Enrico Giusti

Direct methods in the calculus of variations

Semi-Classical Theory Integrable Functions Sobolev Spaces Semicontinuity Quasi-Convex Functionals Quasi-Minima Regularity of Quasi-Minima First Derivatives Partial Regularity Higher Derivatives.

Minimal Cones and the Bernstein Problem.

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Superfici cartesiane di area minima

SuntoE’ contenuto nella breve introduzione.SummaryWe introduce a weak formulation of the nonparametric Plateau problem inn dimensions and we prove the evistence and the regularity of the solutions.

Non existence and existence of capillary surfaces

It is shown that a curvature condition on the boundary of a convex domain ω, shown in [4] to suffice for existence of a solution of the capillary equation in ω, does not suffice without the convexity condition; this is so even in cases for which the negative curvatures that appear may be arbitrarily small in magnitude.The “trapezoid” example of the preceding note is also considered, and a sense is indicated in which the local criterion of [2] is sufficient for existence of a solution.

Regularity of Minimal Surfaces

In this chapter we can finally prove that partial regularity of minimal surfaces; namely we show that the reduced boundary ∂*E is analytic and the only possible singularities must occur in ∂E – ∂*E. Our major task in the following chapters will be to obtain an estimate for the size of ∂E – ∂*E. As mentioned before, the main step in the regularity theory is the De Giorgi lemma. We show that a minimal surface is regular at points which satisfy the hypotheses of the lemma. Obviously by the definition of reduced boundary this must include all the points in ∂*E and we show that the converse also holds and further that ∂*E is relatively open in ∂E.

A note on regular points for solutions of elliptic systems

A vector valued function u(x), solution of a quasilinear elliptic system cannot be too close to a straight line without being regular.

The Reduced Boundary

Recalling that when considering functions in BV we are really considering equivalence classes of functions, we see that changing a function on a set of measure zero gives, as far as BV is concerned, the same function. In the same way when considering Caccioppoli sets the perimeter and other properties are unchanged if we make alterations of measure zero. In other words we are really concerned with equivalence classes of Caccioppoli sets.

The a priori Estimate for the Gradient

In this section we shall be concerned with smooth solutions of the minimal surface equation

The Bernstein Problem

{D_i}\left( {\frac{{{D_i}u}}{{\sqrt {1 + {{\left| {Du} \right|}^2}} }}} \right) = 0