Helmut Hasse

Theory of cyclic algebras over an algebraic number field

I present this paper for publication to an American journal and in English for the following reason: The theory of linear algebras has been greatly extended through the work of American mathematicians. Of late, German mathematicians have become active in this theory. In particular, they have succeeded in obtaining some apparently remarkable results by using the theory of algebraic numbers, ideals, and abstract algebra, highly developed in Germany in recent decades. These results do not seem to be as well known in America as they should be on account of their importance. This fact is due, perhaps, to the language difference or to the unavailability of the widely scattered sources. This paper develops a new application of the above mentioned theories to the theory of linear algebras. Of particular importance is the fact that purely algebraic results are obtained from deep-lying arithmetical theorems. In the middle part, an account is given of the fundamental algebraic basis for these arithmetical methods. This account is more extended than is necessary for this paper, and should obviate an extended study of several German papers. I am very grateful to Professor H. T. Engstrom (New Haven) for going through the manuscript and proof with me and anglicising my many literal translations from the German.

Die grundlagenkrisis der griechischen mathematik

Es ist kein geringerer als Gauß gewesen, der die Fundamentalstellung der Arithmetik im weitesten Sinne als das charakteristische Merkmal bezeichnet hat, durch das die neuere Mathematik sich von der antiken unterscheide und auf dem zugleich ihr wesentlicher Vorsprung vor der antiken Mathematik beruhe. Dieses Urteil bringt eine Anschauung zum Ausdruck, die auch heute noch als die herrschende bezeichnet werden kann. Daß die Griechen mit ihrer Geometrie etwas Mustermäßiges geschaffen haben, wird von niemandem bezweifelt und würde noch weniger bezweifelt werden, wenn es allgemeiner bekannt wäre, wie weit unser Schulunterricht in der Euklidischen Geometrie auch im günstigsten Falle hinter der Unterweisung zurückbleibt, die wir in den stärksten Euklidischen Büchern, das heißt im fünften und zwölften, antreffen. Die Niveaufläche dieser Bücher liegt so hoch, daß auch in einer Leibnizischen Welt nicht daran zu denken sein wird, daß der Schulunterricht in der Geometrie diese Höhe erreicht; und wenn man von einem Platoniker auch heute noch, als Vorbedingung jedes Bekenntnisses zu Plato, den mathematischen Hochschulkurs verlangte, den Plato für die Zulassung zur Akademie gefordert hat, so würde die Zahl der Platoniker gar sehr zusammenschrumpfen. Dennoch ist es ein Irrtum zu glauben, daß die Griechen die geborenen Geometer gewesen sind, und erst recht ein Irrtum, wenn man hinzufügt, daß ihnen die arithmetische Veranlagung gefehlt habe.

Zu Hilberts algebraisch-zahlentheoretischen Arbeiten

Hilberts Arbeiten zur algebraischen Zahlentheorie stehen nicht nur rein zeitlich, sondern auch inhaltlich betrachtet an der Wende zweier Jahrhunderte. Sie heben einerseits mit klarem, aufs Grose gerichtetem Blick die den Arbeiten der Zahlentheoretiker des alten Jahrhunderts zugrunde liegenden Probleme in groser Allgemeinheit heraus, behandeln sie in dieser Allgemeinheit mit grosenteils neuartigen Methoden, die den fruheren an Eleganz und Einfachheit weit uberlegen sind, und werden so andrerseits richtungweisend fur die im neuen Jahrhundert einsetzende Entwicklung, die in den von Hilbert uberall mit bewundernswerter Weitsicht vorgezeichneten Bahnen zu einer abschliesenden Behandlung dieses Problemkreises gefuhrt hat.

A supplement to Leopoldt's theory of genera in abelian number fields

Abstract Whereas in the classical theory of genera in quadratic number fields the genera are characterized explicitly by the so-called genera characters, Leopoldt in his generalization to arbitrary abelian number fields has given no analogue to this explicit characterization. The subsequent supplementary note fills this gap.

Additional note to the author’s: “Theory of cyclic algebras over an algebraic number field” [Trans. Amer. Math. Soc. 34 (1932), no. 1, 171–214; 1501634]

I present this paper for publication to an American journal and in English for the following reason : The theory of linear algebras has been greatly extended through the work of American mathematicians. Of late, German mathematicians have become active in this theory. In particular, they have succeeded in obtaining some apparently remarkable results by using the theory of algebraic numbers, ideals, and abstract algebra, highly developed in Germany in recent decades. These results do not seem to be as well known in America as they should be on account of their importance. This fact is due, perhaps, to the language difference or to the unavailability of the widely scattered sources. This paper develops a new application of the above mentioned theories to the theory of linear algebras. Of particular importance is the fact that purely algebraic results are obtained from deep-lying arithmetical theorems. In the middle part, an account is given of the fundamental algebraic basis for these arithmetical methods. This account is more extended than is necessary for this paper, and should obviate an extended study of several German papers. I am very grateful to Professor F£. T. Engstrom (New Haven) for going through the manuscript and proof with me and anglicising my many literal translations from the German.

The Class Number

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Systematische Theorie der Gaußschen Summen

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Bestimmung der Klassenzahl

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Vollkommene Zahlen, Mersennesche und Fermatsche Primzahlen

von Stellen dieses Buches haben wir es mit Gausschen Summen zu tun gehabt, namlich zunachst in § 8 bei dem auf solche Summen gestutzten Beweis des quadratischen Reziprozitatsgesetzes dann in § 15,5,X bei der Einbettung der quadratischen Zahlkorper in Einheitswurzelkorper, weiter in § ‘18,2,3 bei der Summation der L-Reihen und Herleitung der allgemeinen Klassenzahlformel, und schlieslich in § 18,5 bei der Uberfuhrung der quadratischen Klassenzahlformel fur positive Primzahldiskriminanten in rationale Gestalt.

Definition, Reduktion, Kriterien

Wir wollen jetzt den am Schlus von §15,5 allgemein formulierten Grenzwertsatz fur den Fall eines quadratischen Zahlkorpers \( \text{K=P}\sqrt{d} \) beweisen.