W Pair Production at the LHC - I. Virtual O(alpha_s^2) Corrections in the High Energy Limit
aa r X i v : . [ h e p - ph ] J a n W Pair Production at the LHCI. Virtual O ( a s ) Corrections in the High EnergyLimit
G. Chachamis a , M. Czakon a , b and D. Eiras a a Institut für Theoretische Physik und Astrophysik, Universität WürzburgAm Hubland, D-97074 Würzburg, Germany b Department of Field Theory and Particle Physics, Institute of PhysicsUniversity of Silesia, Uniwersytecka 4, PL-40007 Katowice, Poland
Abstract
We present the result for the two-loop and the one-loop squared virtual QCD corrections to theW boson pair production in the quark-anti-quark-annihilation channel in the limit where all kine-matical invariants are large compared to the mass of the W boson. The infrared pole structure isin agreement with the prediction of Catani’s general formalism for the singularities of two loopamplitudes.
Introduction
The Large Hadron Collider (LHC) will be the centre of interest for particle physics phenomenologyin the next years. Open issues that require definite answers are the verification of the consistencyand validity of the Standard Model (SM) in the energy range of the LHC as well as insights intoNew Physics. Several proposed models and concepts that have the SM as their low energy limittheory are either to pass the LHC test or to be proven wrong. Supersymmetry and Extra-dimensionsare two of the most illustrious examples.Probably, the most important goal for the LHC is the discovery of the elusive Higgs boson.The latter is part of the mechanism of dynamical breaking of the Electroweak (EW) symmetry andis responsible for the fermions and gauge bosons mass. Discovering the only constituent of theStandard Model (SM) which has not been experimentally observed yet, along with a systematicmeasurement of its properties, will be essential for our understanding of mass and the precise gaugestructure of the SM. Another important endeavour at the LHC, in connection to the investigation ofthe non-Abelian gauge structure of the SM, is the precise measurement of the hadronic productionof gauge boson pairs, WW , W Z , ZZ , W g , Z g . Deviations from the SM predictions would indicatethe presence of either anomalous couplings or new heavy particles which would decay into vectorboson pairs [1, 2].Seen under the prism of the previous argumentation, W pair production via quark-anti-quark-annihilation, q ¯ q → W + W − , (1)is a very important process at the LHC. Firstly, it can serve as a signal process in the search forNew Physics since it can be used to measure the vector boson trilinear couplings as predictedby the Standard Model (SM) (actually, this is the favored channel as it involves both trilinearvertices, WW Z and WW g ). Secondly, q ¯ q → W + W − is the dominant irreducible background to thepromising Higgs discovery channel pp → H → W ∗ W ∗ → l ¯ n ¯ l ′ n ′ , (2)in the mass range M Higgs between 140 and 180 GeV [3].Due to its importance, the study of W pair production in hadronic collisions has attracted a lot ofattention in the literature. The Born cross section was calculated almost 30 years ago [4], whereasthe next-to-leading order (NLO) QCD corrections to the tree-level were computed in Refs. [5–9]and were proven to be large. They enhance the tree-level by almost 70% which falls to a (still)large 30% after imposing a jet veto. Therefore, if a theoretical estimate for the W pair productionis to be compared against experimental measurements at the LHC, one is bound to go one orderhigher in the perturbative expansion, namely to the next-to-next-to-leading order (NNLO). Thiswould allow, in principle, an accuracy of better than 10%. Notice that first steps in this directionhave been done by considering soft-gluon resummation effects in W pair production [10].High accuracy for the W pair production is also needed when the process is studied as back-ground to Higgs production. The NLO QCD corrections to the signal process for the Higgs dis-1overy via gluon fusion, gg → H , contribute a 70% [11, 12], whereas the NNLO contributionssuggest an additional 20% for the LHC [13–15]. With a jet veto, at NNLO the total correctionsare of the order of 85% [16–18]. Lastly, the QCD corrections to the cross section for the pro-cess H → WW → l ¯ n ¯ l ′ n ′ are known at NNLO [19, 20] whereas the EW ones are known beyondNLO [21]. The ratio of the Higgs signal over background is expected between 1:1 and 2:1 oncecertain cuts are applied that reject events with high p T jets. For a consistent QCD analysis, there-fore, we need to compare both signal and background cross sections calculated at the same order,that is, at NNLO. Another process that needs to be included in the background is the W pair pro-duction in the loop induced gluon fusion channel, gg → W + W − . (3)This contributes at O ( a s ) relative to the quark-anti-quark-annihilation channel but is neverthelessenhanced due to the large gluon flux at the LHC. The corrections from gluon fusion increasethe W pair background estimate by almost 30% after certain experimental Higgs search cuts areimposed [22, 23].In this paper, we address the task of computing the NNLO virtual part, more precisely the inter-ference of the two-loop with the Born amplitude, as well as the the one-loop squared contribution.We work in the limit of fixed scattering angle and high energy, where all kinematical invariantsare large compared to the mass m of the W. Our result contains all logarithms log m as well asall constant contributions while we neglect power corrections in m . These will be presented in afollowing publication.Our methodology for obtaining the massive amplitude (massless fermion-boson scattering wasstudied in Ref. [24]) is very similar to the one followed in Refs. [25–27] which is, at its turn, anevolution of the methods employed in Refs. [28, 29]. The amplitude is reduced to an expressionthat only contains a small number of integrals (master integrals) with the help of the Laporta al-gorithm [30]. In the calculation for the two-loop amplitude there are 71 master integrals. For theone-loop squared case, we use the helicity matrix formalism to reduce the problem to a small set ofintegrals. Next comes the construction, in a fully automatised way, of the Mellin-Barnes (MB) rep-resentations [31,32] of all the master integrals by using the MBrepresentation package [33]. Therepresentations are then analytically continued in the number of space-time dimensions by meansof the MB package [34], thus revealing the full singularity structure. An asymptotic expansion inthe mass parameter is performed by closing contours and the integrals are finally resummed, eitherwith the help of XSummer [35] or the
PSLQ algorithm [36].Our paper is organised as follows. In Section 2 we introduce our notation, present briefly ourmethods and define the perturbative expansion of the matrix elements summed over colours andspins. In Section 3 we study the singular behavior of the NNLO contributions, and verify thatit agrees with the general formalism developed by Catani [37] for the infrared structure of QCDamplitudes. In Section 4 we present the finite remainders for the interference of the tree and thetwo-loop amplitude and the one-loop squared after subtraction of the singular poles of Section 3from the explicit result. We organise the finite part according to the colour content of the two-loopamplitude for the two-loop case. The finite remainders are expressed in terms of logarithms and2olylogarithms which are real in the physical domain. We conclude in Section 5. Finally, forcompleteness, the one-loop result up to order e is included in the Appendix. The charged vector-boson production in the leading partonic scattering process corresponds to q j ( p ) + q j ( p ) → W − ( p , m ) + W + ( p , m ) , (4)where p i denote the quark and W momenta, m is the mass of the W boson and j is a flavour index.We are considering down type quark scattering in our paper. Obtaining the corresponding resultfor up-type quark scattering is actually trivial as we will show in the following. Energy-momentumconservation implies p µ + p µ = p µ + p µ . (5)We consider the scattering amplitude M for the process (4) at fixed values of the external partonmomenta p i , thus p = p = p = p = m . The amplitude M may be written as a seriesexpansion in the strong coupling a s , | M i = h | M ( ) i + (cid:16) a s p (cid:17) | M ( ) i + (cid:16) a s p (cid:17) | M ( ) i + O ( a ) i , (6)and we define the expansion parameter in powers of a s ( µ ) / ( p ) with µ being the renormalisationscale. We work in conventional dimensional regularisation, d = − e , in the MS-scheme for thecoupling constant renormalisation.We explicitly relate the bare (unrenormalised) coupling a bs to the renormalised coupling a s by a bs S e = a s h − b e (cid:16) a s p (cid:17) + O ( a ) i , (7)where we set the factor S e = ( p ) e exp ( − e g E ) = b is the QCD b -functionknown at present up to the four-loop level [38, 39] b = C A − T F n f . (8)The color factors in a non-Abelian SU ( N ) -gauge theory are C A = N , C F = ( N − ) / N and T F = /
2. Throughout this paper, N denotes the number of colors and n f the total number of flavorsof massless quarks. Remark, however, that the latter must come in pairs, because of the flavorchanging coupling to the charged gauge boson. This is only problematic in the case of top quarksrunning in a closed loop.In the following, our discussion will be restricted to the two-loop amplitude summed overspins and colours and contracted with the Born one. Nevertheless, it should be stressed that ourmethods and the results of the present work can be easily extended to the partial amplitudes for theindividual helicity combinations of the massive two-loop amplitude | M ( ) i itself.3or convenience, we define the function A ( e , m , s , t , µ ) for the squared amplitudes summed overspins and colors as (cid:229) | M ( q j + q j → W + + W − ) | = A ( e , m , s , t , µ ) . (9) A is a function of the Mandelstam variables s , t and u given by s = ( p + p ) , t = ( p − p ) − m , u = ( p − p ) − m , (10)and has a perturbative expansion similar to Eq. (6), A ( e , m , s , t , µ ) = (cid:20) A ( ) + (cid:16) a s p (cid:17) A ( ) + (cid:16) a s p (cid:17) A ( ) + O ( a ) (cid:21) . (11)In terms of the amplitudes the expansion coefficients in Eq. (11) may be expressed as A ( ) = h M ( ) | M ( ) i , (12) A ( ) = (cid:16) h M ( ) | M ( ) i + h M ( ) | M ( ) i (cid:17) , (13) A ( ) = (cid:16) h M ( ) | M ( ) i + h M ( ) | M ( ) i + h M ( ) | M ( ) i (cid:17) , (14)where M ( ) and M ( ) are the massive tree level and one loop amplitudes correspondingly. A ( ) isgiven by A ( ) = N (cid:26) c (cid:20) ( − e ) x ( − x ) + ( − e ) m s + x ( − x ) m s (cid:21) + c (cid:20) − + x + e ( − x ) + ( − e ) − x ( − x ) m s + x ( − x ) m s (cid:21) + c (cid:20) − ( − x ( − x )) + e ( − x ( − x )) + − e − x ( − x ) m s + x ( − x ) m s (cid:21)(cid:27) , (15)where we have defined x = − ts , m s = m s and only the leading physical powers (i.e. down tothe constant) in the m s -expansion are retained. Notice that, once the actual values of the c i aresubstituted, the terms singular in m s cancel as required by unitarity. This will be the case for thefinal two-loop and one-loop squared expressions as well. The coefficients c , c and c are in theiressence combinations of EW coupling constants defined as c = g W L , c = s w Q q + g qZL c w s w (cid:16) − M Z s (cid:17) , c = c w s w ( − M Z s ) ( g qZA ) + g qZV + Q q s w (cid:16) − M Z s (cid:17) c w . (16)4n order to compute the h M ( ) | M ( ) i it proves convenient to express the amplitude | M ( ) i in terms of helicity amplitudes, M g ( l , l , s , t ) , where l and l stand for the helicities of theW + and W − respectively. In other words, it is convinient to decompose the amplitude into asum of products consisting generally of three parts, a Feynman integral, a rational function of thekinematical variables and a standard matrix element, M gj , a complete list of which is listed below inEq. (18). For that, Dirac algebra is used, as well as the equations of motion and an anticommuting g . The quark and anti-quark have opposite helicities in the centre-of-mass system so one helicitylabel above, g = ±
1, suffices.Therefore, the one-loop amplitude is formally rearranged as | M ( ) i = (cid:229) i , j , g C i ( s , t , u ) I ji ( s , t , u ; µ ) M j ( { p k } , g ) , (17)where the C i are coefficients, the I ji are one-loop dimensionally regularized scalar integrals, M j arehelicity matrix elements, g = ± and k = , ...,
4. The ten helicity matrix elements M j ( p k , g ) = M gj have been taken as defined in Ref. [40] (see also [41]): M g = v ( p ) / e ( / p − / p ) / e P g u ( p ) , M g = v ( p ) / p P g u ( p ) e · e , M g = v ( p ) / e P g u ( p ) e · p , M g = − v ( p ) / e P g u ( p ) e · p , M g = v ( p ) / e P g u ( p ) e · p , M g = − v ( p ) / e P g u ( p ) e · p , (18) M g = v ( p ) / p P g u ( p ) e · p e · p , M g = v ( p ) / p P g u ( p ) e · p e · p , M g = v ( p ) / p P g u ( p ) e · p e · p , M g = v ( p ) / p P g u ( p ) e · p e · p , where P g = P ± = ± g . All colour indices as well as the arguments of the polarization vectors, e ( p , l ) and e ( p , l ) , have been suppressed.After expressing the one-loop amplitude as in Eq. (17) and calculating the Feynman integrals,it is trivial to obtain h M ( ) | M ( ) i , one needs only to compute the traces (one fermionic chainin all cases) coming from multipling a matrix element with the complex congugate of anotherone. We have decomposed the tree level amplitude as well in terms of helicity amplitudes andcomputed h M ( ) | M ( ) i as a trivial cross check. Even though the representations in Eq. (18) havebeen used internally, here we present our result only for the amplitude squared and summed overhelicities. Notice that this is done in conventional dimensional regularization, which implies 2 − e polarizations of the vector bosons.The expressions for A ( ) have been presented e.g. in Refs. [5, 6] whereas the leading colorcoefficient of h M ( ) | M ( ) i was discussed in Ref. [42]. Here we provide for the first time the resultfor the real part of A ( ) . 5 Infrared Pole Structure
In the simpler case of one-loop amplitudes, their poles in e can be expressed as a universal combi-nation of the tree amplitude and a colour-charge operator I ( ) ( e ) . The generic form of the I ( ) ( e ) operator was found by Catani and Seymour [45] (see also [43, 44]) and it was derived for thegeneral one-loop QCD amplitude by integrating the real radiation graphs of the same order inperturbation series in the one-particle unresolved limit.The pole structure of our one-loop expression is given, according to the prediction by Catani,by acting with the operator I ( ) ( e ) onto the tree-level result: | M ( ) i = I ( ) ( e ) | M ( ) i + | M ( ) finite i , (19)where I ( ) ( e ) is defined asI ( ) ( e ) = − C F e eg G ( − e ) (cid:18) e + e (cid:19) (cid:18) − µ s (cid:19) e . (20)In a similar way, the divergences of the two-loop amplitude can be written as a sum of twoterms: the action of the I ( ) ( e ) operator on the one-loop amplitude and the action of a new operatorI ( ) ( e ) on the tree amplitude. The I ( ) ( e ) operator includes a renormalisation scheme dependentterm H ( ) multiplied by a 1 / e pole. In the following, we give explicit expressions for I ( ) ( e ) andI ( ) ( e ) which are valid in the MS scheme.At next-to-next-to-leading-order (NNLO), contributions from the self-interference of the one-loop amplitude and the interference of the tree and the two-loop amplitude must be taken intoaccount, so that A NNLO ( s , t , u , m , µ ) = A NNLO ( × ) ( s , t , u , m , µ ) + A NNLO ( × ) ( s , t , u , m , µ ) , (21)with A NNLO ( × ) ( s , t , u , m , µ ) = h M ( ) | M ( ) i , (22)and A NNLO ( × ) ( s , t , u , m , µ ) = h M ( ) | M ( ) i + h M ( ) | M ( ) i . (23)We further decompose the one-loop self-interference and the two-loop contributions as a sumof singular and finite terms, A NNLO ( × ) ( s , t , u , m , µ ) = C ( × ) atani ( s , t , u , m , µ ) + F ( × ) inite ( s , t , u , m , µ ) (24)and A NNLO ( × ) ( s , t , u , m , µ ) = C ( × ) atani ( s , t , u , m , µ ) + F ( × ) inite ( s , t , u , m , µ ) , (25) C ( × ) atani and C ( × ) atani contain infrared singularities that will be analytically canceled by the in-frared singularities occurring in radiative processes of the same order (ultraviolet divergences hav-ing already been removed by renormalisation). F ( × ) inite and F ( × ) inite are the remainders which arefinite as e →
0. 6he infrared poles of the interference of the tree and the two-loop amplitudes follow a genericformula developed by Catani in Ref. [37]. Due to the simple colour structure of the process (4) theaction of I ( ) ( e ) and I ( ) ( e ) is factorised such that we formally have C ( × ) atani ( s , t , u , m , µ ) = | I ( ) ( e ) | h M ( ) | M ( ) i + n I ( ) ( e ) ∗ h M ( ) | M ( ) finite i o . (26)and C ( × ) atani ( s , t , u , m , µ ) = n I ( ) ( e ) h M ( ) | M ( ) i + I ( ) ( e ) h M ( ) | M ( ) i o (27)with I ( ) ( e ) = −
12 I ( ) ( e ) (cid:18) I ( ) ( e ) + b e (cid:19) + e − eg G ( − e ) G ( − e ) (cid:18) b e + K (cid:19) I ( ) ( e )+ H ( ) ( e ) , (28)where K = (cid:18) − p (cid:19) C A − T F n f . (29)The renormalisation scheme dependent H ( ) constant for a QCD amplitude with a q ¯ q pair is givenby H ( ) ( e ) = e eg eG ( − e ) (cid:18) − µ s (cid:19) e (cid:26)(cid:18) p − z − (cid:19) C F + (cid:18) z + − p (cid:19) C A C F + (cid:18) − + p (cid:19) C F T F n f (cid:27) . (30)We were able to verify that our results have the same infrared structure as the one predicted byCatani’s formalism. In this section, we give explicit expressions for the finite remainder of the two-loop contribution F ( × ) inite defined as F ( × ) inite ( s , t , u , m , µ ) = A NNLO ( × ) ( s , t , u , m , µ ) − C ( × ) atani ( s , t , u , m , µ ) , (31)or in the rescaled form F ( × ) inite ( m s , x , sµ ) = A NNLO ( × ) ( m s , x , sµ ) − C ( × ) atani ( m s , x , sµ ) . (32)7he EW structure of the finite remainder for a down-type quark can be factorised as F ( × ) inite , down = N (cid:229) i = , c i J ( × ) i , down ( m s , x , sµ ) . (33)This decomposition allows one to easily obtain the result for the up-type quark scattering. Thelatter is then given by F ( × ) inite , up = N (cid:229) i = , c i J ( × ) i , up ( m s , x , sµ ) , (34)where one needs to use the following formulae J ( × ) , up ( m s , x , sµ ) = J ( × ) , down ( m s , y , sµ ) , (35) J ( × ) , up ( m s , x , sµ ) = − J ( × ) , down ( m s , y , sµ ) , (36) J ( × ) , up ( m s , x , sµ ) = J ( × ) , down ( m s , y , sµ ) , (37) J ( × ) , up ( m s , x , sµ ) = J ( × ) , down ( m s , y , sµ ) (38)and naturally to make the corresponding changes in the definitions of the couplings c , c , c and c , namely to use the up-type quark charge and isospin. Here y = − us . In the following and withno loss of clarity, since our result assumes down-type quark scattering, we will suppress all indicesthat indicate the type of scattered quark. The functions J i ( m s , x , sµ ) in Eq. (33) will be presenteddecomposed according to the colour structure, namely in the form J ( × ) i ( m s , x , sµ ) = (cid:16) j ( ) i C F C A + j ( ) i C F + j ( ) i C F T F n f (cid:17) . (39) c , in addition to c , c and c , is a new coupling that appears at the two-loop level and is definedas: c = − c w g qZA s w ( − M Z s ) . (40)The appearance of c is an effect that comes from a specific part of h M ( ) | M ( ) i . This partconsists of two-loop fermionic boxes contracted with the Born diagram that involves an s -channel Z exchange. A typical example can be seen in Fig. (1). The main feature of these diagrams is thattheir EW couplings fall into two disjoint fermionic chains and once the traces are computed theaxial part drops out. By adding and subtracting to the surviving vector part the corresponding axialpart, one can combine vector and axial contributions into a piece proportional to c . The remainingpiece is proportional to what we have defined as c .8 Fig 1 : Born diagram with a Z exchanged in the s -channel contracted with a fermionic two-loop box.We have verified that applying the naive recipe of sending all traces that contain a single g independently to zero is a valid approach for this class of diagrams. We did this by calculating ex-plicitly the output after substituting g by its alternative form g = i e µ nab g µ g n g a g b and confirmingthat no additional terms survive. This was in fact a non-trivial cancellation as it occurs only for thesum of all the diagrams of this particular class. Note, however, that there were finite contributionsfrom traces containing g in the case of pure W boson pair exchange (no photons or Z’s involved).We are finally ready to present our result. The functions J i , are given by J ( × ) ( m s , x ) = C A C F (cid:26) m s (cid:20) ( − x ) x p − ( − x ) x p − ( − x ) x + ( − x ) x z + ( − x ) x L s (cid:21) + m s (cid:20) p − p + z + s − (cid:21) + (cid:20) (cid:18) − x + x − x + − x − (cid:19) p + (cid:18) x − x + x − − x + − x (cid:19) p − (cid:18) − − x (cid:19) Li ( x ) p + (cid:0) x − x + x (cid:1) L x + (cid:0) x − x + x − (cid:1) L y − (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19) L x − (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L x + (cid:18) − x + x − x − − x + − x + x (cid:19) L y − (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L y + (cid:0) x − x + x + (cid:1) L x L y + (cid:0) (cid:0) x − x + x (cid:1) p + x (cid:1) L m + (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L x + (cid:18) (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19) − (cid:0) x − x + x (cid:1) p (cid:19) L x − (cid:0) x − x + x (cid:1) Li ( x ) L x + (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19) L m L x + (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L y − (cid:18) x − x + x + − x (cid:19) L x L y + (cid:18) − (cid:18) x − x + x + − x + (cid:19) p − (cid:18) − x + x − x − − x + − x + x (cid:19)(cid:19) L y + (cid:18) x − x + x − + x − x (cid:19) L m L y + (cid:18) − − x (cid:19) L s L y + (cid:0) x − x (cid:1) L x L y + (cid:18) − x + (cid:18) − x + x − x + − x − (cid:19) z − − x + (cid:19) − (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19) Li ( x ) − (cid:0) x − x + x (cid:1) Li ( x ) + (cid:0) (cid:0) x − x + x − (cid:1) p − x + (cid:0) − x + x − x (cid:1) z + ( − x ) − (cid:19) L m − (cid:0) x − x + x (cid:1) Li ( x ) L m − (cid:18) − x − − x + (cid:19) L s + (cid:18) x − − x + (cid:19) L m L s − (cid:0) x − x (cid:1) L m L x (cid:18) (cid:18) x − x − − x + (cid:19) p − (cid:0) x − x − (cid:1)(cid:19) L x + (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19) Li ( x ) L x + (cid:0) x − x + x (cid:1) Li ( x ) L x − (cid:18) x − x + − x + (cid:19) L m L x + (cid:0) x − x + x (cid:1) Li ( x ) L m L x − (cid:0) x − x + x (cid:1) L x L y + (cid:0) x − x (cid:1) L m L y + (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19) L x L y + (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L x L y + (cid:18) x − x − (cid:18) x − x + − x + − x + x (cid:19) p + (cid:18) − − x (cid:19) z + ( − x ) − − x (cid:19) L y + ( x ) L y − x + (cid:18) x − x − − x + − x (cid:19) L m L y + (cid:18) − − x (cid:19) L s L y − (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L x L y + (cid:18) − (cid:18) − x + x − x − − x + (cid:19) p − (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19)(cid:19) L x L y − ( x ) L x L y − x − (cid:0) x − x + x − (cid:1) L m L x L y − (cid:18) − x + x − x − − x + + x − x (cid:19) S , ( x ) + (cid:0) x − x + x (cid:1) L m S , ( x ) − x S , ( x ) − x − (cid:18) − − x (cid:19) L y S , ( x ) − (cid:18) − x + x − x − − x + (cid:19) S , ( x ) + , ( x ) − x (cid:21)(cid:27) + C F (cid:26) m s (cid:20) − ( − x ) x p + ( − x ) x p + ( − x ) x − ( − x ) x z (cid:21) + m s (cid:20) − p + p − z + (cid:21) + (cid:20) − (cid:18) − x + x − x + − x (cid:19) p − (cid:18) x − x + x − − x + − x (cid:19) p + ( x ) p − (cid:0) x − x + x (cid:1) L x − (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19) L y + (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19) L x + (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L x − (cid:18) − x + x − x − − x + − x + x (cid:19) L y + (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L y − (cid:0) x − x + x + (cid:1) L x L y + (cid:18) − (cid:0) x − x + x (cid:1) p − (cid:18) x − − x + (cid:19)(cid:19) L m − (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L x + (cid:18) (cid:0) x − x + x (cid:1) p − (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19)(cid:19) L x + (cid:0) x − x + x (cid:1) Li ( x ) L x − (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19) L m L x − (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L y + (cid:18) x − x + x + − x (cid:19) L x L y + (cid:18) (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19) p + (cid:18) − x + x − x − − x + − x + x (cid:19)(cid:19) L y + (cid:18) − x + x − x + − x + − x + x (cid:19) L m L y − (cid:0) x − x (cid:1) L x L y + (cid:18) x + (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19) z + − x − (cid:19) + (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19) Li ( x ) + (cid:0) x − x + x (cid:1) Li ( x )+ (cid:18) − (cid:0) x − x + x − (cid:1) p − x + (cid:0) x − x + x (cid:1) z − − x + (cid:19) L m + (cid:0) x − x + x (cid:1) Li ( x ) L m + (cid:0) x − x (cid:1) L m L x (cid:18) (cid:0) x − x − (cid:1) − (cid:18) x − x − − x + (cid:19) p (cid:19) L x − (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19) Li ( x ) L x − (cid:0) x − x + x (cid:1) Li ( x ) L x + (cid:18) x − x + − x + (cid:19) L m L x − (cid:0) x − x + x (cid:1) Li ( x ) L m L x + (cid:0) x − x + x (cid:1) L x L y − (cid:0) x − x (cid:1) L m L y − (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19) L x L y − (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L x L y + (cid:18) − x + x + (cid:18) x − x − − x + − x + x (cid:19) p + (cid:18) − x − (cid:19) z − − x + + x (cid:19) L y − ( x ) L y − x − (cid:18) x − x − − x + − x (cid:19) L m L y + (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L x L y + (cid:18) (cid:18) − x + x − x − − x + (cid:19) p + (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19)(cid:19) L x L y + ( x ) L x L y − x + (cid:0) x − x + x − (cid:1) L m L x L y − (cid:18) x − x + x − − x + − x + x (cid:19) S , ( x ) − (cid:0) x − x + x (cid:1) L m S , ( x ) + x S , ( x ) − x + (cid:18) − − x (cid:19) L y S , ( x ) + (cid:18) − x + x − x − − x + (cid:19) S , ( x ) + , ( x ) (cid:21)(cid:27) + n f T F C F (cid:26) m s (cid:20) ( − x ) x p + ( − x ) x − ( − x ) x z − ( − x ) x L s (cid:21) + m s (cid:20) p − z − s + (cid:21) + (cid:20) − (cid:18) − − x (cid:19) p − (cid:18) x + − x + − x (cid:19) p + (cid:18) − − x (cid:19) Li ( x ) p + (cid:18) x − x − − x + ( x − ) + (cid:19) L x − (cid:18) x − x − − x + − x + x (cid:19) L y − (cid:18) x − − x + ( x − ) + (cid:19) L x − (cid:18) ( x − ) + − − x (cid:19) L m L x + (cid:18) − x − − x + − x + x (cid:19) L y + (cid:18) − x + x (cid:19) L m L y − (cid:18) − − x (cid:19) L s L y − (cid:0) x − x + (cid:1) L x L y − ( − x + (cid:18) x − x − − x − ( x − ) + (cid:19) z − − x + (cid:19) + (cid:18) x − x − − x − ( x − ) + (cid:19) Li ( x ) + (cid:18) (cid:18) x − − x + (cid:19) − ( x − ) p (cid:19) L m + (cid:18) − x − − x + (cid:19) L s − (cid:18) x − − x + (cid:19) L m L s − (cid:0) x − x (cid:1) L m L x + (cid:18) − (cid:18) x − x − − x + ( x − ) + (cid:19) p − (cid:0) x − x − (cid:1)(cid:19) L x − (cid:18) x − x − − x − ( x − ) + (cid:19) Li ( x ) L x − (cid:18) x − x + − x (cid:19) L m L x + (cid:0) x − x (cid:1) L m L y − (cid:18) x − x − − x − ( x − ) + (cid:19) L x L y + (cid:18) (cid:18) x − x + − x + − x + x (cid:19) p + (cid:18) x − x − − x + + x (cid:19)(cid:19) L y − (cid:18) − x + x − − x + − x (cid:19) L m L y − (cid:18) − − x (cid:19) L s L y + ( x − ) L x L y + ( x − ) L m L x L y + (cid:18) x − x − + x − x (cid:19) S , ( x ) (cid:18) − − x (cid:19) S , ( x ) (cid:21)(cid:27) , (41) J ( × ) ( m s , x ) = C A C F (cid:26) m s (cid:20) ( − x ) x p − ( − x ) x p − ( − x ) x + ( − x ) x z + ( − x ) x L s (cid:21) + m s (cid:20) (cid:0) x − x + (cid:1) p − (cid:0) x − x + (cid:1) p − (cid:0) x − x + (cid:1) + (cid:0) x − x + (cid:1) z + (cid:0) x − x + (cid:1) L s (cid:21) + (cid:20) (cid:0) − x + x − x − (cid:1) p + (cid:0) x − x − x − − x + − x (cid:19) p +
83 Li ( x ) p + (cid:0) x − x + x (cid:1) L x + (cid:0) x − x − x + (cid:1) L y − (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19) L x − (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L x − (cid:18) x − x + x − + x − x (cid:19) L y − (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L y + (cid:0) x − x + x − (cid:1) L x L y + (cid:0) (cid:0) x − x + x (cid:1) p + x (cid:1) L m + (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L x + (cid:18) (cid:18) x − x − x + − x + (cid:19) − (cid:0) x − x + x (cid:1) p (cid:19) L x − (cid:0) x − x + x (cid:1) Li ( x ) L x + (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19) L m L x + (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L y + (cid:0) − x + x − x + (cid:1) L x L y + (cid:18) (cid:0) − x + x − x + (cid:1) p + (cid:18) x − x + x + − x − + x − x (cid:19)(cid:19) L y + (cid:18) x − x + x − + x − x (cid:19) L m L y − ( x − ) L s L y + (cid:0) x − x + (cid:1) L x L y + (cid:18) − x + (cid:18) − x + x + x + − x − ) z − − x + (cid:19) − (cid:18) x − x + x + − x (cid:19) Li ( x ) − (cid:0) x − x + x (cid:1) Li ( x )+ (cid:18) (cid:0) x − x + x − (cid:1) p − x + (cid:0) − x + x − x (cid:1) z + ( − x ) − (cid:19) L m − (cid:0) x − x + x (cid:1) Li ( x ) L m − (cid:18) − x − − x + (cid:19) L s + (cid:18) x − − x + (cid:19) L m L s − (cid:0) x − x (cid:1) L m L x + (cid:18) (cid:18) x − x − − x + (cid:19) p + (cid:18) − x + x − − x + (cid:19)(cid:19) L x + (cid:18) x − x + x + − x (cid:19) Li ( x ) L x + (cid:0) x − x + x (cid:1) Li ( x ) L x − (cid:18) x − x + − x + (cid:19) L m L x + (cid:0) x − x + x (cid:1) Li ( x ) L m L x − (cid:0) x − x + x (cid:1) L x L y + (cid:0) x − x (cid:1) L m L y − (cid:18) − x + x − x − − x + (cid:19) L x L y + (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L x L y + (cid:18) x − x − (cid:18) x − x + − x + x (cid:19) p + ( − x ) z − ( − x ) + − x (cid:19) L y + ( x − ) Li ( x ) L y + (cid:18) x − x − − x + − x (cid:19) L m L y − (cid:18) x − − x + (cid:19) L s L y − (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L x L y + (cid:18) (cid:0) x − x + x + (cid:1) p − (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19)(cid:19) L x L y ( x − ) Li ( x ) L x L y − (cid:0) x − x + x − (cid:1) L m L x L y − (cid:18) − x + x − x + − x + x − x (cid:19) S , ( x ) + (cid:0) x − x + x (cid:1) L m S , ( x ) − ( x − ) L x S , ( x ) + y S , ( x )+ (cid:0) x − x + x + (cid:1) S , ( x ) + ( x − ) S , ( x ) (cid:3)(cid:9) + C F (cid:26) m s (cid:20) − ( − x ) x p + ( − x ) x p + ( − x ) x − ( − x ) x z (cid:21) + m s (cid:20) − (cid:0) x − x + (cid:1) p + (cid:0) x − x + (cid:1) p + (cid:0) x − x + (cid:1) − (cid:0) x − x + (cid:1) z (cid:21) + (cid:20) (cid:0) x − x + x + (cid:1) p + (cid:18) − x + x + x + − x − + x (cid:19) p − x Li ( x ) p + (cid:0) − x + x − x (cid:1) L x − (cid:0) x − x − x + (cid:1) L y + (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19) L x + (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L x − (cid:18) − x + x − x + − x + − x + x (cid:19) L y + (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L y − (cid:0) x − x + x − (cid:1) L x L y + (cid:18) − (cid:0) x − x + x (cid:1) p − (cid:18) x − − x + (cid:19)(cid:19) L m − (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L x + (cid:18) (cid:0) x − x + x (cid:1) p − (cid:18) x − x − x + − x + (cid:19)(cid:19) L x + (cid:0) x − x + x (cid:1) Li ( x ) L x − (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19) L m L x − (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L y + (cid:0) x − x + x − (cid:1) L x L y + (cid:18) − x + x − x + (cid:0) x − x + x − (cid:1) p − − x + − x + x (cid:19) L y + (cid:18) − x + x − x + − x + − x + x (cid:19) L m L y − (cid:0) x − x + (cid:1) L x L y + (cid:18) x + (cid:18) x − x − x − − x + (cid:19) z + − x − (cid:19) + (cid:18) x − x + x + − x (cid:19) Li ( x ) + (cid:0) x − x + x (cid:1) Li ( x ) + (cid:0) − (cid:0) x − x + x − (cid:1) p − x + (cid:0) x − x + x (cid:1) z − − x + (cid:19) L m + (cid:0) x − x + x (cid:1) Li ( x ) L m + (cid:0) x − x (cid:1) L m L x + (cid:18) − (cid:18) x − x − − x + (cid:19) p − (cid:18) − x + x − − x + (cid:19)(cid:19) L x − (cid:18) x − x + x + − x (cid:19) Li ( x ) L x − (cid:0) x − x + x (cid:1) Li ( x ) L x + (cid:18) x − x + − x + (cid:19) L m L x − (cid:0) x − x + x (cid:1) Li ( x ) L m L x + (cid:0) x − x + x (cid:1) L x L y − (cid:0) x − x (cid:1) L m L y + (cid:18) − x + x − x − − x + (cid:19) L x L y − (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L x L y + (cid:18) − x + x + (cid:18) x − x + − x + − x + x (cid:19) p + ( x − ) z + − x − + x (cid:19) L y − ( x − ) Li ( x ) L y − (cid:18) x − x − − x + − x (cid:19) L m L y + (cid:0) x − x + x (cid:1) L m L x L y + (cid:18) (cid:18) x − x + x − − x + (cid:19) − (cid:0) x − x + x + (cid:1) p (cid:19) L x L y + ( x − ) Li ( x ) L x L y + (cid:0) x − x + x − (cid:1) L m L x L y − (cid:18) x − x + x − − x + − x + x (cid:19) S , ( x ) (cid:0) x − x + x (cid:1) L m S , ( x ) + ( x − ) L x S , ( x ) + ( x − ) L y S , ( x ) − (cid:0) x − x + x + (cid:1) S , ( x ) − ( x − ) S , ( x )] } + n f T F C F (cid:26) m s (cid:20) ( − x ) x p + ( − x ) x − ( − x ) x z − ( − x ) x L s (cid:21) + m s (cid:20) (cid:0) x − x + (cid:1) p + (cid:0) x − x + (cid:1) − (cid:0) x − x + (cid:1) z − (cid:0) x − x + (cid:1) L s (cid:21) + (cid:20) ( x + ) p − (cid:18) − x + − x + − x (cid:19) p − ( x ) p + (cid:18) x − x − − x + ( x − ) + (cid:19) L x − (cid:18) x − x + − x + x (cid:19) L y − (cid:18) x − − x + ( x − ) + (cid:19) L x − (cid:18) ( x − ) + − − x (cid:19) L m L x − ( x − ) L x L y + (cid:18) − x − − x + − x + x (cid:19) L y + (cid:18) − x + x (cid:19) L m L y + ( x − ) L s L y − ( x − ) L x L y + (cid:18) x + (cid:18) − x + x − − x + ( x − ) − (cid:19) z + − x − (cid:19) + (cid:18) x − x + − x − ( x − ) (cid:19) Li ( x ) + (cid:18) (cid:18) x − − x + (cid:19) − ( x − ) p (cid:19) L m + (cid:18) − x − − x + (cid:19) L s − (cid:18) x − − x + (cid:19) L m L s − (cid:0) x − x (cid:1) L m L x + (cid:18) (cid:18) − x + x − − x + (cid:19) − (cid:18) x − x − − x + ( x − ) + (cid:19) p (cid:19) L x − (cid:18) x − x + − x − ( x − ) (cid:19) Li ( x ) L x − (cid:18) x − x + − x (cid:19) L m L x + (cid:0) x − x (cid:1) L m L y + (cid:18) − x + x − − x + ( x − ) + (cid:19) L x L y + (cid:18) x − x + (cid:18) x + x + − x + x (cid:19) p + ( − x ) z + ( − x ) − + x (cid:19) L y + ( x − ) Li ( x ) L y + (cid:18) x − x + − x + + x (cid:19) L m L y + (cid:18) x − − x + (cid:19) L s L y + (cid:18) ( x − ) p + ( x − ) (cid:19) L x L y − ( x − ) Li ( x ) L x L y + ( x − ) L m L x L y + (cid:18) x + x − + x − x (cid:19) S , ( x ) − ( x − ) L x S , ( x ) − , ( x ) (cid:21)(cid:27) , (42) J ( × ) ( m s , x ) = C A C F (cid:26) m s (cid:20) ( − x ) x p − ( − x ) x p − ( − x ) x + ( − x ) x z + ( − x ) x L s (cid:21) + m s " (cid:0) x − x + (cid:1) p − (cid:0) x − x + (cid:1) p − (cid:0) x − x + (cid:1) + (cid:0) x − x + (cid:1) z + (cid:0) x − x + (cid:1) L s (cid:21) + (cid:20) − (cid:0) x − x + (cid:1) p + (cid:0) x − x + (cid:1) p + (cid:0) x − x + (cid:0) − x + x − (cid:1) z + (cid:1) − (cid:0) x − x + (cid:1) L s (cid:3)(cid:9) + C F (cid:26) m s (cid:20) − ( − x ) x p + ( − x ) x p + ( − x ) x − ( − x ) x z (cid:21) + m s (cid:20) − (cid:0) x − x + (cid:1) p + (cid:0) x − x + (cid:1) p + (cid:0) x − x + (cid:1) − (cid:0) x − x + (cid:1) z (cid:21) + (cid:20) (cid:0) x − x + (cid:1) p − (cid:0) x − x + (cid:1) p + (cid:0) − x + x + (cid:0) x − x + (cid:1) z − (cid:1)(cid:21)(cid:27) n f T F C F (cid:26) m s (cid:20) ( − x ) x p + ( − x ) x − ( − x ) x z − ( − x ) x L s (cid:21) + m s (cid:20) (cid:0) x − x + (cid:1) p + (cid:0) x − x + (cid:1) + (cid:0) − x + x − (cid:1) z − (cid:0) x − x + (cid:1) L s (cid:21) + (cid:20) − (cid:0) x − x + (cid:1) p + (cid:0) − x + x + (cid:0) x − x + (cid:1) z − (cid:1) + (cid:0) x − x + (cid:1) L s (cid:21)(cid:27) , (43) J ( × ) ( m s , x ) = n f T F C F (cid:26)(cid:20) ( x + ) p − (cid:18) − x + − x + − x (cid:19) p − ( x ) p − ( x − ) L m p + (cid:18) x − x − − x + ( x − ) + (cid:19) L x − (cid:18) x − x + − x + x (cid:19) L y − (cid:18) x − − x + ( x − ) + (cid:19) L x − (cid:18) ( x − ) + − − x (cid:19) L m L x − ( x − ) L x L y + (cid:18) − x + − x + x (cid:19) L y + (cid:18) − x + x (cid:19) L m L y − ( x − ) L x L y − (cid:18) x − x + − x − ( x − ) + (cid:19) z + (cid:18) x − x + − x − ( x − ) (cid:19) Li ( x ) − (cid:0) x − x (cid:1) L m L x + (cid:18) (cid:18) − x + x − − x + (cid:19) − (cid:18) x − x − − x + ( x − ) + (cid:19) p (cid:19) L x − (cid:18) x − x + − x − ( x − ) (cid:19) Li ( x ) L x − (cid:18) x − x + − x (cid:19) L m L x + (cid:0) x − x (cid:1) L m L y + (cid:18) − x + x − − x + ( x − ) + (cid:19) L x L y + (cid:18) x − x + (cid:18) x + − x + x (cid:19) p +( − x ) z + x (cid:19) L y + ( x − ) Li ( x ) L y + (cid:18) x − x + + x (cid:19) L m L y + (cid:18) ( x − ) p + ( x − ) (cid:19) L x L y − ( x − ) Li ( x ) L x L y + ( x − ) L m L x L y + (cid:18) x + x − + x − x (cid:19) S , ( x ) − ( x − ) L x S , ( x ) − , ( x ) (cid:21)(cid:27) , (44) where L m , L s , L x and L y are defined asL m = log ( m s ) , L s = log (cid:18) sµ (cid:19) , L x = log ( x ) , L y = log ( − x ) . (45) In this section, we give explicit expressions for the finite remainder of the one-loop squared con-tribution F ( × ) inite , defined as F ( × ) inite , ( s , t , u , m , µ ) = A NNLO ( × ) ( s , t , u , m , µ ) − C ( × ) atani ( s , t , u , m , µ ) , (46)15he EW structure of the finite remainder for the one-loop squared corrections, similarly to thecase of the two-loop corrections, can be factorised as F ( × ) inite , down = N C F (cid:229) i = , c i J ( × ) i , down ( m s , x , sµ ) . (47)Our result then reads: J ( × ) = ( − x ) xm s + m s + (cid:20) − (cid:18) − x − x − x + − − x (cid:19) L y + (cid:18) x + x + − x (cid:19) L y + (cid:18) (cid:18) x + − − x (cid:19) − (cid:18) − x − x − x + − − x (cid:19) p (cid:19) L y + (cid:18) (cid:18) x + x + − x (cid:19) p + (cid:18) − − x (cid:19)(cid:19) L y − (cid:18) − x + − − x (cid:19) p − (cid:18) − x − − x + (cid:19) + (cid:18) x − − x + (cid:19) L m (cid:21) , J ( × ) = ( − x ) xm s + m s (cid:2) (cid:0) x − x + (cid:1)(cid:3) + (cid:20) − ( x − ) L y − (cid:18) x − − x + (cid:19) L y − (cid:18) − x − − x + (cid:19) + (cid:18) x − − x + (cid:19) L m (cid:21) , J ( × ) = ( − x ) xm s + m s (cid:2) (cid:0) x − x + (cid:1)(cid:3) + (cid:2) − (cid:0) x − x + (cid:1)(cid:3) . (48) In this work we have calculated the NNLO QCD virtual corrections for the process q ¯ q → W + W − in the limit of small vector boson mass. The MS renormalised amplitude is still infrared divergentand contains poles up to O ( / e ) . We checked that the infrared structure of our result agrees withthe prediction of Catani’s formalism for the infrared structure of QCD amplitudes.The main result of our paper has been given as the finite remainder of the NNLO two-loopand one-loop virtual corrections after subtraction of the structure predicted by Catani’s formalism.This is a first step towards the complete evaluation of the virtual corrections. In a forthcomingpublication, we will derive a series expansion in the mass and integrate the result numerically.This will require the present result as a starting point.To complete the NNLO project one still needs to consider 2 → → WW + jet production in Refs. [46, 47]. The integration over the full phase space would require additionalsubtraction terms, similar to those constructed in Ref. [48]. Acknowledgments:
This work was supported by the Sofja Kovalevskaja Award of the Alexander von HumboldtFoundation and by the German Federal Ministry of Education and Research (BMBF) under con-tract number 05HT6WWA. 16 ppendix: h M ( ) | M ( ) finite i to order e h M ( ) | M ( ) finite i up to order e for down-type quarks. This result completes the list of the elements needed in Eq. (11) in order to have theperturbative expansion of the amplitude up to order a s in the high energy limit. h M ( ) | M ( ) finite i = NC F (cid:229) i = , c i J ( × ) i . (49) J ( × ) = (cid:26) m s [ − ( − x ) x ] + m s [ − ] + (cid:20) − (cid:18) − − x (cid:19) L y − (cid:18) − − x (cid:19) L y + (cid:18) − x − − x + (cid:19) − (cid:18) x − − x + (cid:19) L m (cid:21)(cid:27) + i p (cid:26) − y (cid:18) − − x (cid:19) − (cid:18) − − x (cid:19)(cid:27) + e (cid:26) m s [ − ( − x ) x + ( − x ) z x + ( − x ) L s x ] + m s [ z + s − ]+ (cid:20) (cid:18) − − x (cid:19) L y + (cid:18) − − x (cid:19) L y + (cid:18) − − x (cid:19) L s L y + (cid:18) (cid:18) − − x (cid:19) p − (cid:18) + − x (cid:19)(cid:19) L y + (cid:18) − − x (cid:19) L s L y + (cid:18) − − x (cid:19) p + (cid:18) x − − x + (cid:19) L m − (cid:18) x + (cid:18) − − x (cid:19) z (cid:19) − (cid:18) x − − x + (cid:19) L m − (cid:18) − x − − x + (cid:19) L s + (cid:18) x − − x + (cid:19) L m L s − (cid:18) − − x (cid:19) S , ( x ) (cid:21)(cid:27) + e i p (cid:26) m s [ − ( − x ) x ] + m s [ − ] + (cid:20) (cid:18) − − x (cid:19) L y + (cid:18) − − x (cid:19) L y + (cid:18) − − x (cid:19) L s L y + (cid:18) − x − − x + (cid:19) + (cid:18) − − x (cid:19) Li ( x ) − (cid:18) x − − x + (cid:19) L m + (cid:18) − − x (cid:19) L s (cid:21)(cid:27) + e (cid:26) m s (cid:20) ( − x ) x p + ( − x ) x p − ( − x ) x L s − ( − x ) x + ( − x ) x L s + z ( ( − x ) x − ( − x ) x L s )] + m s (cid:20) p + p − s + z ( − s ) + s − (cid:21) + (cid:20) − (cid:18) − − x (cid:19) p − (cid:18) − x − − x + (cid:19) p − (cid:18) − − x (cid:19) Li ( x ) p − (cid:18) − − x (cid:19) L y − (cid:18) x − − x + (cid:19) L m − (cid:18) − − x (cid:19) L y − (cid:18) − − x (cid:19) L s L y + (cid:18) x − − x + (cid:19) L m + (cid:18) − x − − x + (cid:19) L s − (cid:18) x − − x + (cid:19) L m L s (cid:18) − − x (cid:19) L s L y + (cid:18) (cid:18) + − x (cid:19) − (cid:18) − − x (cid:19) p (cid:19) L y − (cid:18) − − x (cid:19) L s L y + (cid:18) − x + (cid:18) − − x (cid:19) z − − x + (cid:19) + (cid:18) (cid:18) x − − x + (cid:19) p − (cid:18) x − − x + (cid:19)(cid:19) L m − (cid:18) x − − x + (cid:19) L m L s + (cid:18) − (cid:18) − − x (cid:19) p + x + (cid:18) − − x (cid:19) z (cid:19) L s + (cid:18) x − − x + (cid:19) L m L s − (cid:18) − − x (cid:19) L s L y + (cid:18) − (cid:18) − − x (cid:19) p − (cid:18) + − x (cid:19)(cid:19) L y + (cid:18) (cid:18) + − x (cid:19) − (cid:18) − − x (cid:19) p (cid:19) L s L y + (cid:18) − − x (cid:19) S , ( x ) + (cid:18) − − x (cid:19) L s S , ( x )+ (cid:18) − − x (cid:19) L y S , ( x ) + (cid:18) − − x (cid:19) S , ( x ) − (cid:18) − − x (cid:19) S , ( x ) (cid:21)(cid:27) + e i p (cid:26) m s [ − ( − x ) x + ( − x ) z x + ( − x ) L s x ] + m s [ z + s − ]+ (cid:20) − (cid:18) − − x (cid:19) L y − (cid:18) − − x (cid:19) L y − (cid:18) − − x (cid:19) L s L y − (cid:18) − − x (cid:19) L s L y + (cid:18) (cid:18) − − x (cid:19) p + (cid:18) + − x (cid:19)(cid:19) L y − (cid:18) − − x (cid:19) Li ( x ) L y − (cid:18) − − x (cid:19) L s L y + (cid:18) − − x (cid:19) p + (cid:18) x − − x + (cid:19) L m − (cid:18) − − x (cid:19) L s − (cid:18) x + (cid:18) − − x (cid:19) z + − x + (cid:19) − (cid:18) − − x (cid:19) Li ( x ) + (cid:18) − − x (cid:19) Li ( x ) − (cid:18) x − − x + (cid:19) L m − (cid:18) − x − − x + (cid:19) L s − (cid:18) − − x (cid:19) Li ( x ) L s + (cid:18) x − − x + (cid:19) L m L s − (cid:18) − − x (cid:19) S , ( x ) (cid:21)(cid:27) , (50) J ( × ) = (cid:26) m s [ − ( − x ) x ] + m s (cid:2) − (cid:0) x − x + (cid:1)(cid:3) + (cid:20) ( x − ) L y + (cid:18) x − − x + (cid:19) L y + (cid:18) − x − − x + (cid:19) − (cid:18) x − − x + (cid:19) L m (cid:21)(cid:27) + i p (cid:26)(cid:20) (cid:18) x − − x + (cid:19) + ( x − ) L y (cid:21)(cid:27) + e (cid:26) m s [ − ( − x ) x + ( − x ) z x + ( − x ) L s x ] + m s (cid:2) − (cid:0) x − x + (cid:1) + (cid:0) x − x + (cid:1) z + (cid:0) x − x + (cid:1) L s (cid:3) + (cid:20) − ( x − ) L y + (cid:18) − x − x (cid:19) L y − ( x − ) L s L y + (cid:18) − ( x − ) p − (cid:18) − x − x (cid:19)(cid:19) L y − (cid:18) x − − x + (cid:19) L s L y − (cid:18) x − − x + (cid:19) p + (cid:18) x − − x + (cid:19) L m + (cid:18) − x + ( x − ) z − − x + (cid:19) − (cid:18) x − − x + (cid:19) L m − (cid:18) − x − − x + (cid:19) L s + (cid:18) x − − x + (cid:19) L m L s + ( x − ) S , ( x ) (cid:21)(cid:27) e i p (cid:26) m s [ − ( − x ) x ] + m s (cid:2) − (cid:0) x − x + (cid:1)(cid:3) + (cid:2) − ( x − ) L y − ( x − ) L y − ( x − ) L s L y + (cid:18) − x − − x + (cid:19) − ( x − ) Li ( x ) − (cid:18) x − − x + (cid:19) L m − (cid:18) x − − x + (cid:19) L s (cid:21)(cid:27) + e (cid:26) m s (cid:20) ( − x ) x p + ( − x ) x p − ( − x ) x L s − ( − x ) x + ( − x ) x L s + z ( ( − x ) x − ( − x ) x L s )] + m s (cid:20) (cid:0) x − x + (cid:1) p + (cid:0) x − x + (cid:1) p − (cid:0) x − x + (cid:1) L s − (cid:0) x − x + (cid:1) + (cid:0) x − x + (cid:1) L s + z (cid:0) (cid:0) x − x + (cid:1) − (cid:0) x − x + (cid:1) L s (cid:1)(cid:3) + (cid:20) ( x − ) p + (cid:18) x + − x − (cid:19) p + ( x − ) Li ( x ) p + ( x − ) L y − (cid:18) x − − x + (cid:19) L m − (cid:18) − x + − x + (cid:19) L y + ( x − ) L s L y + (cid:18) x − − x + (cid:19) L m + (cid:18) − x − − x + (cid:19) L s − (cid:18) x − − x + (cid:19) L m L s + ( x − ) L s L y + (cid:18) ( x − ) p − (cid:18) x − − x + (cid:19)(cid:19) L y − (cid:18) − x − x (cid:19) L s L y + (cid:18) − x + ( x − ) z − − x + (cid:19) + (cid:18) (cid:18) x − − x + (cid:19) p − (cid:18) x − − x + (cid:19)(cid:19) L m − (cid:18) x − − x + (cid:19) L m L s + (cid:18) (cid:18) x − − x + (cid:19) p + x +( − x ) z + − x − (cid:19) L s + (cid:18) x − − x + (cid:19) L m L s + (cid:18) x − − x + (cid:19) L s L y + (cid:18) (cid:18) x + − x − (cid:19) p − (cid:18) − x + − x + (cid:19)(cid:19) L y + (cid:18) ( x − ) p + (cid:18) − x − x (cid:19)(cid:19) L s L y − ( x − ) S , ( x ) − ( x − ) L s S , ( x ) − ( x − ) L y S , ( x ) − ( x − ) S , ( x ) + ( x − ) S , ( x )] } + e i p (cid:26) m s [ − ( − x ) x + ( − x ) z x + ( − x ) L s x ] + m s (cid:2) − (cid:0) x − x + (cid:1) + (cid:0) x − x + (cid:1) z + (cid:0) x − x + (cid:1) L s (cid:3) + (cid:20) ( x − ) L y + ( x − ) L y + ( x − ) L s L y + ( x − ) L s L y + (cid:0) ( x − ) − ( x − ) p (cid:1) L y + ( x − ) Li ( x ) L y + ( x − ) L s L y + (cid:18) − x + − x − (cid:19) p + (cid:18) x − − x + (cid:19) L m + (cid:18) x − − x + (cid:19) L s + (cid:18) − x + ( x − ) z − − x + (cid:19) + ( x − ) Li ( x ) − ( x − ) Li ( x ) − (cid:18) x − − x + (cid:19) L m − (cid:18) − x − − x + (cid:19) L s + ( x − ) Li ( x ) L s + (cid:18) x − − x + (cid:19) L m L s + ( x − ) S , ( x ) (cid:21)(cid:27) , (51) ( × ) = (cid:26) m s [ − ( − x ) x ] + m s (cid:2) − (cid:0) x − x + (cid:1)(cid:3) + (cid:2) (cid:0) x − x + (cid:1)(cid:3)(cid:27) + e (cid:26) m s [ − ( − x ) x + ( − x ) z x + ( − x ) L s x ] + m s (cid:2) − (cid:0) x − x + (cid:1) + (cid:0) x − x + (cid:1) z + (cid:0) x − x + (cid:1) L s (cid:3) + (cid:2) − (cid:0) − x + x + (cid:0) x − x + (cid:1) z − (cid:1) − (cid:0) x − x + (cid:1) L s (cid:3)(cid:9) + e i p (cid:26) m s [ − ( − x ) x ] + m s (cid:2) − (cid:0) x − x + (cid:1)(cid:3) + (cid:2) (cid:0) x − x + (cid:1)(cid:3)(cid:27) + e (cid:26) m s (cid:20) ( − x ) x p + ( − x ) x p − ( − x ) x L s − ( − x ) x + ( − x ) x L s + z ( ( − x ) x − ( − x ) x L s )] + m s (cid:20) (cid:0) x − x + (cid:1) p + (cid:0) x − x + (cid:1) p − (cid:0) x − x + (cid:1) L s − (cid:0) x − x + (cid:1) + (cid:0) x − x + (cid:1) L s + z (cid:0) (cid:0) x − x + (cid:1) − (cid:0) x − x + (cid:1) L s (cid:1)(cid:3) + (cid:20) − (cid:0) x − x + (cid:1) p − (cid:0) x − x + (cid:1) p + (cid:0) x − x + (cid:1) L s − (cid:0) − x + x + (cid:0) x − x + (cid:1) z − (cid:1) + (cid:0) − x + x + (cid:0) x − x + (cid:1) z − (cid:1) L s (cid:3)(cid:9) + e i p (cid:26) m s [ − ( − x ) x + ( − x ) z x + ( − x ) L s x ] + m s (cid:2) − (cid:0) x − x + (cid:1) + (cid:0) x − x + (cid:1) z + (cid:0) x − x + (cid:1) L s (cid:3) + (cid:2) − (cid:0) − x + x + (cid:0) x − x + (cid:1) z − (cid:1) − (cid:0) x − x + (cid:1) L s (cid:3)(cid:9) . (52) References [1] CDF Collaboration, Phys. Rev. Lett. (2005) 211801[2] D0 Collaboration, Phys. Rev. Lett. (2005) 151801[3] M. Dittmar and H. K. Dreiner, Phys. Rev. D (1997) 167[4] R. W. Brown and K. O. Mikaelian, Phys. Rev. D (1979) 922[5] J. Ohnemus, Phys. Rev. D (1991) 1403[6] S. Frixione, Nucl. Phys. B (1993) 280[7] L. J. Dixon, Z. Kunszt and A. Signer, Nucl. Phys. B (1998) 3[8] L. J. Dixon, Z. Kunszt and A. Signer, Phys. Rev. D (1999) 114037[9] J. M. Campbell and R. K. Ellis, Phys. Rev. D (1999) 113006[10] M. Grazzini, JHEP (2006) 095[11] M. Spira, A. Djouadi, D. Graudenz and P. M. Zerwas, Nucl. Phys. B (1995) 17[12] S. Dawson, Nucl. Phys. B (1991) 283[13] R. V. Harlander and W. B. Kilgore, Phys. Rev. Lett. (2002) 201801[14] C. Anastasiou and K. Melnikov, Nucl. Phys. B (2002) 220
15] V. Ravindran, J. Smith and W. L. van Neerven, Nucl. Phys. B (2003) 325[16] S. Catani, D. de Florian and M. Grazzini, JHEP (2002) 015[17] G. Davatz, G. Dissertori, M. Dittmar, M. Grazzini and F. Pauss, JHEP (2004) 009[18] C. Anastasiou, K. Melnikov and F. Petriello, Phys. Rev. Lett. (2004) 262002[19] C. Anastasiou, G. Dissertori and F. Stockli, arXiv:0707.2373 [hep-ph][20] M. Grazzini, arXiv:0801.3232 [hep-ph][21] A. Bredenstein, A. Denner, S. Dittmaier and M. M. Weber, Phys. Rev. D (2006) 013004[22] T. Binoth, M. Ciccolini, N. Kauer and M. Kramer, JHEP (2005) 065[23] T. Binoth, M. Ciccolini, N. Kauer and M. Kramer, JHEP (2006) 046[24] C. Anastasiou, E. W. N. Glover and M. E. Tejeda-Yeomans, Nucl. Phys. B (2002) 255[25] M. Czakon, A. Mitov and S. Moch, Phys. Lett. B (2007) 147[26] M. Czakon, A. Mitov and S. Moch, arXiv:0707.4139 [hep-ph][27] M. Czakon, J. Gluza and T. Riemann, Phys. Rev. D (2005) 073009[28] M. Czakon, J. Gluza and T. Riemann, Nucl. Phys. B (2006) 1[29] S. Actis, M. Czakon, J. Gluza and T. Riemann, Nucl. Phys. B (2007) 26[30] S. Laporta, Int. J. Mod. Phys. A (2000) 5087[31] V.A. Smirnov, Phys. Lett. B , 397 (1999)[32] J.B. Tausk, Phys. Lett. B , 225 (1999)[33] G. Chachamis and M. Czakon, MBrepresentation.m , Unpublished[34] M. Czakon, Comput. Phys. Commun. (2006) 559[35] S. Moch and P. Uwer, Comput. Phys. Commun. (2006) 759[36] H.R.P. Ferguson and D.H. Bailey, (1992), (see e.g. http://mathworld.wolfram.com/PSLQAlgorithm.html)[37] S. Catani, Phys. Lett. B (1998) 161[38] T. van Ritbergen, J.A.M. Vermaseren and S.A. Larin, Phys. Lett. B (1997) 379[39] M. Czakon, Nucl. Phys. B (2005) 485[40] K. P. O. Diener, B. A. Kniehl and A. Pilaftsis, Phys. Rev. D (1998) 2771[41] A. Denner and T. Sack, Nucl. Phys. B , 221 (1988).[42] G. Chachamis, Acta Phys. Polon. B (2007) 3563[43] W. T. Giele and E. W. N. Glover, Phys. Rev. D (1992) 1980.[44] Z. Kunszt, A. Signer and Z. Trocsanyi, Nucl. Phys. B , 550 (1994)[45] S. Catani and M. H. Seymour, Nucl. Phys. B (1997) 291 [Erratum-ibid. B (1998) 503][46] J. M. Campbell, R. K. Ellis and G. Zanderighi, JHEP (2007) 056[47] S. Dittmaier, S. Kallweit and P. Uwer, Phys. Rev. Lett. (2008) 062003[48] S. Catani and M. Grazzini, Phys. Rev. Lett. (2007) 222002 [arXiv:hep-ph/0703012].(2007) 222002 [arXiv:hep-ph/0703012].