EErinnerungen an Heinrich Brauner(1928–1990) ∗ Hans Havlicek
Zusammenfassung
Zur achtzigsten Wiederkehr des Geburtstages von Heinrich Brau-ner sollen Eigenschaften, Wesensmerkmale und Leistungen dieses¨osterreichischen Geometers aufgezeigt werden. Dabei m¨ochte ich zu-mindest ein wenig von dem vermitteln, was aus meiner Sicht das Be-sondere dieses außergew¨ohnlichen Wissenschaftlers und Menschen aus-machte.
Mathematics Subject Classification (2000): 01A70
In meinem Vortrag m¨ochte ich einige Worte der pers¨onlichen Erinnerung anmeinen Lehrer,Herrn O.Univ.Prof. Mag.rer.nat. Dr.phil. Dr.techn. Heinrich Brauner,sprechen, dessen Geburtstag sich im Jahr 2008 zum achtzigsten Male j¨ahrt.Zun¨achst sei sein Lebensweg ganz kurz skizziert, wobei ich mich auf dieAngaben in [1] st¨utze.Heinrich Brauner wurde am 21. November 1928 in Wien geboren, woer auch das Realgymnasium besuchte. Von 1946 bis 1952 studierte er ander Universit¨at Wien und der Technischen Hochschule Wien. Brauner legtedie Lehramtspr¨ufungen f¨ur die F¨acher
Mathematik , Physik und
Darstellen-de Geometrie und die erste Staatspr¨ufung aus
Technischer Physik ab. Er ∗ Ausarbeitung eines Vortrags beim 33. S¨uddeutschen Differentialgeometrie-Kolloquiumam 23. Mai 2008 an der Technischen Universit¨at Wien. a r X i v : . [ m a t h . HO ] A p r bbildung 1: Festkolloquium 1988verfasste zwei Dissertationen: ¨Uber n + 1 fache Orthogonalsysteme von Rie-mannschen Hyperfl¨achen der Klasse im euklidischen Raum R n +1 bei Jo-hann Radon sowie Kongruente Verlagerung kollinearer R¨aume in axiale Lage bei Walter Wunderlich. Brauner wurde an der Universit¨at Wien zum Doktorder Philosophie und an der Technischen Hochschule Wien zum Doktor derTechnischen Wissenschaften promoviert.Ab 1950 war Brauner im Schuldienst t¨atig und daneben ab 1951 teil-besch¨aftigte wissenschaftliche Hilfskraft am 1. Institut f¨ur Geometrie derTechnischen Hochschule Wien. Erst 1954 konnte er ebendort eine Stelle alsvollbesch¨aftigter Hochschulassistent antreten.Schon 1956 habilitierte sich Brauner an der Technischen Hochschule Wienf¨ur das Fach
Geometrie, insbesondere Darstellende Geometrie und im Jahrdarauf, in einem davon unabh¨angigen Verfahren, an der Universit¨at Wien f¨urdas Fach
Mathematik .Im Jahre 1960 nahm er einen Ruf auf ein Ordinariat an der TechnischenHochschule Stuttgart an. Ab 1969 war Brauner Ordentlicher Universit¨atspro-2bbildung 2: Festkolloquium 1988fessor f¨ur Geometrie an der Technischen Hochschule (Technischen Univer-sit¨at) Wien.Brauner wurde im Jahr 1970 zum Honorarprofessor der Universit¨at Wi-en ernannt. Ferner war er ab 1972 korrespondierendes Mitglied der ¨Oster-reichischen Akademie der Wissenschaften und in weiterer Folge Tr¨ager desEhrenkreuzes f¨ur Wissenschaft und Kunst I. Klasse.Die Abbildungen 1 und 2 zeigen Brauner beim Festkolloquium, das ausAnlass seines 60. Geburtstages am 21. Oktober 1988 am Institut f¨ur Geo-metrie der Technischen Universit¨at Wien stattfand. Er litt zu diesem Zeit-punkt bereits an Osteoporose. Brauner k¨ampfte gegen diese sehr schmerz-hafte Krankheit mit unendlicher Geduld an und nahm seine Aufgaben amInstitut bis wenige Wochen vor seinem Ableben wahr. Heinrich Brauner erlagseinem schweren Leiden am 1. Juni 1990.3
Der Lehrer Heinrich Brauner: Es begannmit einem Punktsack
Meine erste Begegnung mit Heinrich Brauner war im Wintersemester 1972/73in seiner Vorlesung
Projektive Geometrie I f¨ur die erstj¨ahrigen Lehramtskan-didaten. Ich hatte keine Ahnung, was mich erwarten w¨urde – weder inhaltlichnoch den Vortragenden betreffend. Brauner begann die erste Vorlesung undAbbildung 3: Vorlesung ¨uber Differentialgeometrie 1982brachte sogleich mein in der Schule erworbenes Bild der Geometrie kr¨aftig insWanken. Da kamen n¨amlich ein
Punktsack P und ein Geradensack G zumVorschein, gemeinsam mit einer Inzidenz genannten Teilmenge von P × G .Dann wurden drei Axiome pr¨asentiert, und fertig war die Definition einer4bbildung 4: Vorlesung ¨uber Differentialgeometrie 1983projektiven Ebene! Zur Abrundung gab es noch drei Modelle: Die projektivabgeschlossene Anschauungsebene, die Sieben-Punkte-Ebene von Fano unddas B¨undelmodell der gew¨ohnlichen projektiven Ebene, in dem zur allgemei-nen Verwirrung ¨ubliche Geraden als ”Punkte“ und ¨ubliche Ebenen als ”Ge-raden“ zu bezeichnen waren. Kurz gesagt: Es versprach spannend zu werden.Und es wurde spannend!In den folgenden Jahren h¨orte ich bei Brauner Vorlesungen ¨uber Diffe-rentialgeometrie , H¨ohere Differentialgeometrie , Liniengeometrie und
Abbil-dungsverfahren der konstruktiven Geometrie . Als junger Assistent begleiteteich ihn auch in die Vorlesungen ¨uber
Darstellende Geometrie f¨ur Studierendeder Architektur, des Bauingenieurwesens und der Geod¨asie.Leider gibt es nur ganz wenige Bilder aus Brauners Lehrveranstaltun-gen. Das Foto in Abbildung 3 habe ich im Sommersemester 1982 in einerVorlesung ¨uber Differentialgeometrie aufgenommen, die an der TechnischenUniversit¨at Wien stattfand. Zu sehen ist Brauner, wie er gerade den Haupt-satz der Hyperfl¨achentheorie beweist:
Zwei Immersionen mit derselben erstenund zweiten Fundamentalform sind bewegungsgleich.
Im Wintersemester 1983entstanden ebenfalls an der Technischen Universit¨at Wien in einer der erstenVorlesungen ¨uber Differentialgeometrie jene beiden Aufnahmen, die in denAbbildungen 4 und 5 zu sehen sind: Brauner erkl¨art hier, den Blick ins Un-endliche gerichtet, was unter einer geometrischen Aussage ¨uber eine Kurve
Differentialgeometrie sind mir in bester Er-innerung. Sie fanden w¨ahrend meiner Studienzeit nicht an der TechnischenHochschule Wien, sondern an der Universit¨at Wien in den R¨aumen des Pries-terseminars statt. Brauner setzte von Anfang an voraus, dass man Analysisund Lineare Algebra schon gelernt hatte . Das f¨uhrte dazu, dass bereits in derzweiten Vorlesung deutlich weniger H¨orerinnen und H¨orer waren, als in derersten. So fand wenigstens ab diesem Zeitpunkt jeder einen Sitzplatz. Das warauch gut so. Da es n¨amlich kein Skriptum gab, mussten wir auf den kleinen,an den H¨orsaalst¨uhlen angebrachten Klapptischchen all das mitschreiben,was Brauner rasant auf der Tafel notierte.Die Zielsetzung f¨ur diese Vorlesungen kann auch heute noch in der Einlei-tung seines Lehrbuches der Differentialgeometrie nachgelesen werden. Dortschreibt Brauner: 6Differentialgeometrie ist meines Erachtens ein Gebiet, das sich wegenzahlreicher Querverbindungen zu anderen mathematischen Diszipli-nen und seiner Bedeutung etwa f¨ur die theoretische Physik besondersgut als Vorlesung f¨ur den zweiten Studienabschnitt einer Mathema-tikerausbildung eignet.“Wie ich zuvor schon andeutete, war Brauner in seinen Vorlesungen sehrz¨ugig unterwegs. Langatmige Motivationen oder ausgedehnte Wiederholun-gen des Stoffes waren ihm fremd. Dennoch war es einfach faszinierend und vorallem lohnend, seine Vorlesungen zu besuchen. Mathematisch pr¨azise Formu-lierungen und glasklare Definitionen, gepaart mit anschaulich-geometrischenErkl¨arungen und zahlreichen Handskizzen, bildeten die Basis seiner Vorlesun-gen. Wer regelm¨aßig seine Veranstaltungen besuchte, wusste immer, worumes gerade ging.Eine seiner besonderen Eigenarten war es, beim Fenster hinaus blickendzu unterrichten. In solchen Augenblicken wussten wir Studenten: Jetzt ist ervoll bei der Sache; nichts und niemand kann ihn aufhalten. Aber gelegentlichhielt Brauner von sich aus pl¨otzlich inne, dachte wortlos nach, sch¨utteltemanchmal auch den Kopf, schwieg nochmals f¨ur einige Sekunden, um dannim gewohnten Tempo weiterzumachen.In seinen Lehrveranstaltungen konnte Brauner begeistern und mitreißen.Einer meiner Studienkollegen wollte im Anschluss an ein Seminar im Stu-dienjahr 1975/76 zum Thema
Nichtdesarguessche Projektive Ebenen in sei-ner Hausarbeit unbedingt das Problem der Existenz oder Nichtexistenz ei-ner projektiven Ebene der Ordnung 10 l¨osen. Brauner, der um die extremeSchwierigkeit der Fragestellung wusste, hat ihm mit Recht ein anderes Themavorgeschlagen. Das genannte Problem wurde ¨ubrigens von Lam, Thiel undSwiercz erst 1989 unter Einsatz des Computers gel¨ost. Wir wissen seither,dass es keine solche Ebene gibt.Brauners Vortragsstil war in jeder Hinsicht brillant. Mit wenigen, treffen-den Worten das Richtige zu sagen, das war eine seiner St¨arken. Er sprachlaut, deutlich und in ganzen S¨atzen, die in vielen F¨allen druckreif waren. Icherinnere mich an einen Artikel in einer Studentenzeitung aus den 1980er Jah-ren. Dort wurde Brauner als der ”ungekr¨onte Meister des Schachtelsatzes“bezeichnet. Dem habe ich nichts hinzuzuf¨ugen.Gelegentlich streute Brauner in seinen Unterricht aber auch launischeBemerkungen ein. So erkl¨arte er in einer Vorlesung ¨uber Differentialgeometriedie kovariante Ableitung auf einer Fl¨ache mit Hilfe von ”auf einer Fl¨achelebenden K¨afern“ und bemerkte dabei verschmitzt:”Nur differenzieren sollten die K¨afer schon k¨onnen.“7n einer Vorlesung direkt vor den Osterferien schrieb er zum Abschluss
Frohe O* auf die Tafel, um dann wortlos schmunzelnd den Raum zu verlassen. In seinenVorlesungen f¨ur Ingenieurstudenten betonte er zur Illustration eines r¨aumli-chen Rechtssystems immer wieder nachdr¨ucklich:”Die z -Achse weist nach oben, die y -Achse nach weist nach rechts,und die x -Achse sticht Sie in den Bauch.“Brauner ¨ubersetzte in einer Vorlesung aus projektiver Geometrie das Wort oskulieren korrekt als k¨ussen und meinte danach nur trocken:”Was hyperoskulieren bedeutet, m¨ussen Sie selbst herausfinden.“Viele Inhalte der Vorlesungen von Heinrich Brauner k¨onnen auch heutenoch in den sechs von ihm verfassten B¨uchern nachgelesen werden. Sie be-handeln die Themen Geometrie Projektiver R¨aume (2 B¨ande),
Baugeometrie (2 B¨ande, gemeinsam mit Walter Kickinger),
Differentialgeometrie und
Kon-struktive Geometrie . Seinen außergew¨ohnlichen Vortragsstil k¨onnen sie ausmeiner Sicht leider nicht vermitteln.
Brauner arbeitete an seinen Artikeln und B¨uchern weitgehend alleine undvorzugsweise daheim. Er gab aber die von seiner Sekret¨arin mit der Schreib-maschine ausgearbeiteten Manuskripte immer uns Assistenten zum Durchle-sen, Kommentieren und Korrigieren. Aus diesem Grund sind nur sehr wenigehandgeschriebene Aufzeichnungen von Brauner vorhanden. Abbildung 6 zeigtein Manuskript aus dem Jahre 1986, in dem er sich mit den Derivationen deskomplexen Zahlk¨orpers besch¨aftigte. Er hat dar¨uber aber nichts publiziert.Umgekehrt nahm sich aber Brauner auch immer sehr viel Zeit, um dieArtikel seiner Mitarbeiter gewissenhaft zu studieren und zu verbessern. Somanches meiner Manuskripte war kaum mehr zu erkennen, nachdem es Brau-ner gelesen und – wie immer mit Bleistift – seine Anmerkungen angebrachthatte. Seine Kritik bezog sich dabei prim¨ar auf den mathematischen Inhalt,wo er bei anderen dieselben strengen Maßst¨abe ansetzte wie bei sich selbst.Er markierte aber prinzipiell alles, was ihm falsch erschien. Oft formulier-te er seine Bemerkungen zus¨atzlich sehr pointiert, aber niemals unh¨oflich,im pers¨onlichen Gespr¨ach. So war etwa sein trockener Kommentar, nachdem8bbildung 6: Ein von Brauner verfasstes Manuskripter das erste Kapitel meiner Dissertation gelesen hatte: ”Herr Havlicek, ihreBeistrichsetzung m¨ochte ich nicht haben!“Brauner legte immer allergr¨oßten Wert auf wissenschaftliche Gespr¨ache9bbildung 7: Vortrag im Stift Rein 1983mit seinen Mitarbeitern. So knapp konnte seine Zeit gar nicht bemessen sein,dass er daf¨ur nicht ein paar Minuten er¨ubrigen konnte. Und so manche Un-terredung hat dann deutlich l¨anger gedauert, als urspr¨unglich geplant war.So sprachen wir einmal sicher f¨ur mehr als eine halbe Stunde – auch wenn esunglaubw¨urdig klingen mag – ¨uber die leere Menge .Selbstverst¨andlich hat Brauner seine Forschungsergebnisse auf Tagungenpr¨asentiert. Alles das, was ich zuvor ¨uber seine Vorlesungen angemerkt habe,trifft auch auf den Stil seiner Vortr¨age zu. Die Abbildungen 7 und 8 zeigenihn beim
Zweiten ¨Osterreichischen Geometrie-Kolloquium , welches im Mai1983 im Stift Rein stattfand. Er sprach damals ¨uber den
Satz von Pohlke im n -dimensionalen euklidischen Raum .Brauners sehr breit gestreutes wissenschaftliches Werk hat Walter Wun-derlich in seinem Nachruf [3] ausf¨uhrlich gew¨urdigt. Im Anhang 1 zu diesemArtikel ist ein Schriftenverzeichnis so wiedergegeben, wie es Brauner selbstgef¨uhrt hat. Es umfasst einundneunzig Arbeiten.10bbildung 8: Vortrag im Stift Rein 1983 Es g¨abe noch viel zu berichten, etwa ¨uber die zwanzig von Brauner betreutenDissertationen (vgl. dazu den Anhang 2) und die wohl mehr als einhundertvon ihm vergebenen Haus- und Diplomarbeiten, ¨uber welche es allerdingskeine vollst¨andigen schriftlichen Aufzeichnungen geben d¨urfte.Neben seinen Aktivit¨aten in der universit¨aren Lehre und Forschung galtsein großes Engagement insbesondere dem Unterrichtsfach
Darstellende Geo-metrie , und zwar in inhaltlicher, didaktischer und fachpolitischer Hinsicht.Auch dieser Aspekt muss hier leider ausgeklammert bleiben.Hingegen m¨ochte ich zum Abschluss die große Hilfsbereitschaft Braunersin großen wie in kleinen Dingen erw¨ahnen. Dazu sei eine der Situationengeschildert, in denen mir Brauner entscheidend geholfen hat:Zum Ende meines Studiums hatte ich Brauner als Pr¨ufer f¨ur die m¨undli-che Lehramtspr¨ufung aus Darstellender Geometrie gew¨ahlt. Aber genau eineWoche vor dieser Pr¨ufung h¨atte ich eine Truppen¨ubung beim ¨osterreichischenBundesheer absolvieren m¨ussen. Ich stellte einen Antrag auf Aufschub derEinberufung und gab als Begr¨undung an, dass ich mich in Ruhe auf mei-ne Abschlusspr¨ufung vorbereiten m¨usste. Mein Antrag wurde abgelehnt, dakeine Terminkollision vorlag. Einer meiner Studienkollegen, dem Brauner inanderem Zusammenhang erfolgreich geholfen hatte, empfahl mir, in Brau-ners Sprechstunde zu gehen. Ich folgte seinem Rat und schilderte Brauner11ein Problem. Dieser setzte einfach eine ”Vorpr¨ufung“ mitten im Zeitraumder Truppen¨ubung an und verfasste eine Best¨atigung dar¨uber. Mit diesemSchreiben legte ich erfolgreich Berufung gegen die Entscheidung der erstenInstanz ein.Damit bin ich am Ende meiner Ausf¨uhrungen angelangt. Im Mittelpunktstanden meine ganz pers¨onlichen Erinnerungen an den Menschen HeinrichBrauner, seine Eigenschaften, Wesensmerkmale und Leistungen. Wer mehrerfahren m¨ochte, dem seien neben seinem wissenschaftlichen Werk (vgl. dasSchriftenverzeichnis im Anhang 1) auch der Artikel [1], die Ausarbeitung sei-ner Wiener Antrittsvorlesung vom 28. J¨anner 1970 [2] und der schon erw¨ahnteNachruf [3] w¨armstens ans Herz gelegt.
Anhang 1: Publikationen von H. Brauner
1. Orthogonalsysteme von Riemannschen Hyper߬achen der Klasse 1.
Anz. ¨Oster.Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. (1951). 29–36.2. Kongruente Verlagerung kollinearer R¨aume in axiale Lage. Monatsh. Math. (1953). 75–87.3. Kongruente Verlagerung kollinearer R¨aume in halbxiale Lage. Monatsh. Math. (1954). 13–26.4. Quadriken als Bewegfl¨achen. Monatsh. Math. (1955). 45–63.5. Erzeugung eines gleichseitigen hyperbolischen Paraboloides durch Bewegungeiner gleichseitigen Hyperbel. Arch. Math. (Basel) (1955). 330–334.6. Geod¨atische Fallinien einer Gel¨andefl¨ache. Anz. ¨Oster. Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. (1955). 171–175.7. ¨Uber die Projektion mittels der Sehnen einer Raumkurve 3. Ordnung. Mo-natsh. Math. (1955), 258–273.8. ¨Uber die ¨ahnlichen und sich ¨ahnlich projizierenden Kegelschnitte auf Quadri-ken. Arch. Math. (Basel) (1956), 78–86.9. Konstruktive Durchf¨uhrung der durch die Sehnen einer Raumkurve 3. Ord-nung vermittelten Abbildung des Raumes auf eine Ebene. Monatsh. Math. (1956), 231–248.10. Die automorphen involutorischen Korrelationen koaxialer projektiver Schrau-bungen (mit Rudolf Bereis). ¨Osterreich. Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. S.-B. II. (1956), 327–355.11. ¨Uber Mannigfaltigkeiten von Strahlen mit kongruenten Netzrissen. Arch.Math. (Basel) (1957), 406–416.12. ¨Uber koaxiale euklidische Schraubungen (mit Rudolf Bereis). Monatsh. Math. (1957), 225–245.
3. Schraubung und Netzprojektion.
Elem. Math. (1957). 33–41.14. Eine Verallgemeinerung der Zyklographie. Arch. Math. (Basel) (1958), 470–480.15. ¨Uber die durch einen quadratischen Komplex der Charakteristik (11)(112)vermittelte Projektion I. Monatsh. Math. (1958), 119–131.16. ¨Uber die durch einen quadratischen Komplex der Charakteristik (11)(112)vermittelte Projektion II. Monatsh. Math. (1958), 132–145.17. Bestimmung einer Strahlfl¨ache aus ihren sph¨arischen Bildern. Anz. ¨Oster.Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. (1958). 103–107.18. ¨Uber Strahlfl¨achen von konstantem Drall. Monatsh. Math. (1959), 101–111.19. Die dualen Gegenst¨ucke zu fl¨achentheoretischen S¨atzen von O. Bonnet undE. Beltrami. Anz. ¨Oster. Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. (1959), 194–200.20. Eine Verallgemeinerung des Problems der Ces`arokurven. Math. Ann. (1959), 27–41.21. Beitr¨age zur Theorie des mit einer euklidischen Schraubung verkn¨upften ku-bischen Nullsystems (mit Rudolf Bereis).
Math. Nachr. (1959), 239–258.22. Die Strahlfl¨ache 3. Grades mit konstantem Drall. Monatsh. Math. (1960),101–109.23. Erweiterung des Begriffes Drall auf Mongesche Fl¨achen. Anz. ¨Oster. Akad.Wiss. Math.-Nat. Kl. (1960). 139–144.24. Die konstant gedrallte Netzfl¨ache 4. Grades. Monatsh. Math. (1961), 53–73.25. Eine einheitliche Erzeugung konstant gedrallter Strahlfl¨achen. Monatsh. Math. (1961), 301–314.26. Die verallgemeinerten B¨oschungsfl¨achen. Math. Ann. (1961), 431–439.27. Die Affinnormalen der Tangentialschnitte einer Fl¨ache.
Anz. ¨Oster. Akad.Wiss. Math.-Nat. Kl. (1962). 9–14.28. Eine Scherungsinvariante der Strahlfl¨achen. Monatsh. Math. (1962), 105–109.29. Die konstant gedrallten windschiefen Fl¨achen 4. Grades mit reduzibler Fern-kurve. Math. Z. (1963), 420–433.30. Die windschiefen Fl¨achen konstanter konischer Kr¨ummung. Math. Ann. (1963), 257–270.31. Geometrie auf der Cayleyschen Fl¨ache. ¨Osterreich. Akad. Wiss. Math.-Natur.Kl. S.-B. II (1964), 93–128.32. Kreisgeometrie in der isotropen Ebene.
Monatsh. Math. (1965), 105–128.33. Die quadratischen Strahlkomplexe der Charakteristik (321). Math. Z. (1965), 320–357.34. Geometrie des zweifach isotropen Raumes. I. Bewegungen und kugeltreueTransformationen. J. Reine Angew. Math. (1966), 118–146.
5. Die Fl¨achen mit einem kinematischen Netz aus Schmieglinien (mit HermannSchaal).
Arch. Math. (Basel) (1967), 91–99.36. Geometrie des zweifach isotropen Raumes II. Differentialgeometrie der Kurvenund windschiefen Fl¨achen. J. Reine Angew. Math. (1967), 132–158.37. Die algebraischen windschiefen Gesimsfl¨achen.
Monatsh. Math. (1967),300–318.38. Geometrie des zweifach isotropen Raumes III. Fl¨achentheorie. J. Reine Angew.Math. (1967), 38–70.39.
Differentialgeometrie.
Universit¨at Stuttgart, Stuttgart 1967. vi+127 Seiten.40. Neuere Untersuchungen ¨uber windschiefe Fl¨achen: Ein Bericht.
Jber. Deutsch.Math.-Verein. (1967) Heft 2, Abt. 1, 61–85.41. Analytische Geometrie I.
Universit¨at Stuttgart, Stuttgart 1967. vi+114 Seiten.42. Die algebraischen windschiefen Fl¨achen mit einer stetigen Schar ebener Schat-tengrenzen.
Math. Ann. (1968), 1–14.43.
Analytische Geometrie II.
Universit¨at Stuttgart, Stuttgart 1968. iv+90 Seiten.44.
Analytische Geometrie III.
Universit¨at Stuttgart, Stuttgart 1968. ii+223 Sei-ten.45. Die Fl¨achen mit B¨oschungslinien als Fallinien.
Monatsh. Math. (1968), 385–411.46. Die Fl¨achen mit zwei Scharen konstant geb¨oschter Schmieglinien (mit Her-mann Schaal). Arch. Math. (Basel) (1969), 81–87.47. Die windschiefen Kegelschnittfl¨achen. Math. Ann. (1969), 33–44.48. Die Fl¨achen, welche stetige Scharen ebener geod¨atischer Linien tragen.
Jber.Deutsch. Math.-Verein. (1969), Heft 3, Abt. 1, 160–166.49. Differentialgeometrie.
Universit¨at Stuttgart, Stuttgart 1969. ii+336 Seiten.50.
Riemannsche Geometrie.
Universit¨at Stuttgart, Stuttgart 1969. 136 Seiten.51. Gedanken ¨uber Geometrie.
Antrittsvorlesungen der Technischen HochschuleWien . Verlag der Technischen Hochschule Wien, Wien 1970. 11 Seiten.52. Differentialgeometrie ebener Kurven. Wiss. Nachrichten (1971), 21–24.53. Eine geometrische Kennzeichnung linearer Abbildungen. Monatsh. Math. (1973), 10–20.54. Abbildungsmethoden der konstruktiven Geometrie. 7. Steierm¨arkisches Ma-thematisches Symposium (Graz, 1975), Ber. Math.-Statist. Sektion, For-schungszentrum Graz
Nr. (1975). 11 Seiten.55. Geometrie projektiver R¨aume I.
Bibliographisches Institut, Mannheim-Wien-Z¨urich 1976. x+225 Seiten. (ISBN 10: 3-411-01512-8).56.
Geometrie projektiver R¨aume II.
Bibliographisches Institut, Mannheim-Wien-Z¨urich 1976. viii+250 Seiten. (ISBN 10: 3-411-01513-6). Baugeometrie I (mit Walter Kickinger). 1. Auflage. Wiesbaden-Berlin, Bau-verlag 1977. 88 Seiten. (ISBN 10: 3-762-50825-9).58. ¨Uber schmieglinientreue Isometrien. ¨Osterreich. Akad. Wiss. Math.-Natur. Kl.Sitzungsber. II (1979), no. 1–3, 15–21.59. Die erzeugendentreuen konformen Abbildungen aus Regelfl¨achen.
Arch. Math.(Basel) (1979/80), no. 5, 470–477.60. Geometrija u Graditeljstvu (mit Walter Kickinger), ˇSkolska knjiga, Zagreb1980. 156 Seiten. ( ¨Ubersetzung von
Baugeometrie I , in kroatischer Sprache).61. Abbildungen aus Regelfl¨achen. 12. Steierm¨arkisches Mathematisches Sympo-sium (Graz, 1980),
Ber. Math.-Statist. Sektion, Forschungszentrum Graz
Nr. (1980). 14 Seiten.62.
Differentialgeometrie.
Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1981.xvii+424 Seiten. (ISBN 10: 3-528-03809-8).63. Gedanken zum Unterricht in Darstellender Geometrie. ¨OMG Didaktik-Reihe (1981). 76 Seiten.64. Darstellende Geometrie im Schulunterricht. Mathematikunterr. (3), (1981),5–68.65. Die fl¨achentreuen Abbildungen aus Regelfl¨achen, bei denen die Erzeugendengeradlinig bleiben. Arch. Math. (Basel) (1982), no. 2, 102–105.66. Baugeometrie II (mit Walter Kickinger). Wiesbaden-Berlin, Bauverlag 1982.89 Seiten. (ISBN 10: 3-7625-0927-1).67. Gebaute Geometrie. Beispiele aus dem Bauwesen f¨ur den Schulunterricht derDarstellenden Geometrie (mit Walter Kickinger).
Mathematikunterr. (2)(1982), 5–28.68. Zur Theorie linearer Abbildungen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg (1983),154–169.69. Die windschiefen Fl¨achen mit B¨oschungsschmieglinien. Anz. ¨Osterreich. Akad.Wiss. Math.-Natur. Kl. (1984), 125–127 (1985).70. Zur theoretischen Begr¨undung der Darstellenden Geometrie.
Ber. Math.-Statist. Sektion, Forschungszentrum Graz
Nr. (1985). 2 Seiten.71. Zur Methodik der Darstellenden Geometrie I. Die konstruktive Behandlungder Ebene.
Informationsbl¨atter Darstellende Geometrie (Univ. Innsbruck) (1), (1985), 11–17.72. Die erzeugendentreuen geod¨atischen Abbildungen aus Regelfl¨achen. Monatsh.Math. (1985), no. 2, 85–103.73. Zur Methodik der Darstellenden Geometrie II. Der Anfangsunterricht. Infor-mationsbl¨atter Darstellende Geometrie (Univ. Innsbruck) (2), (1985), 15–24.74. Lineare Abbildungen aus euklidischen R¨aumen. Beitr¨age Algebra Geom. (1986), 5–26.
5. Die verallgemeinerten B¨oschungsfl¨achen mit B¨oschungsschmieglinien. ¨Oster-reich. Akad. Wiss. Math.-Natur. Kl. Sitzungsber. II (1985), no. 1–3, 55–61.76. Zur Methodik der Darstellenden Geometrie III. L¨osung stereometrischer Auf-gaben mit Hilfe von Normalprojektionen.
Informationsbl¨atter DarstellendeGeometrie (Univ. Innsbruck) (1), (1986), 7–13.77. Lehrbuch der konstruktiven Geometrie.
Wien, Springer, 1986. 384 Seiten.(ISBN 10: 3-211-81833-2).78. Zur Methodik der darstellenden Geometrie IV. Parallelriß einer Ellipse.
Infor-mationsbl¨atter Darstellende Geometrie (Univ. Innsbruck) (2) (1986), 11–16.79. Eine Kennzeichnung der Minimalfl¨achen von G. Thomsen. Rad Jugoslav. Akad.Znan. Umjet. no. , (1988), 1–15.80. Zum Satz von K. Pohlke in n -dimensionalen euklidischen R¨aumen. ¨Osterreich.Akad. Wiss. Math.-Natur. Kl. Sitzungsber. II (1986), no. 8–10, 585–591.81. Zur Methodik der darstellenden Geometrie V. Methodische Miniaturen. Infor-mationsbl¨atter Darstellende Geometrie (Univ. Innsbruck) (1) (1987), 13–20.82. Darstellende Geometrie an der AHS – ein Unterrichtsgegenstand im Wandel. Informationsbl¨atter Darstellende Geometrie (Univ. Innsbruck) (1) (1987),3–10.83. Zur Methodik der darstellenden Geometrie VI. Der UnterrichtsgegenstandDarstellende Geometrie im Zeitalter des Computers. Informationsbl¨atter Dar-stellende Geometrie (Univ. Innsbruck) (2) (1987), 11–18.84. Die Drehfl¨achen mit B¨oschungsschmieglinien. ¨Osterreich. Akad. Wiss. Math.-Natur. Kl. Sitzungsber. II (1987), no. 4–7, 217–226.85. Zur Methodik der darstellenden Geometrie VII. Abbildungen im Unterrichtder darstellenden Geometrie, Teil 1. Informationsbl¨atter Darstellende Geome-trie (Univ. Innsbruck) (1), (1988), 7–16.86. Eine Kennzeichnung der ¨Ahnlichkeiten affiner R¨aume mit definiter Orthogo-nalit¨atsstruktur. Geom. Dedicata (1989), no. 1, 45–51.87. Zur Methodik der darstellenden Geometrie VIII. Abbildungen im Unterrichtder Darstellenden Geometrie, Teil 2, Abbildungsgleichungen zur Herstellungvon Rissen. Informationsbl¨atter Darstellende Geometrie (Univ. Innsbruck) (2), (1988), 13–22.88. ¨Uber die von Kollineationen projektiver R¨aume induzierten Geradenabbildun-gen. ¨Osterreich. Akad. Wiss. Math.-Natur. Kl. Sitzungsber. II (1988), no.4–7, 327–332.89. Zur Methodik der Darstellenden Geometrie IX. Abbildungen im Unterricht derDarstellenden Geometrie, Teil 3. Informationsbl¨atter Darstellende Geometrie (Univ. Innsbruck) (1) (1989), 5–14. Baugeometrie I (mit Walter Kickinger). 2. Auflage. Wiesbaden Berlin, Bau-verlag 1989. 91 Seiten. (ISBN 10: 3-762-52690-7).91. Die Schraubfl¨achen und die Spiralfl¨achen mit B¨oschungsschmieglinien.
Glas.Mat. Ser. III (45) (1990), no. 1, 157–165. Anhang 2: Dissertationen(Betreuer und Erstgutachter H. Brauner)
1. Oswald Giering:
Bestimmung von Eibereichen und Eik¨orpern durch Steiner-Symmetrisierungen.
Technische Hochschule Stuttgart 1962.Erschienen in:
Sitz.-Ber. Bayer. Akad. Wiss. M¨unchen (1962), 225–253.2. Wolfgang Jenne:
Eine nat¨urliche Affingeometrie der Strahlfl¨achen.
TechnischeHochschule Stuttgart, 1964.Erschienen in:
Math. Zeitschr. (1964), 214–237.3. Gerd Blind: Ebene Lagerungen von Kreisen, deren Radien nicht sehr verschie-den sind.
Technische Hochschule Stuttgart 1966. 42 Seiten.4. Heinrich W¨olpert:
Transformationstheorie der quadratischen Strahlkomplexeder Charakteristik [(33)]. Technische Hochschule Stuttgart 1967.5. Richard Koch:
Geometrien mit einer Cayleyschen Fl¨ache dritten Gradesals absolutem Gebilde.
Universit¨at Stuttgart (Technische Hochschule) 1968.132 Seiten.6. Manfred Oehler:
Axiomatisierung der Geometrie auf der Cayley’schen Fl¨ache.
Universit¨at Stuttgart (Technische Hochschule ) 1969. 71 Seiten.7. Lothar Profke:
Kongruente Verlagerung projektiver Ebenen in Grenzlage.
Uni-versit¨at Stuttgart 1969. 97 Seiten.8. Gunther R¨osler:
Zur Differentialgeometrie des Fl¨achenelementes dritter Ord-nung.
Universit¨at Stuttgart 1969. 44 Seiten.9. Siegfried Gr¨uner:
Zur Differentialgeometrie der isotropen M¨obiusebene.
Uni-versit¨at Stuttgart 1970. 95 Seiten.10. Kurt Peter M¨uller:
Zur Geometrie der symplektischen Gruppe im reellen drei-dimensionalen projektiven Raum.
Universit¨at Stuttgart 1970. 63 Seiten.11. Georg Kronhuber:
Regelfl¨achen im zentroaffinen Raum.
Technische HochschuleWien 1972. 52 Seiten.12. Gunter Weiß: ¨Uber die Striktionslinie reeller analytischer windschieferFl¨achen.
Technische Hochschule Wien 1973.13. Rolf Riesinger:
Verallgemeinerte zirkulare und verallgemeinerte zyklische qua-dratische Komplexe.
Technische Hochschule Wien 1973. 114 Seiten.
4. Hans-Peter Paukowitsch:
Differentialgeometrie der Kurven bez¨uglich der Sche-rungsgruppe in n-dimensionalen reellen affinen R¨aumen.
Technische Hoch-schule Wien, 1975. 54 Seiten.15. Friedrich Anzb¨ock:
Eine durch das Kleinsche ¨Ubertragungsprinzip vermittelteprojektive Differentialgeometrie der windschiefen Fl¨achen.
Technische Hoch-schule Wien 1976, 87 Seiten.Erschienen in:
J. Reine Angew. Math. / (1978), 92–112.16. Herbert Fritsche: Eine geometrische Kennzeichnung der linearen Abbildun-gen der Geraden des projektiven, dreidimensionalen Raumes in eine projektiveEbene.
Technische Universit¨at Wien 1978. 56 Seiten.17. Hans Havlicek:
Lineare Abbildungen aus Graßmann-R¨aumen.
Technische Uni-versit¨at Wien 1980. 100 Seiten.Erschienen als: Zur Theorie linearer Abbildungen I, II.
J. Geom. (1981),152–167, 168–180.18. Friedrich Manhart: Zur relativen Differentialgeometrie der Hyperfl¨achen.
Technische Universit¨at Wien 1982. 68 Seiten.19. Ingrid Muhr:
Fl¨achen mit konstant geb¨oschten Schmieglinien.
Technische Uni-versit¨at Wien 1983. 34 Seiten.20. Andreas Asperl:
Zweifach Blutelsche Kegelschnitts߬achen des projektiven drei-dimensionalen Raumes.
Technische Universit¨at Wien 1990. 93 Seiten. Anhang 3: Dissertationen(Zweitgutachter H. Brauner)
1. Hubert Bitzel:
Zur Konstruktion von ¨ubertragungsg¨unstigen, ebenen Kurvenge-trieben mit schwingendem oder umlaufendem Abtriebsglied.
Technische Hoch-schule Stuttgart 1969. 80 Seiten. Erstgutachter: J. Jehlicka.2. Gunther Petersch:
Algebraische Raumkurven vierter Ordnung mit festerHauptnormalenneigung.
Technische Hochschule Wien 1974. 67 Seiten. Erst-gutachter: Walter Wunderlich.3. G¨unter Eigenthaler:
Zur Theorie der Polynome und Polynomfunktionen.
Tech-nische Hochschule Wien 1975. 93 Seiten. Erstgutachter: Winfried N¨obauer.4. Maximilian Kreuzer:
Eichunabh¨angige Schwelleneffekte bei vereinheitlichtenTheorien der starken, schwachen und elektromagnetischen Wechselwirkungen.
Technische Universit¨at Wien 1986, 109 Seiten. Erstgutachter: Wolfgang Kum-mer. Andreas Asperl stellte seine von Heinrich Brauner betreute Dissertation einen Monatnach dessen Ableben fertig. Erstgutachter war Gunter Weiß. . Hartwig Sorger: Eigenschattengrenzen konvexer K¨orper und Verwandtes.
Tech-nische Universit¨at Wien 1987, 68 Seiten. Erstgutachter: Peter M. Gruber.6. Peter Grandits:
C-Diskrepanz von Fl¨achen im Raum.
Technische Universit¨atWien 1990, 71 Seiten. Erstgutachter: Rudolf Taschner.
Literatur [1] ¨Osterreichische Gelehrte im Ausland, Heinrich Brauner / Mathematik,Stuttgart. ¨Osterreichische Hochschulzeitung , Ausgabe vom 15. Mai 1967.[2] H. Brauner. Gedanken ¨uber Geometrie.
Antrittsvorlesungen der Techni-schen Hochschule Wien , Verlag der Technischen Hochschule Wien,Wien 1970.[3] W. Wunderlich. Heinrich Brauner (Nachruf). Almanach der ¨Osterreichi-schen Akademie der Wissenschaften (1990), 341–349.Hans Havlicek, Forschungsgruppe Differentialgeometrie und GeometrischeStrukturen, Institut f¨ur Diskrete Mathematik und Geometrie, TechnischeUniversit¨at Wien, Wiedner Hauptstraße 8–10, A-1040 Wien, Austria. [email protected]@geometrie.tuwien.ac.at