Hans Loeffel

Einfuehrung und Ueberblick

Die Entscheidungstheorie befasst sich mit allen Situationen, in denen einem Individuum verschiedene Handlungsalternativen mit gewissem oder ungewissem Ausgang zur Wahl stehen. Da jedes rational denkende Wesen haufig kleinere oder grossere Entscheidungen zu treffen hat, kommt der Entscheidungstheorie, die untersucht, ob und wie diese Entscheidungen optimal getroffen werden konnen, eine grosse Bedeutung zu.

Die Erfindung der Rechenmaschine

Unsere Zeit ist sichtbar gepragt von der stets wachsenden Bedeutung der Informatik in Wissenschaft, Technik, Wirtschaft und im praktischen Alltag. Dabei gilt es zu bedenken, das eine uber mehrere Jahrhunderte sich erstreckende Entwicklung zum heutigen Wissensstand gefuhrt hat. Die Bewaltigung einfacher Operationen mit Zahlen, das sogenannte Rechnen, bildete seit eh und je ein primares Anliegen aller Kulturvolker. Einen bedeutenden Fortschritt in diesem Bestreben brachte die Entdeckung des Stellenwertsystems (insbesondere des Zehnersystems), das uber die Inder und Araber um 1600 nach Westeuropa gebracht wurde. Das schriftliche Rechnen (Pascal nennt es «calcul a la plume») wurde damit zu einer mehr oder weniger komfortablen Angelegenheit, wenn man sich auf die vier Grundoperationen beschrankte. Besonders fur kaufmannische Zwecke wurde seit vielen Jahrhunderten das Rechenbrett oder der Abakus 38 verwendet. Eine besondere Art solcher Rechenmittel findet man heute noch in der Sowjetunion und anderswo. Pascal spricht in diesem Zusammenhang vom «calcul aux jetons».

Reflexionen über die mathematische Methode

Pascals Beitrage zur Mathematik beschranken sich nicht nur auf einzelne Teilbereiche (z. B. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Infinitesimalrechnung) oder spezielle Probleme und Anwendungen (z. B. die Rechenmaschine), sondern sie erstrecken sich auch auf grundsatzliche Uberlegungen zur mathematischen Methode.

Der Weg zur Infinitesimalrechnung

J. v. Neumann, einer der hervorragendsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts, hat sich wie folgt geausert [24, p. 70]: «Die Infinitesimalrechnung bezeichnet den Anfang der modernen Mathematik: es ist schwer, ihre Bedeutung zu uberschatzen, und sie bildet den grosten. technischen Fortschritt im exakten Denken.»

Das arithmetische Dreieck

Es gibt Gegenstande oder Begriffe in der Mathematik, die zum alltaglichen Werkzeug gehoren. Hierzu darf man auch das arithmetische Dreieck (Triangle arithmetique) zahlen, welches man heute mit Pascals Namen verbindet. Bevor wir auf die Verdienste Pascals um dieses spezielle Zahlendreieck naher eingehen, seien einige Bemerkungen zur Vorgeschichte eingestreut.

Der Pascalsche Kosmos

Eine Beschreibung von Leben und Werk von Pascal — auch im Rahmen der Serie Vita Mathematica soll eine Wurdigung des ganzen Menschen Pascal miteinbeziehen. Zugegeben, es ist auserordentlich schwierig, dem geistigen Phanomen und Universalgenie aus der Auvergne in der angestrebten Kurze einigermasen gerecht zu werden. Die Personlichkeit Pascals ist schwer fasbar und erst recht nicht einem festen Schema oder einer bestimmten Geisteshaltung zuzuordnen. Jede Epoche hat ein anderes Bild von ihm gezeichnet. Anure Gide soll gesagt haben, das er mit Pascal nicht fertig geworden sei; immer Neues habe er hei ihm gefunden. Romano Guardini bezeichnete Pascal als «Konstrukteur von groster Energie, der doch in der Geschichte nicht als solcher wirkt, sondern als Beweger», und Nietzsche bewundert ihn einerseits wegen der Klarheit seiner Aussagen und als Psychologen, verwirft ihn andererseits wegen seines beharrlichen Bekenntnisses zum Christentum [62, p. 5].

Die Genesis der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist untrennbar mit der Frage nach dem Wesen des Zufalls verknupft. Seit Urzeiten haben die Menschen in mannigfachen Variationen des Gluckspiels ein Abbild des Ungewissen, des Schicksals im allgemeinen, gesehen. Das Wort «Zufall» stammt ja aus dem Althochdeutschen «zuoval», d. h. «auf einen zufallen».

Neuere Entwicklungen in der Entscheidungstheorie bei Unsicherheit

Der Entscheidungstrager (z.B. der Unternehmer, der Statistiker, der Staat usw.) sieht sich oft in der Lage, aus einer Menge A = {ai} von Aktionen oder Entscheidungen eine in einem gewissen Sinne optimale auszuwahlen und zwar angesichts einer unsichern Umwelt. Von dieser nehmen wir an, dass sie gewisse Zustande zj ∈ Z annehmen kann. Wahlt der Entscheidungstrager die Aktion a. im Zustand z., so resultiert vorerst ein gewisses Ergebnis eij ∈ E. Mit Hilfe nutzentheoretischer Konzepte lasst sich der Ergebnisraum E quantifizieren. Die Unsicherheit ist meistens durch den Zufall gekennzeichnet, ein nicht wegzudiskutierendes Element in unserer realen Welt. Die modellhafte Beschreibung von solchen Entscheidungssituationen kann etwa durch das sogenannte Grundmodell erfolgen. Aber auch mehrstufige Entscheidungssituationen in extensiver Form lassen, sich mit Hilfe des Strategiebegriffs auf das Grundmodell reduzieren. Die Entscheidungstheorie ist — auch historisch gesehen — mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik wesenhaft verbunden. Die Interpretation von Wahrscheinlichkeiten fuhrt immer wieder zu epistemo-logischen Auseinandersetzungen die bis in unsere Tage nicht abgeklungen sind; man denke nur an die Kontroverse zwischen “Subjektivisten“ und “Objektivisten“. Naheres dazu findet man in [1], S. 46 und ff.

Das 2-Personen-Nullsummenspiel in Normal- und Matrixform

Wie wir in Kapitel 6 gezeigt haben (Satz 6.4.1) last sich ein Spiel in extensiver Form mit Hilfe des Strategiebegriffs auf die Matrixform transformieren. Hierbei wird vorausgesetzt, das jeder Spieler nur uber endlich viele Strategien verfugt.

Gemischte Strategie und gemischte Erweiterung

Wie wir gesehen haben, gibt es 2-Personen-Nullsummenspiele ohne Sattelpunkt, die durch eine gewisse Instabilitat gekennzeichnet sind (Beispiel 7.3.5). Wie haben sich dann die Spieler zu verhalten, insbesondere, wenn das Spiel sehr oft wiederholt wird?