Erwin Nievergelt

Einfuehrung und Ueberblick

Die Entscheidungstheorie befasst sich mit allen Situationen, in denen einem Individuum verschiedene Handlungsalternativen mit gewissem oder ungewissem Ausgang zur Wahl stehen. Da jedes rational denkende Wesen haufig kleinere oder grossere Entscheidungen zu treffen hat, kommt der Entscheidungstheorie, die untersucht, ob und wie diese Entscheidungen optimal getroffen werden konnen, eine grosse Bedeutung zu.

Das 2-Personen-Nullsummenspiel in Normal- und Matrixform

Wie wir in Kapitel 6 gezeigt haben (Satz 6.4.1) last sich ein Spiel in extensiver Form mit Hilfe des Strategiebegriffs auf die Matrixform transformieren. Hierbei wird vorausgesetzt, das jeder Spieler nur uber endlich viele Strategien verfugt.

Gemischte Strategie und gemischte Erweiterung

Wie wir gesehen haben, gibt es 2-Personen-Nullsummenspiele ohne Sattelpunkt, die durch eine gewisse Instabilitat gekennzeichnet sind (Beispiel 7.3.5). Wie haben sich dann die Spieler zu verhalten, insbesondere, wenn das Spiel sehr oft wiederholt wird?

Extensive Form und Reduktion auf Normal- und Matrixform

Spiele, insbesondere einfache Gesellschaftsspiele, konnen in ihrem effektiven Ablauf in der sogenannten extensiven (oder expliziten) Form dargestellt werden. Beispiele: Schach, Dame, Halma (reine Geschicklich keitsspiele); Jass, Bridge (gemischte Spiele). Das Wurfelspiel als rei nes Gluckspiel ist nicht Gegenstand der Spieltheorie.

Das Bayes’sche Kriterium

Sei L(ϑ) eine vorgegebene A priori-Verteilung uber Θ, also L (ϑ) ⩾ 0 und \(\sum\limits_{\vartheta \, \in \,\Theta } {L\left( \vartheta \right)}\). In Verallgemeinerung von 13.2 definieren wir das sogenannte Bayes’sche Risiko \(\bar r\).

Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung

In der Entscheidungstheorie bei Unsicherheit spielt die mathematische Beschreibung zufalliger Vorgange, Beobachtungen oder Ereignisse eine fundamentale Rolle.

Allgemeine Betrachtungen über das statistische Entscheidungsproblem

In Verallgemeinerung der speziellen Situation von Kapitel 12 betrachten wir n unabhangige Zufallsvariable X1, X2,… Xn oder den Zufallsvektor \(\overrightarrow X \) = (X1, X2, …., Xn), die alle die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung p ϑ (x) haben. Diese Verteilung hangt vom Parameter ϑ (evtl. Vektor) ab, der aus einer vorgegebenen, endlichen Menge Θ stammt. Typisch fur das statistische Problem ist die Tatsache, das ϑ unbekannt ist. Wir wissen lediglich, das ϑ in der Zustandsmenge Θ liegt.

Verallgemeinerung des Testproblems in Kapitel 12. Unendlicher Zustandsraum. Risikosituation

In Kapitel 12 wurde das Testen von Hypothesen als Beispiel aus der Qualitatskontrolle behandelt. Die Annahme, das der Zustandsraum nur die beiden Zustande ϑ1 und ϑ2 enthalt, ist offenbar nicht sehr praxisbezogen.

Erste Ansätze zu den Lösungsmethoden. Querverbindung zur „klassischen Statistik”

Es stellt sich nun die fundamentale Frage nach der „besten“ oder „optimalen“ Strategie d k* . Diese hangt offenbar vom zugrundegelegten Optimalitatskriterium K ab.

Beispiel aus der Qualitätskontrolle (Testen einer einfachen Hypothese gegen eine einfache Alternative)

Ein bewust einfaches Problem aus der statistischen Qualitatskontrolle soll auf das Grundmodell der allgemeinen Entscheidungstheorie transformiert werden. (Vgl. Abschnitt 1.4).