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回路のサイズと深さの秘密: 多項式を計算する最良の方法は何ですか?
計算複雑性理論では、算術回路は多項式を計算するための標準モデルです。算術回路は、変数または数値から入力を受け取り、加算または乗算を通じて以前に計算された式の結果を計算できます。このモデルにより、多項式の計算の複雑さを形而上学的に理解することができます。
回路の基本的な問題は、「最も効率的な方法で与えられた多項式を計算するにはどうすればよいか?」ということです。
算術回路は、ガイド付き非巡回グラフで構成されます。次数 0 のグラフ内の各ノードは入力ゲートと呼ばれ、ドメイン内の変数または要素としてラベル付けされます。他のゲートは加算ゲートまたは乗算ゲートです。算術式は、各ゲートの出次数が 1 であり、有向木を形成する回路です。回路の複雑さには、サイズと深さという 2 つの重要な尺度があります。回路のサイズはゲートの数を指し、深さは回路内の最長の有向パスの長さを指します。
算術回路には、多項式を計算する自然な方法があります。入力ゲートはラベル付き多項式を計算し、加算ゲートはその子によって計算された多項式の合計を計算し、乗算ゲートはその子によって計算された多項式の積を計算します。図を例にとると、入力ゲートは x1、x2、1 を順に計算し、加算ゲートは x1 + x2 と x2 + 1 を計算し、乗算ゲートは (x1 + x2) x2 (x2 + 1) の値を計算します。 。
概要
多項式 f に直面したとき、問題はそれをどのように計算するのが最善であるかです。たとえば、単位回路の最小サイズを計算します。この質問は通常 2 つの部分で構成されます。最初の部分は、多項式を計算する回路を見つけることであり、これは上限計算量と呼ばれます。2 番目の部分は、他の回路ではより優れたパフォーマンスを達成できないことを証明することであり、これは下限計算量と呼ばれます。
2 つのタスクは密接に関連していますが、すべての回路を同時に議論する必要があるため、下限を証明することは一般により困難です。
ここでは、多項式で定義された関数ではなく、多項式の形式的な計算を対象としていることに注意することが重要です。たとえば、バイナリ領域の多項式 x2 + x を考えてみましょう。この多項式はこの領域上のゼロ関数を表しますが、ゼロ多項式ではありません。これが、算術回路の研究とボリンジャー回路の研究の違いの 1 つであり、ボリンジャーの複雑さが算術の複雑さよりも難しい理由です。
上限
多項式の複雑さを計算する研究において、いくつかの巧妙な回路またはアルゴリズムが発見されました。たとえば、有名なストラッセン行列乗算アルゴリズムは、約 n2.807 の回路サイズを使用しており、単純な n3 と比較して複雑さが大幅に軽減されます。もう 1 つの興味深い話は、n × n 行列の行列式の計算です。元の計算方法ではサイズが n! の回路が必要でしたが、深さは大きくても行列式は多項式サイズの回路で計算できることがわかりました。回路はnに対して線形です。
一方、n × n 行列の永久回路のサイズを計算するには、同様の課題が存在します。最適な回路のサイズは約 2n です。
下限
下限の証明に関する現在の知識は非常に限られています。たとえば、非常に大きな次数の多項式を計算するには大規模な回路が必要になることがよくあります。たとえば、2^2n 次の多項式には約 2n の回路サイズが必要です。主な問題は、次数の小さい多項式、特に多項式サイズ n の下限を証明することにあります。
現在未解決の主な問題は、計算に必要な回路サイズが多項式レベルを超えるような明示的な多項式を見つけることです。
代数 P と NP
計算量理論における最も興味深い未解決問題は、P 対 NP 問題です。大まかに言えば、問題は、問題の解決策を決定することが、その存在を証明するのと同じくらい簡単にできるかどうかということです。 Valiant は、多項式のサイズと回路のサイズの関係を含む、VP 問題と VNP 問題の代数的アナロジーを提案しました。
徹底的な簡素化
多項式計算を理解するための重要なベンチマークは、Valiant、Skyum、Berkowitz、Rackoff の研究です。彼らは、次数 r の多項式にサイズ s の回路がある場合、その多項式にはサイズ多項式 r および s の回路も含まれることを示しました。
ボリンジャー設定で同様の結果が得られた場合、この結果は偽であると考えられます。この結果の必然の 1 つは、多項式を含む回路のシミュレーションは比較的小さな式であるということです。この場合、サイズ s の回路に対する次数 r の多項式には、サイズ s^ (O(log(r))) の式が必要になります。
概要
演算回路の設計、サイズ、深さは、多項式を計算するための重要な要素です。これらの要素を研究することは、数学における理論的な課題であるだけでなく、実際の応用にも密接に関係しています。これらの複雑な計算において、より大きな問題を解決するためのより効率的な方法を見つけられるかどうかは、今後の研究の方向性の 1 つになります。
