Lorenzen's reshaping of Krull's Fundamentalsatz for integral domains (1938--1953)
aa r X i v : . [ m a t h . HO ] J u l Lorenzen’s reshaping of Krull’s Fundamentalsatzfor integral domains (1938–1953)
Stefan Neuwirth
Abstract
Krull’s Fundamentalsatz, the generalisation of the main theorem of ele-mentary number theory to integral domains, is the starting point of Loren-zen’s career in mathematics. This article traces a conceptual history ofLorenzen’s successive reformulations of the Fundamentalsatz on the basis ofexcerpts of his articles. An edition of the extant correspondence of Lorenzenwith Hasse, Krull, and Aubert provides a better understanding of the contextof these investigations.
Contents ℓ -group. 369 A letter from Krull to Scholz from 1953: the well-ordering theorem. 38 Lorenzen’s correspondence with Hasse, Krull, and Aubert, togetherwith some relevant documents. 42
A Synopsis. 43B The correspondence between Krull and Lorenzen, 1938. 48C The reports on Lorenzen’s thesis. 541 The correspondence between Hasse and Lorenzen, 1938–1942. 55E Documents relating to Lorenzen’s career, 1942. 78F The correspondence between Krull and Lorenzen, 1943–1944. 80G A postcard from Lorenzen to Hasse, 1945. 99H Documents relating to Lorenzen’s career, 1945–1946. 99I A letter from Krull to Scholz, 1953. 103J The correspondence between Hasse and Lorenzen, 1953–1963. 104K The correspondence between Aubert and Lorenzen, 1978–1979. 113References. 119
1. Introduction.
In the period considered, Paul Lorenzen is a professional mathematician whoseresearch in abstract algebra leads to new insights on the way algebraic objects aregiven to us. His genuine interest in mathematical logic certainly triggers theseinsights; conversely, they also influence his conception of a consistency proof forelementary number theory as the construction of an embedding of a preorderedset into a σ -complete pseudocomplemented semilattice (see Coquand and Neuwirth2020).The broader framework in which this happens is that of lattice theory gettingto the core of mathematical research, after the work of the precursors Dedekind,Schröder, and Skolem. The introduction of lattice theory into ideal theory iscredited to Wolfgang Krull (1926), whose assistant Lorenzen is from 1939 until hishabilitation in 1946.Herbert Mehrtens (1979, page 146), in considering Steinitz’ work, describes thedevelopment of modern algebra in the following terms: 1. the algebraic structure ofconcrete objects is unveiled; 2. it is given an abstract axiomatic formulation; 3. theabstract concepts are subjected to a detailed investigation of their structure. It isat this third stage that lattice theory becomes instrumental.After the first step, where the algebraic fundamental structures had emerged inthe investigation of numbers, equations, and functions, and the second phase,where the abstract-axiomatic formulation had been achieved, now the abstractconcepts became the base of a careful structural investigation.Seen in this way, the third phase in the development of abstract algebra,the “modern age”, starts with Steinitz. Dedekind’s work belongs to the first,concrete phase; it is part of this developmental stage by virtue of containing2he germ of the further development. This is also attested by the fact that, inone detail, he himself carried out all three phases – in the investigation of thedual group [the lattice]. For abstract algebra, the third phase is marked byE. Noether, E. Artin, H. Hasse, W. Krull, and others, whose most productivetime were the 20s and 30s.This article proposes to follow Lorenzen’s work in algebra by focusing on aspecific theorem, Krull’s Fundamentalsatz for integral domains. The theorem isintroduced on the basis of excerpts of articles by Krull (1930, 1932, 1936a) with ashort comment. Thus the starting point of Lorenzen’s research is described. Thenexcerpts of each of his four articles on the subject (Lorenzen 1939a, 1950, 1952,1953a) are given and commented on, in chronological order, so as to follow hisenterprise of deepening the understanding of the Fundamentalsatz. In his letterto Krull dated 6 June 1944 (page 94), Lorenzen describes his goal as follows.And yet the simplification and clarification of the proof methods is pre-cisely the proper main goal of my work. I have not tried to generalise thetheorems of multiplicative ideal theory at any price, even at the price of com-plicating – on the contrary, I rather care only to discern the basic ideas ofthe proof methods in their ultimate simplicity. If e.g. I replace the concept ofvaluation by “homomorphism of a semilattice into a linearly preordered set”,then I see therein a conceptual simplification instead of a complication. Forthe introduction of the concept of valuation (e.g. the prima facie arbitrarytriangle inequality) is justified only by the subsequent success, whereas theconcept of homomorphism bears its justification in itself. I would say that thehomomorphism into a linear preorder is the “pure concept” that underlies theconcept of valuation. And the underlying, pure concept seems to me to beundeniably the simpler one.If I am mistaken in this point, then I urge you to tell it to me, becauseit has to date always been my endeavour in my whole mathematical work tobring to light these underlying, pure concepts themselves in their simple andtransparent clarity.In this tendency toward conceptual clarification, the paper [Lorenzen 1950]also differs from my dissertation [Lorenzen 1939a]. That this clarification, thisunderstanding of the inner significance, as you call it once, is the most urgentduty has really become evident to me only in the last years.This article allows for several different readings, according to the objectives ofthe readers and to their German language skills. Krull’s formulation and analysisof his Fundamentalsatz and Lorenzen’s reshaping of it are presented as a process3hat takes place in seven articles, of which the arguments relevant for our historyare presented in a comprehensive way, sometimes accompanied by translations ofselected paragraphs; then excerpts of the original article, chosen so as to allow for adirect and coherent reading and comparison with my presentation, are reproduced.The correspondence of Lorenzen with Hasse, Krull, and Aubert, together with afew documents, provides an insight into their respective conceptions as well as intothe human and administrative component of this history.
2. Krull 1930: a first attempt at introducingvaluations for an integral domain.
Krull (1930) describes the goal of a Fundamentalsatz for integral domains: itshould generalise the “main theorem of elementary number theory” to the caseof an integral domain O with field of fractions K . The theorem to be generalisedanswers the question of when a nonzero element α of K = Q is divisible by anothernonzero element β , i.e. of when the quotient α · β − lies in O = Z . It does so interms of the difference between the exponents with which each prime number p appears in the numerator and the denominator of α (the value of α at p ) and of β :the value of α must be greater than or equal to the value of β at each p .Krull proposes an abstract version of these differences of exponents by definingvaluations as functions K → R ∪ { + ∞} satisfying three properties 1, 2 and 3, andinvestigates when valuations decide divisibility. Excerpt.
Our excerpt is from pages 531–532 of “Idealtheorie in unendlichen algebraischenZahlkörpern II”,
Mathematische Zeitschrift
Bewertung; Begriff der Zahlentheorie.
Das Grundproblem und der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie kannfolgendermaßen formuliert werden:Fr a g e: Wann ist das Element α aus dem Körper K r der rationalen Zahlenhinsichtlich der Ordnung O r der ganzen rationalen Zahlen durch das gleichfallszu K r gehörige Element β teilbar, d. h. wann liegt der Quotient α · β − in O r ?Antwo r t: Man ordne jeder Primzahl p aus O r eine „Stelle“ P zu undverstehe für beliebiges α = 0 aus K r unter dem Wert von α in P die Differenzder Exponenten, mit denen die zu P gehörige Primzahl p bei einer Quotien-tendarstellung von α durch ganze Zahlen in Zähler und Nenner aufgeht. Dann4ilt der Satz: α ist dann und nur dann durch β teilbar, wenn der Wert von α in bezug auf eine beliebige Stelle niemals kleiner ist als der Wert von β inbezug auf die gleiche Stelle.Es bedeute von jetzt ab K einen beliebigen Körper, unter einer Ordnung O möge ein Unterring von K verstanden werden, der das Einheitselement enthält,von K selbst verschieden ist und die Eigenschaft besitzt, daß jedes Elementaus K als Quotient von Elementen aus O geschrieben werden kann, daß also K den Quotientenkörper von O darstellt. Wir nennen das Körperelement α durchdas Körperelement β hinsichtlich O teilbar , wenn α · β − zu O gehört undfragen: Welche Eigenschaften muß O besitzen, damit über die Teilbarkeitsverhält-nisse der Elemente von K hinsichtlich O nach dem Vorbild der elementarenZahlentheorie durch Einführung von „Stellen“ und zugehörigen „Bewertungen“entschieden werden kann? Um die aufgeworfene Frage zu präzisieren, haben wir vor allem genau fest-zulegen, was unter einer Stelle mit zugehöriger Bewertung verstanden werdensoll. Von einer
Bewertung von K sprechen wir, wenn jedem Körperelement α = 0 eindeutig eine reelle Zahl r , der Null das Symbol + ∞ als Wert zugeord-net ist, und wenn dabei die folgenden Bedingungen erfüllt sind: 1.
Der Wertvon α · β ist gleich der Summe der Werte von α und β . 2. Der Wert von α + β ist nie kleiner als der kleinere der Werte von α und β . 3. Nicht alle Elementehaben den Wert
3. Krull 1932: the Fundamentalsatz for integraldomains.
Krull (1932) discovers that the concept of valuation in Krull 1930 is too narrowfor deciding divisibility. He starts by redefining a valuation as a surjective func-tion w : K ∗ → Γ , with Γ an abelian linearly preordered group, not necessarilyarchimedean, such that w ( a · b ) = w ( a ) + w ( b ), (1) w ( a + b ) ≥ min( w ( a ) , w ( b )). (2)The former concept corresponds to subgroups Γ of the additive group R and isfrom now on called “special valuation”. A valuation defines the valuation ring B formed by 0 together with the elements where it is nonnegative.E.g. if K = Q and p is a prime number, then the value of a ∈ Q ∗ at p may bedefined by writing a = p n a ′ with n ∈ Z and p dividing neither the numerator nor5he denominator of a ′ , and by letting Γ = Z and w ( a ) = n . Then B is the ring ofthose fractions that can be written with a denominator not divisible by p .Krull starts by proving two characterisations of a valuation ring B .1. It is a subring of the field of fractions K that preorders it linearly by divis-ibility: if a ∈ K , then a ∈ B or a − ∈ B . It is here that he needs the freedom ofconstructing an arbitrary abelian linearly preordered group Γ .2. It is a local ring (i.e. its nonunits form an ideal) such that every ring B ′ with B ⊂ B ′ ⊆ K contains the inverse of a nonunit of B . Note that this property givesrise to nonconstructive instantiations of such an inverse of nonunit in argumentsby contradiction.Then he focuses on the connection with integral closedness.As usual, the element p is to be called integrally dependent on the ring R if it satisfies an equation p n + a p n − + · · · + a n = 0 with coefficients a i in R ; R will be termed integrally closed if every element in the field of fractions K that is integrally dependent on R already belongs to R .He observes on the way that valuation rings are integrally closed. This provesone direction of the Fundamentalsatz for integral domains, viz. Theorem 7.
A proper subring R of K may be represented as intersection of(finitely or infinitely many) valuation rings if and only if it is integrally closed. The other direction follows from the fact that if a ∈ K \ R with R integrallyclosed, then a − is a nonunit of R [ a − ]: if a does not belong to R , then it is notintegrally dependent on R either, and this may be expressed as the absence of arelation of the form a − ( a + a a − + · · · + a n ( a − ) n − ) = 1. Then Zorn’s lemmaprovides a maximal subring B of K containing R [ a − ] but not a ; B turns out tobe a valuation ring by the second characterisation of a valuation ring. Excerpt.
Our excerpt is from pages 163–165 and 168–169 of “Allgemeine Bewertungstheo-rie”,
Journal für die reine und angewandte Mathematik § 1. Definition und Grundeigenschaften der allgemeinenBewertungen. K bedeutet stets einen Körper, Γ eine Abelsche Gruppe mit der Additi-on als Verknüpfungsrelation und der 0 als Einheitselement. [. . . ] Γ bzw. K linear geordnet heißen, wenn zwischen den Elementen von Γ bzw. K eineOrdnungsbeziehung definiert ist mit den üblichen charakteristischen Eigen-schaften:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Von einer Bewertung B von K mit der Wertgruppe Γ soll gesprochen wer-den, wenn jedem Element a = 0 aus K eindeutig ein Element α = w ( a ) aus Γ als Wert zugeordnet ist, und wenn dabei folgende Bedingungen erfüllt sind:1. w ( a · b ) = w ( a ) + w ( b ). – 2. w ( a + b ) ≥ min( w ( a ) , w ( b )). – 3. Zu jedem α aus Γ gibt es ein a aus K , so daß α = w ( a ).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Die Gesamtheit der Elemente a , die in einer festen Bewertung B von K nichtnegative Werte haben, bildet zusammen mit dem Nullelement einen ech-ten Unterring B von K , den „ zu B gehörigen Bewertungsring “.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Satz 1.
Ein echter Unterring B von K ist dann und nur dann Bewertungs-ring, wenn B den Körper K zum Quotientenkörper hat und wenn in B vonzwei Elementen a und a stets (mindestens) eines durch das andre teilbar ist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Kennzeichnung der ganz abgeschlossenen Ringe. Das Element p soll wie üblich vom Ringe R ganz abhängig heißen, wennes einer Gleichung p n + a p n − + · · · + a n = 0 mit Koeffizienten a i aus R ge-nügt; R wird ganz abgeschlossen genannt, wenn jedes von R ganz abhängigeElement aus dem Quotientenkörper K bereits zu R selbst gehört. Bezeichnenwir für beliebiges a mit R [ a ] stets den Ring aller Polynome in a mit Koef-fizienten aus R , so können wir die von R ganz abhängigen Elemente auchfolgendermaßen charakterisieren: Das Element p hängt von R dann und nur dann ganz ab, wenn p − in R [ p − ] Einheit ist.
In der Tat, p n − a p n − − · · · − a n = 0 ist vollkommen gleichwertig mit1 = p − · ( a + a p − + · · · + a n ( p − ) n − ) und das Bestehen einer Gleichung derletzteren Form mit Koeffizienten a i aus R ist notwendig und hinreichend dafür,daß p − in R [ p − ] Einheit ist. – Aus unserm Kriterium für ganz abhängigeElemente folgt sofort: Ist a Nichteinheit in R , so kann a − niemals von R ganz abhängen. Wäre nämlich a − von R ganz abhängig, so müßte a = ( a − ) − in R [ a ] = R gegen Voraussetzung Einheit sein. Satz 5.
Ein echter Unterring B von K ist dann und nur dann Bewertungs-ring, wenn in B die Gesamtheit der Nichteinheiten ein Ideal bildet, und wenn n K jeder echte Oberring von B mindestens ein Reziprokes einer Nichteinheitvon B enthält. Daß jeder Bewertungsring die in Satz 5 angegebenen Eigenschaften besitzt,ist klar nach § 1. – Ist umgekehrt B irgendein Ring mit diesen Eigenschaften,so muß zunächst B ganz abgeschlossen sein. Denn der Ring B ∗ aller von B ganz abhängigen Elemente aus K muß mit B zusammenfallen, weil er sicherkein einziges Reziprokes einer Nichteinheit von B enthält. Es seien ferner a und a zwei beliebige Elemente aus B , und es sei etwa a nicht in B durch a teilbar, also a · a − = p nicht Element von B . Bilden wir dann B [ p ], so mußin B [ p ] das Reziproke a − einer gewissen Nichteinheit a aus B auftreten, esmuß also eine Gleichung a − = a + a p + · · · + a n p n mit Koeffizienten a i aus B gelten. Diese Gleichung kann aber in die Form ( a · a − · ( p − ) n + a · a · ( p − ) n − + · · · + a n · a = 0 gebracht werden, und hier muß wegender besonderen Eigenschaften von B der Koeffizient a · a − p − von B ganz abhängig und somit nach dem bereits Bewiesenen Element von B . – Wirhaben jetzt gezeigt: Sind a und a zwei beliebige Elemente aus B , so ist in B entweder a durch a oder a durch a teilbar. Nach Satz 1 muß B daherBewertungsring sein. – Mit Hilfe von Satz 5 beweisen wir weiter: Satz 6.
Zu jedem echten Unterring R von K gibt es (mindestens) einenBewertungsring B , der R enthält. Es sei a eine beliebige Nichteinheit aus R . Dann existiert, wie aus trivialenWohlordnungsschlüssen zu ersehen, in K mindestens ein Ring B , der R , abernicht a − enthält, und der außerdem die Eigenschaft hat, daß a − in jedemechten Oberring von B vorkommt. B wird nach Satz 5 Bewertungsring sein,wenn die Gesamtheit der Nichteinheiten in B ein Ideal bildet. Es sei nun p irgendein Primidealteiler von a in B , B p bedeute den Ring aller der Elemente,die sich als Quotienten von Elementen aus B mit durch p unteilbarem Nennerschreiben lassen. Dann enthält B p das Element a − nicht, und es muß daher B p = B sein. Das ist aber nur möglich, wenn p gerade aus allen Nichteinheitenvon B besteht. Satz 7.
Ein echter Unterring R von K läßt sich dann und nur dann alsDurchschnitt von (endlich oder unendlich vielen) Bewertungsringen darstellen,wenn er ganz abgeschlossen ist. Daß alle Bewertungsringe und damit auch alle Durchschnitte von Bewer-tungsringen ganz abgeschlossen sind, wurde beim Beweise von Satz 5 mitbe-wiesen. Es sei jetzt umgekehrt R irgendein ganz abgeschlossener Ring, a einnicht in R vorkommendes Element aus K . Dann haben wir nur zu zeigen, daßmindestens ein Bewertungsring B existiert, der zwar R , aber nicht a enthält.8ir bilden R [ a − ]; in diesem Ringe kann a nicht vorkommen, denn andern-falls wäre a − in R [ a − ] Einheit, und es müßte daher a von R ganz abhängenund damit gegen Voraussetzung in R enthalten sein. Da also a − in R [ a − ]Nichteinheit ist, gibt es nach dem Beweise von Satz 6 einen Bewertungsring B ,der Obermenge von R [ a − ] also erst recht auch von R ist, in dem aber a nichtvorkommt. Damit ist schon alles bewiesen. – Um die Bedeutung von Satz 7noch klarer hervortreten zu lassen, führen wir den Begriff der Hauptordnung ein. Der Ring R soll Hauptordnung heißen, wenn in R über die Teilbarkeitsver-hältnisse der Elemente durch Einführung von Bewertungen entschieden wer-den kann, d. h. wenn sich (endlich oder unendlich viele) Bewertungen B τ desQuotientenkörpers K so definieren lassen, daß der folgende Satz gilt: In R istdas Element a dann und nur dann durch das Element b teilbar, wenn a inkeiner der Bewertungen B τ einen kleineren Wert besitzt als b .Man sieht ohne Schwierigkeit, daß der Ring R dann und nur dann Haupt-ordnung ist, wenn er als Durchschnitt von (endlich oder unendlich vielen)Bewertungsringen B τ dargestellt werden kann. Aus Satz 7 ergibt sich daher: Satz 7*.
Ein echter Unterring R von K ist dann und nur dann Hauptord-nung, wenn er ganz abgeschlossen ist. Wie man in plausibler und naheliegender Weise zu dem Begriff der Haupt-ordnung gelangt, habe ich bereits früher ausführlich auseinandergesetzt. Dochkonnte ich dort die Hauptordnungen nicht so einfach und befriedigend cha-rakterisieren, wie es hier durch Satz 7* geschehen ist. Der Grund für diesenMangel meiner früheren Arbeit lag einfach darin, daß ich damals nur Bewertun-gen mit archimedischer Wertgruppe in den Kreis der Betrachtung zog. Satz 7*zeigt also, daß die Einführung der allgemeinen Bewertungen nicht nur nahelie-gend, sondern auch für die naturgemäße Behandlung mancher arithmetischerProbleme schlechtweg notwendig ist.
4. Krull 1936a: the computational content of theFundamentalsatz.
In the introduction to his 1936a, Krull explains that the Fundamentalsatz is thebasis for a proof method: if a theorem is to be proved for an integrally closedintegral domain, then it mostly suffices to prove it in a valuation ring, in whichthe property of linearity grants very simple computational arguments.He also explains the defect of the Fundamentalsatz: its proof does not constructthe valuation rings, and the example of polynomial rings shows that this goal isout of reach. 9 . The valuation rings are characterised by the fact that in them, of twoarbitrary elements, one is always divisible by the other. – B. Every integrallyclosed integral domain I may be represented as intersection of valuation rings. A and B form the basis of an important proof method: if a theorem on I is to be derived which one knows to hold for the intersection of arbitrarilymany rings provided that it holds for each individual component ring, then,according to B, the theorem concerned needs to be proved only for valuationrings, and in this latter case, on account of A, usually a quite elementarycomputation leads to the goal.On the other hand, B serves as a connecting link for novel questions, whosefruitfulness is to be substantiated in this contribution. B is a pure existencetheorem. For the “proof method”, this does not constitute a drawback; nev-ertheless it seems theoretically desirable to go beyond the bare standpoint ofexistence. This goal would be reached if one were in a position to representin some constructive manner, for an arbitrary given I , the set of all thosevaluation rings out of the field of fractions K that contain the integral do-main I . Yet even the consideration of quite elementary special cases, e.g. ofpolynomial rings, indicates that one is there confronted with an, at least so far,unsolvable task. – On the other hand, it becomes apparent that, surprisingly,already the attempt to turn the given task into the ideal-theoretic leads tovery curious connexions with certain penetrating investigations by H. Prüferthat refer chiefly to Kronecker. Excerpt.
Here is the source of our translation, from page 546 of “Beiträge zur Arithmetikkommutativer Integritätsbereiche I: Multiplikationsringe, ausgezeichnete Idealsys-teme und Kroneckersche Funktionalringe”,
Mathematische Zeitschrift I lä ß t sich a ls Dur chschnitt vo n Bewer tung sr ing en da r stellen.A. und B. bilden die Grundlage für eine wichtige Beweismethode: Soll einSatz über I abgeleitet werden, von dem man weiß, daß er für den Durchschnittbeliebig vieler Ringe richtig ist, sobald er nur für jeden einzelnen Komponen-tenring gilt, so braucht der betreffende Satz nach B. nur für Bewertungsringebewiesen zu werden, und in diesem letzteren Fall führt wegen A. meistens eineganz einfache Rechnung zum Ziel. 10ndererseits dient B. als Anknüpfungspunkt für neuartige Fragestellun-gen, deren Fruchtbarkeit in diesem Beitrag nachgewiesen werden soll. B. istein reines Existenztheorem. Für die „Beweismethode“ bedeutet das keinenNachteil; trotzdem scheint es theoretisch wünschenswert, über den bloßen Exi-stenzstandpunkt hinauszukommen. Dieses Ziel wäre erreicht, wenn man im-stande wäre, bei beliebig gegebenem I die Menge aller der Bewertungsringeaus dem Quotientenkörper K , die den Integritätsbereich I umfassen, irgend-wie konstruktiv darzustellen. Doch lehrt schon die Betrachtung ganz einfacherSpezialfälle, z. B. der Polynomringe, daß man da vor einer wenigstens vor-läufig unlösbaren Aufgabe steht. – Dagegen zeigt es sich überraschenderweise,daß bereits der Versuch, die gestellte Aufgabe ins Idealtheoretische zu wen-den, zu sehr merkwürdigen Zusammenhängen mit gewissen tiefeindringenden,vorwiegend an Kronecker anknüpfenden Untersuchungen von H. Prüfer führt.
5. Lorenzen 1939a: the Fundamentalsatz forpreordered cancellative monoids.
Lorenzen 1939a is an “abstract foundation of multiplicative ideal theory” on thetheory of preordered cancellative monoids. Lorenzen’s letter to Krull dated 22March 1938 (page 52) provides a dictionary that translates the concepts of ringtheory into a framework that takes into account only the multiplicative structureof an integral domain I : its nonzero elements form a cancellative monoid g , and thenonzero elements of its field of fractions form what is today called the Grothendieckgroup G of g . Divisibility is the equivariant preorder on G whose positive coneis g : a b ⇔ g ∋ b · a − .Lorenzen’s analysis of Krull’s valuation theory proceeds in three steps: elabo-rating a theory of ideals that fits preordered monoids; making a valuation-theoreticanalysis of lattice-preordered groups; establishing a transfer of valuations betweena preordered monoid and the positive cone of the Grothendieck lattice-preorderedgroup of its system of ideals. Systems of ideals.
Prüfer (1932) proposes to define a system of r -ideals as an operation { a , . . . , a n } 7→{ a , . . . , a n } r on finite subsets of the field of fractions of an integral domain. Loren-zen adapts this definition into an operation on finite or infinite bounded-from-belowsubsets a of the group G (i.e. subsets such that there is a c ∈ G with g ⊇ c a ; Loren-zen’s notation for this is a − = 0), taking values in subsets of G , and satisfying11our conditions: 1. a r ⊇ a ; 2. b r ⊇ a ⇒ b r ⊇ a r ; 3. { a } r = a · g ; 4. a · a r = ( a · a ) r .The variable letter r stands for variable systems of ideals.E.g. the system of t -ideals, used in Section 5, is defined by a t = (cid:8) b ∈ G | ∃ a , . . . , a n ∈ a ∀ a ∈ G a a , . . . , a a n ⇒ a b (cid:9) for finite or infinite bounded-from-below sets a as the set of those elements b thatare greater than or equal to every lower bound a of some finite subset { a , . . . , a n } of a .A system of ideals has the structure of a meet-semilattice-preordered monoid(a meet-monoid for short) for the multiplication a r · b r = ( a · b ) r and the meetoperation a r ∧ b r = ( a ∪ b ) r . Item 3 above means that the group G may beembedded into this meet-monoid by identifying a with a · g .The system of Dedekind ideals corresponds to the operation that associates to a the set a d of nonzero elements of the module generated by a in the integral domain I hidden behind g . The definition of this operation therefore takes into account theadditive structure of I , but once the definition is done, it will be forgotten. Let usshow how this works for the three following concepts: 1. valuation ring; 2. integralclosedness; 3. integral dependence.1. Lorenzen separately analyses Equality (1) and Inequality (2) of the definitionof a valuation given on page 5. • He says that a supermonoid B of g ( G ⊇ B ⊇ g ) is linear if for a ∈ G either a ∈ B or a − ∈ B , i.e. if the preorder on G having B as its positive cone is linear. • Inequality (2) expresses that a valuation ring is closed under addition. Heobserves that this is equivalent to B ⊇ { a , . . . , a n } ⇒ B ⊇ { a , . . . , a n } d .2. Prüfer (1932) shows that an integral domain is integrally closed if { a , . . . , a n } d ⊇ a · { a , . . . , a n } d implies g ⊇ a · g ,i.e. 1 a . This means that { a , . . . , a n } d can be cancelled in the containment { a ,. . . , a n } d ⊇ a · { a , . . . , a n } d .3. He further shows that an element a is integrally dependent on { a , . . . , a n } d if and only if there is { c , . . . , c p } such that { a , . . . , a n } d · { c , . . . , c p } d ⊇ a · { c ,. . . , c p } d .On the basis of these observations, Lorenzen proposes the following definitionsin the multiplicative setting of a system of r -ideals for the cancellative monoid g .1. The multiplicative counterpart of a valuation ring is a linear r -supermonoidof g , i.e. a linear supermonoid B of g such that B ⊇ { a , . . . , a n } ⇒ B ⊇ { a ,. . . , a n } r .2. The monoid g is r - closed if { a , . . . , a n } r ⊇ a · { a , . . . , a n } r ⇒ a .3. The r a -operation is given by setting { a , . . . , a n } r a equal to (cid:8) a ∈ G | ∃{ c , . . . , c p } { a , . . . , a n } r · { c , . . . , c p } r ⊇ a · { c , . . . , c p } r (cid:9) ,12.e. to the set of elements that are r -dependent on { a , . . . , a n } . Note that the r a -operation satisfies Item 3 of the definition of a system of ideals if and only if g is r -closed.Lorenzen observes that the arguments of Prüfer (1932, page 18) show thatthe cancellativity of the meet-monoid of r -ideals may be forced by passing tothe meet-monoid of r a -ideals. One may then construct the Grothendieck lattice-preordered group h ∗ of this system of r a -ideals (see Coquand, Lombardi, andNeuwirth 2019, § 3A for this construction). Its positive cone h is formed by thefractions { a ,...,a n } ra { b ,...,b m } ra such that { b , . . . , b m } r a ⊇ { a , . . . , a n } r a . The group G maybe embedded into h ∗ by identifying a with a · gg . Ideals in a lattice-preordered group.
For developing a “valuation theory” of g when G is a lattice-preordered group(an ℓ -group for short), Lorenzen uses the t -ideals, whose definition, thanks to theexistence of finite meets, simplifies to a t = (cid:8) b ∈ G | a ∧ · · · ∧ a n b for some a , . . . , a n ∈ a (cid:9) .Clifford (1940, page 470) emphasises their similarity with the semilattice-theoreticideals. A finite t -ideal { a , . . . , a n } t is the set ( a ∧ · · · ∧ a n ) g and may thus bethought of as a ∧ · · · ∧ a n , and the set-theoretic clothing is needed only for aninfinite t -ideal, which is a colimit of finite ones, in particular for a prime t -ideal,i.e. a t -ideal p such that ab ∈ p ⇒ a ∈ p or b ∈ p .Lorenzen shows that the linear t -supermonoids of g are the localisations g p , i.e.the monoids of fractions ab with a ∈ g and b ∈ g \ p , where p is a prime t -ideal. Infact, the nonunits of g p have the form ps with p ∈ p and s ∈ g \ p ; if p ′ s ′ is anothernonunit, then the meet ps ∧ p ′ s ′ = s ′ p ∧ sp ′ ss ′ is again a nonunit because ss ′ ∈ g \ p by primeness, s ′ p, sp ′ ∈ p by Items 2 and 3 of the definition of a system of ideals,and s ′ p ∧ sp ′ ∈ p by t -idealness. But this shows that g p is linear, as every a ∈ G satisfies a = a + a − with a − , a + ∈ g and a − ∧ a + = 1, so that either a − or a + is aunit of g p and either a or a − = a − a + is in g p .The Fundamentalsatz follows easily in this case, in the following two shapes.Theo r em 11. Let N be a set of prime t -ideals of g such that every nonunitof g lies in at least one p ∈ N , then g is the intersection of the linear super-monoids g p ( p ∈ N ) g = \ N g p .13or if a ∈ G \ g , then a − is a nonunit of g , so that it lies in some p ∈ N and isa nonunit of g p ; therefore a = a + a − / ∈ g p .Theo r em 12. If N contains all maximal prime t -ideals, then, for all t -ideals a of g , the intersection representation a = T N ag p holds. For if a / ∈ a , then g contains properly the t -ideal a − a ∩ g . Zorn’s lemma providesa maximal prime t -ideal p that contains it, so that its elements are nonunits of g p .Therefore a − ag p ag p a .Krull’s well-ordering argument is confined to the proof of this last theorem. Transfer to the system of t -ideals. To consider a linear r -supermonoid B of g ( G ⊇ B ⊇ g ) is to consider a linear t -supermonoid L of the positive cone h of the Grothendieck lattice-preorderedgroup h ∗ ( h ∗ ⊇ L ⊇ h ).1. If L is given, then B = L ∩ G (using the identification of a with a · gg ) is a linearsupermonoid of g . Furthermore, if B ⊇ { a , . . . , a n } , then L ⊇ { a · gg , . . . , a n · gg } ,so that by hypothesis L ⊇ ( a · gg ∧ · · · ∧ a n · gg ) h = { a ,...,a n } ra g h and B ⊇ { a ,. . . , a n } r a ⊇ { a , . . . , a n } r . At this point of his argument, Lorenzen compares itto Krull 1936a, Satz 15.2. Conversely, if B is given, then B is even an r a -supermonoid: if B ⊇ { a ,. . . , a n } and { a , . . . , a n } r a ∋ a , consider { c , . . . , c p } such that { a , . . . , a n } r · { c ,. . . , c p } r ⊇ a · { c , . . . , c p } r ; one may suppose that c is minimal w.r.t. the lin-ear monoid B among c , . . . , c p , i.e. B ⊇ { , . . . , c − c p } , so that B ⊇ { a ,. . . , a n } · { , . . . , c − c p } ; by hypothesis, B ⊇ { a , . . . , a n } r · { , . . . , c − c p } r ∋ a and we conclude that B ⊇ { a , . . . , a n } r a . For every finite subset { a , . . . , a n } of G , one may suppose that a is minimal w.r.t. B among a , . . . , a n , i.e. B ⊇{ , . . . , a − a n } , and then B ⊇ { , . . . , a − a n } r a and a B = { a , . . . , a n } r a B .Consider L = (cid:8) { a ,...,a n } ra { b ,...,b m } ra | { b , . . . , b m } r a B ⊇ { a , . . . , a n } r a B (cid:9) : as for all a, b ∈ G either b B ⊇ a B or vice versa, L is a linear supermonoid of h ; it isa linear t -supermonoid of h because the meet of two elements of L is in L : if { b , . . . , b m } r a B ⊇ { a , . . . , a n } r a B and { d , . . . , d q } r a B ⊇ { c , . . . , c p } r a B , then { b d , . . . , b m d q } r a B ⊇ { a d , . . . , a n d q , b c , . . . , b m c p } r a B . Finally, note that L ∩ G = B .This transfer proves at onceTheo r em 14. Every r -closed monoid is an intersection of linear r -super-monoids. xcerpt. Our excerpt is from pages 535–537, 540, and 544–546 of “Abstrakte Begründungder multiplikativen Idealtheorie”,
Mathematische Zeitschrift g as the cone ofnonpositive elements of G , so that his preorder satisfies a b ⇔ a · b − ∈ g .Consistently, he writes a ∨ b and a r + b r where we write a ∧ b and a r ∧ b r , respectively.He probably does so to match the preorder relation ⊆ between subsets of G .§ 1. Idealsysteme.
Wir wollen eine Menge g , für deren Elemente a, b, c, . . . eine kommutativeund assoziative Multiplikation definiert ist, eine Halbgruppe nennen, wenn1. aus ac = bc stets a = b folgt,2. g ein Einselement 1 enthält.Zu jeder Halbgruppe g gibt es eindeutig die Gruppe G , die aus den Quoti-enten ab besteht. G heißt die Quotientengruppe von g . So ist z. B. die Mengeder von Null verschiedenen Elemente eines Integritätsbereiches eine Halbgrup-pe, und die von Null verschiedenen Elemente des Quotientenkörpers bildendie Quotientengruppe.Viele Definitionen der Teilbarkeitstheorie in Integritätsbereichen lassensich unmittelbar auf Halbgruppen übertragen. Von den Elementen von G nen-nen wir die Elemente von g die ganzen Elemente, b heißt ein Teiler von a , und a heißt Vielfaches von b , wenn ab ganz ist. Das Hauptideal ( a ) besteht ausallen Vielfachen von a . Ist eine Verwechslung ausgeschlossen, dann wird dasHauptideal ( a ) einfach mit a bezeichnet. Ein ganzes Element a heißt Einheit,wenn a − ganz ist.Die Dedekindsche Definition der Ideale in Integritätsbereichen läßt sichnatürlich nicht übertragen, da in Halbgruppen ja keine Addition erklärt zusein braucht. Dagegen ist der Begriff der Idealsysteme, wie er von Prüfer undKrull aufgestellt worden ist, fast unmittelbar auch in Halbgruppen anzuwen-den. Zur Formulierung der Definition wollen wir, wenn a , b beliebige Unter-mengen von G sind, unter ab die Menge der Elemente ab mit a ∈ a , b ∈ b und unter a : b die Menge der Elemente c mit c b ⊆ a verstehen. Statt (1) : a schreiben wir a − .Definitio n 1. Es seien zu jeder endlichen oder zu jeder beliebigen Un-termenge a von G , für die a − = 0 ist, eine Untermenge a r von G so definiert,daß die folgenden Bedingungen erfüllt sind:1. a ⊆ a r , 15. aus a ⊆ b r folgt a r ⊆ b r ,3. für ein Element a ist a r = ( a ),4. a a r = ( a a ) r . a r heißt dann das aus a erzeugte r -Ideal . Ist a endlich, so heißt a r ein endliches r -Ideal. Die Menge aller r -Ideale nennen wir das r -Idealsystem . Ist sogar fürjede Untermenge a mit a − = 0 ein r -Ideal definiert, so nennen wir die Mengealler r -Ideale das totale r -Idealsystem .Die Summe zweier Ideale wird durch a r + b r = ( a ∪ b ) r , das Produkt durch a r b r = ( ab ) r definiert. Diese Definitionen sind unabhängig von der Erzeugungder Ideale. Wegen 4. gilt das Distributivgesetz:( a r + b r ) c r = a r c r + b r c r .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Für beliebige Halbgruppen konstruieren wir jetzt zwei wichtige Idealsyste-me. Wir setzen: a s = [ a ∈ a ( a ) , a v = \ a ⊆ ( a ) ( a ).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Definitio n 2. Eine Halbgruppe heißt r -abgeschlossen , wenn c r : c r = 1für jedes endliche r -Ideal c r gilt.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Die Bedeutung der r -Abgeschlossenheit liegt darin, daß in jeder r -abge-schlossenen Halbgruppe die folgende Konstruktion eines neuen Idealsystemsmöglich ist [. . . ]:Definitio n 3. Ist a eine endliche Untermenge von G , und ist g r -abge-schlossen, so soll a r a aus den Elementen a bestehen, für die es ein endliches r -Ideal c r gibt mit a c r ⊆ a r c r .Die Mengen a r a bilden dann ein Idealsystem, das System der r a -Ideale.Die r a -Ideale haben nun die Eigenschaft, eine Halbgruppe zu bilden, d. h.für beliebige endliche r a -Ideale a , b , c folgt aus ac = bc stets a = b . [. . . ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2. Totale Idealsysteme, Endlichartigkeit. [. . . ] Wir bezeichnen dazu mit e stets Mengen aus endlich vielen Elementenvon G . Ist dann a eine beliebige Untermenge von G mit a − = 0, so setzen wir a r s = [ e ⊆ a e r , a r v = \ a ⊆ e r e r .16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Wir nennen das v s -System kürzer das t -System.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Vollständige Halbgruppen.
Im § 4 werden wir zeigen, wie der Idealbegriff dazu dienen kann, vieleFragen über Halbgruppen auf die Untersuchung der folgenden sehr speziellenKlasse von Halbgruppen zurückzuführen:Definitio n 5. Eine Halbgruppe heißt vollständig , wenn je zwei Elemen-te a, b einen größten gemeinsamen Teiler a ∨ b besitzen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Außerdem müssen wir noch den Begriff der Quotientenringe eines Inte-gritätsbereiches auf Halbgruppen übertragen. Sei dazu g eine beliebige Halb-gruppe, S eine Unterhalbgruppe von g , dann soll g S die Halbgruppe allerQuotienten ab ( a ∈ g , b ∈ S ) sein. g S heißt eine Quotientenhalbgruppe von g (vgl. Grell [1]).Die Nichteinheiten von g S , die gleichzeitig in g liegen, bilden ein s -Prim-ideal p von g . Bezeichnen wir dann mit g p die Quotientenhalbgruppe der Ele-mente ab ( a ∈ g , b ∈ g , b / ∈ p ) so wird g p = g S . Die Quotientenhalbgruppenvon g entsprechen also umkehrbar eindeutig den s -Primidealen von g .Ist nun g vollständig, so auch jede Quotientenhalbgruppe g S , denn sind s, s ′ Elemente von S , so liegt mit as , a ′ s ′ auch as ∨ a ′ s ′ = s ′ a ∨ sa ′ ss ′ in g S und liefert gleichzeitig den größten gemeinsamen Teiler von as , a ′ s ′ bezüg-lich der Teilbarkeit in g S .Umgekehrt ist aber auch jede Oberhalbgruppe g von g (natürlich g ⊆ g ⊆ G ), die mit zwei Elementen a, b auch a ∨ b enthält, eine Quotientenhalbgruppevon g , denn für jedes Element a von G gilt a = a (1 ∨ a ) − (1 ∨ a ) − , wobei a (1 ∨ a ) − und(1 ∨ a ) − Elemente von g sind. Ist a ∈ g , so folgt 1 ∨ a ∈ g und damit g = g S ,wenn S aus den Einheiten von g besteht, die in g liegen.Die wichtigsten Quotientenhalbgruppen sind die Quotientenhalbgrup-pen g p , bei denen p ein t -Primideal von g ist, denn es gilt:Sa tz 10. Jede Quotientenhalbgruppe g p nach einem t -Primideal p ist li-near. g p läßt sich nämlich als Quotient ps ( p ∈ p , s / ∈ p )darstellen, und sind ps , p ′ s ′ zwei Nichteinheiten, so ist auch ps ∨ p ′ s ′ = s ′ p ∨ sp ′ ss ′ Nichteinheit, da s ′ p ∨ sp ′ ∈ p . Für jedes a ∈ G folgt also aus11 ∨ a ∨ ∨ a − = 1,daß ∨ a oder ∨ a − Einheit von g p ist, d. h. a ∈ g p oder a − ∈ g p .Sa tz 11. Es sei N eine Menge von t -Primidealen von g derart, daß jedeNichteinheit von g in mindestens einem p ∈ N liegt, dann ist g Durchschnittder linearen Oberhalbgruppen g p ( p ∈ N ) g = \ N g p .Denn ist a / ∈ g , so ist (1 ∨ a ) − Nichteinheit von g . Also gibt es ein p ∈ N mit(1 ∨ a ) − ∈ p , und hieraus folgt a / ∈ g p .Sa tz 12. Enthält N alle maximalen t -Primideale, so gilt für alle t -Ideale a von g die Durchschnittsdarstellung a = T N ag p . Denn ist a / ∈ a , so ist a − a ∩ g ⊂ g . Es gibt also ein p ∈ N mit a − a ∩ g ⊆ p ,woraus wieder a / ∈ ag p folgt.Diese Sätze gestatten zunächst für vollständige Halbgruppen Fragen überdie linearen Oberhalbgruppen von g in rein idealtheoretische Fragen zu ver-wandeln. Diese Reduktion auch für allgemeinere Halbgruppen durchzuführen,ist das Ziel von § 4. § 4. Idealbrüche.
Die Konstruktion der vollständigen Halbgruppe, auf die die Strukturun-tersuchung allgemeinerer Halbgruppen zurückgeführt werden soll, ist z. B. fürtotal abgeschlossene Halbgruppen g leicht geschehen, denn dann bilden jadie sämtlichen ganzen v -Ideale von g ihrerseits eine vollständige Halbgruppe.Ebenso, wenn g eine Multiplikationshalbgruppe bezüglich irgendeines Ideal-systems ist, d. h. also wenn jedes endliche Ideal umkehrbar ist, so bilden dieganzen Ideale der Form ab − , wobei a , b endliche Ideale sind, eine vollständige18albgruppe. Gehört nämlich noch cd − dazu, so auch der größte gemeinsameTeiler von ab − und cd − ; denn dieser ist: ab − + cd − = ( ad + bc )( bd ) − .Aber wir brauchen von unserer Halbgruppe, in der etwa das System der r -Ideale gegeben sei, nur vorauszusetzen, daß sie r -abgeschlossen ist, um auf einevollständige Halbgruppe zu kommen. Denn ist g r -abgeschlossen, so bilden dieendlichen r a -Ideale eine Halbgruppe; wir können also deren Quotientengruppebilden. Diese besteht aus den „ Idealbrüchen “ ab , wobei a , b endliche r a -Idealesind. Wir definieren dann für zwei Idealbrüche ab ⊆ cd , wenn ad ⊆ bc . Es wirddadurch die Relation ⊆ fortgesetzt in die Quotientengruppe.Betrachten wir nun alle Idealbrüche ab ⊆
1. Diese bilden eine Halbgrup-pe h , und zwar eine vollständige Halbgruppe. Der größte gemeinsame Teilervon ab und cd ist natürlich durch ad + bcbd gegeben. Ist ab ⊆
1, so nennen wir ab einen „ ganzen Idealbruch “. Die vollständige Halbgruppe der ganzen Ideal-brüche ersetzt uns den Kroneckerschen Funktionalring, wie er in Prüfer [1]konstruiert worden ist. Das wichtige Ergebnis, das Krull [5] über den Funk-tionalring beweist, läßt sich auf h übertragen. Es handelt sich dabei um dielinearen Oberhalbgruppen von g einerseits, h andererseits. Ist L eine lineareOberhalbgruppe von h , so bilden die Elemente a von G , deren Hauptideal ( a )in L liegt, ersichtlich eine ebenfalls lineare Oberhalbgruppe B von g . Ent-hält L mit endlich vielen Elementen auch deren größten gemeinsamen Teiler,so hat B noch folgende Eigenschaft: B enthält mit endlich vielen Elementen a , . . . , a n auch das r -Ideal( a , . . . , a n ) r .Nennen wir Halbgruppen mit dieser Eigenschaft r -Halbgruppen, so könnenwir unser Ergebnis kurz so fassen:Jede lineare t -Oberhalbgruppe von h liefert eine lineare r -Oberhalbgruppevon g .Dieser Satz läßt sich nun umkehren. Ist nämlich eine lineare r -Ober-halbgruppe B von g gegeben, so zeigen wir zunächst, daß B auch r a -Oberhalbgruppe ist. Dazu sei d ∈ ( a , . . . , a n ) r a , a ν ∈ B ( ν = 1 , . . . , n ),d. h. es gibt ein endliches r -Ideal c = ( c , . . . , c m ) r , so daß d c ⊆ ( a , . . . , a n ) r c .Da B linear ist, gibt es unter den Elementen c , . . . , c m eines – etwa c –, sodaß c − c ν ∈ B ( ν = 1 , . . . , m ). Dann folgt wegen d (1 , c − c , . . . , c − c m ) r ⊆ ( a , . . . , a n ) r (1 , c − c , . . . , c − c m ) r ,daß d in einem endlichen r -Ideal liegt, das aus lauter Elementen von B erzeugtwird, also muß d in B liegen. B ist somit lineare r a -Oberhalbgruppe, woraus19eiter folgt, daß für jedes endliche r a -Ideal a = ( a , . . . , a n ) r a stets a in demaus a , . . . , a n erzeugten s -Ideal von B enthalten ist. aB ist also Hauptidealin B . Wir definieren jetzt eine lineare Oberhalbgruppe L von h durch ab ∈ L ,wenn aB ⊆ bB . L ist dann eine lineare t -Oberhalbgruppe von h und enthält ein Hauptideal ( a )genau dann, wenn a in B liegt. Insgesamt erhalten wir unter Berücksichtigungvon § 3:Sa tz 13. Die linearen r -Oberhalbgruppen einer r -abgeschlossenen Halb-gruppe entsprechen umkehrbar eindeutig den linearen t -Oberhalbgruppen derHalbgruppe h der ganzen Idealbrüche und damit den t -Primidealen von h . Als Folgerung dieses Satzes ergibt sich sofort:Sa tz 14.
Jede r -abgeschlossene Halbgruppe ist Durchschnitt von linearen r -Oberhalbgruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H. Grell.[1] Beziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe, Math. Annalen (1927).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .W. Krull.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[5] Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche, Beitrag I, Math.Zeitschr. (1936).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .H. Prüfer.[1] Untersuchungen über die Teilbarkeitseigenschaften von Körpern, J. reine an-gew. Math. (1932).
6. Lorenzen 1950: the Fundamentalsatz withoutvaluations.
Lorenzen 1950 takes place in the framework of preordered noncommutative mono-ids. It proposes an analysis of a system of ideals as an embedding into a semilattice.20n the commutative setting, the systems of ideals are always introducedas systems of certain subsets. But if one removes this set-theoretic clothing,then the concept of an ideal may be defined quite simply: a system of idealsof a preordered set is nothing but an embedding into a semilattice.This enables Lorenzen to analyse the concept of r -supermonoid of Lorenzen1939a as r -allowable monoid corresponding to an r -allowable preorder , i.e. a pre-order that is the restriction of a homomorphic image of the system of r -ideals. Thereader is invited to return to the part of the letter to Krull dated 6 June 1944 thatis translated in the introduction (page 3), and to reflect upon the simplificationand clarification w.r.t. Inequality (2) of the definition of a valuation.In the letter to Krull dated 13 March 1944 (page 87), Lorenzen stresses theimportance of these discoveries in his research.E.g. the insight that a system of ideals is intrinsically nothing but a super-semilattice, and a valuation nothing but a linear preorder, strikes me as themost essential result of my effort.In the noncommutative framework, integral dependence cannot be capturedanymore by passing from the r - to the r a -system. Therefore Lorenzen devises anew construction that may be considered as the birth of dynamical algebra. Inthe introduction, he describes it for the system of Dedekind ideals.Let I be an arbitrary integral domain, a a (finite or infinite) ideal of I , a anelement of the field of fractions K . We ask ourselves under what circumstances a ∈ a B holds for every valuation superring B of I . For arbitrary z ∈ K ∗ andany valuation superring B of I , always z ∈ B or z − ∈ B .holds. Therefore, whenever a ∈ a I [ z ] and a ∈ a I [ z − ] holds, so does a ∈ a B .Likewise follows: if there are elements z , . . . , z n ∈ K ∗ for which3) a ∈ a I [ z ± , . . . , z ± n ]holds for each of the 2 n combinations of signs, then, for every valuation super-ring B of I , holds: a ∈ a B .21his condition 3) is also necessary. Namely, if 3) is not fulfilled for any z , . . . , z n , then a simple well-ordering argument shows that there is a maximalsuperring I of I with the property that, for all z , . . . , z n ∈ K ∗ , a / ∈ a I [ z ± , . . . , z ± n ]holds for at least one combination of signs. Therefore in particular a / ∈ a I holds. If this I were not a valuation ring, then there would be a z ∈ K ∗ with z / ∈ I and z − / ∈ I , therefore there would be elements x , . . . , x m and y , . . . , y n with a ∈ a I [ z ][ x ± , . . . , x ± m ] a ∈ a I [ z − ][ y ± , . . . , y ± n ]for each combination of signs. But from this a ∈ a I [ z ± , x ± , . . . , x ± m , y ± , . . . , y ± n ]would follow, i.e. a contradiction. Therefore I is a valuation ring.With that, the following new result is gained: a ∈ a B holds for every valuation superring B of I exactly when there areelements z , . . . , z n ∈ K ∗ for which a ∈ a I [ z ± , . . . , z ± n ]holds for each combination of signs.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a is integrally dependent on I if there are elements z , . . . , z n of the fieldof fractions that fulfil a ∈ I [ z ± , . . . , z ± n ] for each combination of signs.The gist of Lorenzen’s new construction is that in a computation in an integraldomain I , one may at any time open two branches concerning an element z : in onebranch, one supposes that I contains z ; in the other, that I contains z − . If a resultmay be obtained in each branch by a computation, then there is a computationthat yields this result without opening the branches. This construction embodiesthe computational content of the proof method described by Krull (1936a): seepage 9.This leads to a reshaping of Krull’s Fundamentalsatz for integral domains intoTheorem 26. We postpone our discussion of this reshaping until the next section,on Lorenzen 1952, instead of dwelling on the 1950 version.But let us stress another discovery reported in this article: the property ofregularity (see Satz 8 on page 27). It consists in requiring of an ℓ -group that if22 ∧ xax − = 1, then a = 1. This property may be seen as specifying the amountof commutativity that must be granted in an ℓ -group in order to be allowed toopen branches in computations as described above. For more on this, see Coquand,Lombardi, and Neuwirth 2020. Excerpt.
Our excerpt is from pages 483–490, 492–494, 496–500, 502–503, 506, 509–512,and 515–518 of “Über halbgeordnete Gruppen”,
Mathematische Zeitschrift I definiert in der multiplikativen Gruppe K ∗ seinesQuotientenkörpers K eine Teilbarkeitsrelation. [. . . ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Wie man der Theorie der kommutativen Halbgruppen entnehmen kann,sind die Ordnungen, die einen Bewertungsring B bestimmen, der I umfaßt,dadurch gekennzeichnet, daß sie zugleich eine Ordnung der Ideale a , b , . . . von I ermöglichen, so daß stets gilt:5) c ≤ a , c ≤ b ⇒ c ≤ a + b .Genauer gesagt: die Teilbarkeitsrelationen der Bewertungsoberringe von I sinddie Ordnungen von K ∗ , die durch die Ordnungen des Idealsystems von I indu-ziert werden, die 5) erfüllen. Die hier auftretenden Ordnungen des Idealsystemsnennen wir die zulässigen Ordnungen.Wir definieren in § 4 Idealsysteme für beliebige halbgeordnete Mengenund insbesondere für halbgeordnete Gruppen. Wir definieren auch für diesenallgemeinen Fall die zulässigen Ordnungen eines Idealsystems und dann weiter:Eine Ordnung einer halbgeordneten Gruppe G , zu der ein Idealsystem H gegeben ist, heißt zulässig (bezgl. H ), wenn sie durch eine zulässige Ordnungvon H in G induziert wird. Die Teilbarkeitsrelationen der Bewertungsoberrin-ge von I sind dann also genau die (bezgl. des Dedekind schen Idealsystems)zulässigen Ordnungen von K ∗ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Gegeben sei eine beliebige halbgeordnete Gruppe G und ein beliebigesIdealsystem H von G . Wann und wie ist die Halbordnung von G als Konjunk-tion zulässiger Ordnungen von G darstellbar? [. . . ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Wie läßt sich eine halbgeordnete Gruppe in eine Verbandsgruppe einbetten –vorausgesetzt, daß eine solche Einbettung möglich ist?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23ir erhalten die Antwort auf unsere Frage durch eine genaue halbordnungs-theoretische Analyse des Idealbegriffs. Im Kommutativen werden die Idealsy-steme stets als Systeme von gewissen Untermengen eingeführt. Beseitigt manaber diese mengentheoretische Einkleidung, so läßt sich der Idealbegriff ganzeinfach definieren: ein Idealsystem einer halbgeordneten Menge ist nichts an-deres als eine Einbettung in einen Halbverband. (Ich bemerke ausdrücklich,daß man hier statt „Halbverband“ nicht „Verband“ setzen darf.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ist die Halbordnung von G als Konjunktion zulässiger Ordnungen von G darstellbar, so gibt es ein Idealsystem H ′ von G , dessen v -Ideale eine reguläreVerbandsgruppe bilden. [. . . ]Die hier auftretenden Idealsysteme H ′ , die in der Arithmetik „arithmetischbrauchbar“ heißen, nennen wir auch im allgemeinen Fall „brauchbar“.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Wie in der Arithmetik ergibt sich dann weiter, daß unter den brauchbarenIdealsystemen eines ausgezeichnet ist, zu dem alle anderen homomorph sind[. . . ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Zur Beantwortung unserer Ausgangsfragestellung für halbgeordnete Grup-pen bleibt uns jetzt vor allem folgende Frage:Wie läßt sich das ausgezeichnete brauchbare Idealsystem einer halbgeord-neten Gruppe G konstruieren – vorausgesetzt, daß es überhaupt existiert.Wir setzen also voraus, daß die Halbordnung von G als Konjunktion zuläs-siger Ordnungen von G darstellbar ist. Bei der Konstruktion des ausgezeichne-ten brauchbaren Idealsystems wollen wir aber die Kenntnis dieser Ordnungennicht voraussetzen, weil wir gerade mit Hilfe des Idealsystems die zulässigenOrdnungen bestimmen wollen.Diese Konstruktion wird in der Arithmetik geliefert durch den Prü-fer schen Begriff der Ganzabhängigkeit von einem Ideal a des gegebenen In-tegritätsbereiches I .Ein Element a des Quotientenkörpers K heißt ganz abhängig von a , wenn a einer Gleichung1) a n + a a n − + · · · + a n = 0mit a ν ∈ a ν genügt.In der Theorie der kommutativen Halbgruppen tritt an die Stelle von 1)die Bedingung, daß es ein endliches Ideal c geben soll, so daß2) a c ⊆ ac I sei ein beliebiger Integritätsbereich, a ein (endliches oder unendliches)Ideal von I , a ein Element des Quotientenkörpers K . Wir fragen uns, wannfür jeden Bewertungsoberring B von I gilt: a ∈ a B . Für beliebiges z ∈ K ∗ und jeden Bewertungsoberring B von I gilt stets z ∈ B oder z − ∈ B .Gilt also a ∈ a I [ z ] und a ∈ a I [ z − ], so gilt stets a ∈ a B . Ebenso folgt: Gibt esElemente z , . . . , z n ∈ K ∗ , für die3) a ∈ a I [ z ± , . . . , z ± n ]für jede der 2 n Vorzeichenkombinationen gilt, so gilt für jeden Bewertungso-berring B von I : a ∈ a B .Diese Bedingung 3) ist auch notwendig. Ist nämlich 3) für kein z , . . . , z n erfüllt, so zeigt ein einfacher Wohlordnungsschluß, daß es einen maximalenOberring I von I gibt, mit der Eigenschaft, daß für jedes z , . . . , z n ∈ K ∗ a / ∈ a I [ z ± , . . . , z ± n ]für mindestens eine Vorzeichenkombination gilt. Insbesondere gilt also a / ∈ a I .Wäre dieses I kein Bewertungsring, so gäbe es ein z ∈ K ∗ mit z / ∈ I und z − / ∈ I , also gäbe es Elemente x , . . . , x m und y , . . . , y n mit a ∈ a I [ z ][ x ± , . . . , x ± m ] a ∈ a I [ z − ][ y ± , . . . , y ± n ]für jede Vorzeichenkombination. Hieraus würde aber a ∈ a I [ z ± , x ± , . . . , x ± m , y ± , . . . , y ± n ]folgen, d. h. ein Widerspruch. Also ist I Bewertungsring.Damit ist das folgende neue Ergebnis gewonnen:25s gilt genau dann a ∈ a B für jeden Bewertungsoberring B von I , wennes Elemente z , . . . , z n ∈ K ∗ gibt, für die a ∈ a I [ z ± , . . . , z ± n ]für jede Vorzeichenkombination gilt.Der Beweis ist so einfach, daß er sich ohne weiteres in beliebigen halbge-ordneten Gruppen durchführen läßt und hier sowohl eine Konstruktion desausgezeichneten brauchbaren Idealsystems liefert (vorausgesetzt, daß es exi-stiert), als auch die folgende Frage beantwortet:Wann ist die Halbordnung einer halbgeordneten Gruppe G als Konjunktionzulässiger Ordnungen von G darstellbar?Zum Schluß zeigen wir, daß sich diese Ergebnisse mit den bekannten Er-gebnissen im Kommutativen in Übereinstimmung befinden. [. . . ] Ferner erhältman für den grundlegenden Begriff der Ganzabhängigkeit eines Elementes a von einem Integritätsbereich I einen neuen gleichwertigen Ausdruck: a ist genau dann ganz abhängig von I , wenn es Elemente z , . . . , z n desQuotientenkörpers gibt, die a ∈ I [ z ± , . . . , z ± n ] für jede Vorzeichenkombinati-on erfüllen. § 1. Halbordnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Für jede Halbordnung benutzen wir außerdem zur Abkürzung: a ≥ b , wenn b ≤ a gilt, a ≡ b , wenn a ≤ b und a ≥ b gilt,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Die ganzen Elemente einer halbgeordneten Gruppe G bilden eine invarianteUnterhalbgruppe g von G . Es gilt nämlich1 ≥ a, b ∈ G : a ≥ , b ≥ ⇒ ab ≥ a, x ∈ G : a ≥ ⇒ xax − ≥ g der ganzen Elemente1 ∈ g ,für jedes a, b ∈ G : a ∈ g , b ∈ g ⇒ ab ∈ g ,für jedes a, x ∈ G : a ∈ g ⇒ xax − ∈ g .Wir nennen die invariante Unterhalbgruppe der ganzen Elemente kurz die(zu ≤ ) zugehörige Halbgruppe.Sa tz 1. Die Halbordnungen einer Gruppe G entsprechen eineindeutig deninvarianten Unterhalbgruppen von G .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2. Verbandsgruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Wir nennen zwei Elemente a und b einer Verbandsgruppe teilerfremd, wenn a ∧ b ≡ a k b . [. . . ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Hauptgruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Wir nennen diese direkten Produkte von geordneten Gruppen Vektorgrup-pen. [. . . ]Sa tz 8. In einer Vektorgruppe G gilt für jedes a, x ∈ Ga k xax − ⇒ a ≡ a > ⇒ xax − > a > ⇒ min( a, xax − ) > H und H ′ Halbverbandshalbgruppen und → eine Abbildungvon H in H ′ , die für jedes a, b ∈ H , a ′ , b ′ ∈ H ′ mit a → a ′ und b → b ′ erfüllt: a ≤ b ⇒ a ′ ≤ b ′ a ∧ b → a ′ ∧ b ′ ab → a ′ b ′ .3)Eine solche Abbildung nennen wir einen Homomorphismus von H .Jeder Homomorphismus definiert eine Relation ˙ ≤ in H auf folgende Weise.Wir setzen fest, daß a ˙ ≤ b in H genau dann gelten soll, wenn a ′ ≤ b ′ in H ′ gilt. H ist bzgl. dieser Relation wieder eine Halbverbandshalbgruppe und dieRelation ˙ ≤ erfüllt: a ≤ b ⇒ a ˙ ≤ b I) x ˙ ≤ a, x ˙ ≤ b ⇒ x ˙ ≤ a ∧ b .II)Es gilt auch die Umkehrung: Ist ˙ ≤ eine Halbordnung von H , die I) und II)erfüllt, so ist H bzgl. ˙ ≤ eine Halbverbandshalbgruppe (wir wollen diese mit H ′ bezeichnen) und die Abbildung a → a von H auf H ′ ist ein Homomorphismus.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Aufgrund dieser Gleichwertigkeit betrachten wir statt der Homomorphis-men von H nur die Halbordnungen von H , die I) und II) erfüllen. Wir nennendiese Halbordnungen kurz die zulässigen Halbordnungen von H .Zwei Homomorphismen von H , die dieselbe zulässige Halbordnung definie-ren, nennen wir äquivalent. Es entsprechen dann also die Homomorphismenvon H bis auf Äquivalenz eineindeutig den zulässigen Halbordnungen von H .Für eine Verbandsgruppe G entsprechen die zulässigen Halbordnungenvon G aber auch eineindeutig gewissen Unterhalbgruppen von G . Aus Satz 1folgt nämlich sofort:Ist g die zugehörige Halbgruppe einer Verbandsgruppe G , so entsprechendie zulässigen Halbordnungen von G eineindeutig den invarianten Unterhalb-gruppen ˙ g von G , die für jedes a, b ∈ G I) g ⊆ ˙ g II) a ∈ ˙ g , b ∈ ˙ g ⇒ a ∧ b ∈ ˙ g erfüllen. 28iese Halbgruppen ˙ g nennen wir die zulässigen Halbgruppen von G . DieHomomorphismen einer Verbandsgruppe G entsprechen also bis auf Äquiva-lenz eineindeutig den zulässigen Halbgruppen von G .Die zulässigen Halbgruppen einer Verbandsgruppe lassen sich nun durch„Quotientenbildung“ aus der zugehörigen Halbgruppe g gewinnen. Dazu habenwir invariante Unterhalbgruppen S von g zu betrachten. Gilt für jedes a, b ∈ g a ≤ b, b ∈ S ⇒ a ∈ S ,so nennen wir S vollständig.Sa tz 9. Die Homomorphismen einer Verbandsgruppe G entsprechen bisauf Äquivalenz eineindeutig den vollständigen, invarianten Unterhalbgruppender zugehörigen Halbgruppe g .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Sa tz 13. Jede reguläre Verbandsgruppe ist Hauptgruppe.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Zusammengefaßt erhalten wir also eine Kennzeichnung der Hauptgruppen,die unabhängig ist vom Ordnungsbegriff. Die Bedeutung dieser Kennzeich-nung liegt darin, daß sich die Ordnungen einer Gruppe im allgemeinen nurmit Wohlordnungsschlüssen konstruieren lassen – die Oberverbandsgruppendagegen lassen sich auch ohne Wohlordnung konstruieren mit Hilfe des Ideal-begriffs. § 4. Idealsysteme.
Wir definieren den Idealbegriff zunächst für beliebige halbgeordnete Men-gen.Unter einem Idealsystem S einer halbgeordneten Menge M verstehen wireinen minimalen Oberhalbverband von M . Ein Oberhalbverband von M ent-hält zu endlich vielen Elementen a µ von M ( µ = 1 , . . . , m ) stets den g. g.T. a ∧ . . . ∧ a m . Er heißt minimal, wenn er nur aus Elementen dieser Form be-steht. Es gibt dann nämlich keinen echten Unterhalbverband, der auch noch M umfaßt.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Der Idealbegriff ist für halbgeordnete Gruppen in dieser Form noch zuunbestimmt. Als Idealsystem einer halbgeordneten Halbgruppe H wollen wir29ur diejenigen Idealsysteme der halbgeordneten Menge H bezeichnen, in denendurch die Festsetzung( a ∧ . . . ∧ a m )( b ∧ . . . ∧ b n ) ≡ a b ∧ . . . ∧ a m b n eine Multiplikation definiert werden kann.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Die Einführung der Idealsysteme geschieht, um mit ihrer Hilfe die Einbet-tung einer Hauptgruppe G in eine reguläre Verbandsgruppe konstruktiv ohneBenutzung der Ordnungen von G zu ermöglichen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 5. r -Gruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Damit unsere Untersuchung der halbgeordneten Gruppen auch die spe-ziellen Fragen der Arithmetik der kommutativen Integritätsbereiche umfaßt,legen wir daher von jetzt ab eine halbgeordnete Gruppe zugrunde, zu der vonvornherein ein festes Idealsystem gegeben ist. Ist dies das System der r -Ideale,so nennen wir die halbgeordnete Gruppe kurz eine r -Gruppe.In einer r -Gruppe erklären wir nur diejenigen Halbordnungen als r -zulässig,die durch eine zulässige Halbordnung des r -Idealsystems induziert werden.Die r -zulässigen Halbordnungen lassen sich unabhängig von dem Begriffder zulässigen Halbordnung eines Halbverbandes kennzeichnen. Ist nämlicheine beliebige halbgeordnete Gruppe G gegeben, und ist H ein Idealsystemvon G , so giltSa tz 17. Eine Halbordnung ˙ ≤ von G wird genau dann durch eine zulässigeHalbordnung von H induziert, wenn1) a ≤ b ⇒ a ˙ ≤ b erfüllt ist und wenn aus a ∧ . . . ∧ a m ≤ a in H für jedes x ∈ G folgt2) x ˙ ≤ a , . . . , x ˙ ≤ a m ⇒ x ˙ ≤ a .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Für die Ordnungen von G gilt darüber hinausSa tz 18. Die zulässigen Ordnungen von H entsprechen eineindeutig denOrdnungen von G , die 1) und 2) erfüllen.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ist G eine r -Gruppe und g die zugehörige Halbgruppe, so entsprechen die r -zulässigen Halbordnungen bzw. Ordnungen von G den invarianten Unter-halbgruppen bzw. den linearen, invarianten Unterhalbgruppen ˙ g die1) g ⊆ ˙ g erfüllen, und für die aus a ∧ . . . ∧ a m ≤ r a folgt:2) a ∈ ˙ g , . . . , a m ∈ ˙ g ⇒ a ∈ ˙ g .Statt 2) läßt sich auch schreiben: a ∈ ˙ g , . . . , a m ∈ ˙ g ⇒ ( a , . . . , a m ) r ⊆ ˙ g .Wir nennen die invarianten Unterhalbgruppen von G , die 1) und 2) erfüllen,die r -zulässigen Halbgruppen von G .Eine r -Gruppe G heißt r -Hauptgruppe, wenn die Halbordnung von G nichtnur Konjunktion von Ordnungen von G ist, sondern sogar Konjunktion von r -zulässigen Ordnungen ist. Das ist also genau dann der Fall, wenn die zugehö-rige Halbgruppe Durchschnitt von linearen r -zulässigen Halbgruppen ist.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 6. Die r -Abschließung. Wir wollen in diesem § nachweisen, daß sich das ausgezeichnete r -brauch-bare Idealsystem, das r a -System, einer r -Hauptgruppe unabhängig von denBegriffen der vorhergehenden §§ kennzeichnen läßt.Es sei G eine beliebige r -Gruppe, g die zugehörige Halbgruppe, ˙ g eine r -zulässige Halbgruppe, a = { a , . . . , a m } eine endliche Untermenge von G und a ∈ G .Wir bezeichnen das r -Ideal ( a , . . . , a m ) r mit a r .Wir definieren das Produkt a r . ˙ g als die kleinste Untermenge von G , diesämtliche Elemente a ˙ g mit a ∈ a r und ˙ g ∈ ˙ g enthält und außerdem für jedes x , . . . , x n ∈ G die Bedingung x ∈ a r . ˙ g , . . . , x n ∈ a r . ˙ g ⇒ ( x , . . . , x n ) r ⊆ a r . ˙ g erfüllt.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31. . . ] bezeichnen wir für jedes x ∈ G mit ˙ g ( x ) r den Durchschnitt aller r -zulässigen Halbgruppen, die ˙ g umfassen und außerdem x enthalten. ˙ g ( x ) r istwieder eine r -zulässige Halbgruppe, die „ r -Erweiterung“ von ˙ g mit x .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Wir definieren dazu eine Relation α r zwischen den Elementen a und denProdukten a r . ˙ g .Wir setzen a α r a r . ˙ g , wenn es Elemente x , . . . , x n von G gibt mit a ∈ a r . ˙ g ( x ± , . . . , x ± n ) r für jede der 2 n möglichen Vorzeichenkombinationen.Sa tz 24. a ist genau dann r -abhängig von a r in ˙ g , wenn a α r a r . ˙ g gilt.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Die Bedeutung dieses Satzes liegt darin, daß es jetzt möglich ist, für jede r -Hauptgruppe eine direkte Konstruktion des r a -Idealsystems anzugeben.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[. . . ] Gilt a α r (1) . ˙ g , so nennen wir a r -abhängig von ˙ g , da (1) . ˙ g = ˙ g ist.Liegt jedes von ˙ g r -abhängige Element in ˙ g , so nennen wir ˙ g r -abgeschlos-sen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Sa tz 26. Eine r -Gruppe ist genau dann r -Hauptgruppe, wenn die zuge-hörige Halbgruppe r -abgeschlossen ist.
7. Lorenzen 1952: the Fundamentalsatz forsemilattice domains.
The first three sections of Lorenzen 1952 propose a streamlined version of Lorenzen1950 in the more general framework of a domain ( B, B , G ), i.e. of a preorderedset ( B, B ) with a monoid G of preorder-preserving operators on B . ( H, H , G )is a semilattice domain if ( H, H ) is a semilattice and if the action of G preservesmeets. A preorder on a semilattice domain H is H -allowable if it is coarserthan H and if meets (w.r.t. H ) are also meets w.r.t. . One can similarly definelattice domains and the corresponding allowability.A domain of ideals H r for a domain B is a minimal supersemilattice domain.A preorder on B is r -allowable if it is induced by an allowable preorder of H r . B is an r -principal domain if its preorder is a conjunction of r -allowable linearpreorders.Krull’s Fundamentalsatz for integral domains becomes a characterisation ofan r -principal domain as a domain B in which behaving as if it were linearly32reordered, i.e. in which assuming that certain pairs of elements α , . . . , α e ∈ B × B are linearly preordered, does not add new preordered pairs to the preorder. Hisformulation of this “as if” goes as follows: it is the simultaneous considerationof 2 e different preorders corresponding to preordering each pair one way or theother (a way described by a combination of signs ε , . . . , ε e = ± R [ α ε , . . . , α ε e e ] r of all the r -allowable preorderscoarser than B in which the pairs are preordered in the described way (herebelow, R is Lorenzen’s notation for the preorder B ).Theo r em 1. An r -domain B (w.r.t. R and G ) is an r -principal domain if,and only if, for all pairs α , . . . , α e from B , holds: \ ε = ± ε ,...,ε e R [ α ε , . . . , α ε e e ] r ⊂ R .This final shape of the Fundamentalsatz corresponds to Satz 26 of Lorenzen1950 (see above) and is obtained by the arguments developed there. The charac-terisation given in Theorem 1 is but a formulation of r -closedness : compare theformulation of integral dependence at the end of the introduction of Lorenzen 1950(page 26, translated on page 22).Note that the article Lorenzen 1951 shows that Lorenzen had the means ofa considerably simpler formulation of this “as if” by starting from the logic-freeand set-theory-free formal system given by H r and by adding the e axioms corre-sponding to preordering the pairs (see, in this respect, Coquand, Lombardi, andNeuwirth 2019, 2020). He may have refrained from doing so in order to stick to apurely algebraic framework that would suit his potential readers.In the last section, the property of regularity introduced in Lorenzen 1950 isgiven the following symmetrical form for a distributive lattice domain ( V, V , G ):that xa ∧ yb V xb ∨ ya for a, b ∈ V and x, y ∈ G . Excerpt.
Our excerpt is from pages 269–274 of “Teilbarkeitstheorie in Bereichen”,
Mathe-matische Zeitschrift
55. § 1.
Bereiche. B sei eine Menge (Elemente a, b, . . . ), R eine zweistellige Relation in B und G eine Menge von Operatoren x, y, . . . von B .33efinitio n 1. B heißt ein Bereich (bezügl. R und G ), wenn für alle a , b , c und x gilt a R a (1.1) a R b, b R c → a R c (1.2) a R b → xa R xb .(1.3)Da (1.3) für den Operator 1 (definiert durch 1 · a = a ) und für xy (de-finiert durch ( xy ) a = x ( ya )) gilt, falls für x und y , sei im Folgenden stetsangenommen, daß G eine Halbgruppe mit Einselement ist. R heißt die Halbordnung von B . Statt a R b werde a < b oder b > a geschrieben. a = b bedeute a < b und b < a (= braucht nicht die Identität zusein).Gilt a < b oder a > b für alle a und b , dann heißt R eine Ordnung .Definitio n 2. Ein Bereich B heißt ein Halbverbandsbereich , wenn für alle a, b ein größter gemeinsamer Teiler a ∧ b existiert, so daß für alle c und x gilt c < a ∧ b ←→ c < a, c < b (1.4) x ( a ∧ b ) = xa ∧ xb .(1.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Definitio n 3. Eine Halbordnung S eines Halbverbandsbereiches B (be-zügl. R und G ) heißt zulässig , wenn für alle a , b , c und x gilt R ⊂ S (1.6) a S b → xa S xb (1.7) c S a, c S b → c S a ∧ b .(1.8). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Die Halbordnung R eines Bereichs B induziert in jeder Untermenge B von B eine Halbordnung R von B . R heißt eine Fortsetzung von R auf B .Ist B zulässig bezügl. G (d. h. xB ⊂ B für alle x ), dann induziert G eine Operatorenhalbgruppe G von B . B heißt dann ein Oberbereich von B (bezügl. R und G ). § 2. Ideale. B sei ein Bereich (bezügl. R und G ).Definitio n 4. Ein minimaler Halbverbandsoberbereich H von B heißtein Idealbereich von B . 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Die Idealbereiche H werden durch einen Kennbuchstaben unterschieden. r sei eine Variable für diese Kennbuchstaben.Ein Bereich B mit einem Idealbereich H r heiße ein r -Bereich .Definitio n 5. Eine Halbordnung S eines r -Bereiches B heiße r -zulässig ,wenn S durch eine zulässige Halbordnung von H r induziert wird.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Definitio n 6. Ein r -Bereich B heißt r -Hauptbereich , wenn die Halbord-nung R von B Konjunktion r -zulässiger Ordnungen von B ist.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .werde für jede r -zulässige Halbordnung S und jedes Paar α = a , a aus B die r -Erweiterung S [ α ] r als Konjunktion aller r -zulässigen Halbordnungen S von B mit S ⊂ S (2.1) a S a (2.2)definiert. Zur bequemeren Formulierung sei ferner gesetzt. . . . . . . . . . . . . . . α +1 = a , a , α − = a , a .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Sa tz 1. Ein r -Bereich B (bezügl. R und G ) ist genau dann ein r -Haupt-bereich, wenn für alle Paare α , . . . , α e aus B gilt: \ ε = ± ε ,...,ε e R [ α ε , . . . , α ε e e ] r ⊂ R .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4. Reguläre Verbandsbereiche.
Definitio n 9. Ein Verbandsbereich V heißt regulär , wenn V distributivist und für a, b und x, y gilt: xa ∧ yb < xb ∨ ya .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Sa tz 3. Die Halbordnung eines Verbandsbereiches V ist genau dann Kon-junktion zulässiger Ordnungen von V , wenn V regulär ist. . Lorenzen 1953a: the Fundamentalsatz forintegral domains as an embedding into asuper- ℓ -group. The introduction of Lorenzen 1953a describes his state of the art on Krull’s Fun-damentalsatz for integral domains: • Lorenzen 1950 shows that the problem of representing an integral domain I as intersection of valuation rings may be reduced to the problem of constructing asuper- ℓ -group of the divisibility group G of I such that the meets of elements of G form a homomorphic image of the system of Dedekind ideals. • In fact, Satz 3 of Lorenzen 1952 (see above) establishes that the preorder ofa regular lattice domain may be represented as a conjunction of allowable linearpreorders, and this corresponds to an intersection of valuation rings in the case ofan integral domain.According to the Fundamentalsatz, the integral domains I that are repre-sentable as intersection of valuation rings are characterised by being integrallyclosed. On the other hand, the representability of I as an intersection of valu-ation rings is equivalent to the existence of a lattice-preordered supergroup V of the multiplicative group G of the field of fractions K of I – where V mustsatisfy the condition that the domain of ideals H (which consists of all g.c.d.s a ∧ · · · ∧ a n with a ν ∈ G ) contained in V is a homomorphic image of thedomain of Dedekind ideals H d of I .This last equivalence results from the more general domain-theoretic theo-rem that the preorder of every regular lattice-preordered domain is a conjunc-tion of allowable total orders – if one adds that every commutative lattice-preordered group is trivially regular. Therefore two routes to the proof ofKrull’s Fundamentalsatz are available: one has to construct, for an integrallyclosed integral domain, either an intersection representation through valua-tions or a lattice-preordered supergroup. Both proof possibilities are carriedout for commutative groups – for noncommutative groups, however, and moregenerally for domains, only the first route has been hitherto practicable.The present work describes the second proof course also in the general case.If afterwards one specialises the general method to divisibility in commutativefields K , then the following results. For the construction of a lattice-preorderedsupergroup it is required only to define when, for arbitrary elements a µ , b ν outof the multiplicative group G of K , a ∧ · · · ∧ a m ≺ b ∨ · · · ∨ b n is to hold ( ≺ stands for “divides”, ∧ denotes the g.c.d., ∨ the l.c.m.).36or every integrally closed integral domain I , one obtains a lattice-preordered supergroup of G if one defines(1) a ∧ · · · ∧ a m ≺ b ∨ · · · ∨ b n ←→ ∈ P κ ( a b − , . . . , a µ b − ν , . . . , a m b − n ) κ .For n = 1, b = b , this definition changes into the prüferian definition ofintegral dependence of b on ( a , . . . , a m )(2) a ∧ · · · ∧ a m ≺ b ←→ b k + c b k − + · · · + c k = 0 [ c κ ∈ ( a , . . . , a m ) κ ].Therefore (1) describes a suitable enlargement of the concept of integral de-pendence.In this last article on the subject, Lorenzen proposes the construction of an ℓ -group from a preordered group G and a semilattice of ideals H r ; G embeds intothis ℓ -group if and only if it is r -closed. He does so by first constructing thedistributive lattice generated by an “entailment relation” associated with H r (seeCoquand, Lombardi, and Neuwirth 2020) and then proving that it is a lattice-preordered group. Excerpt.
Our excerpt is from page 15 of “Die Erweiterung halbgeordneter Gruppen zu Ver-bandsgruppen”,
Mathematische Zeitschrift
Krull schen Fundamentalsatz [ ] sind die Integritätsbereiche I ,die als Durchschnitt von Bewertungsringen darstellbar sind, dadurch charak-terisiert, daß sie ganz abgeschlossen sind. Die Darstellbarkeit von I als Durch-schnitt von Bewertungsringen ist andererseits äquivalent [ ] mit der Existenzeiner Verbandsobergruppe V der multiplikativen Gruppe G des Quotientenkör-pers K von I – wobei V der Bedingung genügen muß, daß der in V enthalteneIdealbereich H (der aus allen g.g.T. a ∧ . . . ∧ a n mit a ν ∈ G besteht) einhomomorphes Bild des Dedekind schen Idealbereichs H d von I ist.Diese letztere Äquivalenz ergibt sich aus dem allgemeineren bereichstheo-retischen [ ] Satz, daß die Halbordnung jedes regulären VerbandsbereichesKonjunktion von zulässigen Ordnungen ist – wenn man hinzufügt, daß jedekommutative Verbandsgruppe trivialerweise regulär ist. Daher stehen zum Be-weis des Krull schen Fundamentalsatzes zwei Wege zur Verfügung: Man hatfür einen ganz abgeschlossenen Integritätsbereich entweder eine Durchschnitts-darstellung durch Bewertungen oder eine Verbandsobergruppe zu konstruieren.37eide Beweismöglichkeiten sind für kommutative Gruppen durchgeführt – fürnichtkommutative Gruppen und allgemeiner für Bereiche ist bisher jedoch nurder erste Weg gangbar.Die vorliegende Arbeit stellt den zweiten Beweisgang auch im allgemei-nen Falle dar. Spezialisiert man anschließend die allgemeine Methode auf dieTeilbarkeit in kommutativen Körpern K , so ergibt sich folgendes. Zur Kon-struktion einer Verbandsobergruppe braucht nur definiert zu werden, wannfür beliebige Elemente a µ , b ν aus der multiplikativen Gruppe G von K geltensoll [ ] a ∧ . . . ∧ a m ≺ b ∨ . . . ∨ b n ( ≺ steht für „teilt“, ∧ bezeichnet den g.g.T., ∨ das k.g.V.).Für jeden ganz abgeschlossenen Integritätsbereich I erhält man eine Ver-bandsobergruppe von G , wenn man definiert(1) a ∧ . . . ∧ a m ≺ b ∨ . . . ∨ b n ←→ ∈ P κ ( a b − , . . . , a µ b − ν , . . . , a m b − n ) κ .Für n = 1, b = b geht diese Definition über in die Prüfer sche Definition derGanzabhängigkeit von b von ( a , . . . , a m )(2) a ∧ . . . ∧ a m ≺ b ←→ b k + c b k − + · · · + c k = 0 [ c κ ∈ ( a , . . . , a m ) κ ].Daher stellt (1) eine zweckmäßige Ausdehnung des Begriffes der Ganzabhän-gigkeit dar.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literatur. [ ] Krull , W.: Allgemeine Bewertungstheorie. J. reine angew. Math. , 160–196 (1931). – [. . . ] [ ] Lorenzen , P.: Über halbgeordnete Gruppen. Math. Z. ,483–526 (1949). – [ ] Lorenzen , P.: Teilbarkeitstheorie in Bereichen. Math. Z. ,269–275 (1952). – [ ] Lorenzen , P.: Algebraische und logistische Untersuchungenüber freie Verbände. J. Symb. Log. , 81–106 (1951).
9. A letter from Krull to Scholz from 1953: thewell-ordering theorem.
Extract.
We translate an extract from the letter that Krull sent to Scholz on 18 April 1953(Heinrich Scholz Archive at University and State Library of Münster), edited on38age 103. Heinrich-Scholz-Archiv at Universitäts- und Landesbibliothek Münster.In working with the uncountable, in particular with the well-ordering the-orem, I always had the feeling that one uses fictions there that need to bereplaced some day by more reasonable concepts. But I was not getting upsetover it, because I was convinced that in a careful application of the common“fictions” nothing false comes out, and because I was firmly counting on theman who would some day put all in order. Lorenzen has now found accordingto my conviction the right way [. . . ].
Well-ordering arguments and constructions.
In his articles, Lorenzen uses well-ordering arguments in several places: • in Lorenzen 1939a for the proof of Satz 4 (spelled out in our comment onthe proof of Theorem 12 on page 14); • in Lorenzen 1950 for the proof of Satz 24 (stated in the introduction for thecase of integral domains, see page 25 and the translation on page 22); for the proofof Satz 13 and of Satz 1 in Teil II; • in Lorenzen 1952 for the proof of his lemma to Theorem 1, a version ofLorenzen 1950, Satz 24; for the proof of Satz 3, a version of Lorenzen 1950, Satz 13. • However, no well-ordering argument appears in Lorenzen 1953a.Three kinds of uses may be distinguished. • Lorenzen 1939a, Satz 4: Zorn’s lemma is used in order to obtain a maximalprime ideal. • Lorenzen 1950, Satz 24; Lorenzen 1952, lemma to Theorem 1: a “morereasonable concept”, which amounts to behaving as if the domain were linearlypreordered, is introduced to replace the “fiction” of valuations. • Lorenzen 1950, Satz 13; Lorenzen 1952, Satz 3: Zorn’s lemma is used toobtain linear preorders. These are “fictions” which are replaced by the “morereasonable concept” of an ℓ -group, in which one may compute as if it were linearlypreordered.We can retrace Lorenzen’s position w.r.t. well-ordering arguments through hisuse of the word construction and related words. Let us gather the relevant pas-sages.1. In Lorenzen’s correspondence edited in the appendix, these words appearonly in his letter to Krull, dated 25 April 1944 (page 90), in which he provides adetailed description of his habilitation, and in his last two letters to Hasse, datedJuly and September 1963.2. In the introduction to Lorenzen 1950, he writes the following (see page 24).39ow can a preordered group be embedded into a lattice-preordered group– assuming that such an embedding is possible?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .How can the distinguished brauchbar system of ideals of a preorderedgroup G be constructed – assuming that it actually exists?We thus assume that the preorder of G is representable as conjunction ofallowable linear preorders of G . But we do not want to use the knowledge ofthese linear preorders, because the allowable linear preorders are just what wewant to determine by the aid of the system of ideals.In arithmetic, This construction is provided by the prüferian concept ofintegral dependence on an ideal a of the given integral domain I .3. After presenting his “new construction”, he adds the following (see page 26).The proof is so easy that it may be carried out in arbitrary preorderedgroups and here provides a construction of the distinguished brauchbar systemof ideals (assuming that it exists), and also answers the following question:When is the preorder of a preordered group G representable as conjunctionof allowable preorders of G ?4. After having proved Satz 13, he makes the following comment (see page 29).The significance of this characterisation lies in the fact that, in general, thelinear preorders of a group can be constructed only with well-ordering argu-ments – whereas the super-lattice-preordered groups can also be constructedwithout a well-ordering by the aid of the concept of ideal.5. He repeats this a few pages later (see page 30).Systems of ideals are introduced in order to make possible by their aidthe embedding of a principal group G into a regular lattice-preordered groupconstructively, without use of the linear preorders of G .6. Satz 24 is accompanied by the following comment (see page 32).The significance of this theorem lies in the fact that it is now possible to state,for every r -principal group, a direct construction of the system of r a -ideals.7. Lorenzen (1952, page 273) uses the following wording, which is the most In Lorenzen’s approach, the distinguished brauchbar system of ideals is the system of r a -ideals. ̺ -principal domains B , Theorem 2 provides a “constructive” definitionof the domain of ̺ a -superideals V ̺ a of B , i.e. a definition without use of the ̺ -allowable linear preorders of B .8. Finally, Lorenzen (1953a) uses the following formulation (see page 36).[. . . ] one has to construct for an integrally closed integral domain either anintersection representation through valuations or a lattice-preordered super-group.As these passages show, Lorenzen holds that a well-ordering argument providesa construction, but he makes distinctions: such an argument avers that somethingis possible, but not how ; other strategies have to be developed in order to gainknowledge of the thing over and above its bare existence. He also specifies for eachconstruction whether it relies on a well-ordering argument or not, in which lattercase it is “direct”, or “constructive”. This adjective and the adverb “constructively”have a more restricted use than the word “construction” and mean that the well-ordering argument or the “fiction” of a linear preorder have been avoided.The distinctions he makes show that, like Krull (1936a), he thinks that well-ordering arguments provide only the “mere existence” of the thing constructed.He therefore devises new constructions that bypass them: systems of ideals, super-lattice-preordered groups, the right to compute as if everything were linearly pre-ordered. However, we have not found any passage in which he explains the problemas clearly and simply as Krull does, or in which he motivates his work along thelines of Krull’s letter to Scholz. ∗ ∗ ∗ Lorenzen’s reshaping of Krull’s Fundamentalsatz for integral domains can bepresented as a process in three steps.1. Lorenzen 1939a generalises Krull’s well-ordering argument from integral do-mains to preordered cancellative monoids; valuation rings become linear r -super-monoids.2. Lorenzen 1950 and 1952 successively generalise the well-ordering argumentto preordered noncommutative monoids and to domains, so that valuations corre-spond to r -allowable linear preorders; the right to compute as if the monoid werelinearly preordered is embodied in the relation α r , which is shown to yield finiteapproximations of them on the proviso that they exist; Lorenzen describes a directconstruction of an embedding into a lattice-preordered group on the proviso thatit exists.3. Lorenzen 1953a provides the construction of the free lattice-preordered groupgenerated by a regular noncommutative monoid without this proviso by applying41atz 7 of Lorenzen 1951, nowadays called the fundamental theorem of entailmentrelations (see Coquand, Lombardi, and Neuwirth 2019, § 2B).Let us state a further step forward, which Lorenzen does not make.4. The condition of integral closedness for an integral domain consists in theadmissibility of the axiom that divisibility is linear for the formal system generatedby the integral domain. The condition of r -closedness for a regular noncommuta-tive monoid consists in the admissibility of the axiom that the preorder is linear.In the articles discussed here, Lorenzen does not question the existence of athing provided by a well-ordering argument, but the nonconstructive nature of itsexistence fails to provide the mathematical clarity needed for extending his workto a noncommutative setting.The three steps made by Lorenzen are thus genuinely motivated by his endeav-our to clarify mathematics, as he writes in his letter to Krull dated 6 June 1944(page 94, partly translated on page 3), rather than philosophically: viz.,1. to unveil the order-theoretic nature of the Fundamentalsatz;2. to devise a counterpart of valuations that works in a noncommutative set-ting;3. to bypass valuations by the direct construction of the free lattice-preorderedgroup.With Step 4 above, dynamical algebra is taking up this process of clarification:see Lombardi (in progress). Lorenzen’s correspondence withHasse, Krull, and Aubert, togetherwith some relevant documents.
This appendix proposes an edition of the reports on Lorenzen’s Ph.D. thesis byHelmut Hasse and Carl Ludwig Siegel, of the known correspondence of Lorenzenwith Hasse, Wolfgang Krull, and Karl Egil Aubert, and of a relevant letter fromKrull to Heinrich Scholz. It provides evidence for the circumstances in whichLorenzen comes to his insights during the studied period of time.The reports on Lorenzen’s Ph.D. thesis, the letters from Lorenzen to Hasse,and the carbon copies of the letters from Hasse to Lorenzen are in the Universi-tätsarchiv Göttingen. The letters from 1938 are in the Wolfgang-Krull-Nachlassat Archiv der Universitäts- und Landesbibliothek of Universität Bonn. The lettersfrom Krull and Aubert to Lorenzen, the carbon copies of the letters from Lorenzento Krull from 1943–1944, to Scholz dated 26 May and 2 June 1944, and to Aubert,as well as the “Bescheinigung” from 1942, are in the Paul-Lorenzen-Nachlass at42hilosophisches Archiv of Universität Konstanz. The request of statement to andstatement from the Dozentenbundsführer, the Military government of GermanyFragebogen, the report and certificates on Lorenzen’s political attitude under na-tional socialism, as well as the notification on Lorenzen’s inaugural lecture are inthe Universitätsarchiv Bonn. The other letters from Lorenzen to Scholz, the letterfrom Krull to Scholz, and the carbon copies of the letters from Scholz to Lorenzenare in the Heinrich-Scholz-Archiv at Universitäts- und Landesbibliothek Münster.
A. Synopsis.
Let us start with a diachronic synopsis of Lorenzen’s (L) correspondence with Hasse(H), Krull (K), and Karl Egil Aubert, together with the relevant correspondencebetween Hasse and Krull edited by Roquette (2004) (whose dates appear slantedbelow), of some relevant letters from Lorenzen to Heinrich Scholz, and of somerelated documents.
H suggests to K that L spend some time with K in Erlangen to discussideal theory.19.02.1938 L pays a visit to K.
K expresses his satisfaction with L.
H joins in this expression of satisfaction.08.03.1938 L corrects certain points concerning v -ideals and total closedness.13.03.1938 L finds the proof method of Lorenzen 1939a, § 3.18.03.1938 L reports a success that will turn out to be spurious.22.03.1938 L provides a glossary for his multiplicative ideal theory. H sends K the carbon copy of L’s Ph.D. thesis and asks for a briefreport.
K sends H a very positive report on L’s Ph.D. thesis.24.05.1938 H writes a very positive report on L’s Ph.D. thesis.
H thanks K for his report and joins in his criticism of L’s laconic style.02.06.1938 Carl Ludwig Siegel writes a vacuous report on L’s Ph.D. thesis.09.06.1938 L pays a second visit to K.
H emphasises his agreement with K on their appreciation of L.30.06.1938 H tells L that he must meet the Dozentenbundsführer [leader of theunion of lecturers] and asks a mathematical question.06.07.1938 L answers H’s question from Erlangen. He reports that he is alsoworking on lattice theory with Gottfried Köthe.
K reports to H that he and L have not been able to repair the defectiveproofs in L’s Ph.D. thesis.
K has L in mind for a position as assistant in Bonn and asks H whetherhe would agree to let L leave Göttingen.43
H agrees, but expresses some apprehension about how to replace L inGöttingen.
K weighs at length the pros and cons of L leaving Göttingen for Bonn.
H agrees with K that L should leave Göttingen for Bonn.
K asks H for L’s military address in order to tell him that he will beappointed in Bonn from 1 August on.
H answers that he knows only L’s home address in Bad Pyrmont.09.08.1939 L thanks H for his years of supervision.11.08.1939 H acknowledges L’s thanks.06.09.1939 War has been declared and L is waiting for his incorporation. He asksH for help in finding a position as a mathematician in the army.
H suggests to K that L help him by composing a manuscript accordingto his drafts for a projected volume of
Crelles Journal on groups.11.10.1939 L thanks H again on the occasion of the printing of his Ph.D. thesis asan offprint of
Mathematische Zeitschrift .10.11.1939 L submits the manuscript of Lorenzen 1940 to H as editor of
CrellesJournal .16.11.1939 H acknowledges receipt of L’s manuscript and asks a mathematicalquestion.17.11.1939 H spells out in detail his question from the day before.13.12.1939 L answers H’s question.04.01.1940 H acknowledges receipt of L’s announcement of marriage with Kätheand proposes that L apply for a military position under Alwin Waltherby the Baltic sea.09.01.1940 L thanks H and tells him that he is waiting for K’s permission to apply.10.01.1940 L applies for this military position.
K informs H that L has been incorporated.03.02.1940 Käthe Lorenzen does so too.04.02.1940 L does so himself.
H answers K and tells him that the process of L’s candidature sent toWalther might take some time.06.02.1940 H answers Käthe Lorenzen along the same lines.09.02.1940 L asks H as treasurer of the Deutsche Mathematiker-Vereinigung towaive his member fee.21.04.1940 L sends an offprint to H and complains about his soul-killing service.05.05.1940 L tells H that his candidature is still on the way and gratefully acceptsa proposition by H to join him at the Oberkommando der Kriegsmarine(OKM, Supreme Command of the Navy).09.05.1940 H answers that there is a misunderstanding: his proposition concernsa position as a cryptographer under Achim Teubner.21.05.1940 L thanks H and tells him that he applies for the position under Teubner.11.06.1940 L sends H some news of his application.440.06.1940 L reports on his participation in the Battle of France.
K greets L via H.
H tells K that he has not seen L for a while and that he hopes to meethim on 30 November.26.04.1941 L reports on his problems with the military hierarchy and on a littleprogress in group axiomatics made during a three-days arrest.07.05.1941 H tells L what he thinks of his insubordination, stubbornness andunmilitariness, and presents Oswald Teichmüller as the example of acorrect attitude. He warns L that he will also be judged in his scientificcareer according to his military attitude. He will not help L anymore,who should now prove his value as a soldier.07.05.1941 Käthe Lorenzen asks H for a good advice regarding her husband’sdifficulties.17.05.1941 L explains to H his attitude towards the military and asks for permis-sion to write to him about his future assignment.02.01.1942 K attests that L fulfils the requirements for being admitted to habili-tation.18.03.1942 L thanks H for his congratulations on the occasion of the birth of L’sdaughter Jutta and for his indication of Jean Dieudonné’s interest inmultiplicative ideal theory. He expresses satisfaction with his work asa teacher.02.04.1942 H asks L for advice on a manuscript by Hans R. Weber.07.04.1942 L answers that Weber’s results are already known and can be found inHuntington’s work.12.05.1942 The director of the Mathematical seminar in Bonn requests a statementof the leader of the union of lecturers on L’s ideological and moralprerequisites for being appointed as assistant.01.06.1942 Ernst Klapp, the representing leader of the union of lecturers, statesthat his political attitude is unobjectionable, but that he presents cer-tains deficiencies of character that make his admission to lecturershipundesirable: a self-conceit that has also prejudiced his career in thearmy.07.05.1943 On the occasion of a review of Krull 1943, L makes an analysis of theaxiomatics of the star-operation.20.09.1943 L finds the proof method of Lorenzen 1950, the dynamical method inalgebra.04.01.1944 K discusses the details of the habilitation process with L and projectsthat it take place at the beginning of the summer term.
K acknowledges receipt of a letter from H dated 23 January 1944,which must contain a strong criticism of the person and the work of L.He defends L’s work in lattice theory, but reckons that L deserves45 repeated lesson, so that he proposes to suspend the process of L’shabilitation.06.02.1944 In this letter to L, K expounds several obstacles to his habilitation.
K acknowledges receipt of a postcard by H that enables him to treatL’s habilitation in agreement with H.19.02.1944 K writes to L that according to H his scientific publications do notsuffice for letting him habilitate.13.03.1944 L answers that he should be judged on his habilitation manuscript andadvocates his research in logic as stemming from the same motivationas in algebra.01.04.1944 K has begun to read L’s habilitation manuscript and asks a questionrelated to the condition of regularity (see page 22).16.04.1944 Upon having received a postcard by L, K denounces the lattice-orderedgroups as being “commutatively infected” and expresses his disappoint-ment that the scope of L’s work does therefore not cover the full non-commutative generality. He uses this for reiterating his judgment thatL’s work is not sufficient for a habilitation.25.04.1944 L describes precisely his achievements, emphasises that his proof methodis completely different from that of his Ph.D. thesis, and appends an-other manuscript in the hope of convincing K to change his mind.05.05.1944 L writes Scholz an account of his letter to K.26.05.1944 L accepts Scholz’s proposal to contact Köthe.29.05.1944 K praises the clearness of L’s letter and expresses the suspicion thatthe intricate style of his manuscripts might hide their relevance. Hedoes not, however, change his mind.02.06.1944 L asks Scholz to send Köthe a copy of his manuscript.06.06.1944 L motivates his research as a quest for simplicity and conceptual clar-ification. He also describes the difficult conditions of his work andcareer.06.1944 L thanks Scholz for his intercession with Köthe.22.06.1944 K writes that L’s manuscript is a thorough failure and repeats his pointwith a reference to the requirement of high scientific quality.28.06.1944 L writes Scholz an account of K’s letter.09.07.1944 L thanks Scholz for his encouragement; Köthe has written to him thathe is willing to report on his habilitation; however, L sees no wayto change K’s negative judgment and to proceed with his project ofhabilitating.16.07.1944 K expresses his sympathy with L after the bombing of Wesermünde.01.10.1944 Although he is still not satisfied, K admits that L has improved hismanuscript. He nevertheless suspects that L has not yet settled thenoncommutative case, dealing only with a “semi-commutative” one.465.07.1945 L asks H whether he has some news on the whereabouts of K, Scholz,Ackermann, and Gentzen.02.09.1945 L reports on his political attitude under national socialism.03.09.1945 L fills out the Military government of Germany
Fragebogen , providinga “chronological record of full-time employment and military service”.06.09.1945 Ernst Peschl certifies L’s political attitude.14.09.1945 A board of examiners (Hellmuth von Weber, Hans Fitting, and CarlTroll) certifies L’s political attitude.07.06.1946 L writes to Scholz that K agrees that he habilitate at once.08.06.1946 L writes to Scholz about his perspectives in Bonn.09.08.1946 L is habilitated by giving his inaugural lecture “On the concept oflattice”.
K writes H on the occasion of L’s habilitation and expresses his dis-agreement with H on the scientific value of L’s works in lattice theoryand logic. But he shares H’s objections to L as person.
K distances himself from “the conception of mathematics as a pure‘theory of structure’ in the sense of L (whom [he] tries otherwise toinfluence vigorously in the opposite direction)”.18.04.1953 K praises L in a letter to Scholz.14.05.1953 L writes to H on the occasion of his talk on mathematics as science,art, and power (Hasse 1952), and asks him to which extent he considersformalisation as a danger. An annotation shows that H discusses thiswith L on 3 July 1953.05.06.1953 H thanks L for his interest and announces that he will shortly pay avisit to Bonn and postpones his answer to that occasion.09.06.1953 L invites H to his home in anticipation of the latter’s visit to Bonn.07.1959 L gives a sketch of proof of the assertion that the theory of commutativefields is undecidable.01.08.1959 H has checked L’s sketch but for the logical conclusion.07.03.1960 H thanks L for sending a copy of Lorenzen 1960.27.06.1961 H thanks L for sending an offprint of Lorenzen 1961 and invites himto give a couple of colloquia in Hamburg about his results on the foun-dations of mathematics.04.07.1961 L gratefully accepts and proposes to question how the “assertions usedas ‘axioms’ are to be proved ”.08.07.1961 H organises L’s visit to Hamburg.11.07.1961 L fixes a last detail of his visit to Hamburg.09.10.1962 H congratulates L on his appointment as professor in Erlangen andthanks him for the copy of Lorenzen 1962, expressing the hope of find-ing the time to read it up to the consistency proof for arithmetic.07.1963 L thanks H for sending him a copy of Hasse 1963b. He considers H’sconstruction of the completion of a valuated field as a flaw.479.1963 L thanks H for his postcard from Notre Dame. Even though he did notwant H to justify himself, he is happy that H agrees that “when one in-vokes ‘all’ sequences (e.g. of rational numbers), one always means only‘sufficiently many’”. L illustrates his statement that “controlling thateverywhere really always only ‘sufficiently many’ are used, however, isin [his] opinion not trivial” with Lorenzen 1953b.21.02.1978 Aubert writes to L with an inquiry about K’s attitude toward t -ideals(see page 12), which he considers “building blocks of general arith-metics. They seem to form the true arithmetical divisors [. . . ]”.06.03.1978 L answers that he had almost no contact with K in Bonn for “politicalreasons (K had prevented [his] habilitation during war)” and because ofhis “foundation-theoretic works that K did not acknowledge as ‘math-ematical’ achievements”; he lost track of t -ideals when he focussed ondivisibility theory in domains. He asks Aubert in return whether thislatter theory has been developed by some algebraist.10.04.1978 Aubert expands on the importance of t -ideals as universal objects andpoints out the only reference to Lorenzen 1952 that he is aware of.18.06.1979 L thanks Aubert for sending him his article on divisibility theory andpoints out that it deals only with commutative groups: “Was the en-largement to noncommutative groups perhaps only an intellectual lux-ury?” B. The correspondence between Krull andLorenzen, 1938.
Göttingen, 19.2.Sehr geehrter Herr Professor!Ich danke Ihnen für Ihr freundliches Interesse, das Sie meiner Arbeit entgegen-bringen, und besonders für die Erlaubnis mit Ihnen persönlich darüber sprechenzu dürfen.Da ich aus verschiedenen Gründen erst am Mittwoch von hier fahren kann,würde ich mir gestatten, Sie am Donnerstag, dem 24.2., morgens aufzusuchen.Falls Ihnen diese Zeit ungelegen sein sollte, können Sie mir ja dann eine andereZeit sagen.Ich freue mich sehr, Sie befragen zu dürfen, und hoffe mir, daß ich Ihnen nichtallzu lästig fallen werde. This interest is subsequent to a letter from Hasse to Krull dated 14 February 1938 (Roquette2004, § 1.31).
Gött., 8.3.Feuerschanzengraben 20aSehr geehrter Herr Professor!Ich möchte Ihnen zunächst noch einmal herzlichst danken für die so sehr freund-liche Aufnahme, die ich bei Ihnen gefunden habe. Ich danke auch besonders IhrerFrau Gemahlin. Es war für mich eine große Freude mit Ihnen über meine Arbeitsprechen zu können.Was diese anbetrifft, so muß ich leider folgendes richtigstellen:Sei I eine v -abg[eschlossene] Halbgruppe, c ein endliches v -Ideal, so folgt ( I =(1) = 1) 1 : c − c = (1 : c − ) : c = c : c = 1D. h. c ist v -umkehrbar, aber c − braucht nicht endlich zu sein. Sind a , b endliche v -Ideale so folgt a ( a + b ) − + b ( a + b ) − = 1 ( v -Summe).Damit a ⊆ b oder b ⊆ a folgt, muß in I die v -Summe zweier echter v -Idealewieder echt sein. Ist I primär, so folgt dies nur für endliche v -Ideale. Wenn etwagelten würde ( a + b ) v = ( a v ∪ b v ) v e für beliebiges a , b käme man auch durch. Aberso ohne weiteres nicht.Übrigens sind die v e -Ideale schon in der Arnold schen Arbeit definiert, wie ichjetzt gesehen habe.Für weitergehende Sätze besteht die Schwierigkeit, daß man aus der v -Abge-schlossenheit von I nicht auch die von I S schließen kann, da aus α ∈ ( cI S ) v nicht αs ∈ ( cI ) v s ∈ S folgt (auch nicht bei endlichem c !).Darf ich hier mir vielleicht eine Frage erlauben: Ist in einer speziellen Haupt-ordnung, stets auch I S spezielle H.?Auf Ihre Anregung hin, habe ich mir die Arbeit von Akizuki noch einmalangesehen, und habe die Kettensätze für v -Ideale untersucht. Es zeigt sich sofort:die v -Maximalbedingung ist stets mit der schwachen v -Min.bed. gleichwertig, dennsind a n n = 1 , . . . irgendwelche Ideale mit ( a ) ⊆ a n ⊆ a ) ⊆ ( a ) a − n ⊆ v -Ideale folgt aus a n ⊂ a n +1 bzw. a n ⊃ a n +1 sofort a a − n ⊃ This is corroborated by the correspondence between Krull and Hasse dated 2 and 7 March1938 (Roquette 2004, §§ 1.32, 1.33). See Lorenzen 1938, p. 15; Lorenzen 1939a, p. 538. See Lorenzen 1938, p. 32; Lorenzen 1939a, p. 550. Arnold 1929. Most likely Akizuki 1935. a − n +1 bzw. a a − n ⊂ a a − n +1 . q.e.d. Weiter folgt aus der v -Max.bed., daß kein v -Id[eal] eine unendliche Basis hat und umgekehrt. (Es kann allgemein aber sein,daß ein Ideal gleichzeitig eine endliche und eine unendliche Basis hat.)Hieraus ergibt sich ein neuer, in allen Schritten trivialer, Beweis für den Z. P. I. aus der schw. Min.bed. und der totalen Abgeschlossenheit.Denn jedes Primideal ist minimal, also v e -Ideal, also v -Ideal wegen der v -Max.bed. Aus aa − ⊂ aa − ) v ⊂ v -Idealist also auch die schw. Min.bed. Ich bitte um Entschuldigung, daß dieser Brief so lang ist, aber ich dachte, eswürde Sie interessieren, denn noch einfacher kann der Beweis jetzt wohl nicht mehrgemacht werden.Ich bitte um eine Empfehlung an Ihre Frau Gemahlin und um einen freundli-chen Gruß an die beiden Kleinen.Ihr sehr ergebenerPaul Lorenzen.
Göttingen, 13.3.38Feuerschanzengraben 20aSehr geehrter Herr Professor!Diesmal muß ich wirklich um Entschuldigung bitten, daß ich Sie schon wiederbelästige. Aber es hat sich eine wesentliche Vereinfachung ergeben, die ich Ihnengerne mitteilen möchte.Definition: Ein Ideal heißt v -Ideal, wenn es mit zwei v -Idealen auch deren v -Summeenthält.Satz: Es gibt stets maximale v -Ideale.Definition: Eine Halbgruppe g (Quotientengruppe G ) heißt primär, wenn es keineQuotientenhalbgruppe g S mit g ⊂ g S ⊂ G gibt.Satz: Eine primäre total abgeschlossene Halbgruppe ist linear.Die Beweise sind ganz einfach, da mit den v -Idealen jetzt wohl die zweckent-sprechenden gefunden sind.Besonders bemerkenswert finde ich, daß alle drei Begriffe des Satzes, primär,total abgeschlossen, linear ohne Benutzung eines speziellen Idealsystemes definiertsind. Es würde allerdings genügen die v -Abgeschlossenheit zu fordern. “Zerlegungssatz in Primideale”, see Krull 1935, 12. See Lorenzen 1938, § 5; Lorenzen 1939a, § 2.
Göttingen, 18.3.Feuerschanzengraben 20aSehr geehrter Herr Professor!Endlich kann ich Ihnen mitteilen, daß jede total abgeschlossene Halbgruppespezielle Hauptordnung ist. Sei g eine Halbgruppe, a, b, · · · Elemente der Quotientengruppe G .Statt ab ∈ g schreibe ich a b .Definition: Eine Halbgruppe heißt vollständig, wenn es zu zwei Elementen a, b einen g.g.T. a ∨ b gibt. Die Existenz des k.g.V. a ∧ b = aba ∨ b folgt.Definition: Eine Untermenge a von G heißt g -Modul, wenn sie zu jedem Element a alle Elemente b ≤ a und zu zwei Elementen a, b stets a ∨ b enthält. Ein g -Modul a mit a − = 0 heißt g -Ideal.Die Ideale a ⊆ g heißen ganz, die Ideale a ⊂ g echt. Ein ganzes Ideal p heißtPrimideal, wenn die nicht in p liegenden Elemente von g eine Halbgruppe bilden.Satz: Jedes echte Ideal besitzt ein Primoberideal. Satz: Die Primidealquotientenhalbgruppen sind linear. Satz: g ist Hauptordnung. g = \ τ L τ L τ linearIch bezeichne mit a τ das Element a als Element von L τ (den „Wert“ von a ).Statt 1 τ einfach 1.Darf L τ bei der Darstellung von g nicht weggelassen werden, so gibt es einElement a mit a τ > a λ ≤ λ = τ . Und zwar gibt es ein solches Element,derart, daß a − τ nur ein Primoberideal hat, da man sonst statt L τ eine Primideal-quotientenhalbgruppe L ⊃ L τ von L τ nehmen könnte. The argument for this assertion, which one can also find in Lorenzen 1938, is not conclusive.Tadasi Nakayama (1942a,b, 1946) shows that the assertion does not hold in general. See Lorenzen 1939a, Definition 5, reproduced on page 17. See Lorenzen 1939a, Satz 4. See Lorenzen 1939a, Satz 10, reproduced on page 17. L τ mehrere Primideale, so gibt es auch ein Element b mit b τ ≤
1, dasmehrere Primoberideale hat. Dann wird(1 ∧ b )(1 ∨ a ) n ganz für alle n ∨ a nicht ganz.Satz: Jede vollständige total abgeschlossene Halbgruppe ist spezielle Hauptord-nung.Ist g beliebig total abgeschlossen, so bilden die ganzen v -Ideale eine vollständigetotal abgeschlossene Halbgruppe womit alles bewiesen ist.Ich möchte Ihnen, gerade nachdem dieser Beweis jetzt geglückt ist, nochmalsherzlichst danken für die schönen Tage in Erlangen, und die ausführlichen, fürmich so wertvollen Besprechungen mit Ihnen.Mit freundlichem GrußIhr sehr ergebenerPaul Lorenzen. Göttingen, 22.3.Feuerschanzengraben 20aSehr geehrter Herr Professor!Vielen Dank für Ihre Karte. Anschließend das gewünschte Lexikon:Es sei g eine Halbgruppe, G die Quotientengruppe, a, b, · · · ∈ G .Definitionen: a ganz, wenn a ∈ g a Nichteinheit, wenn a ganz a − nicht ganz a ≤ b , wenn ab ganz g linear, wenn stets a ≤ b oder a ≥ b g einstufig linear, wenn g linear und es zu jedem ganzen a und jeder Nichteinheit b einen Exponenten n mit b n ≤ a gibt. g Hauptordnung, wenn g Durchschnitt von linearen Oberhalbgruppen ist. g spezielle Hauptordnung, wenn g Durchschnitt von einstufig linearen Oberhalb-gruppen ist. g vollständig, wenn jedes endliche v -Ideal Hauptideal ist, d. h., wenn es zu je zweiElementen a, b stets einen g. g. T. a ∨ b gibt. g total abgeschlossen, wenn aus ca n ganz für alle n , folgt a ganz.52ür Integritätsbereiche entsprichtlinear — Bewertungsringeinstufig linear — spezieller Bewertungsringtotal abgeschlossen — vollständig ganz abgeschlossenDas Prinzip, das dem Beweis des Satzes:Jede total abgeschlossene Halbgruppe g ist spezielle Hauptordnung.zu Grunde liegt, ist der Übergang von der gegebenen Halbgruppe g zur Halbgrup-pe G der ganzen v -Ideale von g . G muß ebenfalls total abgeschlossen sein, undda G vollständig ist, erweist sie sich leicht als spezielle Hauptordnung. Aus derDurchschnittsdarstellung von G folgt dann die Darstellung v[on] g als spezielleHauptordnung. Ist g ein Integritätsbereich so sind die linearen Oberhalbgruppender Durchschnittsdarstellung von g , sogar Bewertungsringe. In Ihrer Terminologie,sind es gerade die Bewertungsringe, die zum v -Idealsyst., als arithmetisch brauch-barem System gehören.Das Unglück der verschiedenen Terminologien liegt vor allem in „vollständig“„total abgeschlossen“ und „vollständig ganz abgeschlossen“.Mit freundlichem GrußIhr sehr ergebenerPaul Lorenzen. Göttingen, 9.6.Sehr geehrter Herr Professor!Für Ihren Brief danke ich Ihnen vielmals. Etwas Besseres konnte ich mir jagar nicht wünschen, als daß ich Sie noch einmal besuchen darf. Daß die Arbeitso knapp gefaßt ist, lag z. T. auch am Zeitmangel, da ich ja dieses SemesterExamen machen wollte. Wenn dieses nun vorbei ist, werde ich hoffentlich klarer,ausführlicher und deutlicher beschreiben können, was ich meine.Ehe ich komme, gebe ich Ihnen noch Nachricht.Mit Ihrem Diskriminantenkriterium ist es mir in der Tat genau so ergan-gen, wie Sie vermuten. Ich wußte nur noch, daß es den allgemeinst-möglichen Fallenthielt, wußte aber nicht mehr die genaue Formulierung. Ob sich der HassescheBeweis verallgemeinern läßt, weiß ich nicht, ist ja aber auch nicht so wichtig, daIhr Resultat vorliegt.Ich freue mich schon sehr darauf, Sie besuchen zu dürfen. Compare the criticism in Hasse’s letter to Krull dated 31 May 1938 (Roquette 2004, § 1.36). This probably refers to the “Allgemeiner Diskriminantensatz” of Krull 1939a.
C. The reports on Lorenzen’s thesis. [24.05.1938. Report by Hasse.]
Mathematisches Institutder UniversitätProf. Dr. Hasse.Siegel Göttingen, den 24. Mai 1938.Bunsenstraße 3/5Gutachten über die Dissertation Lorenzen. Seitdem Dedekind den Idealbegriff in die Arithmetik und Algebra eingeführt hat,sind vielfach Verallgemeinerungen dieses Begriffes vorgenommen worden, mit demZiel die Struktur beliebiger Integritätsbereiche ebenso einfach zu übersehen, wieman die ganzen Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers durch die DedekindschenIdeale übersieht. Lorenzen entwickelt eine zusammenfassende Theorie aller dieserIdealbegriffe von einem neuen einheitlichen Gesichtspunkt aus. Es erscheint demKenner fast paradox, dass dabei die Addition, auf der doch der DedekindscheIdealbegriff wesentlich beruht, vollständig ausser Betracht gelassen wird, und nurdie Multiplikation gebraucht wird. Erst durch diese Lorenzensche Auffassung desIdealbegriffs kommen die Zusammenhänge zwischen der idealtheoretischen undder bewertungstheoretischen Behandlung des Strukturproblems allgemeiner Inte-gritätsbereiche klar und abgerundet heraus. Lorenzen gibt neue verblüffend einfa-che Beweise für die in dieser Richtung liegenden Sätze von Krull, Prüfer u. a.Es gelingt ihm ferner, die Identität des Prüferschen mit dem Krullschen Idealsy-stem zu zeigen und dem Krullschen Hauptsatz über Durchschnitte von allgemeinenBewertungsringen (beliebige nicht-archimedische Wertgruppe) einen entsprechen-den Hauptsatz über spezielle Bewertungsringe (archimedische Wertgruppe) an dieSeite zu stellen. Dieser Satz gibt also eine idealtheoretische Charakterisierungderjenigen Integritätsbereiche, die bewertungstheoretisch durch das Positivseinvon Exponentenbewertungen mit archimedischer Wertgruppe charakterisiert sind. This report is written on the basis of a description given in a letter from Krull to Hasse dated22 May 1938 as proposed by Hasse in a letter dated 2 March 1938 and gratefully accepted byHasse in letters dated 7 March and 3 May 1938 (Roquette 2004, §§ 1.32–1.35). The proofs of this and of the next assertion, which one can find in Lorenzen 1938, are notconclusive: see Krull’s letter to Hasse dated 1 September 1938 (Roquette 2004, § 1.38). As forthis assertion, see footnote 10 on page 51. As for the next assertion, see the counterexampleprovided by Masayoshi Nagata (1952, 1955). [02.06.1938. Report by Siegel.]
Eine sorgfältige Nachprüfung der Abhandlung hätte für mich eine Arbeit von meh-reren Monaten bedeutet, da der Text an vielen Stellen kaum zu verstehen ist undsich wegen der mangelnden Literaturangaben auch nur schwer ergänzen lässt. Ichmuss mich deshalb eines genaueren Urteils über den Wert der Abhandlung enthal-ten. Das wenige, was ich mit Mühe habe verstehen können, macht den Eindruck,als ob der Verfasser jedenfalls über gute mathematische Fähigkeiten verfügt.Siegel 1938 VI 2
D. The correspondence between Hasse andLorenzen, 1938–1942.
30. Juni 1938.Prof. Dr. Hasse. HerrnDr. Paul Lorenzenz. Zt. Erlangen.per Adresse Herrn Prof. KrullBurgbergstr. 53.55ieber Herr Lorenzen,wie ich eben sehe, ist es erwünscht, wenn Sie sich wegen Ihres Antrages an dasReichsdozentenwerk hier dem Dozentenbundsführer vorstellen. Diesen müssen Siedann auch fragen, ob Sie sich auch sonst noch bei einem Referenten des Dozen-tenbundes vorzustellen haben. Die Sache ist nämlich die, dass in den Richtlinienvon der Vorstellung bei dem Referenten die Rede ist. So viel ich weiss, ist aberhier in Göttingen gerade ein Wechsel eingetreten. Prof. Schriel, der dieses Amtbisher hatte, gibt es an Prof. Mattiat ab. Ich weiss aber nicht genau, zu welchemZeitpunkt dieser Übergang erfolgt. Auch ist mir bekannt, dass Prof. Blume, derDozentenbundsführer, stets Wert auf persönliche Vorstellung der Leute legt, überdie er zu berichten hat. Es hat natürlich Zeit, wenn Sie dies nach Ihrer Rückkehraus Erlangen tun, allerdings bleibt Ihr Gesuch dann so lange liegen.Im Anschluss an meine letzten Bemerkungen im Seminar habe ich eine Bitte an Sie.Könnten Sie mir wohl mit Hilfe Ihrer idealtheoretischen Fähigkeiten bestimmen,welches die maximalen Primideale des folgenden Integritätsbereiches sind: k seiein algebraischer Zahlkörper, K ein Funktionenkörper einer Unbestimmten über k als Konstantenkörper, O ein Primdivisor ersten Grades von K bez. k und I sei dieganzalgebraisch abgeschlossene Hülle von i [ x ] in K , wo i die Maximalordnung von k ist. Dieser Integritätsbereich I hängt ersichtlich nur von O ab. Mit Bestimmungder maximalen Primideale meine ich eine vollständige Übersicht über diese, vonden Primidealen von k und den Primdivisoren von K bez. k aus.Für Ihre Arbeit mit Herrn Krull die besten Wünsche.Ich bitte diesen und sich selbst recht herzlich zu grüssenIhr [Hasse] Erlangen, 6.7.38.Sehr geehrter Herr Professor!Für Ihre beiden Briefe herzlichen Dank. Da ich erst seit gestern hier in Erlangenbin, konnte ich nicht eher antworten.Die Referate über die Arbeiten von Krull will ich gern übernehmen, wenn diesnoch Zeit bis Ende Juli, Anfang August hat, da ich nicht eher zurück sein werde.[Ich möchte nämlich erst eine Reise durch Bayern anschließen, das ich gar nichtkenne.]Falls dies zu spät ist, müßten Sie mir schon die Formblätter hierherschicken.Zu Ihrer mathematischen Anfrage, kann ich Ihnen – nach Besprechung mitHerrn Prof. Krull – nur folgendes mitteilen: Sei – nur der Einfachheit halber –Γ der ganz rationale Zahlring, x eine Unbestimmte. Die maximalen Primideale56on Γ[ x ] bestimmen sich dann eindeutig durch eine Primzahl p und ein Primele-ment von P p [ x ]. Eine eindeutige Bestimmung aus den Primzahlen und den Prim-elementen von P [ x ] ist dagegen nicht möglich: z. B. (2 , x ) = (2 , x − einen verbandstheoretischen Exzerpt zu machen.Mit freundlichem Gruß, auch von Herrn Prof. KrullIhr sehr ergebener Paul Lorenzen. Bonn, 9.8.39.Luisenstr. 3Sehr geehrter Herr Professor!Es hat mir sehr leid getan, Sie am 6.8. nicht angetroffen zu haben. Ich hätteIhnen so gern nochmal persönlich gedankt für die Fürsorge und das große Wohl-wollen, das Sie mir während meiner Lehrjahre bei Ihnen stets erwiesen haben.Aber ich hoffe sehr, daß dazu später einmal Gelegenheit sein wird.Mit den ergebensten GrüßenIhrLorenzen. Gottfried Köthe (1905–1989) is professor in Münster from 1937 to 1943, and then until 1946in Gießen.
Bonn, 6.9.39.Luisenstr. 3Sehr geehrter Herr Professor!Zunächst möchte ich Ihnen herzlichst danken für Ihren freundlichen Brief. Mei-ne Tätigkeit in Bonn, die ich mit soviel Hoffnung aufgenommen habe, erfährt jetztein schnelles Ende. Bisher bin ich zwar noch nicht einberufen, sondern warte dar-auf.Um diese Wartezeit zu verkürzen, schreibe ich an Sie. Nun weiß ich allerdingsnicht, wo Sie augenblicklich sind, aber wäre es Ihnen nicht möglich, für mich ei-ne meine mathematische Ausbildung ausnützende Verwendung zu erreichen? Esist doch offensichtlich, daß eine Verwendung der Mathematiker als Mathematikernutzbringender für die Gesamtheit ist als jede andere. Natürlich liegt diese Ver-wendung auch sehr in meinem eigenen Interesse, hier fallen eben beide Interessenzusammen.Welche Institute, Werke oder militärische Dienststellen in Frage kommen, weißich nicht, aber das aerodynamische Institut z. B. wird doch sicherlich Bedarf anMathematikern haben.Es erscheint mir als eine zu billige Phrase, wollte ich Ihnen meine Dankbarkeitim Falle Ihrer Hilfe in dieser Angelegenheit versichern. Habe ich Ihnen doch schonfür so vieles zu danken. Ich schreibe daher lieber ganz offen, daß mir sehr vieldrangelegen ist und daß ich mich an Sie wende, da ich die Überzeugung habe, daßSie mir helfen werden.Mit den ergebensten Grüßen an Ihre Frau Gemahlin und Sie bin ich stetsIhr Lorenzen.58
Bonn, 11.10.39.Sehr geehrter Herr Professor!Meine Dissertation ist jetzt endlich gedruckt worden. Ich möchte dies zum An-laß nehmen, Ihnen nochmals meinen Dank auszudrücken für die lange und schöneZeit, die ich in Göttingen war.Mit den ergebensten Grüßen an Ihre Frau Gemahlin und SieIhr Lorenzen.
Bonn, 10.11.39.Sehr geehrter Herr Professor,Im Zusammenhang mit den gruppenaxiomatischen Untersuchungen für HerrnProfessor Scholz bin ich auf ein Axiomensystem gekommen, das ersichtlich einfa-cher ist als die bisher bekannten Systeme. Da dies Ergebnis jedoch völlig aus demRahmen der übrigen Untersuchungen fällt, würde ich es gern für sich veröffentli-chen und möchte Sie daher fragen, ob eine Veröffentlichung in Crelles Journalmöglich ist. Mit den ergebensten GrüßenIhr Lorenzen
16. Nov. 1939.HerrnDr. P. Lo r enzenBo nn a. Rh.Luisenstr. 3.Lieber Herr Lorenzen!Herzlichen Dank für Ihre kleine Note über Gruppenaxiome. Ich nehme sie gernin Crelles Journal auf, sie scheint ja auf demselben Gedanken zu beruhen, der auchbei der Idealdefinition vorkommt, wo man nur die Subtraktion zu fordern braucht. Lorenzen 1940. x , . . . , x m ein Erzeugenden-System des Integritätsbereichs der für x ganzen Elemente des Körpers, wo x einbeliebiges nicht konstantes Element ist. Unter welchen Bedingungen entsprechendann die ganzen Divisoren des Körpers umkehrbar eindeutig den ganzen Idealendes durch Homogenisierung der x , . . . , x m entstehenden Integritätsbereichs? Ichkann zeigen, dass dies richtig ist, wenn man x , . . . , x m als die von 1 verschiedenenElemente der Basis eines Moduls ( o m ) nimmt, wo m ≧ g ist. Ich wüsste abergern, welcher allgemeine Satz dahintersteckt. Die Bedingung m ≧ g garantiertdafür, dass der Modul eine Normalbasis für o enthält.Mit herzlichen Grüssen Ihr [Hasse] Mathematisches Institutder Universität
Göttingen, den
Bunsenstraße 3/5
Lieber Herr Lorenzen!Die Frage in meinem gestrigen Brief war etwas knapp formuliert – ich diktierteeiner nicht-mathematischen Dame in die Maschine! Ich will daher etwas klarerauseinandersetzen, was ich meine.Sei K algebr. Funktionenkörper einer Unbestimmten über Konstantenkörper Ωvom Geschlecht g ( ≧ o . Sei K o der Inte-gritätsbereich der für alle x = o ganzen Elemente aus K . Man folgert dann leichtaus Riemann-Roch, daß der Ω-Modul (cid:0) o m (cid:1) (der Vielfachen von o m aus K ) für m ≧ g den Integritätsbereich K o ergänzt, d. h. daß eine Ω-Basis von (cid:0) o m (cid:1) einErzeugendensystem für K o / Ω ist.Beweis. Sei x ein nicht-konst. Element aus K mit einer möglichst niedrigenPotenz o n im Nenner, so ist K o die ganzalg.-abgeschl. Hülle von Ω[ x ] in K . Ei-ne Ω[ x ]-Basis von K o erhält man, indem man zu jeder Restklasse i mod. n einElement y i aus K wählt, dessen Nenner eine möglichst niedrige Potenz o e i mit e i ≧ e i ≡ i mod n wählt ( y = 1). Da dim o e = dim o e − + 1 für e ≧ g gilt, und n ≦ g + 1 ist (wegen dim o e ≧ e ≧ g + 1), folgt e i ≦ g . Für m ≧ g enthältalso (cid:0) o m (cid:1) das Erzeugendensystem x ; y i von K o / Ω.Sei jetzt 1 , x , . . . , x r ( r = m − g ) eine Basis von (cid:0) o m (cid:1) ( m ≧ g ). Ist dann x = 0ein algebr. Punkt von K/ Ω (Primdiv. der algebr.-abgeschl. Konstantenerweite-rung K/ Ω), so seien x ( x ) = a , . . . , x r ( x ) = a r x bezeichnet. Sie beschreiben x eindeutig, und es gilt xo m = ( x − a , . . . , x r − a r ),wo die Klammer rechts nicht etwa ein Ideal bedeuten soll, sondern nur den g. g.T. der eingeschlossenen Hauptdivisoren (definiert durch Minima der Exponentenin der Primdivisorzerlegung in K/ Ω). Entsprechend hat man auch oo m = (1 , x , . . . , x r − ),wenn etwa das Basiselement x r (als einziges) den genauen Nenner o m hat (d. h.1 , x , . . . , x r − Basis von (cid:0) o m − (cid:1) ist). | Ferner gilt: Ist u ein Element aus K o , so stellt sich u als Polynom in x , . . . , x r über Ω dar, dessen Grad ≦ h ist, wenn u in (cid:0) o mh (cid:1) liegt.Beweis. Es genügt (cid:0) o mh (cid:1) = (cid:0) o m (cid:1) h zu zeigen. Der Beweis durch vollst. Induktionnach h läuft auf die Feststellung (cid:0) o m ( h +1) (cid:1) = (cid:0) o mh (cid:1)(cid:0) o m (cid:1) zurück. Nun zerfallen dienatürlichen Zahlen e in Nennerzahlen und Lückenzahlen, je nachdem es in K einElement mit dem Nenner o e gibt oder nicht (dim o e = dim o e − +1 oder = dim o e − ist). Es gibt genau g Lückenzahlen, und diese gehören der Reihe 1 , . . . , g − (cid:0) o m ( h +1) (cid:1) mod. (cid:0) o mh (cid:1) erhält man, wenn man zu jeder natürlichenZahl e = mh + µ ( µ = 1 , . . . , m ) ein Element aus K mit dem Nenner o e bestimmt.Es genügt dann zu zeigen, daß jedes solche e eine Darstellung als Summe einerNennerzahl ≦ mh und einer Nennerzahl ≦ m hat. Dies leistet aber eine der g + 1Zerlegungen e = ( mh − γ ) + ( µ + γ ) ( γ = 0 , , . . . , g ). Ist nämlich µ Lückenzahl,so ist µ + γ ≦ g − < m , und unter den g + 1 Zahlen µ + γ ist mindestens eineNennerzahl, während die Zahlen mh − γ ≧ m − γ ≧ g sämtlich Nennerzahlen sind.Ist aber µ Nennerzahl, so genügt γ = 0.Ich setze nun(1 . ) x = X X , . . . , x r = X r X .Dabei sei X ein beliebiges Element = 0 aus K , wodurch dann X , . . . , X r be-stimmt sind. Man kann dann die obigen Darstellungen der alg. Punkte x von K/ Ωals g. g. T. auch so schreiben: x = (0 , X − a X , . . . , X r − a r X )( X , X , . . . . . . . . . . . . . . . , X r ) ( x = 0) o = ( X , X , . . . , X r − , X , X , . . . , X r − , X r ) ,unabhängig von der Wahl der Quotientendarstellung (1.). Nach dem GaußschenSatz multiplizieren sich die Klammersymbole ( U , U , . . . , U k ) für den g. g. T.61on Elementen U , U , . . . , U k aus K formal wie die Polynome U t k + U t k − + · · · + U k einer Unbestimmten t . Unter Anwendung dieser Multiplikation folgt durchZusammensetzung der ganzen Divisoren a von K/ Ω aus algebr. Punkten x von K/ Ω(vollst. Systeme Konjugierter!), daß jeder ganze Divisor a von K/ Ω eine Darstellungder folgenden Form besitzt:(2 . ) a = ( A , A , . . . , A ra )( X , X , . . . , X r ) a , | wo a der Grad von a ist, ferner A , . . . , A ra homogene Polynome a -ten Gradesüber Ω in X , . . . , X r sind.Von diesen Darstellungen (2.) aus kann man eindeutig die Distributionen a ( x )erklären. Man wähle dazu für jeden Primdivisor x von K/ Ω eine besondere Quoti-entendarstellung (1.), nämlich so, daß x zu ( X , X , . . . , X r ) den Beitrag x liefert(primitiv für x ). Dann liefert die Festsetzung(3 . ) a ( x ) = ( A ( x ) , . . . , A ra ( x ))( X ( x ) , . . . , X r ( x )) a ein bestimmtes Ideal a ( x ) aus dem Restklassenkörper K ( x ) von x , und zwar unabh.von der Wahl der für x primitiven Quotientendarstellung (1.). Man sieht sofort,daß a ( x ) distributionsganz ist, daß nämlich der Nenner von a ( x ) im Hauptnennerder Koeffizienten von A , . . . , A ra aufgeht. Ferner gilt die Regel:aus a = a a folgt a ( x ) = a ( x ) a ( x ),einfach auf Grund der Gültigkeit des Gaußschen Satzes sowohl für die Multipl.der g. g. T. von Hauptdivisoren als auch für die Multipl. der g. g. Teiler vonHauptidealen.Um den Weilschen Hauptsatz zu beweisen, muß man dann noch wissen, daß dieDefinition (3.) im Sinne der Distributionsgleichheit von der Wahl der besonderenzuvor konstruierten Darstellung (2.) unabhängig ist, daß nämlich folgendes gilt:Ist(2 ′ . ) a = ( U , U , . . . , U s )( X , X , . . . , X r ) k irgendeine Darstellung von a , wo U , U , . . . , U s homog. Polynome in X , X ,. . . , X r vom Grade k sind, so ist auch(3 ′ . ) a ( x ) . = ( U ( x ) , . . . , U s ( x ))( X ( x ) , . . . , X r ( x )) k (distributionsgleich!)Ich kann das zwar beweisen, indem ich den alten Schluß mit der algebraischenGleichung (Charakt. der Nenner durch ganzalgebraische Abhängigkeiten) anwende;62azu brauche ich den Satz auf S. 2 oben. Besser würde mir jedoch der WeilscheSchluß aus Actualités gefallen, der darauf beruht, daß die Klammersymbole indiesen Darstellungen auch als Ideale (lineare Komposita!) aufgefaßt werden dürfen,daß also die Gesamtheit der U mit ( U , U , . . . , U s ) | U durch eine homogenelineare Darstellung U = F U + · · · + F s U s gekennzeichnet ist. Wie ist das genauzu formulieren? Und wie ist es zu beweisen? Das sind meine Fragen. | Natürlich wüßte ich gerne eine möglichst allgemeine Regel über die Zuordnungder ganzen Divisoren a von K/ Ω zu homogenen Idealen, möglichst unabhängig vonder besonderen Wahl meiner Erzeugenden x , . . . , x r .Können Sie mir da helfen? Herzlichst IhrHasse Bonn, 13.12.39.Sehr geehrter Herr Professor,Ich muß Sie sehr um Entschuldigung bitten, daß ich Ihnen jetzt erst antworte.Da ich nämlich gerade stark in anderen Fragen drin war, wollte mir durchaus nichtseinfallen zu Ihrer Frage. So hab ich schließlich aus der Not eine Tugend gemachtund glaube jetzt Ihre Frage dahin beantworten zu müssen, daß eine Zurückführungder Divisorenteilbarkeit in K auf die Idealteilbarkeit in Ω[ X , . . . , X r ] nicht mög-lich ist mit einem X ∈ K . Denn die ganzen homogenen Polynome in X , . . . , X r sind dann keine ganzen Divisoren, sondern gebrochene Hauptdivisoren.Wenn man dagegen X als neue Unbestimmte einführt, so gilt zunächst fürrationale Funktionenkörper einer Unbestimmten1) Die homogenen Elemente von Ω[ X , X ] entsprechen umkehrbar eindeutigden ganzen Divisoren von K ,2) Die Idealsummenbildung entspricht der Bildung des g. g. T. von Divisoren.Für algebraische Funktionenkörper sind in 1) die Elemente durch homogene Ideale(im Sinne der Weilschen Äquivalenz) zu ersetzen, während 2) ungeändert bleibt.Für Funktionenkörper mehrerer Unbestimmten sind in 1) und 2) die Ideale durch v -Ideale zu ersetzen (und außerdem eine Transzendenzbasis von K auszuzeichnen!)Gleichzeitig übersende ich Ihnen die Korrektur des „Axiomensystems für Grup-pen“, für dessen Aufnahme in Ihr Journal ich Ihnen nochmals herzlichst dankenmöchte. Weil 1935. See Lorenzen’s letter to Hasse dated 10 November 1939 on page 59. Ich nehme die Bezeichnungen aus Ihrem Brief, den ich beifüge. Dieser hat den Auftrag, Mathematiker für eine militärische Dienststellean der Ostsee namhaft zu machen, für die er selbst tätig ist. Die Anstellung dortist mit der Reklamation vom Heeresdienst verbunden. Die Bezahlung ist gut, Siewürden in Ihrem Falle, unter Berücksichtigung Ihres jetzigen verheirateten Standes– nach Abzug der Kürzungen – RM 418.74 im Monat erhalten. Falls Sie sich dafürzur Verfügung stellen wollen, bitte ich Sie, mir den beiliegenden Bogen ausgefülltzurückzusenden, anderenfalls leer.Mit besten Grüssen und Wünschen Ihr [Hasse]Anlage.
Dr. Paul Lorenzen Bonn, den 9. Januar 1940Luisenstr. 3Sehr geehrter Herr Professor, Alwin Walther (1898–1967) is a mathematician and engineer at Universität Darmstadt whoparticipates in the V2 program at Peenemünde.
Dr. Paul Lorenzen Bonn, den 10. Januar 1940Luisenstr. 3Sehr geehrter Herr Professor,nach erneuter Rücksprache mit Herrn Prof. K r ull habe ich die Erlaubnis bekom-men, Ihnen den Fragebogen zuzusenden.Allerdings würde mich das Math. Seminar hier nur sehr ungern gehen lassen, da –zumindestens für das laufende Trimester – ziemlich dringend zwei Assistenten benö-tigt werden. Falls Herr Prof. Wa lther mich also für seine Dienststelle gebrauchenkönnte, möchte ich ihn bitten, sich dazu an Herrn Prof. Krull als den Direktor desMath. Seminars zu wenden. Da mit meiner Einberufung zum Wehrdienst dochwohl bald zu rechnen ist, würde Herr Prof. Krull in diesem Fall wahrscheinlich zu-stimmen, falls nicht meine Reklamation für die hiesige Universität sich inzwischenermöglichen läßt.Indem ich Ihnen für die viele Mühe, die Sie sich schon wieder für mich gemachthaben (ich hoffe nur, daß es nicht noch mehr wird) nochmals herzlichst danke,verbleibe ich mit den ergebensten Grüßen Ihr Paul Lorenzen65
LorenzenBonn, Luisenstr. 3 HerrnProfessor Hasse,GöttingenBunsenstr. 2Math. InstitutBonn, 3.II.40Sehr geehrter Herr Professor,da ich nicht weiß, ob mein Mann Ihnen schon geschrieben hat, daß er seit dem 19.I.als Soldat eingezogen ist u. gestern die Beitragsrechnung für die Deutsche Mathe-matiker Vereinigung kam, möchte ich Ihnen doch noch einmal hiervon Mitteilungmachen. Wahrscheinlich wird Ihnen mein Mann aber selbst noch davon schreiben,da der Transport jetzt beendet ist.Mit ergebenen Grüßen Frau K. Lorenzen. Es bleibt nun abzuwarten, ob die Heeresdienststelle an der Ostsee,für die sich Ihr Mann gemeldet hatte, seine Anstellung weiter betreibt und eineFreistellung erreicht. Jedenfalls scheint diese Stelle es nicht sehr eilig zu haben.Herr Eichler, ein Assistent von hier, der sich kurz vor Ihrem Mann dort meldete,und der auch schon persönlich in Berlin mit dem Leiter der Stelle verhandelte, soll-te an sich zum 1. Februar eingestellt werden, hat aber bis heute keine Nachrichterhalten. Von Ihrem Mann direkt habe ich noch nichts gehört.Mit freundlichen Grüssen Ihr sehr ergebener [Hasse] Letter dated 1 February 1940 (Roquette 2004, § 1.72). The mathematician Martin Eichler (1912–1992) will join Walther’s team in Peenemünde. Alsheim, 4.2.Sehr geehrter Herr Professor,So leid es mir tut, muß ich Sie – da Sie damals so liebenswürdig waren, bei derAnfrage an Herrn Prof. Walther an mich zu denken – nochmals in dieser Sachebelästigen. Ich bin nämlich mittlerweile eingezogen worden. (Wahrscheinlich wardas Wehrmeldeamt der Meinung, daß es mir nach meiner Heirat entschieden zugut ging – – ich muß gestehen, daß diese Meinung nahe lag.)Alsheim ist ein kleines Nest in der Nähe von Worms. Wir sind recht gut inPrivatquartieren untergebracht und beschäftigen uns meist mit Schneeschaufeln.Ich finde das zwar nicht schön, aber es wird nun einmal gerade dieser „Einsatz“von mir gefordert.Ich möchte Sie nun bitten, falls es nötig sein sollte, Herrn Prof. Walther mit-zuteilen, daß ich am 19.1.40 einberufen bin und jetzt unter der Feldpostnum-mer 38503 c zu erreichen bin.Mit den ergebensten Grüßen an Ihre Frau Gemahlin und Sie verbleibe ichIhr Paul Lorenzen
Gefr. Lorenzen38503 c HerrnProf. Dr. H. HasseGöttingenBunsenstr. 3 - 59.2.Sehr geehrter Herr Professor,Diesmal wende ich mich an Sie als Schatzmeister der D. M. V. und bitte Siemir den Beitrag für 1940 zu erlassen.Heil Hitler!Ihr sehr ergebener Paul Lorenzen. zusenden zu können. Für Ihre Vermittlung anHerrn Prof. Walther bin ich Ihnen noch täglich von Herzen dankbar. Es hat sichzwar noch nichts entschieden, ist aber meine einzige Hoffnung in meinem augen-blicklichen geisttötenden Zustand, dessen evtl. lange Dauer ja das Schlimmste ist.Mit den ergebensten Grüßen an Ihre Frau Gemahlin und Sie verbleibe ichIhr Paul Lorenzen. Hamburg, 5.5.40.Sehr geehrter Herr Professor,vorgestern bekam ich Ihren freundlichen Brief, über den ich mich sehr gefreuthabe und für den ich mich vielmals bei Ihnen bedanken möchte.Muß ich Ihnen doch so dankbar dafür sein, daß Sie auch in Ihrer neuen Tätigkeitgleich wieder an mich gedacht haben, der ich mich hier mit Pferden, Stiefeln,Karabinern u. ä. herumzuquälen habe.Ich hoffe, daß Sie sich allmählich in Ihre jetzige Beschäftigung hineinfinden undsich die Reminiszenzen an Ihre Staatsexamensängste dabei verlieren werden. WennIhnen genügend freie Zeit bliebe (was aber wohl kaum zu hoffen ist?) könnten Sieja mit Herrn Rohrbach und Herrn Kochendörffer beinah eine „Filiale“ des math.Seminars Göttingen aufrechterhalten.Bezgl. meiner Bewerbung für die „Dienststelle an der Ostsee“, die sich in Pee-nemünde befindet, hat sich noch nichts weiter ereignet. Auf eine direkte Anfragevon mir habe ich noch keine Antwort.Daher gehe ich mit Freuden auf Ihre Anregung ein. Sie fragen, ob mir dieBeschäftigung mit reichlich kniffligen Fragen der praktischen Physik liegen wür-de. Nun wage ich es natürlich nicht, zu entscheiden, in wieweit ich in Ihrer For-schungsgruppe zu gebrauchen wäre und muß es Ihnen daher überlassen, darüberzu urteilen.Aber ich darf vielleicht soweit gehn und behaupten, daß mir jede theoretischeTätigkeit ausgesprochen mehr liegt als das, was ich augenblicklich zu tun habe.Sie werden daher ermessen können, wie sehr froh ich wäre, wenn Sie eine An-forderung des A. A. erreichen könnten.Zum Schluß erlaube ich mir noch, Sie um Grüße an die Herrn Rohrbach, Kötheund Kochendörffer zu bitten und verbleibe The only candidate for this offprint seems to be Lorenzen 1939b.
Oberkommando der KriegsmarineM Wa Stb FBerlin W 35, Tirpitzufer 60-62 Berlin, 9.5.1940Lieber Herr Lorenzen,Besten Dank für Ihren freundlichen Brief vom 5.5.40. Ich verstehe daraus, dassich mich wohl nicht genügend klar ausgedrückt habe. In meiner Forschungsgruppehabe ich leider für Sie keinen Platz. Das Referat „Mathematik“ ist bereits besetzt,übrigens auch durch einen früheren Göttinger (Schüler von Münzner). Dagegen hat-te ich an eine Verwendung entsprechender Art innerhalb der Marine gedacht, wiesie Rohrbach und Kochendörffer im Auswärtigen Amt haben. Es handelt sich da-bei um eine besondere Tätigkeit, die mathematische Fähigkeiten voraussetzt, unddie etwa dem Lösen von Kreuzworträtseln vergleichbar ist. Sie können sich danachwohl ungefähr denken, was verlangt wird. Wie ich nun heute erfahren habe, hatdie Marine in der Tat Verwendung für einen Mathematiker in dieser Stelle. WennSie sich dafür interessieren, so bewerben Sie sich doch bitte unter Berufung aufmich (hinter meinen Namen OKM, M Wa Stb F setzen!) bei Herrn Korvettenkapi-tän Teubner, Oberkommando der Kriegsmarine, Berlin W 35, Skl(B). Bei dieserBewerbung müssen Sie sich als Mathematiker für den Dienst in der Dienststelledieses Kapitäns anbieten, ohne näher auf die Art des Dienstes selbst einzugehen.Sie müssen ferner genau mitteilen, welchem Truppenteil Sie jetzt angehören.Ob es dann gelingt, Sie dort freizubekommen, ist allerdings eine besondereFrage. Ich habe jedenfalls Kapt. Teubner ein ausführliches Gutachten über Siegegeben und Ihre besondere Geeignetheit für diese Verwendung hervorgehoben. Inder Tat glaube ich, dass von allen Gebieten der Mathematik die Algebra am bestenfür die fragliche Arbeit zu gebrauchen ist. Bitte lassen Sie mich laufend wissen, wasin dieser Sache geschieht, damit ich gegebenenfalls von meiner zentralen Stelle aushelfend eingreifen kann.Mit bestem Gruss und in der Hoffnung, Sie demnächst hier zu sehen, Ihr [Hasse]
Gefr. Lorenzen38503 C 21.5.40 Achim Teubner (1905–1945) is officer at the Marinenachrichtendienst (Naval intelligenceservice).
Gefr. Lorenzen38503 C Leutnant z. SeeProf. Dr. HasseO K M M Wa Stb FBerlin W 35Tirpitzufer 60-6211.6.Sehr geehrter Herr Professor,vor wenigen Tagen habe ich vom O K M (3. Abt. Skl.) schon die Aufforderungerhalten meinen ausführlichen Lebenslauf einzuweisen. Mein jetziger Batteriechefwäre mit meiner Abkommandierung einverstanden. Diese beiden Tatsachen zusam-men erleichtern mir augenblicklich meinen ziemlich ungemütlichen Aufenthalt ineinem selbst gegrabenen Erdloch von 0 , · , Fxx Vogesen, 30.6.Sehr geehrter Herr Professor,darf ich Ihnen, nachdem wir „unsern“ Feldzug siegreich beendet haben, von hier,aus ruhiger Stellung, die ergebensten Grüße übermitteln.Falls mit dieser Besatzungszeit, die hoffentlich nicht lange andauert, der Kriegfür uns tatsächlich beendet sein sollte, so wird man nicht sagen können, daß esirgendwie schlimm gewesen sei. Der Durchbruch durch die Maginotlinie hat sichinnerhalb zweier Tage vollzogen und danach hatten wir dauernd zu marschierenum hinter den Franzosen herzukommen, bis sie sich dann kampflos schließlich inden Vogesen ergeben haben.Ich vermute aber stark, daß sich dieser geringe Widerstand hauptsächlich ausden vorangegangenen deutschen Erfolgen erklärt.Von Herrn Korvettenkapitän Teubner habe ich, nachdem ich meinen Lebenslaufeingereicht habe, nichts mehr gehört. Ich würde mich über meine Abkommandie-rung natürlich – so lange dieser Krieg dauert (und der kann ja immer noch sehrlange sein) – immer noch sehr freuen, da ich mich sehr nach einer „geistigeren“Beschäftigung sehne, als es hier die Besetzung eines winzigen französischen Dorfesist. Mit den ergebensten Grüßen verbleibe ich stets Ihr Paul Lorenzen.
Gotenhafen, 26/4Sehr geehrter Herr Professor,Wie sich jetzt herausgestellt hat, war meine unglückliche Stimmung, in derich Sie in Berlin verlassen habe, vollauf berechtigt – obwohl doch alles so günstigaussah.Ich empfinde es eigentlich als aufdringlich, Sie dauernd mit klagenden Berichtenüber mein Ergehen zu behelligen – ich kann mich nur damit entschuldigen, daß Siesich bisher so wohlwollend meiner angenommen haben, und daß es eine menschlicheSchwäche ist, ein solches Wohlwollen zu benutzen.Ehe ich meinen Bericht fortsetze, bitte ich zunächst diese „offene Bemerkung“zu entschuldigen.Der Kommandeur der Steuermannschule hat entschieden, daß ich aus militä-rischen Gründen als Lehrer an seiner Schule ungeeignet bin. Dazu hat ihn im71esentlichen die Beurteilung veranlaßt, die meine letzte Dienststelle über mich ge-schrieben hat, in der nämlich steht, daß ich – kurz und gut – unmilitärisch sei.Hinzu kam noch persönliches Pech, das mich veranlaßt hat, mich nichtsahnendhier am Montag morgen zum Dienst zu melden, was in Berlin völlig korrekt gewe-sen wäre, hier aber dazu führte, daß ich 3 Tage Arrest bekam, da ich schon seitSonnabend im Standort war.Ich darf an dieser Stelle in meinem Bericht etwas Mathematisches einschalten,worüber nachzudenken ich erfreulicherweise während der 3 Tage endlich Gelegen-heit hatte:Nach meiner Notiz über Gruppenaxiomatik, die Sie in Crelle aufgenommenhaben, ist eine Menge G , in der eine stets ausführbare Verknüpfung a : b definiertist, eine Gruppe, wenn1) ( a : c ) : ( b : c ) = a : b
2) Es gibt ein a , zu dem für alle c ein b existiert mit a : b = c erfüllt sind. Es war zu vermuten, daß sich 1), 2) zusammenfassen lassen zu einer –naturgemäß komplizierten – Formel. Dies hat sich bestätigt:Nennt man die Elemente x und ( x : x ) : x invers zueinander und gilt für inverseElemente a, a ′ und b, b ′ stets a : ( b : ( a ′ : (( b ′ : d ) : ( c : d )))) = c so ist G eine Gruppe. Vermutlich erinnert Sie diese Zusammensetzung sehr an die Allüren der «
Fun-damenta mathematica », was sich vielleicht als Nachwirkung der polnischen Vorin-sassen der Arrestzelle erklären läßt.Nachdem diese 3 Tage herum waren, hat man mir erklärt, daß ich abkomman-diert würde; man weiß aber nicht wohin, da dieses der 2. Admiral der Nordsee-station bewerkstelligt. Dennoch bin ich jetzt also genau so weit, wie zu Anfangdes Krieges und möchte Sie daher auch genau wie damals bitten, mir zu einer Be-schäftigung zu verhelfen. Irgendwelche Ansprüche zu stellen, steht mir natürlichnicht zu, und ich möchte es auch nicht: mir ist jede Tätigkeit irgendwo in einemAmtszimmer recht. Nur als braver Ehemann, füge ich den persönlichen Wunschmeiner Frau hinzu – der allerdings auch der meine ist – daß sie sich sehr nacheiner ruhigeren Zeit sehnt, wozu z. B. Kiel und Wilhelmshaven gar nicht geeignetwären und wegen der Wohnungsverhältnisse auch Gotenhafen und sogar Berlinnicht besonders.Ihre Behauptung, daß Gotenhafen „widerlich“ sei, ist wirklich nicht zu kraßformuliert. Wir sind hier nur behelfsweise untergekommen, und es scheint auchunmöglich zu sein, eine Wohnung zu finden, was sich ja aber auch erübrigt hatdurch den Lauf der Dinge, den ich versucht habe, Ihnen darzustellen. Compare Lorenzen 1944.
Korv.Kapt. Prof. Dr. HasseOKM, M Wa Stb FBerlin W 35, Bissingzeile 13 Berlin, den 7.5.1941Lieber Herr Lorenzen,Ihr Brief hat mich sehr nachdenklich gemacht, und ich halte es für richtig, Ihnenganz offen zu schreiben, was ich denke.Ich bin zunächst sehr enttäuscht darüber, dass Sie sich auf dem Kommando,das ich Ihnen vermittelt hatte, eine derartig ungünstige militärische Beurteilungzugezogen haben. Wenn ich mich damals dazu entschlossen hatte, mich für IhreVerwendung zu geistiger Arbeit einzusetzen, so geschah das selbstverständlich inder Erwartung, dass Sie dieser meiner Empfehlung Ehre machen würden, nichtnur durch Ihre dienstlichen Leistungen – ganz gleich welcher Art diese sein wür-den –, sondern auch durch Ihr ganzes soldatisches Verhalten. Dass Sie sich selbstals unmilitärisch empfinden und nicht die geringste Begeisterung für das Soldatseinaufbringen, ist in meinen Augen keine Entschuldigung, sondern im Gegenteil genaudas, was mir nicht gefällt. Es gibt viele andere junge Wissenschaftler, die da einedurchaus andere und gesundere Auffassung haben, wie etwa Teichmüller, der seineeben erfolgte Abkommandierung zu der gleichen Tätigkeit wie Dr. Franz als eineHerabsetzung empfindet und viel lieber wieder zu seiner Truppe in Norwegen zu-rückkehren würde. Jeder von uns muss heute seine persönliche Bequemlichkeit undseine eigenen Wünsche zurückstellen und sich in das grosse Ganze willig einfügen.Menschen, die sich dem entziehen wollen, können wir heute nicht gebrauchen, undsie gelten heute mit Recht nichts. Sie sind jung und körperlich kräftig. Sie habenfür wissenschaftliche Arbeit noch ein langes Leben vor sich. Ich an Ihrer Stelle wäreglücklich, wenn ich in vorderster Front mit dabei sein könnte, wo immer um un-sere Zukunft gekämpft wird. Und wenn Sie schon von sich aus keine Begeisterungfür das Soldatsein aufbringen können, dann vergessen Sie doch bitte nicht, dassdie Haltung, die Sie heute einnehmen, für alle Zukunft bei Ihrer Beurteilung ganzentscheidend mitspricht. Gerade von der Intelligenz unseres Volkes muss man mitvollstem Recht erwarten, dass sie auf Grund der vertieften Einsicht in die harteNotwendigkeit und tiefste Berechtigung dieses Kampfes mit allem ihren Denkenund Fühlen bei der kämpfenden Truppe ist und in ihrer Einsatzbereitschaft allen The mathematician Wolfgang Franz (1905–1996) works in the Cipher Department of theSupreme Command of the Wehrmacht.
Gotenhafen, 7.5.41Leuthenstr. 21 b. GaspersenSehr geehrter Herr Professor,Sie haben durch den letzten Brief meines Mannes ja schon von unserem „Unglück“erfahren. Gewiß hat es meinen Mann nicht unverdient getroffen, da er wohl wirklichgeradezu typisch unmilitärisch ist, aber es ist ja nicht damit zu ändern, daß man ihndeswegen bestraft u. in häßlicher Art beschimpft. Aber hier legt man leider mehrWert auf militärische Erziehung, während wir uns in Berlin schon darauf gefreuthatten, daß das hier mehr in den Hintergrund treten würde. Ich habe schon oftversucht, meinen Mann auf sein unmilitärisches Verhalten aufmerksam zu machen,obwohl ich nicht unbedingt dafür bin, daß er sich grundlegend ändert, aber fürKriegsdauer wäre ich schon damit einverstanden. Das Schlimmste ist, daß sichdies alles, wie man an anderen Mathematikern sieht, noch nicht einmal mit seinerWissenschaft entschuldigen läßt; und doch ist es ja die einzige Entschuldigung,denn es gibt ja wohl nur sehr wenige Stunden an einem Tage, in denen mein Mannnichts Mathematisches im Kopf hat. Nun erscheint es mir recht bedauerlich – um74icht ungerecht zu sagen – daß er unter Unteroffiziersaufsicht Flure fegt, Strichezieht oder ähnliche Tätigkeiten ausübt. Da ich nun täglich sehe, wie geradezuunglücklich mein Mann sich hierbei fühlt, wage ich es auch persönlich – ohneWissen meines Mannes – mich an Sie zu wenden. Ich weiß ja gar nicht, wie weites Ihnen möglich sein wird, an diesem Zustand etwas zu ändern, aber ich vermutedoch, daß Sie unter Berücksichtigung der geschilderten Verhältnisse vielleicht schonmit einem guten, „richtigen“ Rat helfen können. Ist es wohl nicht möglich, daßmein Mann (den die Marine ja nun auf Kriegsdauer beschäftigen muß u. den siewegen Seekrankheit nicht auf ein Schiff stecken kann) irgendwo arbeiten könnte,wo er einen vernünftigen Vorgesetzten hat, der nicht nur das Militärische an einemMenschen gelten läßt.Es ist natürlich eine sehr große Hoffnung mit wenig Aussicht darauf, daß dieseMöglichkeit wirklich gefunden werden kann, aber Sie werden das sicherlich ambesten beurteilen können, ob es überhaupt noch lohnt, sich an diese Hoffnung zuklammern. Ich denke mir auch, daß Sie am ehesten Gelegenheit haben werden, einevernünftige, nutzbringende Beschäftigung herauszufinden, denn Sie reisen von demzentralen Berlin aus ja in ganz Europa herum.Vor allem aber vertraue ich darauf, daß Sie bereit sind, meinem Mann zu helfen,da Sie bisher schon sozusagen sein „guter Engel“ gewesen sind – soweit ich ausErzählungen weiß schon vor dem Kriege, u. wie ich aus Erfahrung weiß auch imKriege.Ich darf Ihnen versichern, wie dankbar ich Ihnen hierfür bin, ohne fürchten zumüssen, daß Sie diesen Dank für eine Phrase halten. Und ich freue mich auch,Ihnen meinen Dank nun auch ganz persönlich aussprechen zu können.Mit freundlichen Grüßen bin ichIhre sehr ergebeneKäthe Lorenzen.
F. B. Gfr. Lorenzen2. Komg. Strm.schule Gotenhafen, 17/5Sehr geehrter Herr Professor,Es fällt mir jetzt wesentlich schwerer, Ihnen zu schreiben, als das letzte Mal,wo es sich um rein militärische Dinge handelte, während ich dieses Mal gezwungenbin, mich persönlich vor Ihnen zu rechtfertigen. Ich kann es nämlich unmöglichertragen, daß Sie aus meinem letzten Brief, in dem wohl steht, daß ich gern aufKriegsdauer einem Amtszimmer zugewiesen würde, herauslesen, ich wolle michdrücken. 75ch darf Ihnen ganz kurz meine militärische Vergangenheit schildern: Nach demfreiwilligen Arbeitsdiensthalbjahr habe ich 1933/34 freiwillig aktiv gedient und bindabei ein Jahr lang im Pferdestall so behandelt worden, daß ich für militärischenArbeitsdienst, Exerzieren, Ehrenbezeigung erweisen u. ä. keine Begeisterung mehrübrig habe.Ich sollte das nicht so laut sagen, aber da ich eben so sicher fühle, daß dies nichtsmit einem Sich-Drücken-Wollen zu tun hat, unterlasse ich’s leider doch selten.Beim Durchbruch durch die Maginot-Linie habe ich es bestätigt bekommen,daß ich keine Angst vor dem Einsatz des Lebens habe. Dort bin ich nicht als „zuleicht“ befunden. Trotzdem bin ich dort gern weggegangen, denn meine Hauptbe-schäftigung außer Warten war wieder Pferdepflegen und in Ruhetagen Exerzieren.Ich wollte mich wirklich gerne nützlicher betätigen.Wie es mir im O. K. M. ergangen ist, wissen Sie selbst. Ich bin viermal bei mei-nem Vorgesetzten gewesen, um zu sagen, daß ich nun das Abschreiben begriffenhabe – wovon man aber keine Notiz genommen hat. Daraufhin habe ich – törich-terweise wie immer – Kameraden gegenüber nicht verhehlt, daß ich auch für dasAbschreiben keine Begeisterung mehr übrig hätte. Und daher stammt die schlechteBeurteilung.Ich werde es wohl kaum noch lernen, mich zu verstellen; aber ich sehe ein, daßich dann kein Recht habe, anders behandelt werden zu wollen, als ein Drückeberger.Da ich jetzt in der Funk-Beobachter-Laufbahn bin, ist es so gut wie sicher, daßich erst zu meiner Stamm-Abteilung kommandiert werde, wo ich zu warten habe,(d. h. Kasernenreinigen und Exerzieren) bis bei einem Marine-Nachrichten-Offizieroder in Berlin ein Funk-Beobachter-Gefreiter gebraucht wird.Obwohl – wie Sie schreiben – nach dem Kriege noch viel Zeit sein wird, Ma-thematik zu treiben, ist es doch für mich ein bitteres Gefühl, gerade in diesenKriegsjahren völlig nutzlos sein zu müssen.Sehr geehrter Herr Professor, ich hoffe mit Zuversicht, Sie werden es mir nichtverargen, daß ich Ihnen so ausführlich und offen meine Einstellung geschildert ha-be. Der Notwendigkeit, für Deutschland das zu tun, was man von mir verlangt,gleichgültig, ob ich dafür geeignet bin oder nicht, werde ich mich selbstverständ-lich fügen. Es wäre mir eine große Freude, wenn Sie mir gestatten würden, Ihnendemnächst zu schreiben, wohin ich abkommandiert werde.Mit den ergebensten Grüßen auch von meiner FrauIhr Paul Lorenzen.
Wesermünde, 18/34/I Marineschule76ehr geehrter Herr Professor,für Ihren freundlichen Glückwunsch möchten meine Frau und ich Ihnen unsernherzlichsten Dank aussprechen.Daß unser Töchterlein ebenfalls Jutta heißt, bitte ich nicht als Plagiat auffassenzu wollen – – soweit ich weiß, hat meine Frau davon unabhängig diesen Namengewählt.Ich bin Ihnen sehr dankbar für Ihren Hinweis, daß
J. Dieudonné sich für diemultiplikative Idealtheorie interessiert. Es wäre sehr schön, wenn eine „Kollabo-ration“ sich anbahnen ließe, – – jedenfalls werde ich Herrn
Dieudonné bald einmalschreiben.Mit meiner Tätigkeit hier an der Schule bin ich sehr zufrieden, da ich hier, zumersten Mal im Kriege, das Gefühl habe, nicht überflüssig zu sein.Mit den ergebensten Grüßen verbleibe ichIhr Paul Lorenzen.
Korv.Kapt. [Prof. Dr. Hasse]Berlin-WannseeAm Sandwerder 5 [Betr. Ms. u. Korr.Hans R. Weber, München]Berlin, den 2.4.1942Herrn Dr. P. Lorenzen 4/I M S WesermündeLieber Herr Lorenzen,Besten Dank für Ihren freundlichen Brief. Ich sende Ihnen beiliegend eine Korrek-tur, über die ich gerne Ihren Rat erbitten möchte. Ich hatte damals das Ms. nur mitgrossem Zögern Herrn Perron zuliebe angenommen, der es empfahl. Nachdem nunaber der Satz 6, der mich hauptsächlich zur Annahme bestochen hatte, weggefallenist, glaube ich nicht, dass die Arbeit noch irgendetwas Neues oder Bedeutendesbringt. Wie denken Sie darüber?Mit besten Grüssen an Sie und Ihre Frau Ihr [Hasse] See Dieudonné 1941. Wesermünde, 7/44/I Marineschule Sehr geehrter Herr Professor,Das beiliegende Manuskript, das ich heute erhielt, kann ich leider wirklichnicht zur Veröffentlichung empfehlen, denn das Axiomensystem I-III ist schon etwa1905 von Huntington aufgestellt. Garver hat außerdem inzwischen bewiesen,daß I überflüssig ist. Schließlich läßt sich III noch wesentlich abschwächen, worüberallerdings noch nichts veröffentlicht ist. Falls Herr Weber sich für diese Dinge interessiert, stehe ich ihm jederzeit nachMöglichkeit zur Verfügung. Vielleicht sind Sie so liebenswürdig Herrn Weber diesmitzuteilen, wenn Sie das Ms. zurücksenden sollten.Mit den ergebensten Grüßen verbleibe ich Ihr Paul Lorenzen
E. Documents relating to Lorenzen’s career,1942.
Mathematisch-naturwissenschaftlicheFakultätder Rheinischen Friedrich-Wilhelms-UniversitätJ.-Nr. 397 Bonn, den 2. Januar 1942BescheinigungDem M.Gefr. Dr. Paul Lo r enzen wird bescheinigt, dass er die Bedingungenerfüllt, die von der Reichshabilitations-Ordnung für die Zulassung zur Habilitationgefordert werden. Falls Dr. Lorenzen imstande ist eine Arbeit rechtzeitig vorzule-gen, die von der Fakultät als Habilitationsschrift angenommen wird, kann dasHabilitationsverfahren noch in diesem Semester abgeschlossen werden.Der Deka nKrull This probably refers to Huntington 1905. This probably refers to Garver 1934. Soon after, Lorenzen will submit Lorenzen 1944 to remedy this. BUK – Az Lorenzen Bonn, den 12. Mai 19421) An denHerrn Rektor der UniversitätBo nn– mit 2 Durchschlägen –Der Direktor des Mathematischen Seminars beantragt mit den gegen gefl. Rück-gabe beiliegenden Unterlagen Dr. Paul Lo r enzen vom 1. Mai 1942 ab zum wis-senschaftlichen Assistenten zu ernennen. Ich bitte, die Stellungnahme des Dozen-tenschaftsleiters und Dozentenbundsführers zu den weltanschaulichen und charak-terlichen Voraussetzungen des Vorgeschlagenen herbeizuführen und selbst zu demAnstellungsantrage zusammenfassend Stellung zu nehmen.I. A.2) Wv. 25. Mai 1942. Dozentenschaft derUniversität Bonn
Bonn, den 1. Juni 1942
Poppelsdorfer-SchloßFernruf 6294
Jahrbuch-Nr. 112 bei allen Antworten angeben
AnSe. Magnifizenz den Herrn Rektor derRhein. Friedr.-Wilhelms-Universität,Bo nnBetr. Dr. P. Lo r enzen, Ihr Schr. v. 16.5.42 Nr. 983Dr. Lorenzen ist ein vielversprechender Mathematiker mit Begeisterung für seineWissenschaft und großem Arbeitseifer.Soweit bekannt, ist die politische Einstellung einwandfrei. Es soll jedoch nichtverschwiegen werden, daß L. wohl einige Charaktermängel aufzuweisen scheint,die es z. Zt. jedenfalls nicht erwünscht erscheinen lassen, ihn etwa zur Dozentur See Segal (2003, pages 174–181) for the signification of the
Dozentenschaft reports: “Fre-quently, the
Dozentenführer had no idea about an individual and had to ask a politically trustedmember of his discipline for a report, which would then be passed on verbatim”. It is plausiblethat the views expressed in the subsequent statement are Krull’s. Dozentenführer i. V.
F. The correspondence between Krull andLorenzen, 1943–1944.
Wesermünde-Lehe, den 7. Mai 1943Hafenstr. 92Sehr geehrter Herr Professor,von den „Fortschritten“ erhielt ich Ihren Beitrag VIII über die Λ -Operationenzum Referat. Leider habe ich nun Ihren Beitrag I nicht zur Hand, dessen Kenntnisdazu nötig wäre. Insbesondere weiß ich nicht mehr, ob und in welchem Zusammen-hang der folgende Satz darin enthalten ist:Ist w eine arithmetisch brauchbare Operation eines Integritätsbereiches R (Quo-tientenkörper K ), so entsprechen die arithmetisch brauchbaren ′ -Operationen, fürdie stets a w ⊆ a ′ gilt, eineindeutig denjenigen Quotientenringen M ′ des Funktio-nalringes M mit M ′ ∩ K = R .Dieser Satz läßt sich direkt mit der Halbgruppe der ganzen Idealbrüche be-weisen. Denn der Übergang von a w zu a ′ ist nichts anderes als eine homomorpheAbbildung der w -Ideale auf die ′ -Ideale.Da in Beitrag VIII Ihre Bemerkungen zu den Definitionsformeln der ′ -Operatio-nen (insbesondere Anmerkung 21) leider durch Druckfehler entstellt sind, möchte Ernst Klapp (1894–1975) is professor of agricultural sciences at the University of Bonn. Krull 1943. The
Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik ceases to appear with the volume on theyear 1942. a ⊆ a ′ ′ ) ( a ′ + b ′ ) ′ = ( a + b ) ′
3) ( a a ) ′ = a a ′ R = R ′ a ⊆ b ′ → a ′ ⊆ b ′ ′′ a) a ⊆ b → a ′ ⊆ b ′ ′′ b) a ′′ = a ′ ′ ) ( a ′ · b ′ ) ′ = ( a · b ) ′ ′ ) ( a ) = ( a ) ′ hier darlegen. I. Unter Voraussetzung von 1) ist 2) gleichwertig mit 2 ′′ a ) und 2 ′′ b ).Beweis: Es gelte 1) und 2). Dann gilt a ⊆ b → a ⊆ b ′ nach 1)und a ⊆ b ′ → a ′ ⊆ b ′ nach 2)also a ⊆ b → a ′ ⊆ b ′ ,ferner gilt a ′ ⊆ a ′′ nach 1)und a ′ ⊆ a ′ → a ′′ ⊆ a ′ nach 2)also a ′ = a ′′ Es gelte 2 ′′ a ) und 2 ′′ b ). Dann gilt a ⊆ b ′ → a ′ ⊆ b ′′ nach 2 ′′ a )also a ⊆ b ′ → a ′ ⊆ b ′ nach 2 ′′ b )II. Unter Voraussetzung von 1) ist 2) gleichwertig mit 2 ′ ).Beweis: Es gelte 1) und 2). Dann gilt a ′ ⊆ ( a + b ) ′ und b ′ ⊆ ( a + b ) ′ nach 2 ′′ a )also a ′ + b ′ ⊆ ( a + b ) ′ und ( a ′ + b ′ ) ′ ⊆ ( a + b ) ′ nach 2)Es gelte 1) und 2 ′ ). Dann gilt a ′′ = ( a ′ + a ′ ) ′ = ( a + a ) ′ = a ′ also 2 ′′ b ). Ferner gilt a ⊆ b → a + b = b → ( a + b ) ′ = b ′ → ( a ′ + b ′ ) ′ ⊆ b ′ nach 2 ′ )˙ → a ′ + b ′ ⊆ b ′ nach 1) a ⊆ b → a ′ ⊆ b ′ III. Unter Voraussetzung von 1) und 2) ist 3) gleichwertig mit 3 ′ ). Compare Lorenzen 1950, § 4. b ∈ ba ′ · b ⊆ ( a · b ) ′ ⊆ ( a · b ) ′ a ′ · b ⊆ ( a · b ) ′ nach 3) und 2 ′′ a )Genau so beweist man a ′ · b ′ ⊆ ( a ′ · b ) ′ also gilt a ′ · b ′ ⊆ ( a · b ) ′′ = ( a · b ) ′ nach 2 ′′ b )( a ′ · b ′ ) ′ = ( a · b ) ′ nach 2) und 2 ′′ a )Es gelte 1) und 3 ′ ). Dann gilt a · a ′ ⊆ ( a ) ′ · a ′ ⊆ (( a ) ′ a ′ ) ′ = ( a a ) ′ nach 1) und 3 ′ )Genau so beweist man a − ( a a ) ′ ⊆ ( a − a a ) ′ a − ( a a ) ′ ⊆ a ′ ( a a ) ′ ⊆ a a ′ IV. Unter Voraussetzung von 3) ist 4) gleichwertig mit 4 ′ ).Beweis: Es gelte 3) und 4). Dann gilt( a ) ′ = ( a · R ) ′ = a R ′ = a · R = ( a )Es gelte 4 ′ ). Dann gilt R = (1) = (1) ′ = R ′ Eine ′ -Operation läßt sich also durch 1), 2 ′ ), 3 ′ ), 4) definieren, wobei 2 ′ ) und 3 ′ )nichts anderes als die Homomorphie aussagen. Sind daher die w - und die ′ -Ope-rationen arithmetisch brauchbar, so hat man eine homomorphe Abbildung derHalbgruppe der w -Ideale auf die Halbgruppe der ′ -Ideale, und damit auch eine ho-momorphe Abbildung der Halbgruppe g w der ganzen w -Idealbrüche auf die Halb-gruppe g ′ der ganzen ′ -Idealbrüche. g w ist vollständig (nach der Terminologie inPrüfer und meiner Dissertation, ich würde jetzt lieber sagen: „ g w ist Verbands-halbgruppe“). Die Homomorphismen einer Verbandshalbgruppe entsprechen abereineindeutig deren Quotientenhalbgruppen. (Das ist Ihr Satz aus Beitrag I, daßjeder Oberring eines Hauptidealringes stets Quotientenring ist, denn die Homo-morphismen einer Verbandshalbgruppe entsprechen eineindeutig den Oberhalb-gruppen, die mit a und b auch a ∨ b enthalten – vgl. in meiner Dissertation S. 545,Absatz 1 –). Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir mitteilen würden, ob Ihnen eine arith-metisch brauchbare ′ -Operation bekannt ist, die keine Λ -Operation ist. Es müßtedann g ′ aus g w durch ein multiplikativ abgeschlossenes System S entstehen, dasnicht nur Ideale, sondern auch Idealbrüche enthält.Mit den ergebensten Grüßen verbleibe ich Ihr Lo[renzen] Lorenzen 1939a, first paragraph on page 545, reproduced on page 17 and spelled out onpage 14. Wesermünde-Lehe, den 20. September 1943Hafenstr. 92Sehr geehrter Herr Professor,ich möchte Ihnen mitteilen, daß sich die Identität des r a -Idealsystems mit dem r b -Idealsystem auch für beliebige halbgeordnete Gruppen mit beliebigem r -Idealsy-stem beweisen läßt.Die Beweismethode liefert für die kommutativen Integritätsbereiche folgende Ver-einfachung:Es sei I ein Integritätsbereich (Quotientenkörper K ), a ein Dedekindsches I -Ideal, x ∈ K .Hilfssatz: Ist a ∈ K ganz abhängig von a I [ x ] und a I [ x − ], so ist a ganz abhängigvon a .Beweis: Es gibt endliche Ideale e und e mit e a ⊆ e a I [ x ] e a ⊆ e a I [ x − ]Also gilt für e = e e und geeignete n , n e a ⊆ ea (1 , x, . . . , x n ) e a ⊆ ea (1 , x − , . . . , x − n )und daher für n = n + n e a (1 , x, . . . , x n ) ⊆ ea (1 , x, . . . , x n )Satz: Ist a nicht ganz abhängig von a , so gibt es einen Bewertungsoberring B von I mit a / ∈ a B .Beweis: Es gibt einen maximalen Oberring B von I , für den a nicht ganz abhängigvon a B ist (Wohlordnungsschluß). Aus B ⊂ B [ x ] und B ⊂ B [ x − ] würde folgen,daß a ganz abhängig von a B [ x ] und a B [ x − ] ist, also von a B (Hilfssatz). Also gilt x ∈ B oder x − ∈ B .In Schiefkörpern gilt der Hilfssatz nicht für die übliche Ganzabhängigkeit. Nenntman aber ein Element a d -abhängig von a , wenn a ∈ a d n +1 -abhängig von a , wenn a d n -abhängig von a I [ x ] und a I [ x − ]3. d -abhängig von a , wenn a d n -abhängig von a für mindestens ein n ,so gilt der Hilfssatz für die d -Abhängigkeit. Also gilt auch der Satz für die d -Abhängigkeit. Die Umkehrung des Satzes ist trivial.83ndem ich hoffe, daß Sie diese Mitteilung interessiert hat, verbleibe ich mit denergebensten Grüßen [Ihr Lorenzen] KrullBonnKaiser-Friedrichstr. 18 Sonderführer (M)Dr. Paul LorenzenWesermündeHafenstr. 92Bonn, 4.1.44Lieber Herr Lorenzen!Durch den stellvertretenden Dekan, Herrn v. Antropoff erfuhr ich von Ihrem Habi-litationsgesuch. Es freut mich sehr, dass Sie so bald nach Ihrem UnteroffizierskursIhre Arbeit abschliessen konnten. Dumm ist es nur, dass ich nun das Exemplar, dasSie mir zuschickten, nicht bekommen habe. Es liegt sicher in Greifswald, währendich hier zunächst festgehalten bin, da ich jetzt nach Ablauf meines „Genesungsur-laubs“ nochmals – oder richtiger zum ersten Mal, denn ich war bisher dauernd inambulanter Behandlung – ins Lazarett muss. Vielleicht bitte ich mir da einfach vomDekan ein Exemplar aus. Allerdings glaube ich nicht, dass Sie schon damit rechnenkönnen, Ende dieses Semesters sich zu habilitieren. Ich muss Ihre Arbeit immerhinganz sorgfältig durchsehen, um für die Richtigkeit des Inhalts garantieren zu kön-nen, Sie wissen ja selber, wie leicht einem bei einer Arbeit gelegentlich ein Fehlerunterläuft. Ausserdem weiss ich ja nicht, wie stark mich eventuell die Lazarett-behandlung in anspruch nehmen wird. – Also richten Sie sich am besten gleich für The following notes were written on this carbon copy by hand.Für kom[mutative] Gr[uppen]: a α r a | g ≺ j e e a ⊆ eag Beweis durch Ind[uktion]: a α r a | g ≺ a ∈ ag a α n +1 r a | g ≺ j x a α nr a | g ( x ) r ∧ a α nr a | g ( x − ) r Ind[uktions]vor[aussetzung] ≺ j e , e e a ⊆ e ag ( x ) r ∧ e a ⊆ e ag ( x − ) r ≺ j e = e e e a ⊆ ea (1 , . . . , x n ) r ∧ e a ⊆ ea (1 , . . . , x − n ) r ≺ j n = n + n e a (1 , . . . , x n ) r ⊆ ea (1 , . . . , x n ) r This is an allusion to Lorenzen’s nonconclusive proofs, see footnote 17 on page 54. geschickt haben, waren ganz passend, zum mindesten angesichts derTatsache, dass Sie zur Zeit alle Ihre Wissenschaft nebenher arbeiten müssen. Ichwürde am liebsten über die Gentzenschen Sachen Sie sprechen hören. – Übrigens,wüssten Sie einen Herrn ausserhalb Bonn, der Ihre wissenschaftlichen Leistungenbegutachten könnte? Wir holen hier grundsätzlich bei jeder Habilitation solcheGutachter von auswärts ein. Mit den besten nachträglichen Neujahrswünschen IhrWolfg. Krull. KrullBonnKaiser-Friedrichstr. 18 Sonderführer Dr.Paul Lorenzen23 WesermündeHafenstr. 92Bonn, 6.2.44.Lieber Herr Lorenzen!Leider habe ich die Reste meiner früheren Sonderabzüge irgendwie verkramt. So-bald ich sie aber wiederfinde, bekommen Sie das gewünschte Separat. – Nun aberzu Ihrer Habilitationsschrift. Von Greifswald habe ich bisher nur die Anmerkun-gen, nicht aber das Manuskript selber bekommen. Hier auf dem Dekanat bekamich auf mehrfache Anfrage immer nur die Antwort, es sei bisher von Ihnen nichtseingegangen. Das beunruhigt mich doch lebhaft. – Im übrigen, können Sie mirausser Hasse und Scholz keinen anderen Referenten angeben. Hasse liegt Ihrereigentlichen Richtung („Verbände“) doch ziemlich fern, und Scholz ist halbwegsPhilosoph. Dabei sind die auswärtigen Gutachter für mich, vor allem nach demStandpunkt, den ich als Dekan immer eingenommen habe, sehr wichtig. Fernerbitte ich Sie um eine Zusammenstellung Ihrer bisherigen Veröffentlichungen.Mit den besten Grüßen Ihr Wolfgang Krull. Erich Bessel-Hagen (1898–1946) is professor of mathematics in Bonn. On the same day, Krull answers a letter from Hasse dated 23 January 1944 (Roquette 2004,§ 1.89) that must contain a harsh criticism of Lorenzen and a refusal to write a report onLorenzen’s habilitation. Krull takes Lorenzen’s defense, “at least scientifically”, but concludesthat “he is still so self-confident that a repeated lesson would do no harm at all”. Bonn, 19.2.44Lieber Herr Lorenzen!Leider muss ich mit meinem Brief Ihnen vermutlich eine ernsthafte Enttäuschungbereiten. Erstens: Ihre Habilitationsschrift nebst Bewerbung ist tatsächlich hiernicht eingetroffen. Wenn ich Ihnen früher in anderm Sinne schrieb, so nur deshalb,weil ich mich ohne Rückfrage bei dem Dekanat auf einen Brief verliess, den mirBesselhagen zur Verfügung gestellt hatte, und in dem Sie von Ihrem Schritt beimDekanat als von einer Selbstverständlichkeit sprachen. Zweitens: Es ist in gewis-sem Sinne ein Glück, dass Ihr Gesuch verlorengegangen ist, wenigstens wenn Sie,wie ich hoffe, noch ein Exemplar Ihrer Arbeit in Händen haben. Prof. Hasse, aufdessen Gutachten Sie ja selber besonderen Wert legten, hat sich keineswegs so ge-äussert, wie Sie es wohl erwarteten. Er ist der Ansicht, dass Sie bisher noch sehrwenig mathematische Leistungen von wirklichem Belang aufzuweisen haben, undmit dieser Stellungnahme in der Hand ist es mir unmöglich, Ihre Habilitation imAugenblick zu befürworten, zumal da ich Hasses Bedenken beim Betrachten der Li-ste Ihrer bisherigen Veröffentlichungen sehr gut verstehe. Auch für mich zählt vondiesen außer der Dissertation eigentlich nur die im Druck befindliche Arbeit überden Verfeinerungssatz, und diese in gewissem Sinne nur halb, da mir die logistischeSeite zu fern liegt. Natürlich bestände noch die Möglichkeit, dass Sie mir als Habi-litationsschrift nicht nur eine solide, sondern eine ganz aussergewöhnliche Leistungvorlegen, der gegenüber alle Bedenken verstummen. Aber das halte ich nach dem,was ich bisher von Ihrer Arbeit weiss nicht für wahrscheinlich, und so kann ichIhnen im Augenblick nur den einen Rat geben: Betrachten Sie Ihr Habilitations-gesuch als nicht erfolgt, legen Sie zunächst mir Ihre Arbeit vor, – (hoffentlich istdas Manuskript, das Sie nach Greifswald sandten, dort angekommen), – und wennmir die Arbeit doch allein für die Habilitation noch nicht auszureichen scheint, soarbeiten Sie eben weiter. Suchen Sie vor allem Ihre Basis zu erweitern und auchunter den reinen Mathematikern bekannt zu werden. Prof. Scholz kommt als Phi-losoph mit mathematischen Interessen für mich nur als Mitbegutachter, nicht alsHauptreferent inbetracht, das müssen Sie immer berücksichtigen.Es tut mir leid, wenn ich Ihnen mit diesem Brief, wie schon einmal früher,eine Enttäuschung bereiten muss, aber glauben Sie mir, es ist in Ihrem eigenenInteresse. Mit den besten Grüssen Ihr Wolfgang Krull. On the same day, Krull writes an answer to a postcard by Hasse (Roquette 2004, § 1.90),with whom he agrees on how to answer to Lorenzen. Dr. Paul Lorenzen Wesermünde-Lehe, den 13.3.44Hafenstr. 92Sehr geehrter Herr Professor,ich bitte zu entschuldigen, daß ich auf Ihren Brief erst heute antworten kann.Durch die gegenwärtige starke dienstliche Inanspruchnahme sind die neuen Ex-emplare meiner Arbeit erst jetzt fertig geworden. Hoffentlich gelangt die Arbeitdiesmal aber nun auch wirklich und endlich in Ihre Hände – darf ich Sie wohlbitten, mir den Eingang bestätigen zu wollen?Allerdings werde ich befürchten müssen, daß meine Arbeit jetzt eine ungünsti-gere Aufnahme finden wird, als sie vor einem Vierteljahr gefunden hätte, da Siemir schreiben, daß meine Habilitation unter normalen Umständen kaum möglichsein wird.Ihrer Meinung, die auch die Meinung von Herrn Prof. Hasse ist, daß meinebisherigen Veröffentlichungen “keine Leistungen von wesentlichem mathematischenBelang” sind, möchte ich durchaus nicht widersprechen. Hierin bin ich völlig IhrerMeinung, ein anderes Urteil wäre wohl auch kaum möglich.Mit meinem Anliegen, mich zu habilitieren, stütze ich mich ja aber nicht aufdiese bisherigen Veröffentlichungen, sondern auf die Habilitationsarbeit.Soweit ich weiß und aufgrund der „Bescheinigung“, die Sie mir vor zwei Jahrenausstellten, annehmen mußte, bestehen keine Bestimmungen, die die Habilitationvon vorausgegangenen Veröffentlichungen abhängig machen. Es ist der Nachweiswissenschaftlicher Tätigkeit zu erbringen – und da ist es nun ja nicht meine Schuld,daß ich die letzten vier Jahre hierfür – ganz allein auf mich gestellt – nur die dienst-freien Abende zur Verfügung hatte. (Daß ich diese voll ausgenutzt habe, werdeich aber sagen dürfen.) Sämtliche Examensbestimmungen, die für die Kriegszeiterlassen sind, gehen darauf hinaus, daß die notwendig entstehenden Härten fürden Examinanden nach Möglichkeit auszugleichen sind. Mir scheint daher meinWunsch, mich jetzt – 6 Jahre nach meiner Promotion – zu habilitieren, durch-aus gerechtfertigt, da ich mich normalerweise doch schon vor mindestens 3 Jahrenhätte habilitieren können.Da ich nicht weiß, wie lange der Krieg noch dauert, und wie die Arbeitsbedin-gungen für mich werden, müßte ich, wenn Sie meine Habilitation jetzt ablehnen, diebeiliegende Arbeit zurück erbitten – und weiterarbeiten, wie Sie mir schreiben. Al-lerdings muß ich dann noch damit rechnen, daß meine Arbeit völlig unnütz ist, weilSie sie nicht gelten lassen werden. Im Anschluß an eine algebraische Untersuchungüber orthokomplementäre Halbverbände versuche ich jetzt, den Zusammenhangdieser Fragen mit der Widerspruchsfreiheit der klassischen Logik herauszubekom-men. Diesen Versuch möchte ich machen selbst auf die Gefahr hin, daß das evtl.Ergebnis von Ihnen gar nicht gezählt wird – weil ich nicht umhin kann, solche87ragen als Fragen von wesentlichem mathematischem Belang zu empfinden (undin dieser Auffassung der Logistik darf ich mich sogar auf Hilbert berufen).Ich möchte Sie daher bitten, mir sagen zu wollen, ob es unmöglich ist, sichals Mathematiker zu habilitieren, wenn man etwa entschlossen ist, die eigene For-schungsarbeit an mathematisch-logistische Dinge zu wenden.Diese Voraussetzung trifft allerdings auf mich noch nicht einmal zu, da ichselber eigentlich viel mehr an der algebraischen Seite der Beweistheorie interessiertbin als an der rein logischen. Genau dasselbe Interesse würde ich auch daran haben,die Fragestellungen der algebraischen Geometrie begrifflich zu durchdringen, indem Sinne, wie es etwa die beiliegende Arbeit für die multiplikative Idealtheorieversucht. Aber auch auf diesem Gebiete fürchte ich, daß meine Auffassung von derIhrigen abweicht. Z. B. erscheint mir die Erkenntnis, daß ein Idealsystem eigentlichnichts anderes als ein Oberhalbverband und eine Bewertung nichts anderes als eineOrdnung ist, als das wesentlichste Ergebnis meiner Bemühung. In diesem Sinne läßtsich sogar der Inhalt von § 6 als auf rein halbordnungstheoretischen Tatsachenberuhend erkennen, worauf ich aber in der Arbeit nicht näher eingegangen bin.Es bleibt mir auch an dieser Stelle nur übrig, zu fragen, ob ich mit einer solchenAuffassung habilitationsfähig bin oder nicht.Wenn das nicht der Fall sein sollte, so sehe ich eigentlich nicht, was ich anderesmachen sollte, als mich nach einem anderen Beruf umzusehen, denn es wird schwersein, meine Auffassung über den Sinn der mathematischen Forschung zu ändern.Es wird jedoch ebenfalls sehr schwer für mich sein, mein Habilitationsgesuch alsnicht geschehen zu betrachten, nachdem ich meine Absicht, mich zu habilitieren,ja nicht nur Ihnen gegenüber geäußert habe.Ich möchte nichts unternehmen, was Ihrem Ratschlag widerspricht, muß aberdoch um Verständnis bitten, daß ich mich nicht einfach damit abfinden kann, dieHabilitation auf später zu verschieben, da ich entweder in den nächsten Jahrengar nicht werde arbeiten können, oder aber damit rechnen muß, daß meine Arbeitnicht gezählt wird. Mit den ergebensten Grüßen verbleibe ichIhr Paul LorenzenFür die Übersendung der beiden Separata bin ich Ihnen sehr zu Dank verbun-den.
Reg.Rat Prof. KrullGreifswaldMar[ine]obs. Herrn Dr.Paul Lorenzen23 Wesermünde-LeheHafenstr. 9288reifswald, 1.4.44Lieber Herr Lorenzen!Auf Ihren ausführlichen Brief vom 13.3. möchte ich Ihnen heute noch nicht imEinzelnen antworten. Zunächst nur das eine, dass ich Ihre Arbeit ohne jedes Vor-urteil, zum mindesten ohne jedes ungünstige, zu lesen angefangen habe. Indessenbin ich schon auf S. 8 auf eine Schwierigkeit gestossen, die ich Sie bitten muss, miraufzuklären, da ich durch andere Untersuchungen (Korrelationstheorie) zu starkinanspruch genommen bin. Sie schreiben bei Satz 4: „Aus c ≡ a · b − und a k b folgt a ≡ b · c “. D. h. aber anders ausgedrückt: „Aus a ∧ b ≡ a ≡ bab − “, unddiese Tatsache, die wenn richtig, unbedingt eine Formulierung als Satz verdienthätte, (weil hier ein sehr starkes kommutatives Element ins Nichtkommutativehineinkommt), konnte ich jedenfalls aus dem Handgelenk heraus nicht beweisen.Andernfalls scheint der weitere Wortlaut Ihres Textes zu zeigen, dass keineswegsnur ein Schreibfehler vorliegt, dass Sie nicht etwa c · b meinten und b · c schrieben.– Also bitte, klären Sie mir diesen Punkt auf!Mit den besten Grüßen Ihr Wolfgang Krull. Greifswald, 16.4.44Lieber Herr Lorenzen!Vielen Dank für Ihre Karte! Dieser Punkt wäre also geklärt. Also die Tatsache, dassaus a ∧ b ≡ a · b ≡ b · a folgt, sollte unbedingt als Satz formuliert werden. Nichtnur, weil erst dadurch der Beweis von Satz 4 ganz in Ordnung kommt. Es handeltsich auch darum, zu zeigen, wie stark die Verbandsgruppen „kommutativ infiziertsind“. – Und hier wären wir nun an einem Punkt, über den ich etwas ausführlicherwerden muss. Ihre Arbeit hat mich insofern etwas enttäuscht, als sie doch anschei-nend fürs Nichtkommutative wesentlich weniger bringt, als ich mir gedacht hatte.Im Verbandsbegriff steht eben ein so starkes kommutatives Moment, dass bei derTheorie Ihrer Verbandsgruppen die Beweise für kommutativ und nichtkommutativvöllig gleich laufen. Andererseits bedeutet die Beschränkung auf Verbandsgruppenvom Nichtkommutativen aus gesehen offenbar eine sehr starke Beeinträchtigungder Allgemeinheit. – Unter diesen Umständen hätte ich aber Ihre Arbeit auch oh-ne die Stellungnahme von Hasse nicht als Habilitationsschrift empfehlen können.Dazu bewegt sie sich doch gar zu sehr im Gedankenkreise Ihrer Dissertation. Abernatürlich bedeutet dieses Urteil keineswegs, dass ich Ihre Arbeit „nicht als ma-thematische Leistung zähle“; und wenn Sie mich mit weiteren Veröffentlichungenbelehren würden, dass Ihre Methoden doch auch fürs Nichtkommutative grössere See Lorenzen 1950, Satz 4.
Wesermünde, den 25.4.44Hafenstr. 92Sehr geehrter Herr Professor,Ihren Brief habe ich vor einigen Tagen erhalten. Ich danke Ihnen für Ihre Freund-lichkeit, mir in den Schwierigkeiten, die durch Ihr ablehnendes Urteil entstehen,helfen zu wollen. Allerdings bitte ich zuvor, mir erlauben zu wollen, mich gegendas Urteil, daß sich meine Behandlung der nichtkommutativen Gruppen “zu sehrin dem Gedankenkreis meiner Dissertation” befinde, zu verteidigen.90ie Sätze der §§ 1-3 sind allerdings tatsächlich im Anschluß an meine Disser-tation entstanden. Ich habe damals die nichtkommutative Theorie jedoch liegenlassen, weil mir diese Übertragung vom Kommutativen aufs Nichtkommutativenicht interessant schien (mit Ausnahme der Regularitätsbedingung) – und vorallem, weil es aussichtslos war, die wesentlichen Bestandteile der kommutativenTheorie: die Konstruktionen des a -Idealsystems und der Gruppe der Idealbrücheauch im Nichtkommutativen durchzuführen.Die Prüfersche Definition des a -Systems liefert im Nichtkommutativen näm-lich kein Idealsystem. Andererseits kann man im Nichtkommutativen aus einerHalbgruppe mit ac = bc ⇒ a = b keine Quotientengruppe konstruieren.Erst nachdem mir – vor etwa 4 Jahren – endlich klar wurde, daß ein Ideal-system nichts anderes als ein Halbverband ist, ergab sich plötzlich die Möglich-keit, die Konstruktion der Gruppe der Idealbrüche durch etwas ganz Neues zuersetzen: nämlich durch eine iterierte Anwendung des Idealbegriffs. Jede minimaleOberverbandsgruppe einer halbgeordneten Gruppe G ist das v -Idealsystem einesIdealsystems von G . Das ist der Inhalt von § 4. In der Hoffnung, auf dieser Grundlage die Theorie, sowie einige Ansätze übergeordnete Gruppen, während eines Arbeitsurlaubs ausbauen zu können, habe ichSie damals um Zulassung zur Habilitation gebeten.Ich war mir bewußt, daß es erwünscht gewesen wäre, wenn ich ein Themabeantwortet hätte, dessen Fragestellung nicht in die Richtung der Dissertation fiel– hätte ich auch nur einmal wenigstens einige Literatur zur Einarbeitung in einneues Problem zur Verfügung gehabt, so hätte ich das bestimmt vorgezogen.Unter den gegebenen Umständen schien mir jedoch meine Bitte um Zulassungzur Habilitation nicht unangemessen zu sein.Nachdem damals dieser Arbeitsurlaub sich wegen meiner Versetzung nach hiernicht verwirklichen ließ, hat sich nun inzwischen herausgestellt, daß der kommuta-tive Aufbau:1) Definition des a -Idealsystems nach Prüfer2) Konstruktion der Idealbrüche (bzw. der Funktionale)3) Identitätsbeweis des a - und b -Systems mit Hilfe der Idealbrüche bzw. Funk-tionaleim Nichtkommutativen wieder durch eine ganz andere Methode ersetzt werdenmuß. Zur Erläuterung dieser neuen Methode bitte ich Sie, die beiliegende Bemer-kung durchblättern zu wollen. Diese Bemerkung ist vorläufig nicht zur Veröffent-lichung bestimmt, sie soll nur versuchen, Ihnen darzulegen, daß diese Methode,deren Grundgedanke in § 6 meiner Arbeit enthalten ist, durchaus verschiedenvon den Methoden meiner Dissertation ist. Denn ich werde sagen dürfen, daß die See Lorenzen 1950, §§ 1–3. See Lorenzen 1950, § 4. See Lorenzen 1950, § 6. In a letter to Scholz dated 5 May 1944, Lorenzen gives an account of this writing, “die darlegt,daß gewisse Fundamentalsätze der Krullschen Bewertungstheorie nicht nur für halbgeordneteGruppen gelten, sondern sogar für beliebige halbgeordnete Mengen.“Allerdings zweifle ich daran, ob gerade dieses Ergebnis, das der neuen Methode meiner Arbeitzu danken ist, sich dazu eignet, die Meinung von Herrn Prof. Krull zu meinen Gunsten zu wenden.“Ich versuche, diese Fatalität in stoischem Sinne zu ertragen, es ist mir dabei aber ein schönerTrost, Ihnen darüber schreiben zu dürfen.”On 26 May 1944, he addresses the following letter to Scholz. Wesermünde, 26.5.44Sehr geehrter Herr Professor,Dieses darf ich Ihnen zunächst sagen, daß ich immer davon überzeugt bin, daß „man in Münster“wirklich an mich denkt – und nicht nur denkt.Trotzdem hätte ich es gern vermieden, Ihnen mit meiner Habilitationsangelegenheit explizit lästigzu fallen, weil ich annehmen muß, daß Sie genug anderes zu tun haben. Auf Ihren Brief vom 22/5,kann ich jetzt aber Ihre Hilfe nicht mehr ausschlagen – und darf Ihnen also versichern, wie sehrmir eine solche Hilfe gelegen kommt.Herr Prof. Krull hat mir noch nicht geantwortet, vielleicht ist mein letzter Brief gar nicht ange-kommen.Herrn Prof. Köthe habe ich schon in Würzburg versucht, meine Theorie vorzutragen – es waraber kaum ausreichend Zeit.Ich lege noch eine „Bemerkung“ bei, die eine Fortführung des § 6 meiner Arbeit ist, ohne jedochdiese vorauszusetzen. Da diese Bemerkung rein halbordnungstheoretisch ist, wäre ich Ihnen auchfür Ihr Urteil sehr dankbar.Würden Sie Herrn Prof. Köthe wohl mitteilen, daß mein Vortrag in Würzburg den Inhaltvon § 3 zum Gegenstand hatte? Die Neuerungen gegenüber der kommutativen Theorie liegenin § 4 und § 6.Ich werde für jedes Urteil dankbar sein, denn wie sollte ich sonst lernen, was man in dieserWelt als „gut“ bezeichnet. Mit den ergebensten Grüßen verbleibe ichIhr [Lorenzen]Die fehlenden Anmerkungen werde ich Ihnen in den nächsten Tagen nachsenden. Sonderführer Dr.Paul Lorenzen23 WesermündeHafenstr. 92Lieber Herr Lorenzen! Greifswald, 29.5.44Endlich komme ich dazu, Ihren Brief vom 25.4. zu beantworten. Ich wollte mir zu-nächst Ihr beigelegtes Manuskript ansehen, und dazu fand ich erst jetzt währendder Pfingsttage Zeit. Am besten hat mir Ihr Brief selber gefallen, da sagen Sieam klarsten, worauf es ankommt. An Ihrem Manuskript ist wieder das störende,dass nicht zu sehen ist, was für einen Vorteil man aus der Verallgemeinerung desFundamentalsatzes der Bewertungstheorie auf bel. Halbordnungen und aus IhrerUmformung des Kriteriums für „ganz abgeschlossen“ gewinnt. So bleibt immer dasGefühl, ob nicht der umständliche Weg in keinem rechten Verhältnis zum Ender-gebnis steht, und das ist das gleiche bei diesem nicht für die Veröffentlichung be-stimmten Manuskript ebenso wie bei Ihrer geplanten Habilitationsschrift. Ich haltees nun durchaus für möglich, dass das mehr ein Mangel der Darstellung ist, Siewissen irgendwie aus Ihren Ideen nicht das zu machen, was man aus ihnen heraus-holen könnte. Aber das ist leider ein Punkt, den man schriftlich kaum richtig klärenkann, wir müssten uns einmal sehr gründlich über alle Einzelheiten aussprechen,und dazu ist gerade augenblicklich leider keine Möglichkeit gegeben. Ich bedaueredas vor allem deshalb, weil Sie nach meiner Ansicht den Inhalt Ihrer ursprünglichals Habilitationsschrift gedachten Untersuchungen veröffentlichen sollten, weil ichaber befürchte, dass in der vorliegenden Form die Arbeit nicht geeignet ist, Sie,wie es doch sein sollte, einem gewissen Kreis von Fachgenossen wirklich bekanntzu machen. Es wäre da zunächst eine sehr gründliche Umarbeitung nötig (star-ke Straffung, ev. Zweiteilung, an anderer Stelle wieder Erweiterung), und dabeiwürde ich Sie gerne beraten. Aber wir werden uns eben damit abfinden müssen,dass im Augenblick eine derartige Zusammenarbeit, die mündliche Besprechungenerfordert, nicht möglich ist. Seien Sie aber überzeugt, dass ich Ihnen wirklich gernehelfen möchte. Mit den besten Grüßen Heil Hitler!Ihr Wolfgang Krull. In a letter dated 2 June 1944, Lorenzen gives an account of this letter to Scholz and writes:“Da er von meiner Habilitation aber nichts mehr schreibt, will ich es noch ein letztes Mal ver-suchen, um seine Zustimmung zu bitten. Aber wird es was nützen? Darf ich Sie trotzdem bitten,Herrn Prof. Köthe das ‘Hasse-Exemplar’ einschließlich der Bemerkung mit den beiliegenden An-merkungen zu schicken. Das neue Exemplar stelle ich ganz zu Ihrer Verfügung.”Then, in an undated letter, he writes: “Für Ihre so schnelle Vermittlung zu Herrn Prof. Köthebin ich Ihnen sehr dankbar, – – ebenso auch für Ihr Gedenken bei unserm Angriff, bei demunsere Wohnung immerhin so beschädigt wurde (wenn sie auch noch integrierbar sein wird), daß Dr. Paul Lorenzen (23) Wesermünde, den 6.6.44Hafenstr. 92Sehr geehrter Herr Professor,für Ihre Karte von 29.5. danke ich Ihnen sehr, obwohl sie mir eine sehr ernsteEnttäuschung bereitet, indem als wesentlicher Mangel meiner Arbeit jetzt die Um-ständlichkeit des Verfahrens bezeichnet wird.Dabei ist gerade die Vereinfachung und Klärung der Beweismethoden das ei-gentliche Hauptziel meiner Arbeit. Ich habe nicht versucht, die Sätze der multipli-kativen Idealtheorie um jeden Preis zu verallgemeinern, auch um den Preis einerKomplizierung – sondern mir liegt im Gegenteil nur daran, die Grundgedankender Beweismethoden in ihrer letzten Einfachheit zu erkennen. Wenn ich z. B. denBewertungsbegriff ersetze durch einen “Homomorphismus eines Halbverbandes ineine geordnete Menge”, so sehe ich darin nämlich eine begriffliche Vereinfachung,und nicht etwa eine Komplizierung. Denn die Einführung des Bewertungsbegriffs(z. B. die zunächst willkürliche Dreiecksungleichung) rechtfertigt sich nur durchden späteren Erfolg, der Homomorphiebegriff trägt dagegen seine Berechtigung insich selbst. Ich würde sagen, daß der Homomorphismus in eine Ordnung der „reineBegriff“ ist, der dem Bewertungsbegriff zugrunde liegt. Und der zugrundeliegende,reine Begriff scheint mir unbestreitbar der einfachere zu sein.Wenn ich mich in diesem Punkte irren sollte, so bitte ich Sie aufs dringendstedarum, es mir sagen zu wollen, weil es nämlich bei meiner ganzen mathematischenArbeit bisher immer mein Bestreben war, diese zugrundeliegenden, reinen Begriffeselbst in ihrer einfachen und durchsichtigen Klarheit ans Licht zu bringen.In dieser Tendenz der begrifflichen Klärung unterscheidet sich die Arbeit eben-falls grundsätzlich von meiner Dissertation. Daß in dieser Klärung, in dem Ver-ständnis der inneren Bedeutung, wie Sie es einmal nennen, die vordringlichsteAufgabe liegt, das ist mir nämlich erst in den letzten Jahren wirklich bewußt ge-worden.Der Wert einer solchen begrifflichen Erkenntnis liegt m. E. vor allem in sichselbst. Nur in zweiter Linie kommt die Vereinfachung in Frage, die sich ergibt,wenn man die reinen Begriffe auf den ursprünglichen Spezialfall anwendet. (Z. B.wird der Beweis des bewertungstheoretischen Fundamentalsatzes fast trivial: Giltfür kein z , . . . , z n a ∈ aI [ z ± , . . . , z ± n ], so gibt es einen maximalen Oberring B zunächst meine Frau mit Jutta in ein Dorf der Sächsischen Schweiz abgereist ist, und ich ein‘möbliertes Zimmer’ erworben habe.“Ich werde Herrn Prof. Köthe Genaueres schreiben, werde ihm aber darin recht geben müssen,daß es leicht möglich ist, daß Herr Prof. Krull nicht erbaut sein wird – – sondern eine Einmischungjedem Beteiligten sehr übelnehmen wird. Daher werde ich Herrn Prof. Köthe dankbar sein, wenner Ihnen oder mir sein Urteil mitteilen wird.” B ⊂ B [ z ± ] folgt a ∈ aB [ z +1 , x ± , . . . , x ± r ] und a ∈ aB [ z − , y ± , . . . , y ± s ]also a ∈ aB [ z ± , x ± , . . . , y ± s ]. Widerspruch!) Ebenso ist es eigentlich nur ein Nebenergebnis, daß die Sätze jetzt auch imNichtkommutativen gelten. Im Vordergrund steht stets die Erkenntnis der reinenBegriffe.Ich bin natürlich weit davon entfernt, zu behaupten, daß diese Auffassung derMathematik die richtige sei, aber daß sie eine berechtigte Auffassung ist, werde ichbehaupten dürfen.Wenn allerdings an dieser Auffassung meine Habilitation scheitern sollte, so willich mich bemühen, mir eine gegenteilige Auffassung zu eigen zu machen, soweit dasmöglich ist.Ich darf mich mit diesem Anliegen meiner Habilitation noch einmal an Siewenden, da Ihnen ja nichts daran gelegen sein kann, mich einfach vor ein unabän-derliches und auswegloses Nein zu stellen.Die Gründe, die Sie meiner Habilitation entgegenhalten, daß ich nichts We-sentliches bisher veröffentlicht habe, daß meine Arbeit in Richtung der Dissertati-on liegt und daß sie ungerechtfertigt umständlich ist, kann ich – mit Ausnahmedes letzten – nicht leugnen. Aber ich darf Sie bitten, auch die Bedingungen zuberücksichtigen, unter denen ich stehe: daß es mir nicht möglich war, ein neuesArbeitsgebiet ohne Literatur und Anregung (und ohne ausreichend Zeit) wirklichzu erschließen. Wenn ich die Gewißheit hätte, den Krieg abwarten zu können, sobrauchte mir jetzt nicht so viel an meiner Habilitation gelegen zu sein. Ich würdedie zuversichtliche Hoffnung haben, es nach dem Kriege zu schaffen – aber werweiß, ob und wann wir normale Nachkriegszeiten erleben werden. Die Berufsaus-bildung, das Erreichen eines Abschlußes wird ja darum bei allen übrigen, wennirgend möglich so gefördert. Es ist mir ja auch nicht nur praktisch unmöglich,einen anderen Beruf zu ergreifen, ich sehe vor allem aufgrund meiner Veranlagungkeine Möglichkeit dazu, da eigentlich alle meine Gedanken und Bestrebungen sichausschließlich auf die mathematische Erkenntnis richten.Als eine besondere Härte muß ich die Nichtabgeschlossenheit meiner äußerenBerufsausbildung deshalb empfinden, weil mir dadurch auch in meinem gegenwär-tigen Dienst mehrere Möglichkeiten abgeschnitten sind, die an die Bedingung derHabilitation geknüpft sind.Was den zweiten Hinderungsgrund anbetrifft, daß meine Arbeit der Disser-tation gegenüber nicht neu ist, so darf ich hier noch einmal wiederholen, daß dieentscheidenden Methoden der Dissertation ( a -Ideale für Halbgruppen, Idealbrüche, t -Ideale) weder explizit noch implizit in meiner Arbeit eine Rolle spielen. See Lorenzen 1950, p. 489, reproduced on page 25 and translated on page 21.
Greifswald, 22.6.44.Lieber Herr Lorenzen!Es fällt mir nicht ganz leicht, Ihren letzten Brief zu beantworten, denn ich mussIhnen voraussichtlich noch einmal eine Enttäuschung bereiten. Zuerst: Seien Sieüberzeugt, dass ich recht habe, wenn ich Ihre grosse, 53 Seiten lange Arbeit in ihrerderzeitigen Form für gründlich verfehlt erkläre. Ich glaube Ihnen gerne, dass wirk-lich neue Gesichtspunkte gegenüber Ihrer Dissertation drin stecken und ich erkenneauch Ihr Streben nach äusserster begrifflicher Klarheit grundsätzlich durchaus an.Aber gerade eine solche Klarheit, die sich auch in einer durchsichtigen Form derDarstellung äussern müsste, vermisse ich in Ihrer Arbeit durchaus. Und es langtnicht, dass Sie sich selbst über etwas klar sind, Sie wollen und müssen es auch denandern ebenso klar machen, darauf kommt es an. Schon das letzte Mal schriebich Ihnen, im Einzelnen müsse man sich über diese Dinge mündlich aussprechen.Wenn ich aber Ihnen schriftlich einen Rat geben soll, so kann es nur etwa dersein: Versuchen Sie doch einmal den Inhalt Ihrer Arbeit auf 20-25 Seiten zusam-men zudrängen, aber so, dass Sie an den wirklich wesentlichen Stellen sich nichtscheuen deutlich zu sagen, was Sie wollen und nicht etwa hinter ein paar formalenRechnungen die Gedanken verstecken. Ich denke, das müsste gehen, wenn es Ihnenauch zunächst unmöglich erscheint, und so kämen Sie dann vielleicht zu einer Ar-beit, die wirklich geeignet wäre, Ihren Namen bekannter zu machen. Das wäre dienächste Aufgabe, die ich Ihnen stellen möchte, denn ich will natürlich nicht, dassIhnen das, was Sie sich da alles überlegt haben, verloren geht. Und dann späterein neues, wenn möglich auf speziellere Anwendungen (etwa das Nichtkommuta-tive) zugeschnittenes Problem angepackt! Denn mit dieser Arbeit allein lasse ichSie noch nicht zur Habilitation zu, dabei bleibe ich, – wie ich überzeugt bin, inIhrem eigenen Interesse. Die Habilitation ist kein Abschluss einer Laufbahn, eine„abgeschlossene Hochschulausbildung“, wie sie z. B. auch für die höhere Wehr-machtsbeamtenlaufbahn gefordert wird, haben Sie als Promovierter schon längst.Und – entweder geht der Krieg einigermassen anständig aus, wie wir alle hoffen,dann werden Sie auch Ihre Arbeit für die Habilitation als Assistent in Ruhe inAngriff nehmen können, – oder, ja ich glaube, Sie sind sich nicht klar, dass es dannmit einer Hochschullaufbahn für Sie ohnehin alle wäre. Ein à la Baisse-Spekulierenkann und darf es heute bei niemandem geben. – Schliesslich, um es nochmal zusagen: Die Habilitation ist nicht ein Abschluss, sondern ein neuer Anfang, gewis-sermassen als Gesellenstück für eine Laufbahn, die zu betrachten letzten Endes96ur dann Sinn tut, wenn man einigermassen Gewissheit hat, dass man es irgend-wann auch zum Meister bringt. Und so weit sind Sie eben noch nicht, wobei Ihnengerne zugegeben sei, dass Sie unter den Kriegsbedingungen so gehemmt sind, dassniemand Ihnen deswegen einen Vorwurf machen dürfte. Aber es wäre unverant-wortlich von mir, Ihnen jetzt schon das Tor zu öffnen, wo ich mir noch längst keingenügend sicheres Bild über Ihre zukünftige Weiterentwicklung machen kann.Mit den besten Grüssen und Heil Hitler!Ihr Wolfgang Krull. Reg.Rat Prof. KrullGreifswaldMar[ine]obs. Herrn Dr.Paul Lorenzen23 WesermündeElbestr. 42 I.Lieber Herr Lorenzen! Greifswald, 16.7.44Vor allem diesmal die Versicherung, dass es mir aufrichtig leid getan hat, dass Siejetzt auch vom Bombenspuk betroffen wurden. Ein Glück wenigstens, dass offen-bar Ihre Angehörigen keinen Schaden genommen haben. Hoffentlich ist Ihnen nichtallzuviel von eigenen Sachen zerstört worden. Oder hatten Sie überhaupt wirklichgewohnt? Aus der Bemerkung, Sie hätten sich jetzt ein möbliertes Zimmer genom-men, glaube ich leider auf das Gegenteil schliessen zu müssen. – Zu Ihrer Arbeit In a letter to Scholz dated 28 June 1944, Lorenzen writes: “Heute habe ich die endgültige Ab-sage von Herrn Prof. Krull erhalten, da ‘meine Arbeit die begriffliche Klarheit durchaus vermissenläßt’, und es ‘unverantwortlich wäre, mir schon jetzt das Tor (zum Dozenten) zu öffnen’.“Herrn Prof. Köthe habe ich geschrieben, er möchte zunächst mir sein Urteil mitteilen, da HerrProf. Krull in der Tat vermutlich nicht erbaut sein würde über eine direkte Einmischung.”On 9 July, he writes: “ich darf Ihnen versichern, wie dankbar ich Ihnen dafür bin, daß Siesich so um mich kümmern. Für Ihre ermutigenden Worte danke ich Ihnen besonders. Wenn ichauch nicht im geringsten das Gefühl habe, durch das Urteil von Herrn Prof. Krull ‘umgeworfen’zu sein, so sind mir Ihre Zeilen doch sehr wohltuend gewesen. Und gerade kam auch ein ebensowohltuender Brief von Herrn Prof. Köthe, der sich damit einverstanden erklärt, Herrn Prof. Krullgegenüber als Referent zu fungieren, und mir sogar ein positives Urteil zusagt. Auch für die Wortevon Herrn Prof. Peschl bin ich sehr dankbar.“Trotzallem muß ich die Absicht, mich zu habilitieren, zunächst fallen lassen, da ich es für völligausgeschlossen halte, daß sich jetzt noch eine Meinungsänderung bei Herrn Prof. Krull vollziehenwird (sodaß ich Herrn Prof. Köthe gar nicht als Referenten nennen können werde) und an eineneue Arbeit ist nicht zu denken, weil Herr Prof. Krull darauf besteht, die vorliegende Arbeit erstgründlich umzuarbeiten – obwohl mir diese jetzt gründlich verleidet ist, und ich eigentlich nur denWunsch habe, endlich einmal etwas anderes zu machen, als immer irgendwelche Halbordnungen.Wie ich aus diesem Dilemma herauskommen werde, weiß ich noch nicht.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .“Zum Schluß bitte ich noch, Herrn Prof. Köthe die Anmerkungen zu meiner Arbeit schickenzu wollen – – ich habe keine mehr, und meine Frau ist ja leider auch nicht da. Prof. Köthe hatum die Anmerkungen gebeten.”
Reg.Rat Prof. Krull4 GreifswaldMar[ine]obs. Sonderführer Dr.Paul Lorenzen23 WesermündeMarinefachschuleGreifswald, 1.10.44Lieber Herr Lorenzen!Heute bin ich endlich dazu gekommen, Ihre ausführliche Inhaltsskizze durchzulesen.Entschuldigen Sie also bitte, dass ich Ihnen den Empfang erst heute bestätige. Ihreeigentliche Schrift werde ich Ihnen in den nächsten Tagen zusenden. In den letztenWochen hatte ich es unter den verschiedensten Abhaltungen einfach vergessen. WasSie mir diesmal zuschickten, war entschieden ein Fortschritt. Ich habe nur immernoch das Gefühl, dass man die Sache noch wesentlich kürzer und klarer sagenkann. Aber das sind eben Dinge über die man sich mündlich aussprechen müsste.Schriftlich gibt es zu leicht Missverständnisse. Ich würde mich aber auch an IhrerStelle im Augenblick garnicht an diese Aufgabe der Herstellung eines „wirksamen“Manuskripts halten. Arbeiten Sie doch lieber etwas über das bisherige hinaus!Was mir immer noch zweifelhaft erscheint, ist die Frage, wie weit Sie wirklichdas Nichtkommutative erledigt haben. Mein Eindruck war, dass bei Ihnen auchim Nichtkommutativen sehr viel an „Vertauschbarkeitsforderungen“ drin steckt, sodass man hierbei von einem „halbkommutativen“ Fall reden könnte. Wenn es Ihnengelänge diese Bedenken zu zerstreuen, schiene mir das ein grosser Fortschritt.Mit den besten GrüssenHeil Hitler! Ihr Wolfgang Krull. 98 . A postcard from Lorenzen to Hasse, 1945.
Dr. Paul LorenzenBad PyrmontBahnhofstr. 8German HerrnProf. Dr. H. HasseGöttingenMath. Sem. d. Univers.[Antw. 1.8.45] 25/7Sehr geehrter Herr Professor,In der Hoffnung, daß Sie das Kriegsende glücklich überstanden haben, erlaube ichmir, Ihnen zu schreiben. Ich bin zur Zeit hier in Bad Pyrmont gut aufgehoben – –von Bonn habe ich noch keine Nachricht. Dürfte ich Sie um eine Mitteilung bitten,wenn Ihnen über den Verbleib von Herrn Prof. Krull etwas bekannt ist. Auch vonHerrn Prof. Scholz, Herrn Ackermann und Herrn Gentzen, denen ich noch im Krie-ge geschrieben habe wegen einer neuen Methode für Widerspruchsfreiheitsbeweisehabe ich keinerlei Nachricht.Mit den ergebensten Grüßen verbleibe ich Ihr Paul Lorenzen
H. Documents relating to Lorenzen’s career,1945–1946.
Dr. Paul Lo r enzenWissenschaftl. Assistent amMathemat. Seminar der Universität Bo nn.Bericht über meine politische EinstellungIch bin 1915 geboren und ging noch zur Schule, als Hitler an die Macht kam. Inmeinem Elternhaus bin ich politisch liberal erzogen worden und in den letzten Jah-ren antinationalsozialistisch, da mein Vater Freimaurer war. Ich selbst missbilligteam Nationalsozialismus am schärfsten die chauvinistischen und antisemitischenTendenzen.Nach dem Abitur habe ich zunächst ein halbes Jahr Arbeitsdienst abgeleistet.Im Herbst 1933 begann ich mein Studium und musste mich – ehe die Immatriku-lation möglich war – zum Eintritt in die SA und in den NSDStB melden. Wegen99eines passiven Widerstandes gegen den SA-Dienst bin ich dort nie Scharführeroder Ähnliches geworden.Vom Herbst 1934 bis 1935 leistete ich ein Jahr aktiven Militärdienst ab, dadie zweijährige Dienstpflicht drohte. Seit dieser Zeit bin ich entschiedener Antimi-litarist und bin auf Grund dieser Einstellung während des Krieges erst im letztenhalben Jahr Unteroffizier geworden.Nach der Dienstzeit setzte ich mein Studium fort. 1936 wurde ich volljährig undtrat aus der evangelischen Kirche aus. Dieser Austritt geschah nicht aus politischenGründen, sondern auf Grund der Überzeugung, dass ich, wenn ich wahrhaftig seinwollte, mich nicht als gläubigen Christen bezeichnen konnte – und daher der Kirchenicht angehören dürfte.1937 musste ich als Mitglied der SA in die Partei eintreten. Auch dort habeich niemals ein Amt innegehabt. 1939 wurde ich Assistent am MathematischenSeminar in Bonn und Anfang 1940 zum Heer eingezogen. Später aber kam ich zurMarine, wo ich seit 1942 als Mathematiklehrer in Wesermünde an der Marineschuletätig war, bis ich im Januar 1945 an die Marineschule Flensburg versetzt wurde.Meine Frau, die ich 1939 heiratete, stammt aus einer streng kirchlichen Familie,war aktiv tätig für die Bekennende Kirche – und daher selbstverständlich Gegnerindes Nationalsozialismus. Sie war kein Parteimitglied.Als Zeugen für meine Gegnerschaft führe ich Herrn Professor Scholz in Münsteran, ferner Frau Dr. K. Wolff, Bonn, Luisenstr. 3, bei der ich seit 1939 wohnte. FrauWolff ist die Witwe eines jüdischen Arztes.Bonn, den 2. September 1945 Lorenzen
29. Give a chronological account of your employ-ment and military service beginning with 1st of Jan-uary 1931, accounting for all promotions, or demo-tions, transfers, periods of unemployment, atten-dance at educational institutions (other than thosecovered in Section B) or training schools and full-time service with para military organizations. (Parttime employment is to be recorded in Section F.)Use a separate line for each change in your positionor rank, or to indicate periods of unemployment orattendance at training schools or transfers from onemilitary or para military organization to another.
29. Geben Sie in zeitlicher Folge eine AufzählungIhrer Beschäftigung und Ihres Militärdienstes seitdem 1. Januar 1931 an, mit Begründungen füralle Beförderungen oder Degradierungen, Verset-zungen, Arbeitslosigkeit, Besuch von Bildungsan-stalten (außer solchen, die bereits in B angeführtsind) oder Ausbildungsschulen, und Volldienst inmilitärähnlichen Organisationen (Nebenbeschäf-tigungen sind in Abschnitt F anzugeben). Be-nutzen Sie eine gesonderte Zeile für jeden Wech-sel in Stellung oder Rang oder zur Angabe vonArbeitslosigkeits-Zeitabschnitten oder für den Be-such von Ausbildungsschulen oder für Versetzun-gen von einer militärischen oder militärähnlichenOrganisation zu einer anderen. rom To Employer and Addressor Military Unit Name and Title of ImmediateSuperior or C. O. Position or Rank Duties andResponsibilities Reasons for Change of Statusor Cessation of Service von bis Arbeitgeber und Anschriftoder Militäranschrift Name und Titel des Dienstvor-gesetzten od. vorgesetzter Offz. Stellung oderDienstgrad Art der Tätigkeit undVerantwortungsbereich Grund für Änderung oder Been-digung des DienstverhältnissesApr. 33 Sept. 33 Student. Arbeitslager unbekannt Arbeitsmann Erdarbeit Beginn des StudiumsNov. 34 Okt. 35 reit. Artl. Abt. Verden Hpt. Bamler Kanonier Stalldienst Ende der Dienstverpflichtg.Okt. 38 Juli 39 Universität Göttingen Prof. Dr. Hasse Stipendiat Hilfsassistententätigkeit Anstellung in BonnAug. 39 gegwtg. Universität Bonn Prof. Dr. Krull Assistent AssistententätigkeitJan. 40 Juli 40 38503 C unbekannt Gefreiter Rechner KommandierungJuli 40 Apr. 41 O. K. M. Reg.rat Tranow " Schreiber "Apr. 41 Juli 41 Steuerm.schule Gotenhafen Kaptl. Götz " " "Jul. 41 Jan. 42 M. N. O. Borkum Kaptl. v. Lom " " "Jan. 42 Nov. 44 Mar.schule Wesermünde Kapt. Köllner Sonderf. (Feldwebel) Mathematiklehrer "Nov. 44 Jan. 45 Mar. Schütz. Btl. 306 Kpt. Arlt Unteroffizier Schreiber "Jan. 45 Febr. 45 Mar.schule Flensburg Kpt. Lüth " keine "Febr. 45 Apr. 45 8. M. E. A. Norden unbekannt " Erdarbeit
Prof. Dr. Ernst PeschlBonn, Arndtstr. 2. Bonn, den 6.9.45.An den Prüfungsausschuß der Universität in Hdn von Herrn Prof. H. von WeberBo nnSternwarte.Betrifft: Politische Einstellung des HerrnDr. Paul Lorenzen, geb. 24.3.15,pl. Assistent am Math. Seminar d. Univ.Ich kenne Herrn Dr. Lorenzen vor allem aus der Zeit vom August 39 bis zuseiner Einziehung zur Wehrmacht Anfang 40. In dieser Zeit hatte ich ausgiebigGelegenheit mich mit ihm eingehend zu unterhalten, da ich ihn fast täglich sah.Aber auch vor dieser Zeit (36/37) wie auch nachher traf ich ihn aus Anlaß derJahresversammlungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung und hatte dabeiebenfalls längere Unterhaltungen mit ihm. Ich glaube ihn daher eingehendst zukennen, zumal er seiner ganzen Veranlagung nach ein offener absolut aufrichtigerCharakter ist.Er ist ein sehr kritischer Mensch und hatte vom ersten Augenblick seiner Füh-lungnahme mit mir an stärkste Ausdrücke (meist sehr sarkastischer Art) der völ-ligen Ablehnung des Nationalsozialismus und der Person Hitlers und aller seinerTrabanten geäußert. Dies entsprach auch seiner ganzen inneren Haltung. Desglei-chen lehnte er jede Form von Militarismus scharf ab.Auch sein mir bekannter Kirchenaustritt im Jahre 37 hat gar nichts mit politi-schen Motiven zu tun. Es war lediglich die aufrichtige Schlußfolgerung aus der Hal-tung eines philosophischen Agnostizismus, die sich nach langem ehrlichen Ringenum erkenntnistheoretische Fragen bei ihm herausgebildet hatte. Jede Feindselig-keit gegen religiöse Überzeugungen ist ihm völlig fremd. Im Gegenteil hat er eineFrau aus streng religiöser Familie der evangelischen Bekenntniskirche geheiratet.101rof. Dr. Ernst Peschl. In der Prüfungssachedes Assistenten am Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Seminar der Universi-tät Bonn Dr. Paul Lo r enzenerstattet der Prüfungsausschuss bestehend aus den Professoren von Weber, Fittingund Troll in seiner Sitzung vom 14.9.1945 folgendesGuta chten.Lorenzen, geboren 1915, trat mit Beginn seines Studiums der SA und demNSDStB bei. 1937 wurde er in die Partei übernommen. Er ist ein Schüler vonProfessor Scholz in Münster. Seine Haltung war eindeutig antinationalsozialistisch,wie auch das beiliegende Zeugnis von der Witwe des jüdischen Arztes Wolff bezeugt.Für die Partei hat er sich niemals betätigt.Lorenzen ist nur formales Parteimitglied. Der Ausschuss befürwortet seine Be-lassung in seiner bisherigen Stellung. von Weber1 Anlage der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität
J.-Nr. 864
Bonn, den
13. August 1946Anden Herrn Oberpräsidenten der Nordrheinprov.Düsseldo r fdurch Se. Magnifizenz, den Herrn Rektorder Rheinischen Friedr.-Wilh.-Universität,Namens der Mathematisch-naturwissenschaftlichen Fakultät der RheinischenFriedrich-Wilhelms-Universität in Bonn teile ich ergebenst mit, dass die Mathema-tisch-naturwissenschaftliche Fakultät Herrn Ernst Peschl (1906–1986) is professor of mathematics in Bonn. See Segal (2003, pages 461–462) on his attitude towards national socialism. nach am 9.8.1946 gehaltener Antrittsvorlesung über:„Über den Verbandsbegriff“als Privatdozent für Mathematik zugelassen und die venia legendi verliehen hat.gez. ReichenspergerDekan I. A letter from Krull to Scholz, 1953.
Lieber Herr Scholz! Bonn, 18.4.53.Was Sie mir über Lorenzen schrieben, hat mich sehr gefreut. Ich schätze seineArbeiten zur Begründung der Analysis ausserordentlich hoch. Ich hatte bei demArbeiten mit dem Überabzählbaren, insbesondere mit dem Wohlordnungssatz, im-mer das Gefühl man benutzt da Fiktionen, die eines Tages durch vernünftigereBegriffsbildungen ersetzt werden müssen. Aber ich regte mich darüber nicht auf,weil ich überzeugt war, dass bei vorsichtiger Anwendung der geläufigen „Fiktionen“nichts Falsches herauskommt, und weil ich mit Sicherheit auf den Mann rechnete,der eines Tages alles in Ordnung brächte. Lorenzen hat nun nach meiner Überzeu-gung den richtigen Weg gefunden, und das ist allein schon eine Leistung, für dieer ein Ordinariat verdiente. – Es ist mir nun eine grosse Befriedigung, dass auchSie, – wenn auch unter einem etwas anderen Blickwinkel als dem meinen, – vonLorenzen so viel halten. Dass es für die mathematische Logik und Grundlagen-forschung an der nötigsten Stellenzahl fehlt, ist auch meine Überzeugung. Ich binalso sehr gerne bereit, Sie bei einer Aktion, die die Vermehrung der einschlägigenStellen anstrebte, aufs wärmste zu unterstützen. In Bonn selbst wird sich aller-dings im Augenblick in dieser Hinsicht nichts tun lassen, da wir gerade um unserExtraordinariat bzw. Ordinariat für Angewandte Mathematik kämpfen, und mannur schrittweise vorgehen kann. Aber schreiben Sie mir doch bitte, wie Sie sich dasAktionsprogramm vorstellen. – Es tut mir sehr leid, dass Sie wieder so lange und In a letter to Scholz dated 7 June 1946, Lorenzen writes: “Herr Prof. Krull ist seit kurzemglücklicherweise zugelassen und hat sich mit meiner sofortigen Habilitation vollkommen einver-standen erklärt.”The day after, he writes to him: “Welche Aussichten dann hier bestehen, darüber weiß ichnichts, aber ich vermute, daß ich hier irgendwie einen Lehrauftrag bekommen werde. Für diesesSemester habe ich – ausnahmsweise – einen Auftrag für eine Algebravorlesung bekommen.” Compare Krull’s letter to Hasse dated 15 August 1946 (Roquette 2004, § 1.95), in which healready expresses his appreciation of Lorenzen.
J. The correspondence between Hasse andLorenzen, 1953–1963.
Prof. Dr. P. LorenzenBonn, Luisenstr. 3 [Mein R.bespr. 3.7.53] Bonn, den 14.5.53Sehr verehrter, lieber Herr Hasse,aus Freude und Dankbarkeit darüber, dass Sie in Ihrem Vortrag über Mathematikals Wissenschaft, Kunst und Macht auch einmal die menschliche Seite der Ma-thematik – die Empfindungen und Beweggründe, die uns gerade an diese Wissen-schaft vor allen anderen binden (obwohl Sie betonen, dass Sie nur Ihre subjektiveEinstellung darstellen, haben Sie doch zugleich für viele andere gesprochen) – insBewusstsein heben, erlaube ich mir, Ihnen zu schreiben.Das von Ihnen zuerst behandelte Motiv: Mathematik als reinste Wissenschaft, alsPrototyp unvergänglicher Erkenntnis, das ist wohl auch im Verlauf der bisherigenGeschichte – seit Thales und den Pythagoräern – das wirksamste Motiv gewesen.Gegenwärtig scheint sich dieses Motiv allerdings in einer besonderen Gefahr zu be-finden. Die Geometrie, die doch bisher – wie ja offiziell auch heute noch – immerzur Mathematik gerechnet wurde, hat seit dem vorigen Jahrhundert den Charakterder absoluten Sicherheit verloren. Die Mathematik hat sich daher bezüglich derGeometrie auf Implikationen der Form: „wenn die und die Axiome gelten, dann giltauch . . . “ zurückgezogen, also auf Aussagen, die kaum noch geometrisch zu heissenverdienen. Wenn ich Sie nicht missverstanden habe, verstehen Sie unter Mathema-tik den engeren Begriff, der nur Logik, Arithmetik und Analysis umfasst. Nebendiesen konkreten Teilen der Mathematik würden dann die abstrakten Teile – alsodie axiomatischen Theorien der Algebra und Topologie – eine sekundäre Rolle spie-len. Will man die Geometrie, eventuell zusammen mit der Mechanik nicht als eineigenes Fach konstituieren, so wird man sie mit zur theoretischen Physik rechnenmüssen. Gegenwärtig wollen nun manche sogar noch der Mathematik im engerenSinne die unumstössliche Gültigkeit absprechen, also z. B. auch die Arithmetik aufImplikationen: „wenn die Peano-Axiome gelten, dann gilt auch . . . “ reduzieren. Hasse 1952. → und durch ∧ es gibt durch W ist durch ε lauten: p ε prim ∧ p = 4 n + 1 → W x,y p = x + y .Zur „Formalisierung“ der Eindeutigkeitsaussage könntees gibt genau ein durch W ersetzt werden, und wir erhielten dann p ε prim ∧ p = 4 n + 1 → W x,y x < y ∧ p = x + y .Wenn man die logischen Symbole nur als prägnante Abkürzung für die umgangs-sprachlichen Partikel benutzt – ihnen also alle Inhaltlichkeit lässt, und die Aussa-gen jetzt nicht plötzlich als bedeutungslose Zeichenreihen behandelt – dann schei-nen mir genau dieselben Gründe für diese Symbolik zu sprechen, die uns veranlassthaben, von: „ p ist die Summe der Quadrate von x und y “zu p = x + y überzugehen. Könnte man der letzten Formel vorwerfen, dass sie dem Fluss dersuggestiven Sprache Gewalt antut?Dadurch, dass die logische Symbolik von Hilbert zu dem Zweck gebraucht ist, eineinhaltliche Theorie in einen axiomatischen Formalismus zu verwandeln, scheintmir die Möglichkeit eines inhaltlichen Gebrauches der logischen Symbole zu kurzgekommen zu sein. 105ch bitte Sie herzlich, diese Bemerkungen nicht als Propaganda für die Logistikauffassen zu wollen – ganz im Gegenteil, es ist ja gerade die Logistik, die das in-haltliche Denken verkennt – ich würde mich aber freuen, wenn Sie diesen Brief alseinen Ausdruck meiner Dankbarkeit annehmen wollen, dafür, dass Sie die geisti-gen Schmerzen eines „deutschen Aufsatzes“ nicht gescheut haben, um einmal zurBesinnung auf unser Tun aufzurufen.Mit den ergebensten Grüssen bin ichIhr Paul Lorenzen
5. Juni 1953Prof. Dr. H. HasseAhrensburg i. H.Hamburgerstr. 43Lieber Herr Lorenzen,es ist sehr freundlich von Ihnen, dass Sie solches Interesse an meinem kleinenBüchlein genommen haben. Es fehlt mir jetzt mitten im Semesterbetrieb leider dieZeit, mich zu den von Ihnen gemachten Bemerkungen zu äussern. Da ich abervoraussichtlich noch im Laufe dieses Semesters nach Bonn kommen werde, könnenwir dann vielleicht einmal mündlich darüber sprechen.Mit herzlichen GrüssenIhr [Hasse]
Sehr verehrter, lieber Herr Hasse,für die freundliche Aufnahme meines Briefes zu Ihrem „Büchlein“ danke ich Ihnensehr. Wenn Ihr Plan, nach Bonn zu kommen, sich verwirklichte, wäre das sehrschön. Wenn Ihre Zeit nicht allzu knapp sein wird, darf ich Sie vielleicht für einekurze Zeit bitten, bei uns sein zu wollen.Mit den ergebensten Grüßenbin ich stets IhrPaul Lorenzen.Bonn, 9.6.53Luisenstr. 3 106 uly 1959. Letter from Lorenzen to Hasse. [P. Lorenzen, Juli 1959]Sätze [Hasse J f M 152 (1923)] p ≡ , q ≡ ✁❆ , (cid:16) qp (cid:17) = − → V rat t . Φ( p, q, t ) ↔ t p - q -ganz. p ≡ , q = 2 → V rat t . Φ(1 , p, t ) ↔ t p - q -ganz.Φ( r, s, t ) ⇌ W rat x,y,z x + ry − sz = 2 + rst .Folgerungen V p W q,m,n V t . Φ( m, n, t ) ↔ t p - q -ganz.Für eine Klasse K von Paaren m, n gilt also(1) V Km,n Φ( m, n, V Km,n V rat t . Φ( m, n, t ) → Φ( m, n, t + 1)(3) V rat u . V K m,n Φ( m, n, u ) → u ganz.Satz V rat u .u ganz ↔ V rat r,s . Φ( r, s, ∧ V t . Φ( r, s, t ) → Φ( r, s, t + 1) . → Φ( r, s, u ) . [J. Robinson J S L 14 (1949)]Satz Die Theorie der kommutativen Körper ist unentscheidbar.
1. August 1959Lieber Herr Lorenzen,Heute endlich bin ich dazu gekommen, mich mit den Kriterien über quadrati-sche Darstellungen zu beschäftigen.Es ist alles in Ordnung, nur dass es im Falle p = 1 mod. 4 auch q = 1 mod. 4(statt nur mod. 2) heissen muss, was wohl auf einem Schreibfehler Ihrerseits beruht.Die Kriterien lassen sich allerdings nicht unmittelbar meiner Dissertation ent-nehmen, in der ja von Ganzzahligkeit nicht die Rede ist. Dass aus der Darstell-barkeit die Ganzheit von t für p, q folgt, ergibt sich ohne weiteres durch Übergang This correction is by Hasse, see the following letter. p, q (wobei für q = 2 sogar mod. 4 oder gar 8 zu rech-nen ist). Dass umgekehrt für p, q -ganze t wirklich Darstellbarkeit besteht, beruhtdarauf, dass in meiner Dissertation die ternäre Darstellbarkeit auf binäre lokaleNichtdarstellbarkeiten zurückgeführt ist. Schliesst man also indirekt, so führt dieAnnahme der ternären Nichtdarstellbarkeit auf binäre lokale Darstellbarkeiten,und daraus kann dann wie vorher durch Übergang zu den ganzzahligen primiti-ven homogenen Gleichungen hier auf die Nichtganzheit von t für p, q geschlossenwerden.Was die von Robinson gezogenen logistischen Folgerungen betrifft, so versteheich sie leider nicht ganz und habe hier auch keine Möglichkeit, das JSL einzusehen.Mit besten Grüssen und Ferienwünschen, auch für Ihre Frau und Tochter,Ihr [Hasse]
7. März 1960Herrn Prof. Dr. P. Lorenzen KielPhilosophisches Seminar d. UniversitätLieber Herr Lorenzen,recht herzlich möchte ich mich für die Zusendung Ihres kleinen Büchleins überdie Entstehung der exakten Wissenschaften bedanken. Ich habe es in den letztenTagen mit grosser Freude gelesen.Mit besten Grüssen, auch an die verehrte Gattin,Ihr [Hasse]
27. Juni 1961Lieber Herr Lorenzen,haben Sie zunächst recht herzlichen Dank für die Zusendung Ihres Sonderab-drucks „Ein didaktisches Konstruktivitätskriterium“. Wir haben schon seit länge-rer Zeit die Absicht, Sie um einen ausführlichen Vortrag über Ihre Ergebnisse zurGrundlegung der Mathematik zu bitten. In diesem Sommersemester liess sich dasdeshalb schlecht einrichten, weil wir laufend auswärtige, insbesondere überseeische Lorenzen 1960. In fact “Ein dialogisches Konstruktivitätskriterium”, Lorenzen 1961.
Prof. P. Lorenzen
Kiel
Clausewitzstraße 14
Prof. P. Lorenzen
Kiel
Clausewitzstraße 14
Sehr verehrter, lieber Herr Hasse,herzlichen Dank für die Bestätigung.Da ich von Hamburg ja noch gegen 23 nach Kiel kommen kann, werde ichsicherlich abends zurückfahren und werde also kein Quartier brauchen.Mit herzlichen Grüßen stetsIhr P. LorenzenKiel 11/7 61 Prof. Dr. H. HasseHerrn Prof. Dr. P. LorenzenErlangenPhilosophisches Institut d. Universität 9.10.1962Lieber Herr Lorenzen,Mit meinen herzlichen Glückwünschen zur Ernennung in Erlangen verbinde ichmeinen besten Dank für die Zusendung Ihres neuesten Opus „Meta-Mathematik“. Nach genauer Lektüre der Einleitung und Gewinnung eines Überblicks über den Lorenzen 1962.
July 1963. Letter from Lorenzen to Hasse.
Prof. P. Lorenzen
852 Erlangen
Saalestraße 1 [Beantw. 21.7.1963Kritik anerkannt.Aber in solchem Werk keinPlatz für Grundlagenfragen]Sehr verehrter, lieber Herr Hasse,Ihr großes Buch kam hier vor einigen Tagen an: welch ein vorteilhafter „Aus-tausch“ ist das für mich, da Sie ja nur das Metamathematikbändchen erhaltenhaben!So versuche ich noch, meinen herzlichen Dank dazuzugeben. Daß die Zahlen-theorie die Königin der mathematischen Disziplinen ist, ist mir durch Ihr Buchwieder einmal deutlich geworden. Welche Wohltat, daß am Anfang kein willkürli-ches Axiomensystem steht: die Gegenstände, die man zu erkennen trachtet, sindvielmehr von vornherein eindeutig durch Konstruktion gegeben. [Die axiomati-schen Begriffe wie Körper, Gruppe, . . . dienen stets nur als ein Mittel, um dieBeziehungen zwischen den konstruierten Gegenständen – vor allem also Beweiszu-sammenhänge – klar und deutlich zu erfassen]Bei meiner notorischen Kritik am Cantorschen Mengenbegriff werden Sie esmir verzeihen, daß ich die „Konstruktion“ der vollständigen Hülle eines bewertetenKörpers als einen Schönheitsfehler betrachte: es werden ja „alle“ ϕ -konvergentenFolgen ( a n ) betrachtet. Wie läßt sich diese Unmenge aber „konstruieren“?M. E. kommt man zu den gewünschten Resultaten über die Fortsetzungen vonBewertungen, wenn man statt „aller“ konvergenten Folgen immer nur „genügendviele“ konvergente Folgen zur Erweiterung des bewerteten Körpers benutzt.Diese „puristische“ Kritik wäre wohl der Forderung zu vergleichen, etwa beimBeweis des Dirichletschen Einheitensatzes ohne den vollen Körperraum (und Loga-rithmenraum) auszukommen: hier braucht man ersichtlich nicht alle reellen Zahlen,sondern könnte sich mit Abschätzungen behelfen.Daher möchte ich – statt solcher Kritik – lieber meinen herzlichsten Dank nocheinmal wiederholen. Hasse 1963b.
September 1963. Letter from Lorenzen to Hasse.
Prof. P. Lorenzen
852 Erlangen
Saalestraße 1 [Gedanktdurch Postkarte26.9.63] September 1963Sehr verehrter, lieber Herr Hasse,in der Hoffnung, daß Sie dieser Brief nach guter Rückkehr von der Amerikareiseantrifft, möchte ich Ihnen vielmals für die Karte aus Morris Inn, Notre Dame (ichhabe dort 1957 einmal übernachtet) danken.Meine „Kritik“ war durchaus nicht so gemeint, daß es einer „Rechtfertigung“Ihrerseits bedurft hätte: das Ziel des Buches, wirklich zu den Höhen der Zahlen-theorie zu führen rechtfertigt – in unserer gegenwärtigen Situation – vollkommendie Benutzung der traditionellen Fundamente.Trotzdem freue ich mich natürlich sehr über Ihre Zustimmung, daß dann, wennz. B. von „allen“ Folgen (etwa rationaler Zahlen) geredet wird, immer nur „genü-gend viele“ gemeint ist. Die Kontrolle, daß überall in der Tat immer nur „genügendviele“ gebraucht werden, ist allerdings m. E. nicht trivial (In der Math. Zeitschr. 59,1953, habe ich einen Beweis dafür dargestellt, daß in jedem abzählbaren bewertetenKörper K ein abzählbarer Oberkörper K existiert, derart daß sich die Bewertungvon K auf K fortsetzen läßt und daß für jeden algebraischen Oberkörper M von K höchstens eine Bewertung von M existiert, die die Bewertung von K fortsetzt).Vor einiger Zeit erhielt ich die Neuauflage Ihrer Höheren Algebra I. Daß diedeterminantenfreie Algebra jetzt zu konstruktiven Entscheidbarkeits- und Bere-chenbarkeitsverfahren führt, ist eine wesentliche Verbesserung.Mir fiel auf (aber auch das soll keine Kritik sein, weil es dazu zu unwichtigist), daß für Körper und Gruppen immer die Eindeutigkeit der Division (bzw.Subtraktion) gefordert wird. In Satz 14 beweisen Sie aber die Eindeutigkeit desEinselementes, nämlich: C E A = C für alle C F B C = C für alle C also F B = F B E A = E A (jedes F B ist jedem E A gleich, d. h. alle E A und F B sinddasselbe Element).Ebenso beweisen Sie Satz 15 die Eindeutigkeit des Reziproken.Mit ergebensten Grüßen stets Ihr P. Lorenzen Hasse 1963a. . The correspondence between Aubert andLorenzen, 1978–1979. university of osloinstitute of mathematics p. o. box 1053 – blindern, oslo 3 blindern,
February 21, 1978Dear Professor Lorenzen,I am aware of the fact that you are now mainly working as a philosopherand not as a mathematician. But since the question I am going to ask you isreally of a historical nature (although connected with technical mathematics) I amnevertheless taking the liberty to write to you. I believe that you are now (afterKrull’s death) the only person who could possibly enlighten me on the questionswhich I touch upon below. Hence I would be very thankful for any comment thatyou would be willing to give me concerning this letter.For some time I have been puzzled by the fact that so few people know about t -ideals (“divisorial ideals of finite character”). Specialized books on the topicof general arithmetics or divisibility theory (multiplicative ideal theory, divisors,etc.) do not even mention this notion (like the books of Bourbaki, Gilmer, Larsen–McCarthy and Fossum). This in spite of the fact that there is in my opinionan overwhelming evidence pointing in favour of t -ideals as the building blocks ofgeneral arithmetics. They seem to form the true arithmetical divisors with niceproperties which are shared neither by the d -ideals nor by the v -ideals.It is a puzzle to me how the basic arithmetical virtues of t -ideals have escapedthe notice of the specialists – let alone the general mathematical public. Theonly book which seems to give a fair treatment of them is Jaffard’s monograph“Les systèmes d’idéaux”. And Jaffard’s main source when it comes to t -ideals iscertainly your own 1939 paper.I believe it is high time to make some propaganda for the t -ideals exhibitingthem to a more general public in a somewhat more pedagogical and attractiveway than has been done hitherto. I have hence decided to write an article onthis subject with the tentative title “Divisorial ideals of finite character”. It isgoing to be partly expository and partly historical, but will also contain some moretechnical results of my own, going slightly further than the results which can befound in your 1939 paper and in Jaffard’s monograph.In connection with the history of the subject I am especially puzzled by findingthat even Krull did not seem to have grasped the relevance of t -ideals – at least Bourbaki 1972; Gilmer 1972; Larsen and McCarthy 1971; Fossum 1973. Jaffard 1960. See Bosbach (2015, Chapter 13) for another fair treatment. Aubert 1979. t -ideals in his papers or in his ‘Idealbericht’. I may of coursehave overlooked some part of his work, but I cannot really see what that shouldbe. I have checked rather carefully his ‘Idealbericht’, his long series of paperson the arithmetics of integral domains as well as his papers on Krull domains(‘Endliche diskrete Hauptordnungen’). In doing so I have made a couple ofstrange observations. In a short historical and bibliographical note on v -idealson page 121 of his ‘Idealbericht’ he refers among other things to Arnold’s paper“Ideale in kommutativen Halbgruppen” from 1929 as if this paper were concernedwith v -ideals. To describe the content of that paper Krull writes in a parenthesis:( v -Ideale in “Halbgruppen”). But Arnold’s paper is concerned with t -ideals andnot with v -ideals! My conjecture is simply that Krull was mainly interested inthe arithmetics of integral domains and much less concerned with monoids. So hemay not have studied Arnold’s paper very attentively – in fact so superficially thatthe real content of that paper may have escaped him.On the other hand Krull makes extensive reference to your 1939 paper (andin particular to the ‘finite character property’ of ideal systems) in the last paper(No VIII from 1943) of his long series of papers on the arithmetics of integral do-mains. And even on a first and rather superficial reading of your paper one couldhardly avoid to see the crucial role played by the t -ideals. Only a glimpse shouldbe enough for a man like Krull in order to recognize this – the t -ideals lying at thecross-road of two of his pet topics “Gruppensätze” and “Endliche diskrete Haupt-ordnungen”: An integral domain is a Krull ring if and only if the fractional t -idealsform a group (under t -multiplication). (Satz 7 in your 1939 paper is equivalentto this result.) How could possibly this and many other basic arithmetical factsconcerning t -ideals have escaped Krull’s keen eye for the essentials?The t -ideals put the Krull rings and the Dedekind rings on an equal footingdescribing the Krull rings simply as those rings which are “Dedekind” relative tothe t -ideals. In the same way the t -ideals also put the divisor class group on anequal footing with the ideal class group. They are just particular instances ( r = t , r = d ) of a general notion of an “ r -class group”. Not to mention that the uniquefactorization domains (monoids) are just those domains (monoids) where every t -ideal is principal. (See the footnote on page 543 in your 1939 paper.) In additionto this comes the fact that (in contradistinction to the case of v -ideals) the t -idealsare of finite character and hence allow the use of Zorn’s lemma, allow a nice theoryof localization, etc. And this is very far from exhausting the nice properties andthe possible applications of t -ideals. Krull 1968. Krull 1936a,b, 1937a, 1938a, 1937b, 1938b, 1939a,b, 1942, 1943. Krull 1951, 1952, 1953. Arnold 1929. Compare Lorenzen’s letter to Krull dated 8 March 1938 (page 49). t -ideals. Since you and Krullshared some of the same arithmetical interests surrounding the notion of a t -idealand at the same time being colleagues for a number of years in Bonn – I fancy thatyou may have had discussions with him on this particular topic and that you maypossibly still have some recollections from such discussions. If you know of somewritten material which points in the direction of an awareness of the relevance of t -ideals on Krull’s part, I would of course appreciate this still more.I am asking you these questions because I want my historical remarks accom-panying the above-mentioned projected paper to be as accurate as possible. Thisin itself is of course a detail, but I do not think it is just a detail or a matter oftaste when Bourbaki as well as most other writers are founding their exposition ofdivisors, divisor class groups, Krull domains, etc. on the notion of a v -ideal and noton the notion of a t -ideal. But it is not only the v -ideals which on many occasionsshould be replaced by t -ideals – it is even more so in the case of d -ideals. Andthis touches upon an essential point of more far-reaching consequences: It seemsinappropriate to force the heavily additive Dedekind notion of an ideal onto the so-lution of purely multiplicative problems of divisibility – just because there alreadyhappens to exist a well-developed commutative algebra surrounding this additiveideal concept. I would advocate another and more natural procedure, namely touse the t -ideals which are generally better suited for these purely multiplicativeproblems and develop the corresponding necessary piece of commutative algebraas adapted to this ideal concept (like for instance the localization technique, theseeds of which may already be found in your 1939 paper).You may perhaps have lost all your former interest in t -ideals, but in that caseI still hope that the slight leanings towards the history and philosophy of scienceof the present letter may catch your interest – or at least a sufficient interest tomake a reaction possible! Sincerely yours,Karl Egil AubertP.S. We once met in Bonn in 1954. I also knew Krull from that time as well as frommore recent encounters. But at that time I had not really grasped the importanceof t -ideals, missing my opportunity to ask him these questions directly. t -Ideale sind. In meiner Habilitationsarbeit (Überhalbgeordnete Gruppen, Math. Z. 52, 1949) treten sie nur noch einmal auf (p. 486):für nichtkommutative Verbandsgruppen treten “prime vollständige invariante Un-terhalbgruppen” an die Stelle von t -Primidealen.Durch die anschließende Verallgemeinerung der Teilbarkeitstheorie von Gruppenauf Bereiche (Math. Z. 55, 1952) habe ich die t -Ideale wohl ganz aus den Augenverloren – und bin dann ja auch immer mehr zu Grundlagenfragen der Logik undMathematik gekommen, bis ich jetzt schließlich ein sog. „Wissenschaftstheoretiker“geworden bin.Meine Zusammenarbeit mit Krull war in der ganzen Zeit unseres Zusammenseinsschlecht. Ich wurde August 39, einen Monat vor Kriegsbeginn, sein Assistent. Erstseit 1946 waren wir wieder in Bonn zusammen, aber da war ich Dozent und wir wa-ren fast ohne Kontakt. Das hatte politische Gründe (Krull hatte meine Habilitationwährend des Krieges verhindert) und lag außerdem an meinen grundlagentheo-retischen Arbeiten, die Krull nicht als „mathematische“ Leistungen anerkannte.Es kann also durchaus sein, daß er die Rolle der t -Ideale, im Unterschied zu den v -Idealen, nicht deutlich genug gesehen hat – wir werden kaum jemals darübergesprochen haben. Sofern ich damals überhaupt noch Algebra gemacht habe, wardas ja diese “Teilbarkeitstheorie in Bereichen” (vgl. auch Math. Z. 58, 1953) oderTheorie der Korrespondenzen (Math. Z. 60, 1954). Obwohl das kaum eine befriedigende Antwort auf Ihre Fragen ist – es ist aberso gewesen – möchte ich eine Gegenfrage stellen: Kennen Sie Algebraiker, die dieTeilbarkeitstheorie in Bereichen weiter entwickelt haben?Mit besten GrüßenIhr Lo[renzen] Lorenzen qualifies the reasons why he maintained almost no contact with Krull when theywere both back in Bonn as “political” and not as personal. I see this as an indication that he wasaware that the prevention of his habilitation by Krull (in agreement with Hasse) was connectedwith his lack of submissiveness under national socialism. See however Krull’s letter to Hasse dated 22 May 1938 (Roquette 2004, § 1.35). Lorenzen 1952, 1953a, 1954, respectively. universitetet i oslomatematisk institutt avd. a: matematikkavd. b: mekanikkavd. c: statistikk og forsikringsmatematikk blindern, oslo 3,
April 10, 1978 telefon * 46 68 00
Dear Professor Lorenzen,Many thanks for your letter of March 6. As you say yourself, your reply doesnot give a really positive answer to my specific question about Krull’s eventualawareness of the relevance of t -ideals. In spite of this, your “negative” informationis also a piece of information for me.I have little time now to work on the projected paper on t -ideals which Imentioned in my first letter to you. But I hope to be able to finish it during thesummer and I will then send you a copy of it. I am more and more convinced thatthere is a need for such a paper, although it will hardly be more than a reworkingand a slight continuation of some of your own ideas. One essential idea which isintimately linked with t -ideals – and which I did not mention in my last letter toyou – is the notion of a ‘Lorenzen group’ (in Jaffard’s terminology). This is thepurely multiplicative generalization of a ‘Kronecker function ring’ and is relatedto t -ideals and r -valuations in the same way as the Kronecker function ring isrelated to d -ideals and Krull valuations. What the concept of a Lorenzen groupshows, is that the t -system in a way has a ‘universal property’ reducing (in certainsituations) the study of r -systems to the study of the more concrete and well-behaved t -system in the corresponding Lorenzen group (which is lattice-orderedand hence ‘ t -Bézout’).As to your “Gegenfrage” I will, generally speaking, say that there have notbeen any remarkable innovations in divisibility theory since your own contribu-tions – which so far represent the end-point of a long-lasting German arithmeticaltradition. Your 1939 paper is widely cited, but I have somehow the impressionthat only very few mathematicians have fully grasped the content of it. One signof this is precisely the almost total disregard of t -ideals in recent research literatureas well as in the books which lately have been published on multiplicative idealtheory.As to your more specific question concerning further developments of “Teilbar-keitstheorie in Bereichen” I must confess that I virtually know of no such contribu-tion – except for one paper “Über verbandsgeordnete Vektorgruppen mit Operato-ren” by I. Fleischer, published in Mathematische Nachrichten B 72 (1976). Theopening sentences of this paper seem to confirm the scarcity of contributions tothis subject: “Es sind schon mehr als 20 Jahre vergangen, seitdem Lorenzen seinegrundlegende Arbeit “Über halbgeordnete Gruppen” veröffentlicht hat. Dagegen Fleischer 1976. Ichhabe ja diese Dinge fast ganz aus den Augen verloren, es freut mich aber selbst-verständlich sehr, daß die multiplikative Idealtheorie bei Ihnen solche sorgfältigeNeubearbeitung erfährt. Aubert 1979, published subsequently as Aubert 1983.
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