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Una nuova prospettiva sul calcolo dell'entropia: sai come calcolare l'entropia del gas utilizzando lo spazio delle fasi?
Nel campo della termodinamica, l'entropia è un concetto chiave che riflette il grado di disordine di un sistema e il numero di possibili stati microscopici. Nello studio della fisica classica e della meccanica statistica, un famoso paradosso, il paradosso di Gibbs, pone una sfida importante alla definizione e alle proprietà dell'entropia. Questo paradosso si concentra sul calcolo dell'entropia del gas, in particolare su come chiarire la particolarità delle particelle e la reversibilità del sistema, il che innesca ulteriori profonde riflessioni sull'entropia.
Il problema fondamentale del paradosso di Gibbs è che se le particelle sono distinguibili, il calcolo dell'entropia di due gas identici dopo la miscelazione darà come risultato la comparsa di una quantità non estesa.
Secondo il punto di vista della meccanica statistica, se l'entropia di un sistema non è conforme alla scalabilità, cioè non è proporzionale alla quantità di sostanza, allora, secondo la seconda legge della termodinamica, l'entropia del sistema può diminuire, il che ovviamente viola le leggi della natura. Gibbs propose questo esperimento mentale tra il 1874 e il 1875, che ci obbliga a rivalutare il modo in cui calcoliamo l'entropia.
Situazioni specifiche del paradosso di Gibbs
Consideriamo due contenitori identici di gas ideali: il contenitore uno contiene il gas A e il contenitore due contiene il gas B. Se la parete tra i due contenitori viene aperta, consentendo ai gas di mescolarsi, il sistema sarà ancora in equilibrio da una prospettiva macroscopica, ma l'entropia del sistema dopo la miscelazione non sarà semplicemente il doppio di quella che era quando Gibbs definì l'entropia non espansa. Questo metodo di calcolo farà sì che il valore dell'entropia superi 2S, il che è incoerente con l'ambito della termodinamica e mette in discussione la nostra comprensione e definizione di entropia.
"Se i gas sono differenziabili, la chiusura della barriera non riporta il sistema al suo stato originale. Invece, molte particelle scambiano i contenitori." Questo fatto sottolinea l'importanza delle particelle nei calcoli dell'entropia.
Pertanto, la chiave per risolvere il paradosso sta nel presupporre l'indistinguibilità delle particelle, in modo che tutti gli stati che differiscono solo nella disposizione delle particelle siano considerati uguali, correggendo il calcolo dell'entropia.
Calcolo dell'entropia del gas ideale
Prima di discutere il processo specifico di calcolo dell'entropia, dobbiamo prima comprendere la descrizione del gas ideale nello spazio delle fasi. Lo stato di un gas ideale è costituito da energia U, volume V e N particelle, ciascuna delle quali ha il suo vettore posizione e vettore quantità di moto corrispondenti, che insieme costituiscono uno spazio delle fasi a 6N dimensioni.
In questo spazio delle fasi, secondo il vincolo dell'energia totale delle particelle, possiamo formare un ipercilindro di 6N dimensioni. Da un punto di vista geometrico, l'entropia del gas è legata al volume di questo supercilindro, che a sua volta influenza il calcolo dell'entropia. Tuttavia, secondo il punto di vista della meccanica quantistica, è necessario discretizzare la regione dello spazio delle fasi e la correlazione tra la costante quantistica e la funzione d'onda diventa non trascurabile.
A causa del principio di indeterminazione, dobbiamo aspettarci che le informazioni relative alla quantità di moto e alla posizione delle particelle che entrano nello spazio delle fasi non siano infinitamente accurate; per calcolare il numero di stati, dobbiamo dividere il volume dello spazio delle fasi per la potenza 3N della costante quantistica per ottenere il valore corretto dell'entropia.
Come risolvere i problemi di scalabilità
Inoltre, scopriamo che la definizione di entropia nella fisica classica è errata, soprattutto quando si ha a che fare con grandi quantità di gas. L'entropia non espansa di Gibbs non è adatta ai calcoli in cui le quantità cambiano o in cui le particelle sono distinguibili. Introducendo il principio di indistinguibilità, possiamo razionalizzare la scalabilità dell'entropia e derivare equazioni più realistiche, come l'equazione di Sakur-Tetrod.
In base all'indistinguibilità, possiamo dedurre che l'entropia ottenuta ricalcolando l'entropia di un gas ideale è coerente con le leggi generalizzate della termodinamica.
La rilevanza del paradosso ibrido
Un altro paradosso che accompagna il paradosso di Gibbs è il paradosso della mescolanza. Questo paradosso mette in luce anche il dilemma che si presenta quando si verifica un aumento o una diminuzione dell'entropia durante la miscelazione dei gas. Se si considerano due gas diversi, dopo la miscelazione si verificherà una variazione significativa dell'entropia; se si tratta dello stesso gas, non si verificherà alcuna variazione dell'entropia. Da una prospettiva teorica, questa differenza ci ricorda che il criterio che scegliamo per definire l'entropia influenzerà profondamente le nostre conclusioni.
Ciò ha portato a riflettere approfonditamente sulla definizione di entropia, non solo nella distinzione tra particelle, ma anche nel concetto di come determinare lo stato di un gas. Questa soggettività nelle definizioni ci ricorda che l'interrelazione tra accordo tacito e precisione di misurazione quando si studiano fenomeni fisici può influenzare la nostra comprensione complessiva.
Quando ci troviamo di fronte a questi paradossi e sfide dell'entropia, non possiamo fare a meno di chiederci se la definizione di entropia possa davvero catturare appieno le proprietà e i comportamenti del sistema. È una legge fondamentale della natura o solo la nostra astrazione matematica?
