Dieter Steinmetz

BLU-Schätzer für β 0 und β 1

x1,x2,…,xn seien n Werte der erklarenden Variablen x. Fur die dazu beobachteten Zufallsvariablen Y1, Y2,…,Yn setzen wir die Annahmen (2.1) und (2.2) voraus. Zusatzlich fordern wir in diesem und den noch folgenden Abschnitten, das die Residualvariablen Ui alle die gleiche Varianz besitzen und unabhangig sind. Im eingangs betrachteten Fall der Preis-Absatz-Funktion ware die Unabhangigkeit der Ui (und damit die der Yi) beispielsweise dann nicht gegeben, wenn das betrachtete Gut lagerfahig ist und die Kaufer bei gunstigen Preisen Vorrate anlegen konnen.

Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen

X und Y seien diskrete Zufallsvariablen auf der Ergebnismenge Ω eines Zufallsexperiments. Fur die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses {X = x} ∩ {Y = y}, also fur die Wahrscheinlichkeit, mit der gleichzeitig X den Wert x und Y den Wert y annimmt, schreiben wir W(X = x, Y = y).

X 2 — Tests

Wir betrachten ein Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge Ω. A 1, A 2,..., A I sei eine Zerlegung von Ω. Ferner schreiben wir zur Abkurzung θi = W(A i ) ; i = l,2,…,I.

Prüfen von Hypothesen über β0 und β1

Wir betrachten das einfache lineare Regressionsmodell mit normalverteilten Residualvariablen. Wenn s*o irgendeine vorgegebene reelle Zahl ist und die Nullhypothese H o : so = s*o

Konfidenzintervalle für β 0 und β 1

Wenn Konfidenzintervalle fur so und s1 berechnet werden sollen, mus die Verteilung der BLU-Schatzer B o und B 1 bekannt sein. Wir werden deshalb zunachst zusatzlich zu den Voraussetzungen des einfachen linearen Regressionsmodells fordern, das die Residualvariablen U 1,U 2,…,U n normalverteilte Zufallsvariablen sind. Dann sind die U i im einfachen linearen Regressionsmodell unabhangige (0; σ u )-normalverteilte Zufallsvariablen und die Beobachtungen Yi = so + s1xi + U i ; i = l,2,…,n

Tests für Wahrscheinlichkeiten

In vielen Fallen sind Hypothesen uber Wahrscheinlichkeiten zu prufen. Beispielsweise interessiert die Frage, ob Knaben- und Madchengeburten gleich-wahrscheinlich sind.

Stichproben aus Gesamtheiten

In den vorangehenden Abschnitten interessiert, wie der Erwartungswert einer Zufallsvariablen oder die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu schatzen sind. Dazu wird das zugrunde liegende Zufallsexperiment n-mal durchgefuhrt. Die den Durchfuhrungen zugeordneten Stichprobenvariablen Xi bilden eine Stichprobe aus einer Verteilung und es ist zu uberlegen, welche Funktionen der Stichprobenvariablen moglichst gunstige Schatzwerte fur den unbekannten Erwartungswert bzw. die unbekannte Wahrscheinlichkeit liefern. In diesem Falle erfordert also die Gewinnung der Daten keine methodischen Uberlegungen. Das Problem liegt allein in der Auswertung der Daten.

Tests für Erwartungswerte

Im Beispiel 1.1 enthalt die Nullhypothese eine Aussage uber den unbekannten Erwartungswert der Verteilung. Im folgenden gehen wir allgemeiner auf derartige Nullhypothesen ein.

Methode der Kleinsten Quadrate

Es seien n beliebige Werte x 1, x 2,…, x n der erklarenden Variablen x vorgegeben. Wir bezeichnen die dazu beobachteten Zufallsvariablen mit Y 1, Y 2,…, Y n. Aufgrund der obigen Annahmen gilt dann

Verteilung einer Zufallsvariablen

Beispiel 2.1: Ein Roulettespieler habe den Betrag 1 auf Rot gesetzt. Man zahlt ihm den Betrag 2 aus, falls die anschliesend vorgenommene Ausspielung eine rote Zahl liefert; und man zahlt ihm nichts aus, wenn eine schwarze Zahl oder die Null ausgespielt wird. Der Gewinn dieses Spielers sei mit X bezeichnet. Wenn eine rote Zahl ausgespielt wird, nimmt X den Wert 1 an, andernfalls den Wert -1. Bezeichnet Ω die Ergebnismenge des Zufallsexperiments “Drehen eines Rouletterades”, so gilt far e ∈ Ω