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Il segreto dell'informatica determinante: come risolverlo abilmente usando circuiti polinomiali?
Nella teoria della complessità del calcolo, i circuiti aritmetici sono considerati un modello standard per il calcolo dei polinomi. Fondamentalmente, la funzione di un circuito aritmetico è quella di ricevere variabili o numeri come input, quindi eseguire operazioni di addizione o di moltiplicazione. Questo modello fornisce un modo formale per comprendere la complessità dei polinomi computazionali. Quindi, come calcolare efficacemente un determinato polinomio? Questo è diventato uno dei problemi fondamentali della ricerca.
Il circuito aritmetico è un grafico aciclico diretto con l'ingresso di ciascun gate di ingresso zero e contrassegnato come elemento variabile o di campo. Altre porte sono contrassegnate come cancelli di addizione o cancelli di moltiplicazione. Ogni circuito ha due misure di complessità: dimensioni e profondità. La dimensione del circuito si riferisce al numero di porte in esso e la profondità del circuito si riferisce alla lunghezza del percorso diretto più lungo.
Il circuito aritmetico calcola il polinomio in modo naturale, la porta di ingresso calcola il suo marcato polinomio, il gate di addizione calcola la somma dei polinomi dei suoi bambini e il cancello di multiplicazione calcola il prodotto dei polinomi dei nodi per bambini.
Analisi del confine superiore
Nello studio della complessità computazionale polinomiale, sono stati trovati alcuni circuiti e algoritmi intelligenti. Un esempio famoso è l'algoritmo di moltiplicazione della matrice di Strassen. Di solito il calcolo del prodotto di due matrici N × N richiede un circuito di dimensioni di circa N³, ma Strassen dimostra che può essere utilizzato per calcolare usando un circuito di circa n².807 di dimensioni.
Calcolo del fattore determinante della matrice N × N è anche una storia interessante. Un metodo puro richiede circuiti di circa N!, Ma sappiamo che i determinanti possono essere calcolati usando circuiti di dimensioni polinomiali e le profondità di questi circuiti sono lineari. Ma Berkowitz propone un miglioramento che la dimensione del circuito è ancora polinomiale, ma la profondità è limitata a O (log² (n)).
Tuttavia, per una matrice N × N permanente, la dimensione del circuito più conosciuta è di circa 2^n, che è la profondità di tre circuiti forniti dal teorema di Ryser.
Next Realm Challenge
La conoscenza della prova del limite inferiore è molto limitata, specialmente per i polinomi di piccoli gradi. Ad esempio, il calcolo di livelli molto elevati di polinomi richiede circuiti di grandi dimensioni e il nostro obiettivo principale è quello di dimostrare il limite inferiore ai polinomi di piccoli gradi. Un grave problema aperto è trovare chiari esempi di un circuito con un piccolo grado di polinomio ma che richiede una dimensione superpolynomiale.
Sebbene il conteggio degli argomenti ci dia che alcuni polinomi di piccoli gradi possono anche richiedere circuiti di dimensioni superpolinomiali, questi risultati di solito non riescono a approfondire la nostra comprensione del processo computazionale.
Ad esempio, il limite inferiore finora può raggiungere solo la scala di ω (n log d), che si riflette principalmente nel lavoro di Strassen e Baur e Strassen.
Problemi Algebra P e NP
Il problema aperto più evidente nella teoria della complessità computazionale è il problema P vs. NP. L'analogia algebrica di Valiant Problema VP vs. VNP è uno di questi. Il VP è un'analogia del principio del grado polinomiale, mentre il VNP può essere considerato un problema simile a NP. Valiant dimostra che un polinomio permanente è un polinomio completo della classe VNP. Pertanto, se si desidera dimostrare che VP non è uguale a VNP, è necessario dimostrare che non esiste un circuito con la dimensione polinomiale nel polinomio permanente.
il significato della profondità decrescente
Nella nostra comprensione dei calcoli polinomiali, la ricerca valorosa e di altri studiosi fornisce riferimenti importanti. Mostrano che se un polinomio ha un circuito di dimensioni S, la sua profondità può anche essere ridotta al registro O (log (R)), che fornisce una guida di riferimento per risolvere altri problemi simili.
Questo risultato non solo estende il metodo del circuito di Berkowitz, ma ci aiuta anche a comprendere meglio il calcolo dei polinomi.
In questa era in rapida evoluzione, possiamo trovare nuovi modi per ottenere informazioni sulla struttura e sulla complessità del circuito di elaborare per far fronte alle sfide delle esigenze di calcolo future?
