Language
Country/Area
No result found
Rahasia grafik yang terhubung kuat: Bagaimana memastikan bahwa setiap pasangan simpul dapat berkomunikasi satu sama lain?
Dalam matematika dan ilmu komputer, konektivitas merupakan salah satu konsep dasar dalam teori grafik, yang menanyakan berapa banyak elemen (simpul atau sisi) yang harus dihilangkan untuk memisahkan simpul yang tersisa menjadi dua atau lebih subsimpul yang terisolasi. Gambar. Hal ini terkait erat dengan teori masalah aliran jaringan, di mana konektivitas grafik merupakan metrik penting untuk menilai ketahanan jaringan.
Titik dan Bentuk yang Terhubung
Dalam grafik tak berarah G, jika terdapat lintasan dari titik u ke titik v, maka kedua titik tersebut dikatakan terhubung. Jika tidak, keduanya disebut tidak terhubung. Dua titik dikatakan bertetangga jika keduanya terhubung oleh lintasan sepanjang 1, yaitu, keduanya merupakan titik akhir dari satu sisi.
Suatu grafik disebut terhubung jika setiap pasangan titik terhubung.
Jika graf tak berarah tidak memiliki konektivitas, maka graf tersebut disebut terputus. Misalnya, graf yang hanya memuat satu titik sudut disebut terhubung, sedangkan graf yang tidak memuat sisi-sisinya disebut terputus secara jelas. Untuk graf berarah, jika mengganti semua sisi-sisinya yang berarah dengan sisi-sisi yang tak berarah menghasilkan graf tak berarah yang terhubung, maka graf berarah tersebut disebut terhubung secara lemah.
Komponen dan pemotongan
Komponen terhubung adalah subgraf terhubung maksimal dari graf tak berarah. Setiap titik sudut dan sisi harus termasuk tepat satu komponen terhubung. Suatu graf disebut terhubung hanya jika hanya memiliki satu komponen terhubung. Jika suatu graf dikatakan terhubung dengan k titik sudut, maka konektivitas titik sudut dari graf tersebut paling sedikit k.
Suatu graf disebut terhubung secara maksimal jika konektivitasnya sama dengan derajat minimumnya.
Singkatnya, graf terhubung adalah graf yang konektivitasnya kurang dari atau sama dengan sisi-sisinya. Tidak seperti pemotongan titik sudut, pemotongan sisi memotong graf meskipun dipotong dari sisi tertentu, sisi tersebut disebut jembatan. Sisi dianggap kritis jika penghilangannya menyebabkan konektivitas graf menghilang.
Hiperkonektivitas dan konektivitas sangat tinggi
Grafik super-terhubung adalah graf yang semua pemotongan titik sudut minimumnya dapat memisahkan titik sudut. Graf hiper-terhubung adalah graf yang setiap penghapusan pemotongan titik sudut minimum menghasilkan tepat dua komponen, yang salah satunya adalah titik sudut terisolasi. Dalam hal ini, definisi konektivitas dan konektivitas tinggi graf menunjukkan sifat yang unik.
Teorema Menger
Teorema Menger mendefinisikan properti penting dari grafik terhubung, yang menggambarkan konektivitas dan konektivitas sisi berdasarkan jumlah lintasan independen antara titik-titik. Jika dua titik berbeda u dan v dieksplorasi dalam grafik, jumlah lintasan independen di antara keduanya dipertimbangkan. Teorema ini memperjelas hubungan antara konektivitas dan lintasan independen.
Menurut teorema Menger, jumlah lintasan independen sisi antara dua titik mencerminkan konektivitas sisi.
Aspek komputasional
Masalah menentukan apakah dua titik dalam grafik terhubung dapat dengan mudah dipecahkan dengan menggunakan algoritma pencarian yang efisien, seperti algoritma pencarian breadth-first. Masalah yang lebih umum adalah menghitung konektivitas grafik dan menghitung jumlah komponen yang terhubung. Dalam teori kompleksitas komputasional, banyak masalah disederhanakan untuk menentukan konektivitas grafik, dan efisiensi komputasional dari masalah ini juga telah dibuktikan.
Jumlah grafik terhubung
Data dari berbagai grafik berlabel terhubung dengan n simpul dapat ditemukan dalam ensiklopedia daring deret bilangan bulat. Untuk setiap grafik dengan setidaknya dua simpul, konektivitas sisi selalu kurang dari atau sama dengan derajat minimum grafik. Jadi, bagaimana kita memastikan properti ini untuk simpul yang terhubung satu sama lain?
Fitur Lainnya
Konektivitas masih dipertahankan oleh homomorfisme grafik. Jika G terhubung, maka grafik garisnya L(G) juga terhubung. Ketika konektivitas sisi grafik kurang dari atau sama dengan derajat minimum, aspek terhubung menjadi jelas. Teorema menyatakan bahwa jika grafik terhubung k, maka untuk setiap set simpul k dalam grafik, ada sirkuit yang melewati semuanya.
Singkatnya, baik itu konektivitas, konektivitas tepi, atau properti terkait lainnya, konsep-konsep ini menempati posisi penting dalam desain jaringan dan struktur data. Hal ini membuat kita bertanya-tanya, faktor-faktor apa lagi yang perlu kita pertimbangkan saat memelihara dan merancang struktur jaringan yang persisten?
