Arnold Scholz

Die Kreisklassenkörper von Primzahlpotenzgrad und die Konstruktion von Körpern mit vorgegebener zweistufiger Gruppe. I

ZusammenfassungNach früheren Ergebnissen1),2) existieren Körper mit beliebiger zweistufiger Gruppe, wenn dies für Gruppen von Primzahlpotenzordnung richtig ist. In der vorliegenden Note wird nun für die Gruppen, die sich aus zwei Elementen von Primzahlordnung erzeugen lassen—für den allgemeinsten Fall vgl. die Bemerkungen am Schluß der Arbeit—, die Konstruktion von zugehörigen Körpern durchgeführt. Die Konstruktion ist so allgemein gehalten, daß man daraus einen Überblick über die wichtigsten Typen absoluter zweistufiger Körper (Klassenkörper der Kreiskörper, kurz Kreisklassenkörper) von Primzahlpotenzgrad erhält. Und zwar werden die Fragen behandelt: Wie fällt die Mannigfaltigkeit der Kreisklassenkörper mit demselben maximalen Kreiskörper aus, wenn man dessen Zahlentheorie kennt, und wie dessen Zahlentheorie, wenn man die seiner zyklischen Unterkörper keent?—Außer mit den Sätzen der Klassenkörpertheorie und dem Reziprozitätsgesetz, den naturgemäßen Hilfsmitteln, wird hier wie in1),2) in weitgehendem Maße mit symbolischen Potenzen und Ordnungen operiert und mit einem Faktorgruppenkalkül, der es ermöglicht, im Bereich der Normalkörper ohne Schwierigkeit zu andern Körpern und deren Galoisgruppe überzugehen. Wesentlich erleichtert werden diese Übergänge durch den Tschebotarjowschen Monodromiesatz6), der es gestattet, jedesmal die Galoisgruppe wieder aus Trägheitssubstitutionen zu erzeugen.0.Einleitung und vorbereitende Definitionen.1.Eine notwendige Konstruktionsbedingung.2.Eine hinreichende Konstruktionsbedingung.3.Erfüllung der hinreichenden Bedingung.4.Der Falll=2.