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シュトラッセンのブレークスルー：行列乗算の計算を大幅に簡素化するにはどうすればよいでしょうか？
計算複雑性理論では、算術回路は多項式を計算するための標準モデルになっています。これらの回路は、変数または数値を入力として受け取り、加算または乗算演算を実行することによって動作し、計算の多項式複雑性を理解するための正式な方法となります。ただし、特定の多項式を最も効率的に計算する方法については、まだ検討する価値があります。
算術回路は有向非巡回グラフであり、入次数がゼロの各ノードは入力ゲートと呼ばれ、変数またはフィールド要素としてラベル付けされます。
演算回路のサイズと深さは、複雑さを測る 2 つの重要な指標です。回路のサイズはゲートの数であり、深さは入力から出力までの最長の有向パスの長さです。たとえば、算術回路は入力ゲートを通じて多項式を計算し、計算されたサブノードに基づいて加算および乗算演算を実行できます。
上限と下限
多項式の計算の複雑さを調べるとき、次のような疑問が湧きます。特定の多項式を計算する最善の方法を見つけるにはどうすればよいのでしょうか。これには、まず、上限と呼ばれる、与えられた多項式を計算できる回路を構築することが含まれます。次に、他のどの回路もこれより優れた性能を発揮できないこと、そしてこれが下限であることを示します。
下限と上限を証明するという 2 つのタスクは概念的に密接に関連していますが、すべての可能な回路を同時に分析する必要があるため、下限を証明することは通常より困難です。
注目すべき例としては、Strathern のアルゴリズムがあります。これは、サイズが約 n2.807 の 2 つの n×n 行列の積を計算することが示されました。これは、従来の O(n3) アプローチに比べて大幅に簡素化されています。ストラザーンの革新は主に、2×2 行列を乗算する巧妙な方法から生まれ、より効率的な行列乗算の基礎を築きました。
ネザーの挑戦
多項式の上限を見つけるための巧妙な回路は数多く発見されていますが、下限を証明する作業は非常に困難です。特に次数の小さい多項式の場合、一部の多項式が超多項式サイズの回路を必要とすることを証明できれば、問題の複雑さを示すことができます。しかし、主な課題は、多項式のサイズ要件を超えることが証明できる明示的な多項式を見つけることであり、これが現在の研究の主要な焦点の 1 つとなっています。
x1d + ... + xndのような多項式の下限は与えられている。 StrathernらはこれをΩ(n log d)であると証明した。
ストラザーン氏が発表した研究結果は、演算回路の理解を深めるだけでなく、多項式に必要な全体的な回路サイズによって生じる複雑さの問題に注目を集めることにも成功しました。このような結果をさらに広範囲の多項式に適用できれば、多くの未解決の問題を解決できると期待されます。
代数 P および NP 問題
注目に値するもう一つのトピックは、代数における P 問題と NP 問題です。この質問では、与えられた問題に対する解決策が存在するかどうかを確認するのと同じ効率で問題を解決できるでしょうか?これは、多項式計算だけでなく、計算の複雑さ全体という中核的な問題にも関係するため、重要な理論的課題です。
Valiant が提案した VP および VNP 問題は、多項式の計算および表現機能を伴う素晴らしい代数問題です。
VP 問題と VNP 問題を詳細に研究すると、算術計算の複雑さに関する独自の洞察が得られる可能性があります。研究が進むにつれ、従来のコンピューティング理論の限界に挑戦するさらなるブレークスルーが将来期待されます。
急速に変化する数学とコンピューティングの世界では、理論が進歩し、実用的なアプリケーションが拡大するにつれて、計算プロセスの複雑さは少なくとも私たちに深く考えさせるものとなるはずです。将来のコンピューティング モデルはさらに最適化できるのでしょうか?
