A j : = (cid:18) ( − ) j + ( − ) j q j (cid:19) . (8.50)Dann gilt f¨ur alle j ∈ N : F j = F T j , F j + = F A j j , (8.51)wobei F j und F eigentlich ¨aquivalent sind.Wir setzen x : = X ( F ) = √ D − b a sowie x k : = X ( G k ) ∀ k ∈ N , wenden den erwei-terten Euklidischen Algorithmus auf die beiden Eingabewerte x , x k = (cid:104) q k , q k + , q k + , ... (cid:105) , x k + = x k − q k , q k = (cid:98) x k (cid:99) ∀ k ∈ N , (8.52) √ D − b a = x = (cid:104) q , q , q , ... (cid:105) . (8.53)Hiermit konstruieren wir ein Zahlenschema mit 6 Spalten: j G j q j F j T j A j Index j ∈ N F¨ur j = F mit (8.42),(8.43) und f¨ur j ≥ j und G j Berechnungmit (8.50);f¨ur j ≥ q und G Berechnung von q j und G j + aus F = ( a , b , c ) : aus G j = ( a j , b j , c j ) f¨ur j ∈ N : q = (cid:22) f − b a (cid:23) f¨ur a > q j = (cid:22) f + b j − c j (cid:23) f¨ur c j < q = (cid:22) b − ( f + ) − a (cid:23) f¨ur a < q j = (cid:22) − f + b j + c j (cid:23) f¨ur c j > G = ( a , b + aq , c + q ( b + aq )) , a j + = − c j , b j + = − c j q j − b j ,mit f = (cid:4) √ D (cid:5) , D = b − ac > c j + = q j ( − c j q j − b j ) − a j .
32 8 Quadratische Formen
Berechnung von F j aus j und G j : Berechnung von T j : F j = (( − ) j + a j , b j , ( − ) j + c j ) T = (cid:18) q (cid:19) , T j + = T j · A j undf¨ur j ∈ N und G j = ( a j , b j , c j ) . A j = (cid:18) ( − ) j + ( − ) j q j (cid:19) f¨ur j ∈ N . Beispiel: F ( x , y ) = − x − xy − y liefert a = − b = − c = − D = b − ac =
365 und f =
19. Wir haben x = X ( F ) = − √ + q = −
2. Wir erhalten f¨ur j = G = F = ( − , , − ) . j G j q j F j T j A j −
20 1 0 1 − − − −
11 13 5, 15, -7 2 5, 15, -7 − −
31 2 0 1 − − − −
11 25 7, 15, -5 3 7, 15, -5 − −
175 12 0 1 − − −
12 41 0 −
11 27 7, 13, -7 2 7, 13, -7 − − − − −
94 229 0 −
11 39 5, 15, -7 2 5, 15, -7 − − − F = ( − , − , − ) , X ( F ) = x = − √ + = (cid:104)− , , , , , (cid:105) , F = F T = F T , so dass T T − = (cid:18)
457 133 − − (cid:19) automorphe Substitution f¨ur F ist. .3 Reduktion indefiniter quadratischer Formen 133 Zum Vergleich mit der Reduktion der Form F f¨uhren wir nun noch die vollkommenanaloge Kettenbruchentwicklung von X ( F ) durch: Erweiterter Euklidischer Algorithmus zur Berechnung der x j : j x j q j s j t j x j = (cid:104) q j , q j + , q j + , ... (cid:105) − √ + (cid:104)− , , , , , (cid:105) = − . ... √ + (cid:104) , , , , (cid:105) = . ... √ −
510 1 -1 1 (cid:104) , , , (cid:105) = . ... √ + (cid:104) , , (cid:105) = . ... √ + (cid:104) , , (cid:105) = . ... √ + (cid:104) , , (cid:105) = . ... √ + (cid:104) , , (cid:105) = . ... √ + (cid:104) , , (cid:105) = . ... √ + (cid:104) , , (cid:105) = . ... F = ( − , − , − ) , x = X ( F ) , und f¨ur j ∈ N : x j + = X ( G j + ) = x j − q j mit q j = (cid:98) x j (cid:99) . s = , s = q , s j + = s j − + s j · q j , t = , t = , t j + = t j − + t j · q j f¨ur alle j ∈ N .Nun heben wir zwei wichtige Resultate hervor, die eine direkte Folge unseres Re-duktionsverfahrens f¨ur indefinite Formen sind. So stellt die n¨achste einfache Folge-
34 8 Quadratische Formen rung aus der Darstellung (3.15) der allgemeinen Kettenbr¨uche x j = (cid:104) q j , q j + , q j + . . . (cid:105) aus Lektion 3.1 und Satz 8.19 eines unserer Hauptergebnisse dar: Satz 8.20:
Genau die quadratischen Irrationalzahlen besitzen eine Kettenbruchentwicklung,die (ggf. nach einer endlichen Vorperiode) in eine Periode einm¨undet. (cid:3)
Mit dem folgenden Ergebnis schliesst sich auch der Kreis, der in Satz 8.4 und Satz8.5 seinen Ursprung hat:
Satz 8.21:
Jede indefinite, primitive Form F = ( a , b , c ) mit Diskriminante D = b − ac > t − Du = H D ( x , y ) = t , u bzw. x , y . (cid:3) Beweis:
Da sich jede Form F duch eine Kette ¨aquivalenter Formen F j (in der vier-ten Spalte unseres Schemas) in eine reduzierte Form ¨uberf¨uhren l¨asst, k¨onnen wirannehmen, F sei reduziert. Sobald die Kette der F j = ( a j , b j , c j ) periodisch wird, al-ternieren die Vorzeichen der a j . Wir k¨onnen daher von vorneherein annehmen, dass F = ( a , b , c ) mit a > F = F an, soentsteht eine reine Periode gerader L¨ange von Formen F ∼ F ∼ . . . ∼ F m mit m ∈ N und F m + = F , und f¨ur alle j ∈ N gilt F j + = F A j j . Nun ist das Produktzweier aufeinanderfolgender Matrizen A j , A j + ∈ SL ( , Z ) aus der letzten Spaltedes Schemas f¨ur ungerades j gegeben durch A j A j + = (cid:18) − q j (cid:19) (cid:18) − q j + (cid:19) = (cid:18) q j + q j + q j q j + (cid:19) . Die aufeinanderfolgenden Produkte der Matrizen A j A j + liefern beliebig große Ein-tr¨age, wenn man f¨ur j die Folge der ungeraden Zahlen durchl¨auft und somit auchbeliebig oft die volle Periode reduzierter Formen, die von F = F ausgeht. Diesliefert unendlich viele automorphe Transformationen von F , und der Rest der Be-hauptung folgt sofort aus Satz 8.4. (cid:4) Wir erw¨ahnen an dieser Stelle, dass f¨ur die Reduktion der indefiniten Formen auchandere Verfahren in der Literatur beschrieben werden. So findet man etwa im Lehr-buch von Scholz und Schoeneberg [10, §
31] das Verfahren der sogenannten halb-reduzierten rechten Nachbarformen, dass dieselben Perioden reduzierter indefiniter wir erinnern wieder daran, dass wir nur Formen mit nichtquadratischer Diskriminante betrachten..3 Reduktion indefiniter quadratischer Formen 135 Formen wie unser Schema liefert, sich aber bei der Reduktion der Formen in derVorperiode unterscheiden kann. Die Form F = ( a , b , c ) sei indefinit mit nichtqua-dratischer Diskriminante D = b − ac >
0, und es sei wieder f = (cid:98)√ D (cid:99) (Vorsicht:bei [10, §
31] ist f = (cid:100)√ D (cid:101) ). Die halbreduzierte rechte Nachbarform von F ist dann R ( F ) = ( c , ct − b , a − bt + ct ) mit t = sign ( c ) (cid:22) f + b | c | (cid:23) . Beim Reduktionsverfahren von [10, §
31] betrachten wir die folgende Kette ¨aqui-valenter Formen, die aus F durch schrittweise Bildung der halbreduzierten rechtenNachbarformen hervorgeht: F , R ( F ) , R ( R ( F )) , R ( R ( R ( F ))) , . . . usw.Nun l¨asst sich [10, Satz 81] folgendermassen auf unser Schema ¨ubertragen: Satz 8.22:
Sind F , F (cid:48) indefinit und reduziert und gilt F (cid:48) = F A mit einem A ∈ SL ( , Z ) , so liegt F (cid:48) in der von F ausgehenden Periode reduzierter Formen aus der vierten Spalteunseres Schemas. (cid:3) Durch die abschließenden Internet-Recherchen bei der Fertigstellung dieses Bu-ches ist uns noch ein drittes Reduktionsverfahren f¨ur indefinite Formen bekanntgeworden, das auf einer alternativen Art von Kettenbruchentwicklung bzw. Formen-Reduziertheit basiert, siehe hierzu Zagier [13, § § Aufgabe:
Zur Reduktion der indefiniten Formen implementiere man die drei obengenannten Verfahren, n¨amlich das Kettenbruchverfahren dieses Abschnittes sowiedas Verfahren der halbreduzierten rechten Nachbarformen und das in Zagier [13, §
13] beschriebene Verfahren. Hierauf vergleiche man diese Verfahren, indem mansie f¨ur gr¨ossere Werte von n ∈ N , n ≥ F n = (( n + ) − , − ( n + n − ) , n − ) mit Diskriminante D = X ( F n ) = (cid:104) , , n + , (cid:105) bzw.˜ F n = ( n , − n , − ) mit Diskriminante D = n ( n + ) und X ( ˜ F n ) = + (cid:114) + n = (cid:104) , n (cid:105) . ektion 9 Anhang
Logische Symbole der mathematischen Umgangssprache ( ) ¬ A nicht A , ( ) A ∧ B A und B , ( ) A ∨ B A oder B , ( ) A ⇒ B A impliziert B , ( ) A ⇔ B A und B sind ¨aquivalent , ( ) ∀ x A ( x ) f¨ur alle x gilt A ( x ) , ( ) ∃ x B ( x ) es gibt ein x f¨ur das B ( x ) gilt . In (1)-(5) sind A , B Aussagen, in (6) und (7) dagegen Aussageformen, die von ei-ner freien Variablen x abh¨angen d¨urfen. Die Variable x entstammt dabei einer festen,vorgegebenen Grundmenge M , die oft nicht explizit in den Formeln mitgef¨uhrt wird.Ein Beipiel f¨ur (6) w¨are demnach ∀ x ∈ Z : x ≥
0, oder einfach ∀ x ( x ≥ ) , nach-dem zuvor die Grundmenge M : = Z festgelegt worden ist. Wahrheitstabellen f ¨ur aussagenlogische Verkn ¨upfungen
Hier sind α und β Aussagen mit dem Wahrheitsgehalt w=wahr oder f=falsch. α β ¬ α α ∧ β α ∨ β α ⇒ β α ⇔ β w w f w w w ww f f f w f ff w w f w w ff f w f f w w Symbole der (nicht formalisierten) Mengenlehre
Wir betrachten hier Teilmengen K , L einer vorgegebenen Grundmenge M . ( ) x ∈ M \ K x / ∈ K Komplement von K , ( ) x ∈ K ∩ L x ∈ K ∧ x ∈ L Durchschnitt , ( ) x ∈ K ∪ L x ∈ K ∨ x ∈ L Vereinigung , ( ) ∀ x ( x ∈ K ⇒ x ∈ L ) K ⊆ L Inklusion , ( ) ∀ x ( x ∈ K ⇔ x ∈ L ) K = L Mengengleichheit . Wichtige Beispiele f ¨ur Mengen (1) N = { , , , . . . } ist die Menge der nat¨urlichen Zahlen.(2) N = { , , , , . . . } ist die Menge der nat¨urlichen Zahlen inklusive der Null.(3) Z = { , ± , ± , ± , . . . } ist die Menge der ganzen Zahlen.(4) Q = { a / b : a ∈ Z , b ∈ N } ist die Menge der rationalen Zahlen.(5) R ist die Menge der reellen Zahlen.(6) C = { x + iy : x , y ∈ R } ist die Menge der komplexen Zahlen.Besonders oft werden Intervalle als spezielle Teilmengen der reellen Zahlen in derMathematik ben¨otigt: Notationen f ¨ur IntervalleAbgeschlossenes Intervall: [ a , b ] : = { x ∈ R : a ≤ x ≤ b } . Offenes Intervall: ( a , b ) : = { x ∈ R : a < x < b } .Die Menge R + : = { x ∈ R : x > } ist ein “unendliches” offenes Intervall. Halboffene Intervalle: ( a , b ] : = { x ∈ R : a < x ≤ b } , [ a , b ) : = { x ∈ R : a ≤ x < b } .Die Menge R + : = { x ∈ R : x ≥ } ist ein “unendliches” halboffenes Intervall.Die Bildung kartesischer Produktmengen und deren Teilmengen ist ein besonderswichtiges Konstruktionsprinzip in der Mathematik, um aus gegebenen Mengen neueMengen zu bilden und um Eigenschaften von komplexerer Struktur zu beschreiben: Kartesisches Produkt von n Mengen und n -stellige Relationen Sind M , M , ... , M n nichtleere Mengen, so ist ihr kartesisches Produkt erkl¨art alsMenge aller geordneter “ n -Tupel” ( x , ..., x n ) mit x ∈ M , x ∈ M , ... , x n ∈ M n ,d.h. M × M × ... × M n : = { ( x , ..., x n ) : x k ∈ M k f¨ur k = , ..., n } . Der R n : = R × ... × R mit n Faktoren ist ein wichtiges Beispiel. Eine Teilmenge deskartesischen Produktes M × M × ... × M n heißt n-stellige Relation . .1 Logische Symbole, Mengen und Abbildungen 139 Funktionen (auch Abbildungen genannt)
Es seien A , B nichtleere Mengen. Eine Funktion bzw.
Abbildung f mit Definitions-bereich A und Wertebereich B ist eine Zuordnung, die jedem x ∈ A genau einenWert y ∈ B zuordnet. Wir schreiben dann y = f ( x ) und nennen f ( x ) das Bild bzw.den Funktionswert von x .Formal gesehen sind Funktionen spezielle Teilmengen G ⊆ A × B der kartesischenProduktmenge A × B mit der Eigenschaft, daß es zu jedem x ∈ A genau ein Paar ( x , y ) ∈ G gibt. Im Sprachgebrauch nennt man G aber meistens den “Graphen” derFunktion f . • Die Funktion f heißt injektiv , wenn f¨ur alle x , y ∈ A aus f ( x ) = f ( y ) stets x = y folgt. • Die Funktion f heißt surjektiv , wenn es zu jedem z ∈ B mindestens ein x ∈ A gibtmit f ( x ) = z . • Eine injektive und surjektive Funktion f wird auch bijektiv bzw. Bijektion ge-nannt. Zu jeder bijektiven Funktion f : A → B gibt es die sogenannte Umkehr-abbildung f − : B → A , wobei f¨ur jedes y ∈ B der Wert x = f − ( y ) der Umkehr-abbildung durch die Beziehung f ( x ) = f ( f − ( y )) = y eindeutig bestimmt ist. Esgilt ( f − ) − = f . Verkettung von Funktionen
Sind A , B , B (cid:48) , C nichtleere Mengen mit B ⊆ B (cid:48) und h : A → B bzw. g : B (cid:48) → C Abbildungen, so definiert ihre
Verkettung oder
Komposition eine neue Funktion g ◦ h : A → C gem¨aß ( g ◦ h )( x ) = g ( h ( x )) f¨ur alle x ∈ A . Sind h : A → B , g : B → C und f : C → D Abbildungen, so sind die Verket-tungen f ◦ ( g ◦ h ) , ( f ◦ g ) ◦ h : A → D definiert, und es gilt das Assoziativgesetzf ◦ ( g ◦ h ) = ( f ◦ g ) ◦ h . Beispiele f ¨ur Funktionen und deren Verkettungen (a) f : R → [ − , ] mit f ( x ) : = sin x ist eine surjektive Funktion,aber nicht injektiv.(b) f : [ − π , π ] → R mit f ( x ) : = sin x ist injektiv, aber nicht surjektiv.(c) f : R + → R + mit f ( x ) : = x ist bijektiv mit Umkehrabbildung f − : R + → R + , f − ( x ) = √ x .(d) f : R → R mit f ( x ) : = x ist weder injektiv noch surjektiv.(e) f : R → R + mit f ( x ) : = e x ist bijektiv mit Umkehrabbildung f − : R + → R , f − ( x ) = ln x .Verkettungen wie f ◦ f bzw. f ◦ f sind hier nicht m¨oglich, da weder [ − , ] ⊆ R + noch R + ⊆ [ − π , π ] gelten. Beispiele f¨ur “erlaubte” Verkettungen sind dagegen:(f) f ◦ f : R + → [ − , ] mit ( f ◦ f )( x ) = sin ( x ) ,(g) f ◦ f : R → R mit ( f ◦ f )( x ) = sin x ,
40 9 Anhang (h) f ◦ f : [ − π , π ] → R + mit ( f ◦ f )( x ) = e sin x ,(i) f ◦ f − : R + → R + mit ( f ◦ f − )( x ) = e √ x .Die Verkettung bijektiver Abbildungen auf einer endlichen Tr¨agermenge f¨uhrt nunzu den Permutationsgruppen, die nicht nur in der linearen Algebra (Determinanten)sondern auch in der Zahlentheorie und Kombinatorik von Bedeutung sind: Permutationen sind bijektive Abbildungen einer Menge auf sich selbst. Bei unendli-cher Tr¨agermenge nennt man sie auch Transformationen. Liegt dagegen eine endli-che Tr¨agermenge mit n ≥ n . Wir w¨ahlen im folgenden die feste Tr¨agermenge N n : = { , , ..., n } . Matrixdarstellung der Permutationen
Eine Permutation f : N n → N n l¨aßt sich wie folgt als Matrix schreiben: f = (cid:18) ... nf ( ) f ( ) ... f ( n ) (cid:19) . Die Permutationsgruppe Σ n Sind f , g : N n → N n zwei beliebige Permutationen auf N n , so lassen sie sich gem¨aß f ◦ g : N n → N n mit ( f ◦ g )( x ) : = f ( g ( x )) f¨ur alle x ∈ N n zu einer neuen Permutation f ◦ g verkn¨upfen. Damit wird die Menge Σ n = ( Σ n , ◦ ) aller Permutationen auf N n zueiner Gruppe, der sogenannten Permutationsgruppe n -ten Grades . Sie besteht aus n ! = · · ... · n Permutationen . Bei dieser Verkn¨upfung ist nicht nur deshalb Vorsichtgeboten, weil die Reihenfolge der “Faktoren” i.a. nicht vertauschbar ist, sondernauch deshalb, weil einige Autoren f ◦ g in der umgekehrten Reihenfolge g ( f ) defi-nieren! Dies h¨angt damit zusammen, daß bei unserer gel¨aufigeren Schreibweise dieFunktionsauswertung zwar von “rechts nach links” erfolgt, aber die Kompositionvon “links nach rechts” aufgeschrieben wird. Dies kann als Diskrepanz empfundenwerden.Das Einselement dieser Gruppe wird auch als Identit¨at
Id bzw. Id n bezeichnet undhat die Darstellung Id = (cid:18) ... n ... n (cid:19) . Die zu f inverse Permutation f − entsteht aus der Matrix von f durch Vertauschungihrer beiden Zeilen, d.h. f − = (cid:18) f ( ) f ( ) ... f ( n ) ... n (cid:19) . So erhalten wir etwa f¨ur n =
4, d.h. N n = { , , , } , das Beispiel .2 Permutationsgruppen 141 f = (cid:18) (cid:19) , f − = (cid:18) (cid:19) = (cid:18) (cid:19) . Die Zyklenschreibweise f ¨ur Permutationen
Neben der Matrixdarstellung gibt esaber auch noch die Zerlegung einer Permutation in elementfremde Zyklen . Diesef¨uhrt auf eine weitere sehr wichtige Darstellung f¨ur Permutationen. Wir betrachtenals Beispiel die Permutationen f , g : N → N mit f = (cid:18) (cid:19) , g = (cid:18) (cid:19) . Die Permutation f vertauscht die Ziffern 1,2 miteinander, hat die Ziffer 3 als so-genannten Fixpunkt und ¨uberf¨uhrt die Ziffern 4,6,5 zyklisch ineinander in der an-gegebenen Reihenfolge 4 → → →
4. Entsprechend finden wir f¨ur g die beidenZyklen 1 → → → → → → k → k → ... → k m → k mit verschiedenen k ,..., k m in der Form Z = ( k , k , ..., k m ) . Mit | Z | = m bezeichnen wir die L¨angedieses Zyklus.F¨ur f und g haben wir somit die folgenden Zerlegungen in elementfremde Zyklengefunden: f = [( , )( )( , , )] , g = [( , , , )( , )] . Fixpunkte, d.h. Zyklen der L¨ange 1, l¨aßt man meistens weg und schreibt dann etwa f = [( , )( , , )] , Id = [ ] .Die Injektivit¨at der Permutationen auf N n garantiert im allgemeinen Fall, daß sichjeder Zyklus wieder mit dem Element schließt, mit dem man begonnen hat. JedesElement k ∈ N n besitzt n¨amlich bzgl. einer Abbildung f ∈ Σ n einen eindeutigenVorg¨anger f − ( k ) , und somit nicht nur einen eindeutigen Nachfolger f ( k ) . Dahergilt auch der folgende Satz 9.1:
Jede Permutation auf N n l¨aßt sich eindeutig in elementfremde Zyklen zerlegen. (cid:3) Die Zyklenzerlegung der Permutationen l¨aßt sich graphisch gut illustrieren:
36 5 −1 12 34 4 512 6 f :f :
42 9 Anhang
Wir k¨onnen auch aus der Zyklenzerlegung sofort die Inversen bzw. die Kompositio-nen erhalten: f − = [( , )( , , )] , g − = [( , , , )( , )] , f ◦ g = [( , , , )] , g ◦ f = [( , , , )] . Zerlegung einer Permutationen in Transpositionen
Eine Transposition ist eine Permutation der Form [( a , b )] , die nur zwei Ziffern a (cid:54) = b miteinander vertauscht. F¨ur eine zyklische Permutation [( n , n , ..., n r )] mit derZyklenl¨ange r ≥ ( r − ) Transpositionen, diesich mittels vollst¨andiger Induktion zeigen l¨aßt: [( n , n , ..., n r )] = [( n , n r )] ◦ ... ◦ [( n , n )] (9.1)Im folgenden sei f : N n → N n eine Permutation und n ≥
2. Da sich nach dem vo-rigen Satz f in paarweise disjunkte (d.h. elementfremde) Zyklen Z ,..., Z s gem¨aß f = [ Z ] ◦ [ Z ] ... ◦ [ Z s ] zerlegen l¨aßt und wir f¨ur f (cid:54) = Id die Fixpunktzyklen aus die-ser Zerlegung streichen k¨onnen, folgt in diesem Fall die Zerlegbarkeit von f in einProdukt von Transpositionen. F¨ur f = Id k¨onnen wir dagegen wegen n ≥ = [( , )] ◦ [( , )] angeben. Definition 9.2: Gerade und ungerade Permutationen
Eine Permutation f : N n → N n heißt gerade , wenn sie sich in eine gerade Anzahl vonTranspositionen faktorisieren l¨aßt. In diesem Falle schreiben wir sign ( f ) = +
1. Istdagegen eine solche Zerlegung nicht m¨oglich, so heißt die Permutation ungerade ,und wir schreiben dann sign ( f ) = − (cid:3) Die Zerlegung einer Permutation in Transpositionen ist im allgemeinen nicht ein-deutig. Umso wichtiger ist der folgende
Satz 9.3:
Die Permutation f : N n → N n mit n ≥ T k , T (cid:48) k zerlegt gem¨aß f = T ◦ ... ◦ T r = T (cid:48) ◦ ... ◦ T (cid:48) r (cid:48) . Dann sind r und r (cid:48) entweder beide gerade oder beide ungerade. (cid:3) Beweis:
Wir definieren das folgende Polynom: P ( x , x , ..., x n ) : = ∏ ≤ j < k ≤ n ( x k − x j ) . .2 Permutationsgruppen 143 Nun geben wir zwei beliebige Zahlen m > m (cid:48) aus N n vor und zerlegen dieses Poly-nom in f¨unf Faktoren gem¨aß P ( x , x , ..., x n ) = ( x m − x m (cid:48) ) · ∏ j < k ∧ j , k / ∈{ m , m (cid:48) } ( x k − x j ) · ∏ j > m (cid:110) ( x j − x m )( x j − x m (cid:48) ) (cid:111) · ∏ k < m (cid:48) (cid:110) ( x m − x k )( x m (cid:48) − x k ) (cid:111) · ∏ m (cid:48) < k < m (cid:110) ( x m − x k )( x k − x m (cid:48) ) (cid:111) . Produkte ¨uber einen leeren Indexbereich sollen hierbei den Wert 1 haben. Vertau-schen wir die Variablen x m und x m (cid:48) in P ( x , x , ..., x n ) , so wechselt das Polynomnur sein Vorzeichen, da die vier mit ∏ beginnenden Produkte hierbei unver¨andertbleiben, w¨ahrend der erste Faktor ( x m − x m (cid:48) ) sein Vorzeichen wechselt.Wir definieren f¨ur jedes g ∈ Σ n das Polynom P g ( x , ..., x n ) : = P ( x g ( ) , ..., x g ( n ) ) undbeachten f¨ur alle g , h ∈ Σ n die Assoziativit¨at ( P g ) h = P g ◦ h . F¨ur die beliebige Transposition T = [( m , m (cid:48) )] folgt nach dem oben gezeigten P T ( x , ..., x n ) = − P ( x , ..., x n ) . Wenden wir die letzten beiden Beziehungen wiederholt auf die beiden Zerlegungen f = T ◦ ... ◦ T r = T (cid:48) ◦ ... ◦ T (cid:48) r (cid:48) an, so erhalten wir die folgende Gleichung, die unsereAusgangsbehauptung beweist: P f ( x , ..., x n ) = ( − ) r P ( x , ..., x n ) = ( − ) r (cid:48) P ( x , ..., x n ) . Speziell f¨ur x k : = k ∈ N n erhalten wir zudem sign ( f ) = P f ( , ..., n ) / P ( , ..., n ) . (cid:4) Nun gilt der folgende wichtige
Satz 9.4:
Wir betrachten die Permutationsgruppe ( Σ n , ◦ ) auf N n , n ≥ f , g ∈ Σ n giltsign ( f ◦ g ) = sign ( f ) · sign ( g ) , sign ( Id ) = , sign ( f − ) = sign ( f ) . (b) Die geraden Permutationen bilden eine Untergruppe von ( Σ n , ◦ ) , die sogenann-te alternierende Gruppe ( A n , ◦ ) , die aus n ! Permutationen besteht.(c) Ist weiter g die Anzahl der Zyklen von f mit gerader L¨ange, so gilt f¨ur sign ( f ) die Berechnungsvorschrift sign ( f ) = ( − ) g . (cid:3)
44 9 Anhang
Beweis:
Die Teilaussage (a) ergibt sich aus Satz 9.3, und (b) ist eine direkte Folgevon (a). Wir zeigen die Berechnungsformel f¨ur sign ( f ) : Ist f vollst¨andig in seinepaarweise disjunkten (d.h. elementfremden) Zyklen Z ,..., Z s (mit oder ohne Einer-zyklen) zerlegt und bezeichnet | Z k | die L¨ange des k -ten Zyklus, k = , ..., s , so habenwir in (9.1) jeden Zyklus Z k als Produkt von | Z k | − ( f ) = ( − ) m mit m : = s ∑ k = ( | Z k | − ) . Allein f¨ur die Zyklen Z k mit gerader L¨ange | Z k | ist | Z k | − ≡ ( ) , f¨ur die Z k mitungerader L¨ange ist dagegen | Z k | − ≡ ( ) . Somit ist sign ( f ) = ( − ) g . (cid:4) Beispiel:
Ist f : N → N in der Zyklenform f : = [( , , )( , , , )( )] gegeben, soist ( , , , ) der einzige Zyklus gerader L¨ange von f und sign ( f ) = ( − ) = − . .3 Primzahltabelle 145
46 9 Anhang.3 Primzahltabelle 147 iteraturverzeichnis
1. M. Aigner, G.M. Ziegler, ”Proofs from the book“, Springer-Verlag, 1998 .2. C. F. Gauss, ”Untersuchungen ¨uber h¨ohere Arithmetik“, Deutsch herausgegeben von H. Ma-ser, Chelsea Publishing Company, New York, 1965 .3. G.H. Hardy, E.M. Wright, ”An introduction to the theory of numbers“, fifth edition, ClarendonPress, Oxford, 1979 .4. B. Hornfeck, ”Algebra“, de Gruyter Lehrbuch, 3. Auflage, 1976 .5. F. Halter-Koch, ”Quadratic Irrationals“, CRC Press, 2013 .6. I. Niven, H.S. Zuckerman, ”Einf¨uhrung in die Zahlentheorie“, B.I. Hochschultaschenb¨ucher,B¨ande 46,47, 1976 .7. I. Niven, H.S. Zuckerman, H.L. Montgomery, ”An introduction to the theory of numbers“, 5.edition, Wiley, 1991 .8. N. Oswald, J. Steuding, ”elementare Zahlentheorie“, Springer Spektrum, 2015.9. O. Perron, ”Die Lehre von den Kettenbr¨uchen“, Band I: Elementare Kettenbr¨uche, 3. Auflage,B.G. Teubner, 1954 .10. A. Scholz, B. Schoeneberg, ”Einf¨uhrung in die Zahlentheorie“, Sammlung G¨oschen, Band5131, 5. Auflage, Walter de Gruyter, 1973 .11. J. Steuding, ”Diophantine analysis“, Chapman & Hall/CRC, 2005.12. B.L. van der Waerden, ”Algebra I“, Springer-Verlag, 9. Auflage, 1993 .13. D.B. Zagier, ”Zetafunktionen und quadratische K¨orper“, Springer-Verlag, 1981 . 149 ndexverzeichnis A Abbildung 139abelsche Gruppe 1, 6alternierende Gruppe 143Approximation einer Irrationalzahl 65Approximationssatz f¨ur Farey-Br¨uche 62Approximationssatz von Hurwitz 45Assoziativgesetz 1Ausgabewerte des erweiterten EuklidischenAlgorithmus 32Aussage 137Aussageform 137aussagenlogische Verkn¨upfung 137Automorphe Transformation 116,134 B b -adische Darstellung 92beste rationale Approximation 29Binetsche Formel 11, 38 C Chinesischer Restsatz 85 D definit quadratische Form 112Dirichlet-Faltung 71Dirichletscher Approximationssatz 42Diskriminante 111Divisionskoeffizient 15, 17Divisionsrest 15, 17 E eindeutige Primfaktorzerlegung 69 Eingabewerte des erweiterten EuklidischenAlgorithmus 32Einheit 19Einselement einer Gruppe 1Einselement eines Ringes 6endlicher Kettenbruch 30erweiterte Farey-Sequenz 58erweiterter Euklidischer Algorithmus 18, 48,60Euklidischer Algorithmus 13, 16, 24Euklidischer Ring 21Euler, Leonard 47Eulersche Funktion 70, 74Eulersches Kriterium 99Exponent 85 F Fakult¨at 27,140Faltungsgruppe der multiplikativen Funktionen71Farey, John 55Farey-Sequenz 56Fermatsche Primzahl 109Fibonacci-Folge 24, 49Fibonacci-Zahlen 10, 37, 42, 93Fundamentalsatz der Arithmetik 13, 19, 20,21Funktion 139 G Gauß, Carl Friedrich 47Gauß-Klammer 13, 26Gaußsches Lemma 101gek¨urzter Bruch 57gerade Permutation 142 151roße Faltungsgruppe 71gr¨oßter gemeinsamer Teiler 14, 77Gruppe 1 H Huygens, Christiaan 47 I Identit¨at 4indefinite qadratische Form 112Index 4Induktionsprinzip 9Integrit¨atsbereich 7, 9, 82Intervall 138inverse Permutation 140inverses Element 1Irrationalzahl 39, 45, 62Isomorphismus 7 J Jacobi-Symbol 105 K Kartesisches Produkt 138Kettenbruch 30, 38, 52Kettenbruchentwicklung 29, 52kommutative Gruppe 1kommutativer Ring 6, 80, 82Kongruenz 81, 93K¨orper 7, 82K-reduzierte indefinite Form 124 L Lagrange, Joseph-Louis 47Legendre-Symbol 99, 103Linearform 18Linksnebenklasse 4Logische Symbole 137 M Matrixdarstellung der Permutationen 140Matrizenmultiplikation 3, 9Mediant 42Mediantensatz 42, 44, 57, 59Menge 138M¨obius-Funktion 70, 73M¨obiussche Umkehrformel 75, 79Modul 81multiplikativ 69 multiplikative Inverse 83 N Nullelement 3Nullteiler 9 O Ordnung 85 P Pellsche Gleichung 116, 134periodische Funktion 94periodische Kettenbruchentwicklung 53Permutationsgruppe 4, 8, 140Permutationsgruppe n -ten Grades 140Perron, Oskar 48Polynom 142Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten 86positiv definit quadratische Form 112prime Restklassengruppe 84Primelemente 19, 21Primfaktorzerlegung 21primitive quadratische Form 113Primitivwurzel 87, 91Primzahl 13, 19, 82Primzahl-Moduln 91Primzahlpotenz 27Pythagoreisches Zahlentripel 22 Q quadratische Irrationalzahl 51, 53, 113quadratische Nichtreste 99quadratische Reste 95, 99, 109quadratische Form 47, 111quadratischer Kongruenz 95, 106quadratisches Reziprozit¨atsgesetz 103 R rationale Bestapproximation 43reduziertes Restsystem 90reduzierte indefinite Form 124reell quadratische Irrationalzahl 29, 47Relation 138Reziprozit¨atsgesetz von Gauß 103Ring 6r¨uckl¨aufige Rekursion f¨ur Farey-Br¨uche 66 S Satz von Lagrange 4