Christian Tapp

An den Grenzen des Endlichen

Die Arbeit widmet sich der philosophischen Diskussion des Hilbertprogramms (HP), und zwar in einem methodischen Dreischritt aus Erotertung seiner Konzeption, Analyse seiner Durchfuhrung und Reflexion philosophischer Fragen. Zur Konzeption dieses mathematischen Grundlegungsprogramms gehoren Axiomatik, Formalismus und Finitismus, sowie die Beziehung des HP zum Intuitionismus und zum Logizismus. Es wird kritisch von instrumentalistischen Auslegungen abgegrenzt. Durchgefuhrt wurde das Programm zuerst in den einschlagigen Arbeiten von Hilbert, Bernays, Ackermann und Gentzen. Die darin gegebenen (Ansatze zu) Widerspruchsfreiheitsbeweise(n) werden analysiert und ihre Argumentationsstruktur herausgearbeitet. Die Reflexion beschaftigt sich mit drei Problemkreisen: Poincares Zirkularitatskritik, Godels Unvollstandigkeitssatze und Kreisels Frage nach der Rolle transfiniter Ordinalzahlen in einer finitistischen Theorie. Ein Resumee fragt, was das HP eigentlich leistet, und versucht eine differenzierte Antwort auf die Frage, ob es gescheitert ist.

Infinity in Mathematics and Theology

Abstract “Infinity” and its derivatives are frequently used in mathematics and theology. Do these expressions denote the same thing in those distinct areas of scholarship? In this article the uses of “infinity” in mathematics and its uses in theology are examined and compared. One conclusion is that quite different concepts go under the heading of “infinity.” Although they must not be confused, there are some relations between mathematical and theological senses of infinity.

Der Problemkreis „Gödel“

Ist das Hilbertprogramm mit den Godelsatzen gescheitert? – Diese Frage ist selbstverstandlich fur das Hilbertprogramm von groster Relevanz und eine Studie zum HP kann sich von der Aufgabe, diese Frage zu behandeln, nicht dispensieren.

Der Problemkreis „Poincaré“

In diesem Kapitel sollen die Probleme behandelt werden, die von Henri Poincare ursprunglich als Kritik am Logizismus aufgeworfen wurden (vgl. erster Teil, Kapitel 3.1, S. 94ff.). Sie betreffen Hilbert nicht nur deshalb, weil seine grundsatzlichen Sympathien fur den Logizismus durch das Scheitern der Ansatze Freges und Dedekinds nicht verschwanden. Hilbert hielt auch sachlich an einer starken Position der Logik fest und stellte sich in der heisen und bisweilen polemischen Debatte um die Vernunftigkeit des logizistischen Projekts in vielen Punkten ausdrucklich auf die Seite der Logizisten, aber nicht in allen. Dadurch, das er 1904 mit seinem eigenen Ansatz einer Begrundung der Mathematik mit syntaktischen Methoden ans Licht der Offentlichkeit getreten war, veranlaste er Poincare zu kritischen Bemerkungen uber seinen Ansatz.

Die Methode der idealen Elemente

Hilberts Konzeption einer Beweistheorie wird haufig anhand einer Analogie zur Methode der idealen Elemente erlautert. Diese Analogie stammt von Hilbert selbst, und zwar in der am haufigsten zitierten Fassung aus seinem Vortrag Uber das Unendliche, den er 1925 auf einer Mathematikerzusammenkunft in Munster hielt. An das Licht der Offentlichkeit getreten ist sie allerdings schon in Hilberts Leipziger Vortrag von 1922 uber Die logischen Grundlagen der Mathematik.

Hilbertschule II: Gerhard Gentzen

Die erste wichtige Publikation Gerhard Gentzens ist seine 1934 erschienene Dissertation. In ihr wird zwar noch nicht der beruhmte Beweis der Widerspruchsfreiheit der Zahlentheorie vorgelegt, die Arbeit enthalt jedoch auserst wichtige Vorarbeiten dazu. Daher soll ihr im Folgenden zuerst die Aufmerksamkeit zugewendet werden (4.1, S. 276). Gentzen hat seinen ersten Widerspruchsfreiheitsbeweis fur die Zahlentheorie kurz vor der Publikation 1936 in wichtigen Passagen geandert. Es wird im Folgenden zuerst die ursprungliche Fassung von 1935 behandelt, die von Paul Bernays posthum 1974 veroffentlicht wurde (4.2, S. 285), und dann die erste publizierte Version von 1936 (4.3, S. 299).

Intuitionistische und Klassische Zahlentheorie: HA und PA

Das Jahr 1932 markiert einen wichtigen Durchbruch bei der Verfolgung des Hilbertprogramms. Kurt Godel und Gerhard Gentzen gelang es unabhangig voneinander, ein unerwartetes Resultat zu erzielen. Sie konnten zeigen, das die intuitionistische und die klassische Zahlentheorie in bestimmter Hinsicht gleichstark sind.

Hilbertschule I: Wilhelm Ackermann

1924 promovierte Wilhelm Ackermann (1896–1962) bei Hilbert mit der Dissertation Begrundung des tertium non datur mittels der Hilbertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit, die 1925 unter demselben Titel in den Mathematischen Annalen erschien. In dieser Arbeit will Ackermann im Sinne des Hilbertprogramms einen Widerspruchsfreiheitsbeweis fur die Zahlentheorie fuhren.

On Some Philosophical Aspects of the Background to Georg Cantor’s theory of sets

Georg Cantor a cherche a assurer les fondements de sa theorie des ensembles. Cet article presente les differentiations cantoriennes concernant la notion d’infinite et une perspective historique de l’emergence de sa notion d’ensemble.