Ernst Ruch

Theorie der ChiralitÄtsfunktionen

AbstractThe pseudoscalar properties of chiral molecules are object of an algebraic theory, provided a proper definition of molecule-classes is given. The analysis of the phenomenon of chirality on those classes leads to some specific features of the representation theory for chiralty functions, to a new lattice-structure of partions, to properties of permutation groups connected therewith and, finally, gives an insight into the structure of approximate points of view for chirality functions. Thus the present paper includes pure mathematical aspects. Mathematical theorems which will be stated and proved without essential reference to physics will be found in the appendix. The paper itself presents the physical phenomenon in the first place and concepts which are offered by the mathematical formalism like chirality-order, chirality-index, chirality-numbers, qualitative completeness, shortened AnsÄtze, active and inactive partitions of ligands etc. give rise to a systematicism, to an insight and to answering questions concerning the measurement of properties related to chirality of molecules. The co- and contravariant point of view for the transformation behaviour of functions, for instance, gives us two possible interpretations in the case of chirality functions. We may understand components of functions belonging to irreducible representations of

Theory of chirality functions, generalized for molecules with chiral ligands

\mathfrak{S}_n

Doppelnebenklassen als Klassenbegriff und Nomenklaturprinzip für Isomere und ihre AbzÄhlung

as chirality functions for component mixtures of isomers. Thereby projection operators get a physical interpretation as ensembleoperators for mixtures of isomers. Chap. 12 drafts applications of the theory given in this paper. First convincing comparisons of experimental data for rotatory power of allene derivatives with theoretical values on the basis of approximations according to methods given in 8–11 are available and their publication is under preparation [4]. Also, mathematical consequences from the definition of the partition-lattice given in Chapter 6 will be pursued as far as they are not be found in the present paper.ZusammenfassungDie pseudoskalaren Eigenschaften chiraler Moleküle sind bei geeigneter Klassifizierung der Objekte Gegenstand einer algebraischen Theorie. Die Analyse des ChiralitÄtsphÄnomens an diesen Klassen führt auf darstellungstheoretische Eigenschaften von ChiralitÄtsfunktionen, auf eine Verbandsstruktur von Partitionen, auf damit verbundene Aussagen über Permutationsgruppen und schlie\lich auf eine Strukturanalyse von NÄherungsansÄtzen für ChiralitÄtsfunktionen. Insofern enthÄlt die vorliegende Arbeit rein mathematische Aspekte. Mathematische Theoreme, die ohne wesentliche Bezugnahme auf die physikalische Fragestellung formuliert und bewiesen werden, finden sich im Anhang. Im Text steht das physikalische PhÄnomen im Vordergrund, und Begriffe wie ChiralitÄtsordnung, ChiralitÄtsindex, ChiralitÄtszahlen, qualitative VollstÄndigkeit, verkürzte AnsÄtze, aktive und inaktive Ligandenpartitionen u. a., die sich aus dem mathematischen Formalismus anbieten, dienen der Systematik, der Einsicht und der Beantwortung spezieller Fragen im Bereich der Me\methoden des ChiralitÄtsphÄnomens bei Molekülen (Zirkulardichroismus, Rotationsdispersion usw.). So liefern beispielweise der ko- und der kontravariante Standpunkt beim Transformationsverhalten von Funktionen zwei Interpretationsmöglichkeiten bei ChiralitÄtsfunktionen. Wir können nÄmlich zu irreduziblen Darstellungen der

Chiral Derivatives of Achiral Molecules: Standard Classes and the Problem of a Right-Left Classification

\mathfrak{S}_n

Das stereochemische Strukturmodell, ein mathematisches Modell zur gruppentheoretischen Behandlung der dynamischen Stereochemie

gehörige Komponenten einer ChiralitÄtsfunktion für Moleküle als Chiralfunktionen für zugeordnete Isomerengemische verstehen. Dabei gewinnen Projektionsoperatoren für die Komponenten als Ensembleoperatoren für nichtrazemische Isomerengemische einen physikalischen Inhalt von praktischem Nutzen. Kapitel 12 gibt eine rohe Skizze von Anwendungsmöglichkeiten der vorliegenden Theorie. Erste überzeugende Vergleiche theoretischer Werte nach den NÄherungsmethoden aus den Kapiteln 8–11 mit experimentellen Daten für die optische AktivitÄt von Allenderivaten liegen vor; ihre Publikation befindet sich in Vorbereitung [4]. Ebenso werden mathematische Konsequenzen der in Kapitel 6 gegebenen Definition des Partitionenverbands, insoweit sie hier nicht ausgeführt sind, weiter verfolgt.

Homochiralität als Klassifizierungsprinzip von Molekülen spezieller Molekülklassen

Rearrangements of ligands attached at given sites of a certain skeleton may be classified according to two principles: symmetry equivalence, where the same permutation of objects is related to symmetry equivalent sites and rotational equivalence, where the resulting isomers differ just by their orientation. The combination of both these principles leads to a classification wanted by experimentalists. This latter classification is shown to be correlated to double cosets, which easily allow to find the rearrangements belonging to a class in a formal way and to enumerate the distinguishable classes for any given problem.ZusammenfassungUmordnungen von Liganden, die auf vorgegebene Plätze eines bestimmten Molekülgerüstes verteilt sind, können nach zwei Prinzipien klassifiziert werden: Symmetrieäquivalenz, gekennzeichnet durch dieselbe Permutation von Objekten bezogen auf symmetrieäquivalente Gerüstplätze, und Rotationsäquivalenz, dadurch charakterisiert, daß die entstehenden Isomere sich nur durch ihre Orientierung unterscheiden. Die Kombination dieser beiden Prinzipien führt zu einer Klassifikation, die zur Interpretation von Experimenten benötigt wird. Es wird gezeigt, daß diese Klassifikation auf Doppelnebenklassen führt, mit denen die Umordnungen einer Klasse auf formale Weise leicht zu finden sind und die Anzahl der unterscheidbaren Klassen für jedes vorgegebene Problem bestimmt werden kann.