Cristiano Dané

La sfera Terra: Fare il punto

Questo capitolo si propone l’obiettivo di esplorare, prescindendo dalle tortuosita della storia, un possibile percorso attraverso il qualel’uomo, immerso nella difficile situazione geometrica di abitante di un pianeta sferico (non ci interessa qui considerare la reale forma di ellissoide, meglio ancora, di geoide), e riuscito a crearsi sistemi di riferimento, rappresentazioni cartografiche, strumenti di orientamento e strategie per muoversi sicuro tra i punti del pianeta. La visione e strettamente tolemaica, sia perche e rivolta con curiosita agli antichi che non disponevano se non dei frutti delle loro osservazioni dirette e delle intuizioni matematiche, sia perche questa e la situazione reale da noi tutti abitualmente vissuta.

La geometria sulla sfera

Proviamo a ipotizzare l’esistenza di una formica euclidea, ovvero di una formica pensante che, imprigionata su di un pallone isolato nel vuoto, senta l’esigenza di dare un ordine razionale al suo ambiente. Potrebbe essere la stessa famosa formica che, correndo sul nastro di Moebius disegnato da Escher, e pervenuta alla conclusione che quel nastro ha una sola faccia.

Perché la geometria sulle superfici

Nel curricolo UMI uno dei nuclei essenziali individuati per poter costruire solide competenze matematiche e Spazio e Figure; nell’indicare le linee essenziali di questo nucleo tematico si fa esplicito riferimento a un curricolo di matematica che presenta uno svolgimento integrato degli argomenti che sono propri della geometria: geometria dello spazio e geometria del piano, geometria sintetica, geometria analitica e trigonometria.

Euclide, Hilbert e la geometria sulla sfera

Nei capitoli precedenti abbiamo assistito alle esplorazioni della formica euclidea sulla sfera e abbiamo condiviso con lei osservazioni e scoperte che sottolinea1-no profonde differenze con quanto succede conducendo analoghe esplorazioni sul piano. Ad esempio abbiamo verificato che la somma degli angoli interni di un triangolo e maggiore di 180°, che i quadrati si comportano in modo strano e sembrano addirittura non esistere: abbiamo poi vissuto le incredibili esperienze del trasporto parallelo, ecc. Viene naturale domandarsi se sia possibile ricondurre tutte queste esperienze e “stranezze” a una spiegazione matematica chiara, cioe a una teoria matematica che vada al di la dei fenomeni, che dia conto dei perche.

La sfera Terra: Le carte geografiche

La rappresentazione della superficie terrestre, e in particolare la rappresentazione di profili, conformazione e dislocazione delle terre emerse, e una delle questioni dove la sfericita della Terra ha messo alla prova stuoli di intelletti. Solo il mappa-mondo, rappresentazione in scala ridotta dell’originale, riesce, infatti, a conservare tutte le proprieta (salvo l’approssimazione dell’ellissoide, anzi del geoide, in sfera) che a una perfetta rappresentazione si richiede: fedelta delle forme e delle distanze, e dunque anche delle aree e delle direzioni.

Geometria sul cono

La nostra formica, che ha ormai dimestichezza con svariate superfici potrebbe trovarsi su una superficie ancora piu “strana”, quella di un cono, e nel suo peregrinare alla ricerca della linea diritta trovarsi in un punto ancor piu strano nel quale chiedersi: Aiuto! Dove vado ora?

Geometria sul cilindro

Forse qualcuno ricordera di aver camminato, da bambino, su uno di quei grandi tubi che si possono trovare distesi a terra, in cantieri edili, in attesa di essere interrati. Occorreva porre i piedi accortamente l’un dietro l’altro, come su un asse di equilibrio: mantenere la medesima direzione era condizione indispensabile per non scivolare giu da quell’altezza su cui ci sentivamo importanti; andavamo diritti da una base all’altra del cilindro, seguendo la via piu breve; non lo sapevamo, ma stavamo percorrendo una particolare geodetica della superficie del cilindro.

La pseudosfera e la geometria sulla pseudosfera

Facciamo il punto della situazione: Sappiamo che esistono superfici in cui la geometria e euclidea, in cui vale cioe il quinto postulato di Euclide, la somma degli angoli interni di un triangolo misura 180° e cosi via. Una di queste superfici e ovviamente il piano, ma ne esistono altre come il cilindro e il cono in cui la geometria e euclidea, ma solo localmente. Tutte queste superfici hanno curvatura costante e uguale a zero. Abbiamo visto che sulla sfera la geometria non e euclidea: non vale il quinto postulato di Euclide perche da un punto esterno a una geodetica (cerchio massimo) non e possibile tracciare alcuna geodetica che non incontri quella data, di conseguenza alcuni risultati che valgono nel piano non valgono sulla sfera, in particolare la somma degli angoli interni di un triangolo e maggiore di un angolo piatto. La sfera ha curvatura costante e positiva.

Le mappe conformi della pseudosfera e i modelli di geometria iperbolica

Con un po’ di fantasia immaginiamo che la nostra Terra invece che “quasi sferica” abbia la forma di una pseudosfera e mettiamoci nei panni di un navigante che veleggia in un mare iperbolico. Abbiamo bisogno di una mappa che ci indichi la via, in modo che, scelta la rotta sulla mappa e impostato l’orientamento del timone, possiamo raggiungere la nostra meta.

Il nostro spazio è euclideo

Abbiamo partecipato alle esplorazioni della formica a passeggio su differenti superfici e abbiamo affinato la nostra capacita di raccogliere indizi dai quali dedurre la loro eventuale curvatura e persino di valutarne l’entita. Convinti inoltre che la curvatura di uno spazio e una proprieta intrinseca, de_nibile in ciascuno dei suoi punti, possiamo ora interrogarci sulle qualita dello spazio tridimensionale nel quale siamo immersi. Anche se fra tutti gli spazi tridimensionali quello piatto, euclideo, si presenta immediato alla nostra mente e siamo abituati ad adottarlo quando spingiamo lo studio della geometria verso gli oggetti che si estendono in tre dimensioni, non puo non venirci il dubbio che qualcuno, guardandoci da uno spazio con qualche dimensione in piu, rilevi invece la presenza di curvature nel nostro.