Berthold Schuppar

Konzept eines Fortbildungskurses zum Computereinsatz im Mathematikunterricht für Lehrer der Sekundarstufe I

Planning an in-service course on computers in mathematics education for teachers of grades 5–10 was the starting point for some general considerations about this subject. We discuss why such a course should not be restricted to teaching a programming language or topics of computer science. Consequently we sketch the basic concepts and typical fields of computer use in the mathematics curriculum. This leads us to a more detailed description of how the in-service course was developed and carried out.

Reicht es aus, Paperi und die Logo-Philosophie zu kritisieren?

Bender’s critical paper on Papert and the “Logo philosophy” may be justifiable in many details. On the other hand, it is considered to be insufficient and simplifying because of its destructive tendency. One should bear in mind that, even if Logo were dead, the deficiencies of the school system on which Papert based his ideas would still be there. Mathematics education ought to give answers to those questions.

Himmelskugel II: Der Sonnenlauf

Wann und wo geht die Sonne auf bzw. unter? Wie lange dauert demnach der helle Tag? Um wieviel Uhr steht die Sonne am hochsten? Wie hoch steht sie dann? Wie andern sich die Zeiten von Sonnenaufgang (SA) und Sonnenuntergang (SU), wenn wir verreisen? Wie andert sich die Dauer des hellen Tages im Laufe eines Jahres? Solche und ahnliche Fragen stehen im Zentrum dieses Kapitels. Wir beginnen unsere Untersuchung mit der Analyse von Daten: Die Zeiten von SA/SU sind fur verschiedene Tage und Orte im Internet verfugbar, und sie bergen eine Menge an Informationen. Wir werden anschliesend das Modell der Himmelskugel benutzen, um Zeit und Richtung von SA/SU sowohl konstruktiv als auch rechnerisch zu bestimmen, letzteres mithilfe elementarer Methoden (ebene Trigonometrie). Ein weiteres inhaltsreiches Thema ist die maximale bzw. minimale Sonnenhohe, hierfur genugen sogar rein geometrische Methoden. Die spharische Trigonometrie wird in diesem Kapitel nur sehr sparsam verwendet.

Sonnenauf- und -untergang

Seit dem Altertum dient die Himmelskugel als sehr effektives Modell zur Beschreibung astronomischer Naturerscheinungen (sowohl qualitativ als auch quantitativ), obwohl sie gar nicht existiert. Ausgehend von alltaglichen Phanomenen wie Sonnenauf- und -untergangszeiten, Tageslangen, Mittagszeitpunkte werden die geometrischen Hintergrunde des Sonnenlaufs diskutiert, zunachst lokal (d. h. in Deutschland) und anschliesend auch global. Diese Themen sind Anlasse fur weitreichende mathematische Aktivitaten (nicht nur geometrischer Natur); ihre Konsequenzen sowie die historischen Bezuge und weitere Anwendungen sind so zahlreich, dass sie an dieser Stelle nur angedeutet werden konnen.

Geometrie auf der Kugel: Grundbegriffe

In diesem Kapitel werden die fundamentalen Begriffe der Kugelgeometrie bereitgestellt: Gros- und Kleinkreise, Groskreisbogen als kurzeste Wege, Winkel zwischen Groskreisen; Kugelzweiecke und deren Flacheninhalt; Kugeldreiecke (Seiten und Winkel); Flachenformel fur Kugeldreiecke, Winkelsummensatz als Folgerung; Polardreiecke (Dualitat von Seiten und Winkeln), Seitensummensatz als Folgerung. Einerseits dienen sie als unverzichtbare Voraussetzung fur die intendierte Beschreibung und Analyse der Erd- und Himmelskugel. Andererseits werden im Vergleich mit der ebenen Geometrie gewisse Gegensatze diskutiert (typisches Beispiel: Die Winkelsumme im Kugeldreieck ist groser als 180°); somit dient die Kugelgeometrie u. a. zur Problematisierung „selbstverstandlicher“ Eigenschaften von ebenen Figuren.

Erdkugel III: Konstanter Kurs

Fur die Navigation ist eine Orthodrome nicht optimal, weil man standig den Kurs wechseln muss. Welche Kurve beschreibt man aber, wenn man einen konstanten Kurs steuert? Solche Kurven auf der Erdkugel heisen Loxodromen. Ausgehend von der Untersuchung des Problems in kleinen, nahezu ebenen Bereichen wird zunachst eine naherungsweise Losung entwickelt, indem eine Loxodrome durch einen Polygonzug aus kleinen Strecken approximiert wird. Mithilfe der Analysis wird dann eine exakte Loxodromengleichung hergeleitet, die eine rechnerische Losung der Grundprobleme gestattet: Berechnung des Kurswinkels der Loxodrome von A nach B sowie deren Lange. Die Bestimmung des Kurswinkels gelingt auch zeichnerisch, und zwar auf einer Mercatorkarte: Diese speziell fur die Navigation entwickelte Karte bildet Loxodromen auf Geraden ab, und sie ist winkeltreu.

Himmelskugel I: Koordinaten

Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel mit sehr grosem Radius im Vergleich zu den Erddimensionen; die Erde ist fast punktformig und befindet sich im Zentrum der Himmelskugel. Dieses geozentrische Modell hat sich als sehr vorteilhaft erwiesen, um die sichtbaren astronomischen Phanomene vom Standpunkt des Beobachters aus zu beschreiben. Zunachst versehen wir die Himmelskugel mit zwei verschiedenen Koordinatensystemen: Horizontsystem (Koordinaten Hohe, Azimut) und Aquatorsystem (Koordinaten Deklination, Stundenwinkel). Beim Vergleich ihrer Vor- und Nachteile stellt sich heraus, dass beide Systeme notwendig sind, um die Himmelsphanomene sinnvoll darzustellen. Da der Stundenwinkel eng mit dem Problem der Ortszeiten zusammenhangt, folgt nun eine Diskussion der wahren und mittleren Ortszeit sowie der Weltzeit und der Zonenzeiten. Mit dem sog. Nautischen Dreieck wird dann eine Verbindung der beiden Koordinatensysteme hergestellt, die u. a. die Umrechnung der Koordinaten gestattet; dabei spielt die geografische Breite des Beobachterstandorts eine grose Rolle.

Erdkugel II: Kürzeste Wege

Der kurzeste Weg von A nach B, genannt die Orthodrome, kann mit dem in Kapitel 4 bereitgestellten Kalkul fur zwei beliebige Orte auf der Erde berechnet werden, wenn ihre geografischen Koordinaten bekannt sind. Auserdem werden berechnet: die Richtung von A nach B, der nordlichste Punkt einer Orthodrome bzw. ihr Schnittpunkt mit dem Aquator, die Schnittpunkte einer Orthodrome mit gegebenen Langen- und Breitenkreisen usw. Ein groser Teil dieser Probleme ist auch zeichnerisch losbar, und zwar auf einer Karte in Zentralprojektion, denn diese Karte bildet Groskreise auf Geraden ab. Weiterhin werden einige komplexere Berechnungsprobleme auf der Erdkugel diskutiert (kurzeste Wege mit einer gewissen Nebenbedingung; Fremdpeilung). In diesem Kapitel spielt die spharische Trigonometrie eine zentrale Rolle.

Die Erde ist keine Scheibe

Das erste Kapitel dient als Einstieg in die Thematik des Buches. Anhand einiger klassischer historischer Beispiele soll die Schlagkraft geometrischer Ideen und ihre Bedeutung fur die wissenschaftliche und kulturelle Entwicklung aufgezeigt werden, u. a. werden die folgenden Themen angesprochen: Indizien fur die Kugelgestalt der Erde, Messung des Erdradius nach Eratosthenes, Bestimmung der Sonnenentfernung nach Aristarch, Gradnetz der Erde, Problem der Messung geografischer Koordinaten. Abschliesend wird ein merkwurdiges Phanomen im Zusammenhang mit den Mondphasen beschrieben und erklart.

Erdkugel I: Koordinaten, Entfernungen, Kurswinkel

Als notwendige Voraussetzung fur die Orientierung auf der Erdkugel werden zunachst die geografischen Koordinaten (Lange und Breite) definiert. Sind die Koordinaten zweier Orte A, B bekannt, dann kann man in einigen Spezialfallen ihre Entfernung leicht berechnen, z. B. bei Orten auf demselben Langenkreis, auf demselben Breitenkreis (in diesem Fall auch konstruktiv gelost) oder bei kurzen Distanzen naherungsweise mithilfe ebener Figuren. Weiterhin werden die Himmelsrichtungen (Kompassrose, Kurswinkel) diskutiert; bei kurzen Distanzen zweier Orte kann man die Richtung von A nach B ebenfalls naherungsweise berechnen. Wie sich das Gradnetz auf Landkarten prasentiert, wird exemplarisch anhand von Deutschlandkarten untersucht (u. a. mit einer selbst herzustellenden Karte auf Karopapier). Die o. g. Berechnung von Distanzen auf Langen- und Breitenkreisen wird zudem benutzt, um Flachen groserer Gebiete auf der Erde zu schatzen. Abschliesend werden gewisse Auswirkungen der Erdkrummung diskutiert, und zwar die begrenzte Sichtweite von einem erhohten Standpunkt sowie die Aufwolbung eines Sees.