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Il segreto delle dimensioni e della profondità del circuito: qual è il modo migliore per calcolare i polinomi?
Nella teoria della complessità computazionale, i circuiti aritmetici sono il modello standard per il calcolo dei polinomi. I circuiti aritmetici sono in grado di ricevere input da variabili o numeri e calcolare il risultato di un'espressione precedentemente calcolata tramite addizione o moltiplicazione. Questo modello ci consente di comprendere metafisicamente la complessità del calcolo dei polinomi.
La domanda fondamentale di un circuito è "Come calcolare un dato polinomio nel modo più efficiente?"
Un circuito aritmetico è composto da un grafico aciclico guidato Ogni nodo del grafico con grado zero è chiamato porta di ingresso ed è etichettato come variabile o elemento nel dominio. Altre porte sono porte di addizione o porte di moltiplicazione. La formula aritmetica è un circuito in cui il grado esterno di ciascuna porta è uno, formando un albero orientato. Esistono due importanti misure di complessità per i circuiti: dimensione e profondità. La dimensione del circuito si riferisce al numero di porte, mentre la profondità si riferisce alla lunghezza del percorso diretto più lungo nel circuito.
I circuiti aritmetici hanno un modo naturale di calcolare i polinomi. Una porta di input calcola il suo polinomio etichettato; una porta di addizione calcola la somma dei polinomi calcolati dai suoi figli e una porta di moltiplicazione calcola il prodotto dei polinomi calcolati dai suoi figli. Prendendo la figura come esempio, la porta di input calcola x1, x2 e 1 in sequenza, la porta di addizione calcola x1 + x2 e x2 + 1 e la porta di moltiplicazione calcola il valore di (x1 + x2) x2 (x2 + 1) .
Panoramica
Quando ci troviamo di fronte a un polinomio f, la domanda è come calcolarlo al meglio, ad esempio per calcolare la dimensione minima di un circuito unitario. Questa domanda di solito è composta da due parti. La prima parte consiste nel trovare un circuito che calcoli il polinomio, che viene chiamato complessità del limite superiore; la seconda parte consiste nel dimostrare che altri circuiti non possono ottenere prestazioni migliori, che viene chiamata complessità del limite inferiore;
Sebbene le due attività siano strettamente correlate, dimostrare un limite inferiore è generalmente più difficile perché tutti i circuiti devono essere discussi simultaneamente.
È importante notare qui che ci occupiamo del calcolo formale dei polinomi, non delle funzioni definite dai polinomi. Ad esempio, considera il polinomio x2 + x in un dominio binario. Questo polinomio rappresenta una funzione zero su questo dominio, ma non è un polinomio zero. Questa è una delle differenze tra lo studio dei circuiti aritmetici e lo studio dei circuiti di Bollinger, e una delle ragioni per cui la complessità di Bollinger è più difficile della complessità aritmetica.
Limite superiore
Nello studio del calcolo della complessità polinomiale sono stati scoperti alcuni circuiti o algoritmi intelligenti. Ad esempio, il famoso algoritmo di moltiplicazione della matrice di Strassen utilizza una dimensione del circuito di circa n2,807, che riduce notevolmente la complessità rispetto al semplice n3. Un'altra storia affascinante riguarda il calcolo del determinante di una matrice n × n Sebbene il metodo di calcolo originale richiedesse un circuito di dimensione n!, sappiamo che il determinante può essere calcolato con un circuito di dimensioni polinomiali, nonostante la profondità del circuito. il circuito è lineare con n.
Nel frattempo, esistono sfide simili per calcolare la dimensione dei circuiti permanenti per matrici n × n, con il circuito ottimale che ha una dimensione di circa 2n.
Il limite inferiore
La nostra attuale conoscenza sulla dimostrazione dei limiti inferiori è molto limitata. Ad esempio, il calcolo di polinomi di grado molto elevato spesso richiede circuiti di grandi dimensioni; ad esempio, un polinomio di grado 2^2n richiede una dimensione del circuito di circa 2n; Il problema principale sta nel dimostrare i limiti inferiori per i polinomi di piccolo grado, in particolare per i polinomi di dimensione n.
Il principale problema aperto attualmente è trovare un polinomio esplicito tale che la dimensione del circuito richiesta per il suo calcolo superi il livello del polinomio.
Algebra P e NP
Il problema aperto più interessante nella teoria della complessità computazionale è il problema P contro NP. In parole povere, la domanda è se determinare una soluzione a un problema possa essere facile quanto dimostrarne l’esistenza. Valiant ha proposto un'analogia algebrica dei problemi VP e VNP, che coinvolge la relazione tra la dimensione del polinomio e la dimensione del circuito.
Semplificazione profonda
Un punto di riferimento importante per la nostra comprensione dei calcoli polinomiali è il lavoro di Valiant, Skyum, Berkowitz e Rackoff. Hanno dimostrato che se un polinomio di grado r ha un circuito di dimensione s, allora il polinomio ha anche circuiti di polinomi di dimensione r e s.
Questo risultato è considerato falso dati risultati simili nelle impostazioni Bollinger. Un corollario di questo risultato è che le simulazioni di circuiti che coinvolgono polinomi sono formule relativamente piccole: in questo caso, un polinomio di grado r per un circuito di dimensione s richiederebbe una formula di dimensione s^ (O(log(r))).
Riepilogo
La struttura, le dimensioni e la profondità dei circuiti aritmetici sono elementi chiave per il calcolo dei polinomi. Lo studio di questi elementi non è solo una sfida teorica in matematica, ma è anche strettamente connesso con le applicazioni pratiche. In questi calcoli complessi, la possibilità di trovare metodi più efficienti per risolvere problemi più ampi sarà una delle direzioni della ricerca futura.
