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La svolta di Strassen: come si può semplificare notevolmente il calcolo della moltiplicazione delle matrici?
Nella teoria della complessità computazionale, i circuiti aritmetici sono diventati il modello standard per il calcolo dei polinomi. Questi circuiti funzionano accettando variabili o numeri come input e poi eseguendo operazioni di addizione o moltiplicazione, il che li rende un modo formale per comprendere la complessità polinomiale dei calcoli. Tuttavia, vale ancora la pena di riflettere sulla questione di come calcolare nel modo più efficiente un particolare polinomio.
Un circuito aritmetico è un grafico aciclico diretto in cui ogni nodo con grado di ingresso zero è chiamato porta di ingresso ed è etichettato come variabile o elemento di campo.
La dimensione e la profondità dei circuiti aritmetici sono due misure chiave della complessità. La dimensione di un circuito è data dal numero delle sue porte, mentre la sua profondità è la lunghezza del percorso diretto più lungo dall'ingresso all'uscita. Ad esempio, un circuito aritmetico può calcolare polinomi tramite porte di input e quindi eseguire operazioni di addizione e moltiplicazione in base ai sottonodi calcolati.
Limiti superiori e inferiori
Quando esploriamo la complessità del calcolo dei polinomi, possiamo porci la domanda: come troviamo il modo migliore per calcolare un certo polinomio? Per prima cosa bisogna costruire un circuito in grado di calcolare il polinomio dato, detto limite superiore. Quindi dimostra che nessun altro circuito può fare meglio e questo è il limite inferiore.
Sebbene i due compiti di dimostrazione dei limiti inferiori e superiori siano concettualmente strettamente correlati, dimostrare i limiti inferiori è solitamente più impegnativo perché tutti i possibili circuiti devono essere analizzati simultaneamente.
Un esempio notevole è l'algoritmo di Strathern, che ha dimostrato di calcolare il prodotto di due matrici n×n con una dimensione di circa n2,807. Ciò rappresenta una semplificazione significativa rispetto al tradizionale approccio O(n3). Le innovazioni di Strathern derivarono principalmente dal suo metodo ingegnoso per moltiplicare matrici 2×2, che pose le basi per una moltiplicazione di matrici più efficiente.
Le sfide del Nether
Sebbene siano stati scoperti molti circuiti intelligenti per trovare i limiti superiori dei polinomi, il compito di dimostrare i limiti inferiori è estremamente arduo. Soprattutto per i polinomi di piccolo grado, se si riesce a dimostrare che alcuni polinomi richiedono circuiti di dimensioni superpolinomiali, si può illustrare la complessità del problema. Tuttavia, la sfida principale è trovare un polinomio esplicito che possa essere dimostrato superi il requisito di dimensione del polinomio, che è diventato uno degli obiettivi principali della ricerca attuale.
Sono forniti limiti inferiori per polinomi come x1d + ... + xnd da Strathern et al. hanno dimostrato che è Ω(n log d).
I risultati della ricerca presentati da Strathern non solo ci portano a una comprensione più approfondita dei circuiti aritmetici, ma focalizzano anche con successo l'attenzione sui problemi di complessità causati dalle dimensioni globali del circuito richieste dai polinomi. Se tali risultati potessero essere ulteriormente applicati a una gamma più ampia di polinomi, si prevede che risolverebbero molti problemi irrisolti.
Problemi algebrici P e NP
Un altro argomento a cui vale la pena prestare attenzione è il problema P e NP in algebra. In questa domanda, è possibile risolvere un problema con la stessa efficienza con cui si verifica se esiste una soluzione a un dato problema? Si tratta di un'importante sfida teorica perché non riguarda solo il calcolo polinomiale, ma coinvolge anche la questione fondamentale della complessità computazionale nel suo complesso.
Il problema VP e VNP proposto da Valiant è un meraviglioso problema algebrico che coinvolge le capacità di calcolo e rappresentazione dei polinomi.
Uno studio approfondito dei problemi VP e VNP può fornire informazioni uniche sulla complessità dei calcoli aritmetici. Man mano che la ricerca prosegue, ci aspettiamo in futuro ulteriori scoperte che sfideranno i confini della teoria informatica tradizionale.
In questo mondo della matematica e dell'informatica in rapido cambiamento, mentre la teoria avanza e le applicazioni pratiche si espandono, la complessità del processo di calcolo dovrebbe almeno farci riflettere profondamente. I modelli di calcolo futuri possono essere ulteriormente ottimizzati?
