Hans Humenberger

Teaching student teachers: various components of a complex task

In this paper we summarize various aspects of teacher training and teach- ing student teachers (mainly concerning teachers of upper secondary school and High school). We stress several hints and recommendations to better achieve the obviously important aim: they should learn doing, understanding and teaching mathematics! Of course, our view is particularly influenced by European traditions, but we think most of them equally apply to teacher training and teaching student teachers elsewhere. Neither is the paper meant to give an all sided overview about the problem field of teacher education as a whole, nor does it contain provocative, completely new ideas. We just want to describe our view of some aspects, based primarily on our personal experience in the mentioned field.

Anwendungsorientierung im Mathematikunterricht — erste Resultate eines Forschungsprojekts

ZusammenfassungDas Forschungsprojekt Anwendungsorientierung im Mathematikunterricht hatte neben anderen Zielen, wie z.B. Erstellung von Materialien für den Einsatz in der Schule und in der Lehreraus- und -fortbildung, eine stark empirische Komponente. Dabei ging es um zwei Schwerpunkte: einerseits verschiedene Fragestellungen in bezug auf Anwendungsorientierung, z.B. was Schüler, Mathematikstudenten und Mathematiklehrer für anwendbar halten, welche Argumente sie jeweils für bzw. gegen Anwendungsorientierung gelten lassen, welche Fortbildungsmöglichkeiten sie sich in welchem Ausmaß wünschen etc. Andererseits wollten wir prüfen, ob Schüler und Lehrer das Unterrichtsgeschehen unterschiedlich empfinden bzw. bewerten, und das Ausmaß eines solchen Unterschiedes auch quantitativ erfassen.AbstractIn this paper we want to present first results of our empirical investigations concerning Teaching applications in mathematics education. We asked pupils, mathematics students and mathematics teachers to tell us their opinion about applications in mathematics teaching by answering the questions of our questionaires. Beside this we dealt with another item: do the perceptions of pupils and teachers concerning their math lesson differ and to which extent?

Das „Benford-Gesetz“ – warum ist die Eins als führende Ziffer von Zahlen bevorzugt?

Der „Original-Aufsatz“ (gleichen Titels) in Band 6 aus dem Jahr 2000 enthalt bei den mathematischen Erklarungen viele mastheoretische Aspekte. Diese sind zwar elementarer Natur, aber eben doch Mastheorie. Dies soll in diesem Aufsatz vermieden werden, weil Mastheorie kaum mit Schulunterricht kompatibel ist. Das Anliegen dieses Aufsatzes ist zu zeigen, wie eine elementarmathematische Begrundung des popularen Benford-Gesetzes auch auf Schulniveau moglich ist. Eine ausermathematische Anwendung des prima vista vielleicht hochst theoretisch scheinenden Gesetzes wurde durch Mark Nigrini realisiert, der mittels dieses Gesetzes Steuersundern auf die Spur gekommen ist. Internationale Konzerne und Finanzbehorden interessieren sich mittlerweile fur die Software von M. Nigrini.

Modellierungsaufgaben im Unterricht – selbst Erfahrungen sammeln

Der Beitrag ist die verschriftlichte Version einiger Workshops, die der Autor bei vergangenen ISTRON-Lehrerfortbildungen gehalten hat. Zu Beginn stehen einige Bemerkungen uber Mathematik als Prozess (im Gegensatz zu Mathematik als Fertigprodukt) und eine plakative Gegenuberstellung beider Prinzipien. Dann folgen einige allgemeine Ausfuhrungen zu Realitatsbezuge im Mathematikunterricht, insbesondere eine Abgrenzung so genannter eingekleideter Aufgaben von Modellierungsaufgaben. Schlieslich werden einige ausgewahlte Modellierungsaufgaben der erwahnten Workshops vorgestellt und zugehorige Losungshinweise gegeben.

Auf dem Weg zum Satz von Anne – durch Variationen bei einem elementargeometrischen Problem

Bei der Verallgemeinerung eines einfachen elementargeometrischen Problems treten spannende Fragen auf, die uns – wie sich durch Recherche im Nachhinein herausgestellt hat – in den Dunstkreis des so genannten Satzes von Anne geführt haben. Dies ist ein relativ unbekannter Satz über konvexe Vierecke, der offenbar auf den französischen Mathematiker Pierre-Leon Anne (1806 – 1850) zurückgeht. Uns ist nicht bekannt, wie Anne damals seinen Satz bewiesen hat (geschweige denn, wie er darauf gekommen ist 1 ). Im Folgenden wird ein rein elementargeometrischer Beweis für den Satz von Anne erarbeitet, von der Genese aber so, wie der Autor (diesen Satz noch gar nicht kennend) gemeinsam mit seinem Kollegen Dr. B. Schuppar (TU Dortmund) durch Verallgemeinerung auf die entsprechenden Phänomene gekommen ist. Die ersten Abschnitte (bis zum Drachenviereck) sind u. E. auch für den Schulunterricht geeignet. Hier können Schüler/innen auch in selbständiger Arbeit viel erkunden, indem sie mit Dynamischer Geometrie Software arbeiten (DGS als Messinstrument). Der Fall des allgemeinen Vierecks (hier kommt man dann eben zum Satz von Anne) ist Schülern/innen vermutlich nicht mehr in selbständiger Arbeit zumutbar, hier muss die Lehrkraft die Lernenden dabei unterstützen oder die zugehörige Begründung als Lehrervortrag planen. Auch in der Lehrerausbildung kann dieses (offenbar sehr wenig bekannte) Thema mit Studierenden in einer Veranstaltung zur Elementargeometrie gewinnbringend umgesetzt werden, wir müssen dazu aber selbst erst Erfahrungen sammeln. Inhaltlich spielt die Flächenformel für Dreiecke eine zentrale Rolle bei den Begründungen, bei den explorativen Phasen (Finden bzw. experimentelles Bestätigen von Vermutungen) ist DGS sehr gut und sinnvoll einsetzbar. Dadurch ist es möglich, dass Lernende selber experimentieren, Situationen explorieren und auf Vermutungen kommen, auch wenn die zugehörige Begründung vielleicht nicht in Eigenregie gelingt. Auch dann haben sie ein Stück Mathematik als Prozess (und nicht nur als Fertigprodukt) erfahren.

Mathematische Aspekte ungenauer Zahlen

Im Kapitel 2 werden viele in Kapitel 1 nur angerissene Themen wieder aufgegriffen und exaktifiziert. Als Einstieg zur mathematischen Analyse der Fehler werden im Abschnitt 2.1 einige Phanomene diskutiert, u. a. das Rechnen mit ungenauen Zahlen betreffend. Im Abschnitt 2.2 geht es um Grundbegriffe wie absolute und relative Fehler(-schranken), signifikante Ziffern sowie um die in Taschenrechnern und Computern ublichen Gleitkommazahlen. Es folgen in Abschnitt 2.3 genauere Untersuchungen zum Rechnen mit ungenauen Zahlen, insbesondere mit beschrankter Stellenzahl (Gleitkommaarithmetik). Abschliesend wird in Abschnitt 2.4 die Fehlerfortpflanzung behandelt, zunachst mit der elementaren Methode der Intervallrechnung; weiterhin wird untersucht, wie sich Fehler in Termen mit den Grundrechenarten sowie bei Funktionen fortpflanzen.

Zahlen im Alltag

Im Abschnitt 1.1 werden zunachst einige kurze Episoden zur Ungenauigkeit von Zahlen im Alltag geschildert, die zum Nachdenken anregen sollen. Dann folgen in 1.2 detaillierte Ausfuhrungen zum Thema Uberschlagsrechnen, einer oft sehr vernachlassigten Kulturtechnik; hierzu entwickeln wir Prinzipien und Strategien aufgrund zahlreicher Beispiele. Ein verwandtes Thema wird in 1.3 diskutiert, und zwar die Verwendung und Analyse bekannter Faustregeln, vom Umrechnen von Maseinheiten bis hin zu komplexeren funktionalen Zusammenhangen wie der bekannten Bremsweg-Faustregel oder der p·d-Regel zur Verdopplungszeit beim exponentiellen Wachstum. Spezielle Aspekte groser und kleiner Zahlen im Alltag und in der Mathematik werden in 1.4 behandelt. Das in letzter Zeit immer popularer werdende Benford-Gesetz (Schilderung der Phanomene, zugehoriger Anwendungen und eine ganz elementare Erklarung dafur) rundet das Kapitel 1 ab. Dieses Gesetz beantwortet die Frage: Warum ist die 1 als fuhrende Ziffer von Zahlen bevorzugt? Es ist ja in gewisser Weise ziemlich erstaunlich, dass das uberhaupt so ist.

Lösen von Gleichungen

Gleichungen der Form f(x)=g(x) mit reellen Funktionen f, g sind im Grunde nur ganz selten algebraisch losbar, sodass man sich in der Regel mit numerischen Losungen, d. h. Naherungswerten zufrieden geben muss. Aber auch aus praktischen Erwagungen sind numerische Losungsverfahren haufig das Mittel der Wahl, daher sollte man sie in der Sekundarstufe starker berucksichtigen. Im Abschnitt 4.1 behandeln wir qualitative (grafische) Methoden, um einen Uberblick uber die Losungen einer Gleichung zu gewinnen (Anzahl der Losungen, Schatzwerte), weiterhin das systematische Probieren (eine einfache, aber effektive Methode zur naherungsweisen Berechnung von Nullstellen einer Funktion f) sowie die „algorithmische Formulierung“ dieser Methode, die Intervallhalbierung (Bisektion). Abschnitt 4.2 ist ein Exkurs uber rekursiv definierte Folgen; er dient als Vorbereitung fur den Abschnitt 4.3, in dem die Iterationsverfahren zum Losen von Fixpunktgleichungen der Form φ(x)=y ausfuhrlich analysiert werden (zentrale Fragen: Wann ist das Verfahren anwendbar? Wie schnell fuhrt es zum Ziel?). Den Abschluss bildet Abschnitt 4.4. uber das Newton-Verfahren, ein spezielles Iterationsverfahren mit besonders guten Konvergenzeigenschaften.

Praktisches Rechnen – mit und ohne Werkzeug

Die Berechnung von Potenzen, Wurzeln und anderen elementaren Funktionen bietet eine Menge reizvoller Probleme, wenn man einerseits (ganz oder teilweise) auf Werkzeuge verzichtet und andererseits fragt, was denn im Taschenrechner (TR) etwa beim Drucken der Wurzeltaste eigentlich passiert. Beispiel Potenzen: Im Abschnitt 3.1 geht es um Schatzwerte fur grose Potenzen, um einen Algorithmus zum Potenzieren sowie um die Berechnung sehr groser Potenzen mit TR-Genauigkeit unter Einsatz des logarithmischen Rechnens. Ahnlich sehen die Probleme bei den Wurzeln aus: Schatzen von Quadratwurzeln ohne TR; Wurzeln ziehen aus 6-8-stelligen Quadratzahlen mit schriftlichem Rechnen; mit einem TR die exakte Wurzel aus 20-stelligen Quadratzahlen bestimmen, o. a.; zudem wird das Heron-Verfahren als Beispiel fur einen schnellen Algorithmus zur Quadratwurzelberechnung diskutiert. Abschnitt 3.3 bietet einen kurzen Uberblick uber die mehr als 2000 Jahre alte Geschichte der Berechnung von π. Abschliesend wahlen wir als Beispiel fur die Berechnung elementarer Funktionen die trigonometrischen Funktionen; hierzu stellen wir drei Verfahren vor, und zwar eine antike Methode (Sehnentafeln des Ptolemaus), ein fur den Unterricht in der Sekundarstufe I relevantes Verfahren und das CORDIC-Schema, einen maschinenorientierten Algorithmus.

Unter dem Seil

Wir behandeln ein Phanomen, das Anlass zu verschiedenen Aktivitaten im Schulunterricht geben kann (die Altersstufe der Schulerinnen und Schuler ist dabei durchaus variabel – etwa von Klasse 7 bis Jahrgang 12). Wie hoch kann man eine Schnur heben, deren Endpunkte mit den Endpunkten einer um 1 m kurzeren Strecke am Boden ubereinstimmen? Wie entwickelt sich die Hohe des Abhebens mit wachsender Streckenlange s am Boden? Wie ist die Situation, wenn man nicht im Mittelpunkt, sondern genau uber einem Streckenendpunkt abhebt? Diese Fragen werden unter verschiedenen Aspekten erortert. Zum Schluss des Aufsatzes werden auch noch andere mehr oder weniger bekannte „Seilaufgaben“ diskutiert.