Emanuel Willert

Modeling of the dynamic contact in stick-slip microdrives using the method of reduction of dimensionality

In this work we present a new method to describe movements of stick-slip microdrives. On the microscopic scale we model the contact between actuator and slider as a dynamic tangential contact using the method of reduction of dimensionality. On the macroscopic scale simple one- and three-dimensional equations of motion are derived. An algorithm to solve these equations will be introduced. The results of the simulation will be compared qualitatively and quantitatively to experimental investigations. Even for the simplest assumed model it proves that experimental and numerical values correlate excellently.

THE JKR-ADHESIVE NORMAL CONTACT PROBLEM OF AXISYMMETRIC RIGID PUNCHES WITH A FLAT ANNULAR SHAPE OR CONCAVE PROFILES

The JKR-adhesive frictionless normal contact problem is solved for the flat annular and the conical or spherical concave rigid punch indenting an elastic half space. The adhesive solution can be derived analytically from the non-adhesive one, the latter one being calculated by the boundary element method. It is found that the annular flat punch will always start to detach at the outer boundary. The pull-off forces for both concave punch shapes almost do not depend on the pull-off boundary regime and can be significantly larger than the pull-off force for the cylindrical flat punch.

James R. Barber: Contact Mechanics

During the 33 years since Kenneth Johnson published his classical monograph on contact mechanics, much has changed in this discipline, leaving tribologists around the world in need of a new standard text of comparable calibre. Finally, this new standard is now available with James Barber’s “Contact Mechanics”. It is less of a complete compendium of contact mechanics—which would be impossible, since the field has expanded greatly—but it nonetheless manages to systematically present all the most important results and makes for an excellent reference and textbook. The work naturally starts off with the kinematics and the mathematical statement of the contact problem. Already this first short Chapter is exceptionally interesting and discusses not only the basics but also practical details and philosophy of such concepts as the half-space approximation as well as the rarely talked about but very important “almost confined contact”. The following 5 chapters, constituting approximately a fifth of the book, are devoted to frictionless normal contact problems of the (linearly) elastic half-space for different contact geometries, including general three-dimensional, axisymmetric and two-dimensional contacts. One could think that after more than one hundred years of development of contact mechanics, one could not add anything valuable to the existing literature on the Hertzian contact problem. And yet, Barber managed to produce a new presentation of this classical material that is absolutely worth reading by both beginners and experienced researchers in the field. He proceeds from the potential formulation of the normal contact problem, which leads to a very compact, fundamental, simple, complete, and at the same time application-oriented presentation. He provides not only solutions but also a practical guide for “solution strategy”, as well as details for practical applications. His presentation includes a qualitative discussion of the interior stresses and explicit solutions for the stress components near the surface. For asymptotic cases (such as highly elliptical contacts) and questions of plastic failure (“first yield”), we are not aware of any other book describing these matters with comparable conciseness and clarity. A special feature is a thorough discussion of “derivatives” of the Hertzian problem: In Chapter 4, we find analogies with other physical problems, approximate approaches for more complicated contact shapes and an extremely elegant treatment of tilted contacts using “superposition by differentiation”. The topic of “point contacts” is completed by consideration of axis-symmetrical contact problems. Chapter 7 is titled “Tangential Loading” but in reality considers a great variety of problems where no-slip tangential loading is of importance. This includes contact problems with “no-slip” condition for both tangential loading and normal contact problems (Mossakovskii problems) with elastic coupling (in particular oscillation singularities in coupled problems). Contacts under superposition of normal and tangential loading also belong to the scope of this Chapter (including “relaxation damping”—energy losses under cyclic loading with no-slip). Chapter 8 is unique in the contemporary literature. It is devoted to the discussion of friction laws—mostly the Coulomb–Amontons law in local formulation—in application to discrete and continuum systems. The consideration is based on the Klarbring model and contains topics such as conditions for stick, slip and separation, uniqueness vs. history dependence, wedging and shakedown in periodic loading. Chapter 9 describes tangentially loaded contacts with finite friction: the Cattaneo–Mindlin solution and * Valentin L. Popov v.popov@tu-berlin.de

Kontakte ohne kompaktes Kontaktgebiet

Wir kehren in diesem Kapitel wieder zu Kontaktproblemen mit einem ideal-elastischen, homogenen, isotropen Halbraum zuruck. Allerdings ist das Kontaktgebiet nicht kompakt, sondern ringformig. Das einfachste Beispiel fur ein solches Problem ist der Kontakt zwischen einem flachen, hohlzylindrischen Stempel und dem Halbraum. Selbst fur dieses einfachste Beispiel existiert allerdings nur eine auserst komplizierte exakte Losung. Trotzdem gibt es fur diese Klasse von Problemen eine ganze Reihe von analytischen Losungsansatzen, die in diesem Kapitel dokumentiert werden sollen. Diese Ansatze beziehen sich auf den reibungsfreien Normalkontakt mit und ohne Adhasion und den reinen Torsionskontakt ohne Gleiten.

Normalkontakt ohne Adhäsion

Wir beginnen unsere Betrachtung von Kontaktphanomenen mit dem Normalkontaktproblem. Ohne Beruhrung gibt es keine anderen Kontaktphanomene, keine Reibung und keinen Verschleis. In diesem Sinne kann man den Normalkontakt als eine Grundvoraussetzung fur alle anderen tribologischen Phanomene betrachten. Auch die Losung des adhasiven Kontaktproblems, des Tangentialkontaktproblems und des Kontaktes zwischen Elastomeren wird auf das nicht-adhasive Normalkontaktproblem zuruckgefuhrt. Insofern bildet das nicht-adhasive Normalkontaktproblem eine fundamentale Grundlage der Kontaktmechanik. Dabei ist zu bemerken, dass es im Allgemeinen selbst bei einem Normalkontakt eine relative Bewegung von Oberflachen in tangentialer Richtung geben kann – aufgrund der unterschiedlichen Querkontraktion kontaktierender Korper. Dadurch konnen auch beim Normalkontaktproblem Reibungskrafte in den Grenzflachen ins Spiel kommen. Die zwei bekanntesten und am ausfuhrlichsten untersuchten Grenzfalle sind dabei zum einen das reibungsfreie Normalkontaktproblem und zum anderen das Kontaktproblem mit vollstandigem Haften im Kontakt. Diese beiden Grenzfalle werden im Kapitel ausfuhrlich dokumentiert.

Kontaktprobleme funktionaler Gradientenmaterialien

Funktionale Gradientenmaterialien (FGM) sind Werkstoffe, deren materielle Zusammensetzung oder Mikrostruktur nach einer vordefinierten Gesetzmasigkeit kontinuierlich uber das Volumen variieren. Auf diese Weise konnen Werkstoffeigenschaften optimal und zum Teil unabhangig voneinander eingestellt werden. Ein kontrollierter Gradient des elastischen Moduls fuhrt zu einem groseren Widerstand gegenuber Kontakt- und Reibungsschaden. So konnen Hertzsche Kegelbruche aufgrund einer Verringerung der maximalen Zugspannungen in der Oberflache unterdruckt werden. Im Maschinenbau werden z.B. Schneidwerkzeuge, Zahnrader, Teile von Walzlagern oder Turbinenschaufeln aus FGM gefertigt. In der Biomedizin insbesondere der Endoprothetik sollen Funktionale Gradientenmaterialien in kunstlichen Knie- und Huftgelenken deren Biokompatibilitat verbessern und den Verschleis minimieren, um so die Lebensdauer der Endoprothesen und damit die Lebensqualitat zu erhohen.

Transversal isotrope Probleme

Ein transversal isotropes Medium ist ein Medium, welches eine bevorzugte Richtung hat und in der Ebene senkrecht zu dieser Richtung isotrop ist. Unter kristallinen Korpern gehoren zu dieser Klasse alle Korper des hexagonalen Kristallsystems: In der Ebene senkrecht zu der hexagonalen Achse sind sie elastisch isotrop. Auch ein Faserverbund mit der Anordnung von Fasern parallel zu einer Richtung stellt ein transversal isotropes Medium dar, welches in der Ebene senkrecht zum Verlauf der Fasern isotrop ist. Weitere Beispiele liefern auserdem viele biologische Medien. Ein lineares transversal isotropes Medium wird durch 5 elastische Konstanten vollstandig bestimmt. Die Fundamentallosung fur transversal isotrope Medien wurde von Michell (1900) gefunden. Er hat gezeigt, dass die Normalverschiebung der Oberflache eines transversal isotropen elastischen Halbraums unter der Wirkung einer im Koordinatenursprung wirkenden Kraft durch dieselbe Gleichung gegeben wird wie bei einem isotropen elastischen Kontinuum; es muss lediglich eine geanderte Definition des effektiven elastischen Moduls benutzt werden. Es besteht daher keine Notwendigkeit, alle Normalkontaktprobleme fur transversal isotrope Medien gesondert zu betrachten. Es wird hier lediglich auf die Ergebnisse der Kapitel 2 bis 4 hingewiesen: Diese sind auch fur transversal isotrope Medien unmittelbar gultig.

THE INFLUENCE OF VISCOELASTICITY ON VELOCITY-DEPENDENT RESTITUTIONS IN THE OBLIQUE IMPACT OF SPHERES

We analyse the oblique impact of linear-viscoelastic spheres by numerical models based on the Method of Dimensionality Reduction and the Boundary Element Method. Thereby we assume quasi-stationarity, the validity of the half-space hypothesis, short impact times and Amontons-Coulomb friction with a constant coefficient for both static and kinetic friction. As under these assumptions both methods are equivalent, their results differ only within the margin of a numerical error. The solution of the impact problem written in proper dimensionless variables will only depend on the two parameters necessary to describe the elastic problem and a sufficient set of variables to describe the influence of viscoelastic material behaviour; in the case of a standard solid this corresponds to two additional variables. The full solution of the impact problem is finally determined by comprehensive parameter studies and partly approximated by simple analytic expressions.