Markus Heß

Method of dimensionality reduction in contact mechanics and friction

The Method of Dimensionality Reduction (MDR) is a method of calculation and simulation of contacts of elastic and viscoelastic bodies. It consists essentially of two simple steps: (a) substitution of the three-dimensional continuum by a uniquely defined one-dimensional linearly elastic or viscoelastic foundation (Winkler foundation) and (b) transformation of the three-dimensional profile of the contacting bodies by means of the MDR-transformation. As soon as these two steps are completed, the contact problem can be considered to be solved. For axial symmetric contacts, only a small calculation by hand is required which does not exceed elementary calculus and will not be a barrier for any practically-oriented engineer. Alternatively, the MDR can be implemented numerically, which is almost trivial due to the independence of the foundation elements. In spite of their simplicity, all the results are exact. The present paper is a short practical guide to the MDR.

On the reduction method of dimensionality: The exact mapping of axisymmetric contact problems with and without adhesion

Starting from the classical theory of contact mechanics it is shown that the relationship between load, penetration and contact radius of any axisymmetric contact can be mapped exactly on a one-dimensional system, thus the reduction method of dimensionality is valid for conforming and non-conforming contacts. Furthermore the reduction method has been successfully extended to adhesive contact problems. The mapping of the classical theory of Johnson, Kendall and Roberts derived for spherical contacts as well as its application to axisymmetric contacts of arbitrary shape is possible; all results are reproduced precisely.

General procedure for solution of contact problems under dynamic normal and tangential loading based on the known solution of normal contact problem

In this article, we show that the normal contact problem between two elastic bodies in the half-space approximation can always be transformed to an equivalent problem of the indentation of a profile into an elastic Winkler foundation. Once determined, the equivalent profile can also be used for tangential contact problems and arbitrary superimposed normal and tangential loading histories as well as for treating of contact problems with linearly viscoelastic bodies. In the case of axis-symmetric shapes, the equivalent profile is given by the method of dimensionality reduction integral transformation. For all other shapes, the profile is deduced from the solution of the elastic contact normal problem, which can be obtained numerically or experimentally.

Normalkontakt mit rauen Oberflächen

Zusatzlich zu den geometrisch streng definierten Fallen, die in Kap. 3 mit der Reduktionsmethode abgebildet wurden, mochten wir uns nun der Frage widmen, ob auch raue Oberflachen in einem reduzierten Modell dargestellt werden konnen.

Kopplung an eine makroskopische Dynamik

In der praktischen Anwendung werden haufig mechanische Modelle behandelt, in welchen makroskopische Reibkontakte vorkommen. Das ubliche Verfahren zur Beschreibung der Reibkontakte ist die Formulierung eines passenden Reibgesetzes, welches anschliesend in den makroskopischen systemdynamischen Simulationen eingesetzt wird. Oftmals ist es aber schwierig, ein brauchbares Reibgesetz zu formulieren, denn die Reibkraft ist nicht nur eine Funktion des momentanen Bewegungszustandes des Systems, sondern hangt im Allgemeinen auch von der Vorgeschichte der Bewegung ab.

Wärmeleitung und Wärmeerzeugung

Die Warmeleitfahigkeit ist bei der Dimensionierung von Kuhlkorpern fur Halbleiter oder andere Elemente in elektronischen Schaltungen die masgebliche Kenngrose.

Kontakte ohne kompaktes Kontaktgebiet

Wir kehren in diesem Kapitel wieder zu Kontaktproblemen mit einem ideal-elastischen, homogenen, isotropen Halbraum zuruck. Allerdings ist das Kontaktgebiet nicht kompakt, sondern ringformig. Das einfachste Beispiel fur ein solches Problem ist der Kontakt zwischen einem flachen, hohlzylindrischen Stempel und dem Halbraum. Selbst fur dieses einfachste Beispiel existiert allerdings nur eine auserst komplizierte exakte Losung. Trotzdem gibt es fur diese Klasse von Problemen eine ganze Reihe von analytischen Losungsansatzen, die in diesem Kapitel dokumentiert werden sollen. Diese Ansatze beziehen sich auf den reibungsfreien Normalkontakt mit und ohne Adhasion und den reinen Torsionskontakt ohne Gleiten.

Normalkontakt ohne Adhäsion

Wir beginnen unsere Betrachtung von Kontaktphanomenen mit dem Normalkontaktproblem. Ohne Beruhrung gibt es keine anderen Kontaktphanomene, keine Reibung und keinen Verschleis. In diesem Sinne kann man den Normalkontakt als eine Grundvoraussetzung fur alle anderen tribologischen Phanomene betrachten. Auch die Losung des adhasiven Kontaktproblems, des Tangentialkontaktproblems und des Kontaktes zwischen Elastomeren wird auf das nicht-adhasive Normalkontaktproblem zuruckgefuhrt. Insofern bildet das nicht-adhasive Normalkontaktproblem eine fundamentale Grundlage der Kontaktmechanik. Dabei ist zu bemerken, dass es im Allgemeinen selbst bei einem Normalkontakt eine relative Bewegung von Oberflachen in tangentialer Richtung geben kann – aufgrund der unterschiedlichen Querkontraktion kontaktierender Korper. Dadurch konnen auch beim Normalkontaktproblem Reibungskrafte in den Grenzflachen ins Spiel kommen. Die zwei bekanntesten und am ausfuhrlichsten untersuchten Grenzfalle sind dabei zum einen das reibungsfreie Normalkontaktproblem und zum anderen das Kontaktproblem mit vollstandigem Haften im Kontakt. Diese beiden Grenzfalle werden im Kapitel ausfuhrlich dokumentiert.

Kontaktprobleme funktionaler Gradientenmaterialien

Funktionale Gradientenmaterialien (FGM) sind Werkstoffe, deren materielle Zusammensetzung oder Mikrostruktur nach einer vordefinierten Gesetzmasigkeit kontinuierlich uber das Volumen variieren. Auf diese Weise konnen Werkstoffeigenschaften optimal und zum Teil unabhangig voneinander eingestellt werden. Ein kontrollierter Gradient des elastischen Moduls fuhrt zu einem groseren Widerstand gegenuber Kontakt- und Reibungsschaden. So konnen Hertzsche Kegelbruche aufgrund einer Verringerung der maximalen Zugspannungen in der Oberflache unterdruckt werden. Im Maschinenbau werden z.B. Schneidwerkzeuge, Zahnrader, Teile von Walzlagern oder Turbinenschaufeln aus FGM gefertigt. In der Biomedizin insbesondere der Endoprothetik sollen Funktionale Gradientenmaterialien in kunstlichen Knie- und Huftgelenken deren Biokompatibilitat verbessern und den Verschleis minimieren, um so die Lebensdauer der Endoprothesen und damit die Lebensqualitat zu erhohen.

Transversal isotrope Probleme

Ein transversal isotropes Medium ist ein Medium, welches eine bevorzugte Richtung hat und in der Ebene senkrecht zu dieser Richtung isotrop ist. Unter kristallinen Korpern gehoren zu dieser Klasse alle Korper des hexagonalen Kristallsystems: In der Ebene senkrecht zu der hexagonalen Achse sind sie elastisch isotrop. Auch ein Faserverbund mit der Anordnung von Fasern parallel zu einer Richtung stellt ein transversal isotropes Medium dar, welches in der Ebene senkrecht zum Verlauf der Fasern isotrop ist. Weitere Beispiele liefern auserdem viele biologische Medien. Ein lineares transversal isotropes Medium wird durch 5 elastische Konstanten vollstandig bestimmt. Die Fundamentallosung fur transversal isotrope Medien wurde von Michell (1900) gefunden. Er hat gezeigt, dass die Normalverschiebung der Oberflache eines transversal isotropen elastischen Halbraums unter der Wirkung einer im Koordinatenursprung wirkenden Kraft durch dieselbe Gleichung gegeben wird wie bei einem isotropen elastischen Kontinuum; es muss lediglich eine geanderte Definition des effektiven elastischen Moduls benutzt werden. Es besteht daher keine Notwendigkeit, alle Normalkontaktprobleme fur transversal isotrope Medien gesondert zu betrachten. Es wird hier lediglich auf die Ergebnisse der Kapitel 2 bis 4 hingewiesen: Diese sind auch fur transversal isotrope Medien unmittelbar gultig.