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決定要因コンピューティングの秘密：多項式回路を使用して巧妙に解決する方法は？
計算の複雑さ理論では、算術回路は多項式を計算するための標準モデルと見なされます。基本的に、算術回路の関数は、変数または数値を入力として受信し、追加または乗算操作を実行することです。このモデルは、計算多項式の複雑さを理解するための正式な方法を提供します。では、特定の多項式を効果的に計算する方法は？これは、研究の中心的な問題の1つになりました。
算術回路は、各入力ゲートゼロの入口を備えた指向的な非環式グラフであり、可変またはフィールド要素としてマークされています。他のゲートは、追加ゲートまたは乗算ゲートとしてマークされています。各回路には、サイズと深さの2つの複雑さの測定値があります。回路のサイズは、その中のゲートの数を指し、回路の深さは最も長い方向のパスの長さを指します。
算術回路は、自然な方法で多項式を計算し、入力ゲートはマークされた多項式を計算し、添加ゲートは子供のノードの多項式の合計を計算し、乗算ゲートは子供節の多項式の積を計算します。
上限分析
多項式計算の複雑さの研究では、いくつかの巧妙な回路とアルゴリズムが見つかりました。有名な例は、Strassenのマトリックス増殖アルゴリズムです。通常、2つのn×nマトリックスの積を計算するには、約n³サイズの回路が必要ですが、Strassenは、約n².807サイズの回路を使用して計算するために使用できることを証明しています。
計算n×nマトリックスの決定要因も興味深い話です。純粋な方法では約N！の回路が必要ですが、決定因子は多項式サイズの回路を使用して計算できることを知っています。これらの回路の深さは線形です。しかし、Berkowitzは、回路のサイズがまだ多項式であるが、深さはO（log²（n））に限定されていることを改善することを提案しています。
ただし、永続的なn×n行列の場合、最も既知の回路サイズは約2^nです。これは、ライザーの定理によって提供される深さ3回の回路です。
次のレルムチャレンジ
下限の証明に関する知識は、特に小規模の多項式については非常に限られています。たとえば、非常に高いレベルの多項式を計算するには大きな回路が必要であり、私たちの主な目標は、小規模の多項式の下限を証明することです。主要な開かれた問題は、多項式がわずかであるが、超類似のサイズが必要な回路の明確な例を見つけることです。
議論をカウントすると、小さな程度の多項式にはスーパーポリノムサイズの回路も必要になる可能性があることがわかりますが、これらの結果は通常、計算プロセスの理解を深めることができません。
たとえば、これまでの下限は、主にStrassenとBaurとStrassenの作品に反映されるω（N log D）のスケールにのみ到達できます。
代数PおよびNPの問題
計算の複雑さの理論における最も顕著な開かれた問題は、P対NPの問題です。Valiantの代数類推問題vp vs. VNPもその1つです。VPは多項式の原則の類似性であり、VNPはNPと同様の問題と見なすことができます。Valiantは、永続的な多項式がVNPクラスの完全な多項式であることを証明しています。したがって、VPがVNPに等しくないことを証明したい場合、永久多項式に多項式サイズの回路がないことを証明する必要があります。
深さを減らすことの重要性
多項式計算を理解しているため、Valiantおよびその他の学者の研究は重要な参照を提供します。彼らは、多項式がサイズSの回路を持っている場合、その深さをO（log（r）log（s））に減らすことができ、他の同様の問題を解決するための参照ガイダンスを提供することを示しています。
この結果は、Berkowitzの回路法を拡張するだけでなく、多項式の計算をよりよく理解するのにも役立ちます。
この急速に変化する時代には、将来のコンピューティングニーズの課題を満たすために、回路コンピューティングの構造と複雑さに関する洞察を得るための新しい方法を見つけることができますか？
