Symmetry-Protected Topological relationship between SU(3) and SU(2)\times{U(1)} in Two Dimension
aa r X i v : . [ c ond - m a t . o t h e r] J a n Symmetry-Protected Topological relationship between SU (3) and SU (2) × U (1) in Two Dimension Ning Wang and Qiao Zhuang ∗ School of Science, Shandong Jianzhu University,1000 Fengming Road, Jinan, Shandong 250101, China (Dated: January 12, 2021) bstract Symmetry-protected topological (
SP T ) phases are gapped short-range entangled states withsymmetry G , which can be systematically described by group cohomology theory. SU (3) and SU (2) × U (1) are considered as the basic groups of Quantum Chromodynamics and Weak-Electromagnetic unification, respectively. In two dimension (2 D ), nonlinear-sigma models witha quantized topological Theta term can be used to describe nontrivial SPT phases. By couplingthe system to a probe field and integrating out the group variables, the Theta term becomes theeffective action of Chern-Simons theory which can derive the response current density. As a result,the current shows a spin Hall effect, and the quantized number of the spin Hall conductance ofSPT phases SU (3) and SU (2) × U (1) are same. In addition, relationships between SU (3) and SU (2) × U (1) which maps SU (3) to SU (2) with a rotation U (1) will be given. PACS numbers: 75.10.Jm, 73.43.Cd
In condensed matter physics, Quantum Chromodynamics (
QCD ) is a proper gauge the-ory to describe Strong interaction by investigating the relationship between the basic element( quark ) and the gauge field [1, 2]. Gapped phases of quantum matter are naturally describedby topological quantum field theories (
T QF T s ) at low energy and long distance [3]. In twodimension (2 D ), Abelian and non-Abelian Chern-Simons theories can be used to capture thetopological properties of fractional quantum Hall conductance [4, 5]. And in the TQFTs,there is another interesting method, symmetry-protected topological ( SP T ) phases [6–8],which can be transformed to product states via local unitary ( LU ) transformations [9–11].In reference [8, 12], the results for one-dimensional SPT phase are generalized to any dimen-sions. So far, the model of quark [13–15], construction of baryon [16, 17], and normalizedfield [18–20] are constructed out of group SU (3). The Weinberg-Salam model is a propermodel with combinatorial group SU (2) × U (1), whose theoretical calculation results areconsistent with the experiment(i.e. boson W + , W − and Z get quality, photons are mass-less) [21–23]. This model can be used to describe Weak-Electromagnetic interaction, whichconsists of Weak interaction normalized group SU (2) and the Electromagnetic interactionnormalized group U (1). If we split group SU (3) into the product of two more basic groupsas SU (2) × U (1), the QCD will become a new version. Using this method, some similarproperties between group SU (3) and SU (2) × U (1) can be easily founded.2n the work present here, we will introduce two kind of SPT phases— SU (3) and SU (2) × U (1). If these phases couple to external probe field individually, the derived results willshow that the spin Hall conductance are quantized, and the quantized number of SU (3) and SU (2) × U (1) are same.Principal chiral nonlinear sigma model ( P CM ) with a Theta term, which has actionas [24] S = Z M dτ d x Q T r (cid:2)(cid:0) g − ∂ µ g (cid:1) (cid:0) g − ∂ µ g (cid:1)(cid:3) + i Θ24 π T r (cid:2) ε µνλ (cid:0) g − ∂ µ g (cid:1) (cid:0) g − ∂ µ g (cid:1) (cid:0) g − ∂ µ g (cid:1)(cid:3) (1)where the second term on the right-hand side is the action of topological term, g is a groupelement of SU ( n ), M the Euclidian space-time manifold, and Θ = 2 πk with k ∈ Z meaningPCM is quantized. When Θ = πk , the system also has two discrete symmetries, reflectionvaries as x → − x and time reversal varies as i → − i , t → − t (consequently τ → τ ). It iseasy to check that reflection will not affect the quantized number. According to [25], thediscussion about the time reversal shows that the quantized number will not change, neither.As we can see from the equation(1), if Q flows to infinity, the action will flow to a fixed pointwhere only the topological term remains. In spite of ignoring the first term of equation(1),the physical properties of the system will not change. In the rest part of this letter, gaugesymmetry will be discussed in the fixed point condition.Following the research [25], equation(1) is verified to be invariant under a symmetry SU ( n ) L × SU ( n ) R , where SU ( n ) L and SU ( n ) R are left and right symmetry group, respec-tively. The group element g varies as g → hg for h ∈ SU ( n ) L , while varies as g → gh − for h ∈ SU ( n ) R . It is easy to check that the equation(1) is invariable under symmetry group SU ( n ) L , but no more invariant under symmetry group SU ( n ) R .In order to investigate the gauge symmetry of PCM, the Theta term should be couple toan external probe field A by replacing every g − ∂ µ g term with g − ( ∂ µ + A µ ) g .At the fixed point, Theta term becomesΘ24 π Z M T r (cid:2) g − ( d + A ) g (cid:3) = Θ24 π Z M T r î (cid:0) g − dg (cid:1) + A +3 dgg − ∧ F + 3 d (cid:0) dgg − ∧ A (cid:1)(cid:3) (2)where F = dA + A ∧ A is the field strength of the probe field A . Focusing on the four termson the right-hand side of the equation(2), we can obtain that the first term is the Theta3erm in equation(1), the second term is the pure probe field function, and the rest two termsare functions of A and dgg − . For simplicity, the Theta term can be reduced to the effectivefield theory of the external field A by integrating out the group variables g . the effectiveaction of probe field A can be expressed as the Chern-Simons action S eff ( A ) = i Θ8 π Z M T r Å A ∧ F − A ã = i Θ16 π Z M ε µνλ T r Å A aµ ∂ ν A aλ + 23 ε abc A aµ A bν A cλ ã (3)where the construction of A depends on the different conditions, which will be discussed inthe following sections.Firstly, let us talk about the SU (3) group. According to the reference [8], the SU (3)SPT phases can be classified by group cohomology class H [ SU (3) , U (1)] = Z in 2 D (thedetails of the calculation can be founded in the Supplement Material Section A). This non-abelian probe field can be expressed as A µ = P a A aµ T a = P a A aµ (2 T a ), where 2 T a are theeight Gell-Mann matrixes that generate the Quantum Chomodynamics theory. The trace T r (cid:0) T a T b (cid:1) = δ ab contributes an extra coefficient in the equation(3).By calculating the variation of equation(3), the response current expressed as following J aµ = δS eff δA aµ = i Θ8 π ε µνλ (cid:0) ∂ ν A aλ + ε abc A bν A cλ (cid:1) (4)Without loss of generality, we assume that the probe field A only contains A a component.Then the time component of the current in equation(4) can be expressed as J at = i Θ8 π (cid:0) ∂ x A ay − ∂ y A ax (cid:1) (5)and the space components can be expressed as J ax = i Θ8 π (cid:0) ∂ y A at − ∂ t A ay (cid:1) (6) J ay = i Θ8 π ( ∂ t A ax − ∂ x A at ) (7)Equation(5)-(7) can be used to express the spin Hall effect, if the time and space compo-nents of the current representations are considered as magnetic and electric field, respectively.The spin Hall conductance is quantized as Θ8 π .4econdly, in 2 D , SU (2) × U (1) SPT phases are classified by group cohomology class H [ SU (2) × U (1) , U (1)] = Z (For details, see the Supplement Material Section B). At thefixed point, the Theta term of the PCM of SU (2) × U (1) becomes S = i Θ24 π T r ¶ ε µνλ î ( gh ) − ∂ µ ( gh ) ó î ( gh ) − ∂ ν ( gh ) ó î ( gh ) − ∂ λ ( gh ) ó© = i Θ24 π T r (cid:8) ε µνλ (cid:2)(cid:0) g − ∂ µ g (cid:1) (cid:0) g − ∂ ν g (cid:1) (cid:0) g − ∂ λ g (cid:1) + (cid:0) h − ∂ µ h (cid:1) (cid:0) h − ∂ ν h (cid:1) (cid:0) h − ∂ λ h (cid:1)(cid:3)(cid:9) (8)where g ∈ SU (2) and h ∈ U (1). The two terms on right-side of second row represent theaction of group SU (2) and group U (1), respectively. For group SU (2), its construction canbe referred to the same part of SU (3) as equation(3), however probe fields satisfy A µ = P a A aµ T a = P a A aµ (2 T a ), where 2 T a are three Pauli matrixes. Do the same derivation as SU (3), the time and space components of current can also be expressed as equations(5)-(7).So the quantized number of spin Hall effect is Θ8 π . It is noted that U (1) is an Abeliangroup and its construction is different from SU ( n ). According to the reference [26], Abelianversion of the Chern-Simons Lagrangian is L CS = i Θ8 π ε µνλ T rA µ ∂ ν A λ (9)Then the effective action and the response current density become S eff ( A ) = i Θ8 π Z M ε µνλ T rA µ ∂ ν A λ (10) J νµ = δS eff δA µ = i Θ8 π ε µνλ T r∂ ν A λ (11)Combine equation(4) and (11), the response current density of the group SU (2) × U (1)is J aµ = i Θ8 π ε µνλ T r (cid:0) ∂ ν A aλ + ε abc A bν A cλ + ∂ ν B λ (cid:1) = i Θ8 π ε µνλ T r (cid:2) ∂ ν ( A aλ + B λ ) + ε abc A bν A cλ (cid:3) (12)where A aλ ∈ SU (2) and B λ ∈ U (1). Assuming A aλ + B λ is a new probe field, it is easy to findthat the response density construction of group SU (2) × U (1) is similar to group SU (3). Thegroup SU (3) is non-Abelian and satisfies the commutation relations (cid:2) T a , T b (cid:3) = f abc T c , where5 abc is the structural constant. The basic group of SU (2) × U (1) satisfies (cid:2) T a , T b (cid:3) = g abc T c .The structural constant g abc and f abc are similar but not the same. Therefore, there shouldbe a potential relationship between group SU (3) and SU (2) × U (1).In order to obtain the relationship, we give Gell-Mann matrixes and Pauli matrixes asfollowing λ = á ë , λ = á − i i ë , λ = á − ë , λ = á ë ,λ = á − i i ë , λ = á ë , λ = á − i i ë , λ = 1 √ á − ë (13)and σ = Ñ é , σ = Ñ − ii é , σ = Ñ − é . (14)Then, assuming group SU (2) maps to SU (3) σ → λ , λ , λ ,σ → λ , λ , λ ,σ → λ , λ . (15)Picking some matrixes from the group SU (3), it is clear that there are some intrinsicrelationships among them. The maps in(15) give three relationships. λ , λ and λ inthe first relationship can be treated as the 3 × σ . These matrixessatisfy the anticommutation relationship { λ i , λ j } = λ k (where i , j , k =1,4,6), which constructa new group. Considering matrixes λ , λ and λ are all off-diagonal and their elementsare symmetrical about the diagonal, we take group U (1) as a rotation that rotates matrixesdiagonally. Subsets of group SU (3) by the rotation U (1) can be shown in Fig 1. Thesecond relationship contains λ , λ and λ . Unfortunately, there is neither commutation6 λ λ α α = α = α = π α α λ λ λ β β β = β = β = π β (a) (b) FIG. 1. In 2 D , U (1) rotation relationship between the matrixes of SU (3). (a) matrixes λ , λ and λ form a new group, every vertex rotates to another by π . (b) matrixes λ , λ and λ form asubset, every vertex rotates to another by π . nor anticommutation between λ , λ and λ , in spite of they seem as the 3 × σ . If λ , λ and λ are treated as the subset of SU (3), rotation U (1) will stillworks in structure(Fig 1(b)). The last relationship contains λ and λ , which are invariantby the rotation U (1) because they are both diagonal. For λ , from the anticommutationrelationship between λ and other matrixes of SU (3) except λ , { λ , λ } = 0 , { λ , λ } = 0 , { λ , λ } = λ , { λ , λ } = λ , { λ , λ } = − λ , { λ , λ } = − λ (16)there should be a relationship between every two matrixes(Fig 2). However, matrix except λ anticommutes λ will obtain 2 times or negative of the matrix itself, { λ , λ } = 2 λ , { λ , λ } = 2 λ , { λ , λ } = 2 λ , { λ , λ } = − λ , { λ , λ } = − λ , { λ , λ } = − λ , { λ , λ } = − λ (17)in this way, λ can be considered as a constraint condition which makes the eight matrixesform a group completely.In summary, we study PCM actions of SU (3) and SU (2) × U (1), which both have a Thetaterm. Coupling the system to a probe field and integrating out the group variables, theresults can be considered as effective action of Chern-Simons theory. As a consequence, the7 λ λ λ λ λ λ (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) λ λ λ λ λ λ (a) (b) FIG. 2. (color online). Every two vertexes have a relationship. The start vertex of the solid arrowis the matrix which can construct a new one; the end vertex is the matrix which is constructedby another. (a) Dotted line is the anticommute relationships between λ and other, and twoendpoints of dotted line across λ anticommute each other. Every vertex in triangle λ , λ , λ hastwo incoming edges and two outgoing edges, which makes λ , λ , λ be a new group. (b) The redshaded area shows λ , λ , λ construct a group; the green shaded area shows λ , λ , λ construct agroup; the blue shaded area shows λ , λ , λ construct a group. spin Hall conductance of SU (3) and SU (2) × U (1) both are quantized as Θ8 π . Furthermore,in SU (3), we calculate anticommutation relationships which show that there is an intrinsicconnection between every two matrixes. In order to simplify the SU (3), we give a mappingfrom SU (2) to SU (3) under the rotation U (1). This rotation rotates matrixes diagonally,which classifies SU (3) into three categories. Every category is invariant under the rotation U (1), which makes a simpler model SU (2) × U (1) to represent SU (3). In addition, thereare three more subgroups in SU (3) by the anticommutation relationships, which can beused to investigate the intrinsic constructions and properties of the quark . Our work mightbe useful to investigate the further significant information of QCD by above method. Thecurrent results do work in 2 D condition, the work in higher dimension will be carried out in8uture.This work is supported by the National Natural Science Foundation of China(Project No.11374193). ∗ [email protected][1] M. A. Shifman, A. I. Vainshtein, and V. I. Zakharov, Qcd and resonance physics. theoreticalfoundations, Nuclear Physics B , 385 (1979).[2] M. A. Shifman, A. I. Vainshtein, and V. I. Zakharov, Qcd and resonance physics. applications,Nuclear Physics B , 448 (1979).[3] Q. R. Wang, M. Chang, C. J. Wang, and Z. C. GU, Topological quantum field theory forabelian topological phases and loop braiding statistics in (3 + 1)dimensions, Phys. Rev. B ,235137 (2019).[4] X. G. Wen, Quantum Field Theory of Many-Body Systems (Oxford University Press, Oxford,2004).[5] C. Nayak, S. H. Simon, A. Stern, M. Freedman, and S. D. Sarma, Non-abelian anyons andtopological quantum computation, Rev. Mod. Phy , 1083 (2008).[6] P. Ye and Z. C. Gu, Topological quantum field theory of three-dimensional bosonic abelian-symmetry-protected topological phases, Phys. Rev. B , 205157 (2016).[7] Z. C. Gu and X. G. Wen, Symmetry-protected topological orders for interacting fermions:Fermionic topological nonlinear sigma models and a special group supercohomology theory,Phys. Rev. B , 115141 (2014).[8] X. Chen, Z. C. Gu, Z. X. Liu, and X. G. Wen, Symmetry protected topological orders andthe group cohomology of their symmetry group, Phys. Rev. B , 155114 (2013).[9] G. Vidal, Entanglement renormalization, Phys. Rev. Lett. , 220405 (2007).[10] M. A. Levin and X. G. Wen, String-net condensation: A physical mechanism for topologicalphases, Phys. Rev. B , 045110 (2005).[11] F. Verstraete, J. I. Cirac, J. I. Latorre, E. Rico, and M. M. Wolf, Renormalization-grouptransformations on quantum states, Phys. Rev. Lett. , 140601 (2005).[12] X. Chen, Z. X. Liu, and X. G. Wen, Two-dimensional symmetry-protected topological ordersand their protected gapless edge excitations, Phys. Rev. B , 235141 (2011).
13] C. G. Callan, J. N. Coote, and D. J. Gross, Two-dimensional yang-mills theory: A model ofquark confinement, Phys. Rev. D , 1649 (1976).[14] E. C. Poggio, H. R. Quinn, and S. Weinberg, Smearing method in the quark model, Phys.Rev. D , 1958 (1976).[15] E. Witten, Instatons, the quark model, and the 1/n expansion, Nuclear Physics B , 285(1979).[16] A. Chodos, R. L. Jaffe, K. Johnson, and C. B. Thorn, Baryon structure in the bag theory,Phys. Rev. D , 2599 (1974).[17] B. L. Loffe, Calculation of baryons masses in quantum chromodynamics, Nuclear Physics B , 317 (1981).[18] M. Singer, J. W. F. Valle, and J. Schechter, Canonical neutral-current predictions from theweak-electromagnetic gauge group su (3) × (1), Phys. Rev. D , 738 (1980).[19] S. Weinberg, Mixing angle in renormalizable theories of weak and electromagnetic interactions,Phys. Rev. D , 1962 (1972).[20] E. Corrigan, D. I. Olive, D. B. Fairlie, and J. Nuyts, Magnetic monopoles in su (3) gaugetheories, Nuclear Physics B , 475 (1976).[21] A. J. Buras, J. Ellis, M. K. Gaillard, and D. V. Nanopoulos, Aspects of the grand unificationof strong, weak and electromagnetic interactions, Nuclear Physics B , 66 (1978).[22] S. Dimopoulos, S. Raby, and F. Wilczek, Supersymmetry and the scale of unification, Phys.Rev. D , 1681 (1981).[23] L. F. Luo, T. Lu, and G. C. Yang, Weak-electromagnetic unification and broken s4 symmetry,Phys. Lett. B , 257 (1980).[24] C. Xu and A. W. W. Ludwig, Nonperturbative effects of a topological theta term on principalchiral nonlinear sigma models in 2 + 1 dimensions, Phys. Rev. Lett. , 200405 (2013).[25] Z. X. Liu and X. G. Wen, Symmetry-protected quantum spin hall phases in two dimensions,Phys. Rev. Lett. , 067205 (2013).[26] G. V. Dunne, Aspects of Chern-Simons Theory (1999) pp. 177–263.(1999) pp. 177–263.